什麼是循環小數

Ⅰ 什麼叫循環小數

循環小數，就比如是0.666...這種就是循環小數，循環部分是6

數學：
課本上講的定理,你可以自己試著自己去推理.這樣不但提高自己的證明能力,也加深對公式的理解.還有就是大量練習題目.基本上每課之後都要做課余練習的題目（不包括老師的作業）.數學成績的提高,數學方法的掌握都和同學們良好的學習習慣分不開的,因此．良好的數學學習習慣包括：聽講、閱讀、探究、作業．聽講：應抓住聽課中的主要矛盾和問題,在聽講時盡可能與老師的講解同步思考,必要時做好筆記．每堂課結束以後應深思一下進行歸納,做到一課一得．閱讀：閱讀時應仔細推敲,弄懂弄通每一個概念、定理和法則,對於例題應與同類參考書聯系起來一同學習,博採眾長,增長知識,發展思維．探究：要學會思考,在問題解決之後再探求一些新的方法,學會從不同角度去思考問題,甚至改變條件或結論去發現新問題,經過一段學習,應當將自己的思路整理一下,以形成自己的思維規律．作業：要先復習後作業,先思考再動筆,做會一類題領會一大片,作業要認真、書寫要規范,只有這樣腳踏實地,一步一個腳印,才能學好數學．總之,在學習數學的過程中,要認識到數學的重要性,充分發揮自己的主觀能動性,從小的細節注意起,養成良好的數學學習習慣,進而培養思考問題、分析問題和解決問題的能力,最終把數學學好．

Ⅱ 什麼是循環小數,舉幾個例子

一個小數的小數部分，一個或幾個數字依次不斷，重復出現，這樣的小數叫做循環小數。比如：0.3333……。

一個數的小數部分從某一位起，一個或幾個數字依次重復出現的無限小數叫循環小數（circulating decimal）。循環小數會有循環節（循環點），並且可以化為分數。

兩個整數相除，如果得不到整數商，會有兩種情況：一種，得到有限小數；另一種，得到無限小數。

從小數點後某一位開始依次不斷地重復出現前一個或一節數字的十進制無限小數，叫做循環小數，如2.1666...*（混循環小數），35.232323...（循環小數），20.333333…（循環小數）等，其中依次循環不斷重復出現的數字叫循環節。

循環小數的縮寫法是將第一個循環節以後的數字全部略去，而在第一個循環節首末兩位上方各添一個小點。例如：

2.966666... 縮寫為

或

（讀作「二點九六，六循環」）

35.232323…縮寫為

或

（它讀作「三十五點二三，二三循環」）

36.568568……縮寫為

或

（它讀作「三十六點五六八，五六八循環」）

循環小數可以利用等比數列求和公式的方法化為分數，所以循環小數均屬於有理數。

Ⅲ 什麼是循環小數，什麼叫混循環小數，什麼叫純循環小數

從小數部分第一位開始的循環小數，稱為純循環小數。純循環小數是從十分位開始循環的小數，如0.33333333...(1/3)，0.1428571428571....(1/7)等。顧名思義，純循環小數就是在純小數的基礎上變成循環小數。

一個數的小數部分從某一位起，一個或幾個數字依次重復出現的無限小數叫循環小數（circulating decimal）。循環節不是從小數部分第一位開始的，叫混循環小數 。例如：1.2333333……、13.0984343434343……等。我們可以觀察到：1.2333333……的循環節在3上面。

(3)什麼是循環小數擴展閱讀：

一、純循環小數特點

1、分母只含有2或5的因數的最簡分數，可以化為有限小數。

2、分母中含有2或5以外的因數的最簡分數，可以化為循環小數，但不一定是純循環小數。

3、若最簡分數a/b的分母b只含有2和5以外的質因數（即b的質因數不包括2和5），則該分數能化為純循環小數。

二、混循環小數化分數

1、方法描述

一個混循環小數的小數部分可以化成分數：

這個分數的分子是第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部分中不循環部分組成的數的差。

分母的頭幾位數是9，末幾位是0。其中9的個數與循環節中的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。

