物理化學本徵值怎麼求

㈠ 本徵值和本徵函數怎麼求

算符(或矩陣)的本徵值和本徵函數是指滿足:Aψ=λΨ。λ是本徵值(常數),Ψ是本徵函數。

本徵向量的定義及性質：

矩陣的特徵向量是矩陣理論上的重要概念之一，它有著廣泛的應用。數學上，線性變換的特徵向量（本徵向量）是一個非簡並的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值（本徵值）。

一個線性變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。「特徵」一詞來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為」自身的」、「特定於……的」、「有特徵的」、或者辯臘「個體的」，這顯示了特徵值對於定義特定的線性變換的重要配灶首性。

線性變換的特徵向量是指在變換下方向不變，或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。特徵向量對應的特徵值是它所乘的那個縮放因子。特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特徵向量 。

線性變換的主特徵向量是最大特辯臘征值對應的特徵向量。特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特徵值的集合。例如，三維空間中的旋轉變換的特徵向量是沿著旋轉軸的一個向量，相應的特徵值是1，相應的特徵空間包含所有和該軸平行的向量。

該特徵空間是一個一維空間，因而特徵值1的幾何重次是1。特徵值1是旋轉變換的譜中唯一的實特徵值。

㈡ 量子力學，求解本徵態，要計算過程。謝謝。

主要步驟：就友告是先求本徵值，再求本徵函數。這和線性代數求本徵銀告遲值和本鋒李征矢量是一致的。

㈢ 宇稱算符的本徵值怎麼求

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宇稱算符的本徵值怎麼求
朝陽五行雷
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厄密算符的本徵值與本徵函數厄密算符的本徵值與本徵函數 定理定理I I：體系任何狀態：體系任何狀態下，其厄密算符的平均值必為實數。下，其厄密算符的平均值必為實數。 證：證： FdF * *) (Fd * * Fd *F 逆定理：在任何狀態下，平均值均為逆定理：在任何狀態下，平均值均為 實數的算符必為厄密算符。實數的算符必為厄密算符。 根據假定在任意態下有：根據假定在任意態下有：證：證： *) ( * * FdFd FF即即 取取=1 1+c+c2 2 ，其中 ，其中 1 1 、2 2 也是任意態的波函數， 也是任意態的波函數，c c 是任意常數。是任意常數。 )( *)( * 2121 cFcdFd式左式左 *) (Fd式右式右 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 2112 22 2 11 * * *| * FdcFdc FdcFd *) ( 2121 ccFd 2112 22 2 11 *) (*) (* *) (|*) ( FdcFdc FdcFd （一）厄密算符的平均值（一）厄密算符的平均值 因為對任因為對任 意波函數意波函數*FF 211222 2 11 *) (*) (* *|* * FdcFdcFdcFd 211222 