什麼是最大公約數

⑴ 什麼是最大公約數

最大公約數（greatest
common
divisor，簡寫為gcd；或highest
common
factor，簡寫為hcf)，指某幾個整數共有因子中最大的一個。能夠整除一個整數的整數稱為其的約數（如5是10約數）；
能夠被一個整數整除的整數稱為其的倍數（如10是5的倍數）；
如果一個數既是數A的約數，又是數B的約數，稱為A,B的公約數，A,B的公約數
中最大的一個（可以包括AB自身）稱為AB的最大公約數
定義
如果有一個自然數a能被自然數b整除，則稱a為b的倍數，b為a的約數。幾個自然數公有的約數，叫做這幾個自然數的公約數。公約數中最大的一個公約數，稱為這幾個自然數的最大公約數。
例：
在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公約數。
早在公元前300年左右，歐幾里得就在他的著作《幾何原本》中給出了高效的解法——輾轉相除法。輾轉相除法使用到的原理很聰明也很簡單，假設用f（x,
y）表示x，y的最大公約數，取k
=
x/y，b
=
x%y，則x
=
ky
+
b，如果一個數能夠同時整除x和y，則必能同時整除b和y；而能夠同時整除b和y的數也必能同時整除x和y，即x和y的公約數與b和y的公約數是相同的，其最大公約數也是相同的，則有f（x,
y）=
f（y,
x%y）（y
>
0），如此便可把原問題轉化為求兩個更小數的最大公約數，直到其中一個數為0，剩下的另外一個數就是兩者最大的公約數。
例如，12和30的公約數有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公約數。
輾轉相除法是古希臘求兩個正整數的最大公約數的，也叫歐幾里德演算法，其方法是用較大的數除以較小的數，上面較小的除數和得出的余數構成新的一對數，繼續做上面的除法，直到出現能夠整除的兩個數，其中較小的數（即除數）就是最大公約數。以求288和123的最大公約數為例，操作如下：288÷123=2餘42
123÷42=2餘39
42÷39=1餘3
39÷3=13
所以3就是288和123的最大公約數。
性質
重要性質：gcd(a,b)=gcd(b,a)
（交換律）
gcd(-a,b)=gcd(a,b)
gcd(a,a)=|a|
gcd(a,0)=|a|
gcd(a,1)=1
gcd(a,b)=gcd(b,
a
mod
b)
gcd(a,b)=gcd(b,
a-b)
如果有附加的一個自然數m,
則:
gcd(ma,mb)=m
*
gcd(a,b)
(分配律)
gcd(a+mb
,b)=gcd(a,b)
如果m是a和b的最大公約數，
則：
gcd(a/m
,b/m)=gcd(a,b)/m
在乘法函數中有：
gcd(ab,m)=gcd(a,m)
*
gcd(b,m)
兩個整數的最大公約數主要有兩種尋找方法：
*
兩數各分解質因數，然後取出同樣有的質因數乘起來
*輾轉相除法（擴展版）
和最小公倍數（lcm）的關系：
gcd(a,
b)
*
lcm(a,
b)
=
ab
a與b有最大公約數，
兩個整數的最大公因子可用於計算兩數的最小公倍數，或分數化簡成最簡分數。
兩個整數的最大公因子和最小公倍數中存在分配律：
*
gcd(a,
lcm(b,
c))
=
lcm(gcd(a,
b),
gcd(a,
c))
*
lcm(a,
gcd(b,
c))
=
gcd(lcm(a,
b),
lcm(a,
c))
在坐標里，將點(0,
0)和(a,
b)連起來，通過整數坐標的點的數目（除了(0,
0)一點之外）就是gcd(a,
b)。

⑵ 最大公約數是什麼意思

最普遍的介紹：

最大公因數，也稱最大公約數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。

a，b的最大公約數記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數記為（a，b，c），多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為[a，b]。

【拓展資料】

一、基本概念及舉例說明：

1、如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關系，不能單獨存在。

舉例：只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數。

2、「倍」與「倍數」是不同的兩個概念，「倍」是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。「倍數」只是在數的整除的范圍內，相對於「約數」而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。

3、幾個整數中公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

舉例：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記為（12，15，18）=3。

4、幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個自然數，叫做這幾個數的最小公倍數。

舉例：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。

二、最大公約數的常見求法

1、質因數分解法

思路：把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數。

舉例：假設我們求24和60的最大公約數。

第一步：分解24和60。

24=2X2X2X3

60=2X3X2X5

第二步：24和60的最大公約數=24和60共有的公因子相乘，即2X2X3=12。

2、短除法

思路：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。

短除法的本質就是質因數分解法，只是將質因數分解用短除符號來進行。

舉例：

12的因數有：1、2、3、4、6、12。

18的因數有：1、2、3、6、9、18。

12與18的公因數有：1、2、3、6。

12與18的最大公因數是6。

3、更相減損法

思路：

第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。

第二步：以較大的數減較小的數，接著把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等為止。

則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。

舉例：

用更相減損術求98與63的最大公約數。

由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公約數等於7。

4、輾轉相除法

用較小數除較大數，再用出現的余數（第一餘數）去除除數，再用出現的余數（第二餘數）去除第一餘數，如此反復，直到最後余數是0為止。如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。

舉例：

求（319，377）：

∵ 319÷377=0（餘319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（餘58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（餘29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（餘0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

⑶ 什麼叫最大公約數

也稱為最大公因數和最大公因子，指兩個或，多個整數共有約數最大的一個。
幾個整數中公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數

⑷ 什麼叫做最大公約數

最大公因數，也稱最大公約數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a，b的最大公約數記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數記為（a，b，c），多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為[a，b]。

⑸ 最大公約數是什麼意思

最大公因數，也稱最大公約數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a，b的最大公約數記為（a，b），同樣的，a，b，c的最大公約數記為（a，b，c），多個整數的最大公約數也有同樣的記號。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、短除法、輾轉相除法、更相減損法。與最大公約數相對應的概念是最小公倍數，a，b的最小公倍數記為[a，b]。

⑹ 什麼是最大公約數,什麼是最小公約數

公約數亦稱公因數。如果一個數同時是幾個數的約數，稱這個數為它們的「公約數」；公約數中最大的稱為「最大公約數」。例如，2，-2，7，-7，14，
-14都是28，42，70的公約數；14是它們的最大公約數。
沒有最小公約數
最小公倍數（不是最小公約數）：如果一個數同時是幾個數的倍數，稱這個數為它們的「公倍數」；正的公倍數中最小的稱為「最小公倍數」。例如，12，-12，24，-24等都是2，4，6，的公倍數；12是它們的最小公倍數。