2、舉例

0.13333……化為分數

分子：13-1=12

分母：循環節1位，不循環部分1位，因此是90

即0.13333……=12/90=2/15

Ⅳ 五年級循環小數的概念是什麼

循環小數的定義：一個數的小數部分從某一位起，一個或幾個數字依次重復出現的無限小數叫循環小數。依循環開始的數位不同劃分，可以分為純循環小數和混循環小數兩種。

1、一個數的小數部分，從某一位起，一個數字或者幾個數字依次不斷出現，這樣的小數叫做循環小數。

2、一個循環小數的小數部分，依次不斷重復出現的數字，就是這個循環小數的循環節。

3、寫循環小數時，可以只寫第一個循環節，並在這個循環節的首位和末位數字上面各記一個圓點。

4、小數部分的位數有限的小數是有限小數；小數部分的位數無限的小數是無限小數；循環小數是無限小數中的一種特殊情況。

小數乘法的計算方法：

循環小數是無限小數的一種特殊形式。對一個無限小數0.a1a2…an。若能找到兩個正整數s≥0，t>0，使得as+i=as+kt+i。（i=1，2，t;k=l，2）成立。

則稱此無限小數為循環小數，記為0.a1a2...ass+1...s+t。對於一個循環小數而言，滿足上式的s,t值有無數多個，如果取其中最小的s,t值，則稱as+1as+2...as+t為這個循環小數的循環節，t稱為循環節的長度；若最小的s=0，則這個循環小數稱為純循環小數。

如果最小的s>0，則相應的循環小數稱為混循環小數，並把小數點之後至循環節之前的部分a1a2...as稱為非循環節。任何一個循環小數必可化為分數。

Ⅳ 什麼是循環小數

循環小數

循環小數英文名：circulating decimal
兩數相除，如果得不到整數商，會有兩種情況：一種，得到有限小數。一種，得到無限小數。
從小數點後某一位開始不斷地重復出現前一個或一節數字的十進制無限小數，叫做循環小數，如2.1666...*（混循環小數），35.232323...（純循環小數），20.333333…（純循環小數）等，被重復的一個或一節數字稱為循環節。循環小數的縮寫法是將第一個循環節以後的數字全部略去，而在第一個循環節首末兩位上方各添一個小點。例如：
2.166666... 縮寫為 2. 16（6上面有一個點；它讀作「二點一六，六循環」）
35.232323…縮寫為 35.23（2、3上面分別有一個點；它讀作「三十五點二三，二三循環」）
循環小數可以利用等比數列求和（附鏈接：等比數列）的方法化為分數。例如圖中的化法。
所以在數的分類中，循環小數屬於有理數。
編輯本段
例如

循環小數的問題中，最著名的是0.999…是否等於1的問題代數方法為：
證明:
假設X=0.999...
∵
10X = 9.999... 0.999...
即
9x = 9
∴
x = 1
以上的推理過程都是比較嚴密的，並不是所謂0.3=1/3而0.9<1（這個才是最高級的證明，大家都要學會這種緊扣定義的證明方法，而不是這個看似嚴謹，其實缺乏嚴謹的證明）。在我們所使用的數學中， 0.9（9循環）=1。
lichang1947評論：這個證明有問題。因為沒有注意無窮的復雜性。其實上面的證明有兩個結果，一個是：
x=1
即上面已經得出的結果。但是如果從
10x=9.99...
出發，把兩邊同時除以10，則得到的還是
x=0.999....
這兩個結果中應該只有一個是正確的。很顯然，x=0.999...的結果比x=1的結果更可信。沒有仔細考察就對無窮進行推論是不合適的。
我已經證明了1不等於0.999...。
利用邏輯非常容易證明0.9…≠1。
請比較下面的兩個式子：
1=1-1/10 (n→∞) (1)
1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2)
這兩個式子顯然不完全相同，有差別。所以應該只有一個是正確的，不可能兩個都是正確的。稍微細心一些，就會看出（1.1）式的右側比（1.2）式的右側少一個1/10。所以（1.2）式肯定是正確的，而（1.1）式就不成立。
但是（1.1）式的右側就是0.9...。
而認為1/10=0會導致任何數都相等
如果認為
1/10=0（它是認為0.9…=1的直接推論）（3）
而且認為它是嚴格的相等，則由於「嚴格地相等」可以無窮遞推，即得到：
2×1/10=0， （4）
3×1/10=0， （5）
…
無窮地增加下去，總有一個時刻會得到：
10×1/10=0。 （6）
但是一個顯然的事實是：（1.2.4）式的右側等於1，而不是0。
再同樣地推下去，則任意兩個數都可以相等。這顯然太荒謬了。
還可以利用計算的數值的結果證明。但是需要微積分。故略。可以查看李長白數學網的有關文章。
以上方法嚴格講都是有缺陷的,真正的方法如下:
依照循環小數定義:
如1/3 在進行除法運算的時候,
在用三除的時候餘下的一位為1,這樣繼續進行下去的時候,根據歸納可知,這個小數後面會有無數個3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循環
然後我們看0.9 9循環
我們用1/1來進行計算,不同的是,我們不要一次將1除盡,我們直接退位進行計算
第一步就是得0.9餘0.1,這個沒有問題,也不違反任何運算規則,
通過這樣的方式計算,可以得出1/1通過除法運算的時候可以表示為0.9 9循環
即0.9 9循環等於1
證畢
沒有用到極限(根本和循環小數無關的),和循環小數運演算法則!
只用了分數除法,和循環小數定義!
編輯本段
注意