2 11 * * *| * FdcFdcFdcFd 左式左式=右式右式 21122112 *) (*) (* * * FdcFdcFdcFdc *) (*) ( * 12122121 FdFdcFdFdc 令令c = 1，得：，得： 12122121 *) (*) ( * FdFdFdFd 令令c = i，得：，得： *) (*) ( * 12122121 FdFdFdFd 二式相加得：二式相加得： 2121 *) ( * FdFd 二式相減得：二式相減得： 1212 *) ( * FdFd 所得二式正是厄密算符的定義式，所得二式正是厄密算符的定義式， 故逆定理成立。故逆定理成立。實驗上的可觀測實驗上的可觀測 量當然要求在任何狀態下平均值量當然要求在任何狀態下平均值 都是實數，因此相應的算符必須都是實數，因此相應的算符必須 是厄密算符。是厄密算符。 所以左右兩邊頭兩項相等相消，於是有：所以左右兩邊頭兩項相等相消，於是有： （1 1）漲落）漲落 dFFFFF 222 ) (*) ()( F F 因為是厄密算符因為是厄密算符必為實數必為實數因而因而 FF 也是厄密算符也是厄密算符 厄密算符平方的平均值一定大於等於零厄密算符平方的平均值一定大於等於零 22 *FdF 0|) ( | |)( 222 dFFdFF FFd *) ( 2 | | Fd 0 於是有：於是有： （2 2）力學量的本徵方程）力學量的本徵方程 若體系處於一種特殊狀態，若體系處於一種特殊狀態， 在此狀態下測量在此狀態下測量F F所得結果所得結果 是唯一確定的，即：是唯一確定的，即： 0)( 2 F 則稱這種則稱這種 狀態為力狀態為力 學量學量 F F 的的 本徵態。本徵態。 常數常數 或或 F FF 0) ( nnn FF 可把常數記為可把常數記為Fn，把狀態，把狀態 記為記為n，於是得：，於是得： 其中其中F Fn n, , n n 分別稱為算符分別稱為算符 F F的本徵值和相應的本徵態，上式即是算符的本徵值和相應的本徵態，上式即是算符F F的本徵方程。求解時，的本徵方程。求解時， 作為力學量的本徵態或本徵函數還要滿足物理上對波函數的要求即波函數的標准條件。作為力學量的本徵態或本徵函數還要滿足物理上對波函數的要求即波函數的標准條件。 證明：證明： （二）厄密算符的本徵方程（二）厄密算符的本徵方程 nn FdF * 定理定理IIII：厄密算符的本徵值必為實。厄密算符的本徵值必為實。 當體系處於當體系處於 F F 的本徵態的本徵態n n 時，則每次測量結果都是時，則每次測量結果都是 F Fn n 。 。 由由 本徵方程可以看出，在本徵方程可以乎鍵滑看出，在n n（設已歸一）態下（設已歸一）態下 證證 nnn dF * n F 是是實實數數。所所以以必必為為實實， n FF （3 3）量子力學基本假定）量子力學基本假亮基定IIIIII 根據定理根據定理 I (I) (I) 量子力學中的力學量用線性厄密算符表示。量子力學中的力學量用線性厄密算符表示。 ),(prFF ipprrr ) , ( ),(prFFprFF 若力學量是量子力學中特有的若力學量是量子力學中特有的 ( (如宇稱、自旋等），將由如宇稱、自旋等），將由 量子力學量子力學 本身定義給出。本身定義給出。 