實數是什麼

Ⅰ 什麼是實數,什麼是虛數

1、實數（real number）是有理數和無理數的總稱。

實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱為實數系（real number system）或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

2、虛數

虛數是指實數以外的復數，其中實部為0的虛數稱為純虛數。

在數學中，虛數就是形如a+b*i的數，其中a,b是實數，且b≠0,i² = - 1。虛數這個名詞是17世紀著名數學家笛卡爾創立，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數a+b*i的實部a可對應平面上的橫軸，虛部b與對應平面上的縱軸，這樣虛數a+b*i可與平面內的點(a,b)對應。

可以將虛數bi添加到實數a以形成形式a + bi的復數，其中實數a和b分別被稱為復數的實部和虛部。一些作者使用術語純虛數來表示所謂的虛數，虛數表示具有非零虛部的任何復數。

(1)實數是什麼擴展閱讀：

1777年瑞士數學家歐拉(Euler，或譯為歐勒)開始使用符號i表示虛數的單位。而後人將虛數和實數有機地結合起來,寫成a+bi形式 (a、b為實數，a等於0時叫純虛數，ab都不等於0時叫復數，b等於0時就是實數)。通常，我們用符號C來表示復數集，用符號R來表示實數集。

Ⅱ 實數包括什麼

實數包括有理數和無理數。

實數由一個五元組（R，+，0，×，1，≤）定義，其中，R是一個無限的集合；「+」和「×」是對R中元素的二元運算，「0」和「1」是R中特別重要的元素，「≤」是R中元素的二元關系。

多元組的元素必須滿足一組公理，稱作域公理。實數是域這種數學結構的一個典型例子。域作為一種基礎結構，在數學王國被廣泛使用。

需要了解代數，才能了解域這種結構的基礎。通常使用一個域公理集合來定義域。

(2)實數是什麼擴展閱讀

實數（所有值域）有兩種主要的運算：加法和乘法。這兩種運算需要在某種方式下合作。

1、「+」和「×」滿足交換律：a+b=b+a，a×b=b×a。

2、「×」對於每個「+」滿足分配律。意思是（3+4）×5=3×5+4×5。

3、對於「+」運算，0是唯一的恆等值。對所有的a，a+0=a。

4、對於R裡面的每一個數x，有且只有一個數-x，稱作x的加法逆元，滿足x+（-x）=0，並且對於所有x≠0，x≠-x。

5、對於「×」運算，1是唯一的恆等值。對所有的a，a×1=a。

Ⅲ 實數是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

(3)實數是什麼擴展閱讀：

一、發展歷史

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。 直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念，他們原以為：

任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

二、相關性質

1、封閉性

實數集對加、減、乘、除（除數不為零）四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商（除數不為零）仍然是實數。

2、有序性

實數集是有序的，即任意兩個實數a、b必定滿足並且只滿足下列三個關系之一：a＜b，a＞b，a＝b。

3、傳遞性

實數大小具有傳遞性，即若a＞b，且b＞c，則有a＞b。

4、稠密性

R實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數。

Ⅳ 什麼是實數的定義

實數是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。

實數是有理數和無理數的總稱，通常用黑正體字母R表示。其中無理數就是無限不循環小數，有理數就包括整數和分數。
數學上，實數直觀地定義為和數軸上的點一一對應的數。
本來實數僅稱作數，後來引入了虛數概念，原本的數稱作「實數」——意義是「實在的數」。
所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

實數可以用來測量連續的量。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後 n 位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數來表示。
實數的運算定理
1、加法：
(1)同號兩數相加，取原來的符號，並把它們的絕對值相加;
(2)異號兩數相加，取絕對值大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。可使用加法交換律、結合律。
2、減法：減去一個數等於加上這個數的相反數。
3、乘法：
(1)兩數相乘，同號取正，異號取負，並把絕對值相乘。
(2)n個實數相乘，有一個因數為0，積就為0;若n個非0的實數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有偶數個時，積為正;當負因數為奇數個時，積為負。
(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。
4、除法：
(1)兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。
(2)除以一個數等於乘以這個數的倒數。
(3)0除以任何數都等於0，0不能做被除數。
5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。
6、實數的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，加、減是一級運算，如果沒有括弧，在同一級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算低級的運算，有括弧的先算括弧里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號後運算。
實數中的幾個概念：
1、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。（1）實數a的相反數是-a；（2）a和b互為相反數a+b=0。
2、倒數：（1）實數a（a≠0）的倒數是1/a；（2）a和b 互為倒數；（3）注意0沒有倒數。
3、絕對值：
（1）一個數a 的絕對值有以下三種情況：
（2）實數的絕對值是一個非負數，從數軸上看，一個實數的絕對值，就是數軸上表示這個數的點到原點的距離。
（3）去掉絕對值符號（化簡）必須要對絕對值符號裡面的實數進行數性（正、負）確認，再去掉絕對值符號。
4、n次方根
（1）平方根，算術平方根：設a≥0，稱叫a的平方根，叫a的算術平方根。
（2）正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。
（3）立方根：叫實數a的立方根。
（4）一個正數有一個正的立方根；0的立方根是0；一個負數有一個負的立方根。