特別注意的是：
無理數的定義是無限不循環小數，由此可以判定無限不循環小數是無理數（因為定義也是判定）。
循環小數化分數
將純循環小數改寫成分數，分子是一個循環節的數字組成的數；分母各位數字都是9，9的個數與循環節中的數字的個數相同.
例如 . . .
0.1=1/9 0.1234=1234/9999
混循環：將混循環小數改寫成分數，分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差；分母的頭幾位數字是9，末幾位數字是0，9的個數跟循環節的數位相同，0的個數跟不循環部分的數位相同.
例如：0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900
這個概念是錯的
有限小數的小數位數是有限的
循環小數的小數位數是無限的
因此，有限循環小數這個說法本身就是錯誤的，希望有許可權的編輯者對這個詞條的定義進行更改。
相關的定義詳見小學課本（五年級上學期的學習內容）
請不要誤導祖國的花骨朵、還有可憐的花骨朵的爸爸媽媽們

Ⅵ 循環小數是什麼

循環小數是一個數的小數部分從某一位起，一個或幾個數字依次重復出現的無限小數。

循環小數分為純循環小數和混循環小數兩種。

從小數部分第一位開始的循環小數，稱為純循環小數。純循環小數是從十分位開始循環的小數，如0.33333333...(1/3)，0.1428571428571....(1/7)等。顧名思義，純循環小數就是在純小數的基礎上變成循環小數。

混循環小數是從十分位後開始循環的小數，如0.1666666666...(1/6)，0.009090909....(1/110)等。

(6)什麼是循環小數擴展閱讀

化分數表示：

1、純循環小數：

將純循環小數改寫成分數，分子是一個循環節的數字組成的數；分母各位數字都是9，9的個數與循環節中的數字的個數相同。

例如：0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999。

2、混循環：

將混循環小數改寫成分數，分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差；分母的頭幾位數字是9，末幾位數字是0，9的個數跟循環節的數位相同，0的個數跟不循環部分的數位相同。

例如：0.1234234234…=(1234-1)/9990 0.55889888988898...=(558898-55)/999900。

Ⅶ 什麼叫循環小數

循環節不是從小數部分第一位開始的，叫混循環小數
。例如：1.2333333……、13.0984343434343……等。
混循環小數是指不是第一位開始循環的小數,如0.1666666666...(1/6),0.009090909....(1/110)等。
一個混循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是第二個循環節以前的小數部分組成的數與小數部分中不循環部分組成的數的差。分母的頭幾位數是9，末幾位是0。9的個數與循環節中的位數相同，0的個數與不循環部分的位數相同。
混循環小數與純循環小數是相反的。整數部分是零的小數，稱為純小數．循環節從小數部分第一位開始的循環小數，稱為純循環小數．純循環小數是從十分位開始循環的小數,如0.33333333...(1/3),0.1428571428571....(1/7)等,純循環小數個位可為非零自然數