若力學量在經典力學中有對應的量若力學量在經典力學中有對應的量則在直角坐標系下通過則在直角坐標系下通過 如下對應如下對應 方式，改造為量子力學中的力學量算符：方式，改造為量子力學中的力學量算符： (II) (II) 測量力學量測量力學量F F時所有可能出現的值，都對應於線性厄密算符時所有可能出現的值，都對應於線性厄密算符 F F的本徵值的本徵值 F Fn n （即測量值是本徵值之一），該本徵值由力學量算符（即測量值是本徵值之一），該本徵值由力學量算符 F F的本徵方程給出：的本徵方程給出： ,2,1 nFF nnn （1 1）正交性）正交性 定理定理III： 厄密算符屬於不同本徵值厄密算符屬於不同本徵值 的本徵函數彼此正交的本徵函數彼此正交 證： mmmnnn FFFF 設設 存在存在並設積分並設積分 d nn * *)* ( mmm FF 取復共軛，並注意到取復共軛，並注意到 F Fm m 為實。 為實。 兩邊右乘兩邊右乘 n 後積分後積分 dFdF nmmnm *) ( dFdFdF nmnnmnm * *) ( 二式相二式相 減減 得：得： 0*)( dFF nmnm 若若mFn， 則必有：則必有： 0* d nm 證畢證畢 （2 2）分立譜、連續譜正交歸一表示式）分立譜、連續譜正交歸一表示式 1. 分立譜正分立譜正 交歸一條交歸一條 件分別為：件分別為： mnnm nm nn d d d * 0* 1* 2. 連續譜正連續譜正 交歸一條交歸一條 件表示為：件表示為： )(* d 3. 正交歸一系正交歸一系 滿足上式的函數系滿足上式的函數系 n 或或 稱為正交歸一（函數）系。稱為正交歸一（函數）系。 （三）厄密算符的本徵函數的正交性（三）厄密算符的本徵函數的正交性 （4）簡並情況）簡並情況 上面證明厄密算符本徵函數的正交性時，曾假設上面證明厄密算符本徵函數的正交性時，曾假設 這些本徵函數屬於不同本徵值，即非簡並情況。這些本徵函數屬於不同本徵值，即非簡並情況。 如果如果 F F 的本徵值的本徵值F Fn n是是f f度簡並的，則對應度簡並的，則對應F Fn n有有f f個本徵函數：個本徵函數：n1 n1 , ,n2 n2 , ., , ., nf nf 滿足本徵方程：滿足本徵方程：fiFF ninni , 2 , 1 一般說來，這些函數一般說來，這些函數 並不一定正交。並不一定正交。 可以證明由這可以證明由這 f f 個函數可以線性組合成個函數可以線性組合成 f f 個獨立的新函數，個獨立的新函數， 它們仍屬於本徵值它們仍屬於本徵值 F Fn n 且滿足正交歸一化條件。 且滿足正交歸一化條件。 但是但是 證證明明 由這由這 f 個個n i 線性組合成線性組合成 f 個新函數個新函數 n j fjA niji f i nj , 2 , 1 1 可以滿足正交歸一化條件：可以滿足正交歸一化條件： fjjdAAd j jinniijji f i f i jnnj ,2, 1,* 11 證明分證明分 如下兩如下兩 步進行步進行 1. 1. nj nj 是本徵值 是本徵值 F Fn n 的本徵函數。 的本徵函數。 2. 滿足正交歸一條件的滿足正交歸一條件的 f 個新函數個新函數n j可以組成。可以組成。 niji f i nj AFF 1 niji f i FA 1 niji f i n AF 1 njn F 1. 1. nj nj是本徵值 是本徵值F Fn n的本徵函數。的本徵函數。 2. 滿足正交歸一條件的滿足正交歸一條件的f個新函數個新函數nj可以組成。可以組成。 fjj dAAd j jinniijji f i f i jnnj , 2, 1, * 11 方程的歸一化條件有方程的歸一化條件有 f f 個，正交條個，正交條 件有件有f(f-1)/2f(f-1)/2 個，所以共有獨立方個，所以共有獨立方 程數為二者之和等於程數為二者之和等於 f(f+1)/2f(f+1)/2 。 fjA niji f i nj , 2 , 1 1 為此只需證明線性為此只需證明線性 疊加系數疊加系數 A Aji ji 的個 的個 數數 f f 2 2 大於或等於 大於或等於 正交歸一條件方程正交歸一條件方程 個數即可。個數即可。 算符算符 F F 本徵值本徵值 F Fn n簡並的本質是：簡並的本質是： 當當 F Fn n 確定後還不能唯一的確定狀確定後還不能唯一的確定狀 態，要想唯一的確定狀態還得尋找態，要想唯一的確定狀態還得尋找 另外一個或幾個力學量算符，另外一個或幾個力學量算符，F F 算算 符與這些算符兩兩對易，其本徵值符與這些算符兩兩對易，其本徵值 與與 F Fn n 一起共同確定狀態。 一起共同確定狀態。 綜合上述討論可得如下結論：綜合上述討論可得如下結論： 既然厄密算符本徵函數總可以取為正交歸一化既然厄密算符本徵函數總可以取為正交歸一化 的，所以以後凡是提到厄密算符的本徵函數時，的，所以以後凡是提到厄密算符的本徵函數時， 都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。都是正交歸一化的，即組成正交歸一系。 因為因為 f f2 2 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0 - f(f+1)/2 = f(f-1)/2 0， 所以，方程個數少於待定系數所以，方程個數少於待定系數 A Aji ji 的個數，因而，我們 的個數，因而，我們 有多種可能來確定這有多種可能來確定這 f f 2 2 個系數使上式成立。 個系數使上式成立。f f 個新函個新函 數數njnj 的確是算符的確是算符 F F 對應於本徵值對應於本徵值 Fn Fn 的正交歸一化的正交歸一化 的本徵函數。的本徵函數。 （2 2）線性諧振子能量本徵函數組成正交歸一系）線性諧振子能量本徵函數組成正交歸一系 （1 1）動量本徵函數組成正交歸一系）動量本徵函數組成正交歸一系 （3 3）角動量本徵函數組成正交歸一系）角動量本徵函數組成正交歸一系 1. 1. L Lz z 本徵函數本徵函數 2. L2. L2 2本徵函數本徵函數 （4 4）氫原子波函數組成正交歸一系）氫原子波函數組成正交歸一系 （四）實例（四）實例 （一）力學量的可能值（一）力學量的可能值 （二）力學量的平均值（二）力學量的平均值 （1 1） 力學量算符本徵函數組成完備系力學量算符本徵函數組成完備系 （2 2） 力學量的可能值和相應幾率力學量的可能值和相應幾率 （3 3） 力學量有確定值的條件力學量有確定值的條件 6 6 算符與力學量的關系算符與力學量的關系 （三）例題（三）例題 量子力學基本假定量子力學基本假定IIIIII告訴人們，在任意態告訴人們，在任意態(r(r) )中測量中測量 任一力學量任一力學量 F F，所得的結果只能是由算符，所得的結果只能是由算符 F F 的本徵方程的本徵方程nnn F 解得的本徵值解得的本徵值n n之一。之一。 但是還有但是還有 兩點問題兩點問題 沒有搞清楚：沒有搞清楚： 1. 1. 測得每個本徵值測得每個本徵值n n的幾率是多少？也就是說，哪些本徵值能夠測到，的幾率是多少？也就是說，哪些本徵值能夠測到， 對應幾率是多少，對應幾率是多少，哪些測不到，幾率為零。哪些測不到，幾率為零。 2. 是否會出現各次測量都得到同一個本徵值，即有確定值。是否會出現各次測量都得到同一個本徵值，即有確定值。

㈣ 怎麼求函數的本徵值和本徵態

本徵態、本徵函數的定義：如果一個物理量A（用算符Â表示）在微觀狀態（用波函數）中有確定的值,則稱這個亂御沖微觀狀態為物理量A的本徵態,或者說波函數為物理量A的本拆首征函數.
舉嘩殲個數學離子,函數發f（x）=e^5x,求導之後,f（x）』=5e^5x,那本徵值為5,本徵態為e^5x

㈤ 兩道量子力學求本徵函數和本徵值的題

要把原始函數帶入演算法，計算出另一個函數。如果這個函數是銷慎原始函數的常數倍，那這一原始函數就是演算法的本徵函數，這個常數值就是本徵值。要知道原始函數和演算法才行，我手機上看不清你哪個是演算法哪個是函數。雀斗察不好意思，只能頃茄你自己算了，I'm sorry！

㈥ 勢箱本徵函數怎麼求的

定態薛定諤方程當體系的勢能項V中，不含時間變數t，體系的勢能不隨時間變化亦即體系的哈密頓量不隨時間變化，這種狀態稱為定態。（本課程只討論定態）當體系的哈密大檔頓算符H不顯含時間變數，H算符的本徵方程：為定態薛定諤方程，其本徵值E為體系可以測量的能量值，其本徵函數y為體系的與本徵值E對應的定態波函數ae顯然這里y＝y（q），不再包括時間變數。一、當勢能與時間無關時，我們可用分離變數法將方程簡化，帶入：，並把方程兩邊用去除，兩邊都等於常數E，可解出：，則，定態波函數。叫定態薛定諤方程。表示能量，為哈密頓函數。二、定態下的一些特點定態：能量具有確定值；定態波函數所表示的狀態。在定態中，幾率密度和幾率流密度都與時間無關。1．3一維勢箱——求解Schroginger方程的實例（1）體系哈密頓算符一個粒子在一維空間（x）運動，其勢能V（x）＝0（0＆lt；x＆lt；l）；V（x）＝（x≤0，x≥l）其哈密頓算符在勢箱內：在勢箱外：由於V（x）＝∞，y（x）＝0（2）勢箱內的薛定諤方程（3）求解微分方程的通解上述微分方程（二階常系數線性齊次微分方程）其通解由輔助方程：令則於是微分方程的通解：根據歐拉公式：於是其通解為：（4）根據邊界條件討論微分方程的特解y必須是連續的做為該體系的邊界條件應有y（0）鋒岩＝0，y（l）＝0．＝1＆＃92；＊GB3①y（0）＝0，A＝0＝2＆＃92；＊GB3②y（l）＝0，B10，只有sinal＝0，因此al＝np（n＝1，2，3，．．．）y的特解：在此得到量子化的本徵值和本徵函數．（5）用波函數y的歸一化條件，確定待定系數B．即要求：即得到對波函數的歸一化要求，也是根據玻恩的統計解釋－－－即在整個空間找到粒子的幾率必須是100％（6）對本徵值和本徵函數的討論①En中n為能量的量子數406n＝1，2，3，．．．，n＝1時為基態，n＝2時為第一激發態，n＝3時為第二激發態．②En的能級間隔規律隨（n22－n12）變化③是歸一化的，同時yn與ym是正交的．即：④yn的圖形和節點（yn（xk）＝0，xk為節點．）受勢能場束縛的微觀粒子具有的共滾基亂同特性——量子效應：（1）粒子可存在多種運動狀態；（2）能量量子化；（3）存在零點能；（4）粒子按幾率分布，不存在運動軌道；（5）波函數可為正值、負值和零值，為零值的節點多，能量高例1．若某一粒子的運動可以按一維勢箱模型處理，其勢箱長度為1，計算該粒子由基態到第二激發態的躍遷波數．解答：＝＝＝2．42symbol180＆＃92；f＆quot；Symbol＆quot；＆＃92；s10106cm－14．三維勢箱根據一維勢箱的能量及波函數公式，求得三維勢箱：對立方勢箱：例：三個．．．．．．餘下全文＞＞

㈦ 求自旋角動量x分量,y分量 的本徵值和本徵矢量.

本徵則皮值都是正負h/2pi.
本徵矢量Sx: (1,1)和(1,-1); Sy:(1,i)和(1,-i)
歸一化自己旁譽動手. 不會求本徵問題查線性代數書.
順便你的Sy寫孫啟差錯了

㈧ 對一維運動,求算符p+x的本徵值和本徵函數

假如有個本徵值a，對應本徵函數f，那麼直接愣算。

i f'(x) + x f(x) = a f(x)，
f'(x) + (x-a)/i f(x) = 0。
然後枝滾大弄個積分因子，u'(x) = (x-a)/i，
就是f'(x) + u'(x) f(x) = 0，所以 e^(u) f = 常數C，C可以直接假定成1，因為本徵函數乘個常數是無所謂的。
f= e^(-u) = exp (- (x-a)^2 / 2i)。本徵值就是a。假如有邊界值猛豎條件的話，這個a應該取離散值（比備念如要求f(0)=f(1)=0什麼的）。

㈨ 怎樣求坐標本徵態（本徵值x）在動量表象中的表示動量本徵態（本徵值p）在坐標表象中的表示

一宴謹個算符如果非厄密，那它的本徵值就可能是復數，可觀測量只孫姿能是實數。而且，大多數可觀測量都存在一個物理的本徵態（至少是理想上物理的），比如p，H，很多計算時晌凱基也用x本徵態（比如QCD核子問題），非厄密算符的本徵態很多不能歸一化