Ⅳ 想知道實數是什麼意思

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上的實數，點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數的性質

（1）封閉性：實數集對加、減、乘、除(除數不為零)四則運算具有封閉性，即任意兩個實數的和、差、積、商(除數不為零)仍然是實數。

（2）有序性：實數集是有序的，即任意兩個實數、必定滿足並且只滿足下列三個關系之一ab。

（3）傳遞性：實數大小具有傳遞性，即若a>d，且b>c，則有a>c。

（4）與數軸對應：任一實數都對應與數軸上的唯一一個點;反之，數軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數。於是，實數集與數軸上的點有著一一對應的關系。

（5）稠密性：實數集具有稠密性，即兩個不相等的實數之間必有另一個實數，既有有理數，也有無理數。

Ⅵ 實數的定義是什麼

數學上，實數定義為與數軸上的點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母 R 表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

拓展資料：
一、實數的分類：

（1）按定義分類

（2）按正負（性質）分類：

二、從有理數擴充到實數以後，有理數中的相反數、倒數、絕對值等概念在實數范圍內具有同樣的意義

（1）實數a的相反數為-a，零的相反數是其本身；若實數a與b互為相反數，則a+b=0，反之亦然.

（2）實數a的倒數為1/a（a≠0），實數a與b互為倒數，則ab=1，反之亦然.

（3）實數a的絕對值表示為｜a｜，正實數的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負實數的絕對值是它的相反數.

Ⅶ 實數的概念是什麼

實數是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是唯一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

(7)實數是什麼擴展閱讀：

實數可實現的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數（即正數和0）還可以進行開方運算。實數加、減、乘、除（除數不為零）、平方後結果還是實數。任何實數都可以開奇次方，結果仍是實數，只有非負實數，才能開偶次方其結果還是實數。

整數和小數的集合也是實數，而整數和分數統稱有理數，小數分為有限小數，無限循環小數，無限不循環小數（即無理數），其中有限小數和無限循環小數均能化為分數，所以小數即為分數和無理數的集合，加上整數，即為整數-分數-無理數，也就是有理數-無理數，即實數。

Ⅷ 什麼是實數求舉例子，全面點

有理數：有限小數或無限循環小數，如 2，5.3，1/7 ，等
無理數：無限不循環小數，如 π，√2 ，等
有理數與無理數統稱實數。

Ⅸ 實數是什麼

實數，是有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

所有實數的集合則可稱為實數系或實數連續統。任何一個完備的阿基米德有序域均可稱為實數系。在保序同構意義下它是惟一的，常用R表示。由於R是定義了算數運算的運算系統，故有實數系這個名稱。

(9)實數是什麼擴展閱讀：

實數集是不可數的，也就是說，實數的個數嚴格多於自然數的個數（盡管兩者都是無窮大）。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。

由於實數集中只有可數集個數的元素可能是代數數，絕大多數實數是超越數。實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集的勢且嚴格小於實數集的勢的集合，這就是連續統假設。

事實上這假設獨立於ZFC集合論，在ZFC集合論內既不能證明它，也不能推出其否定。

Ⅹ 實數是指什麼

實數指有理數和無理數的總稱。數學上，實數定義為與數軸上點相對應的數。實數可以直觀地看作有限小數與無限小數，實數和數軸上的點一一對應。但僅僅以列舉的方式不能描述實數的整體。實數和虛數共同構成復數。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類。實數集通常用黑正體字母R表示。R表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實數理論的核心研究對象。

發展歷史：

在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們認識到有理數在幾何上不能滿足需要，但畢達哥拉斯本身並不承認無理數的存在。直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。

根據日常經驗，有理數集在數軸上似乎是「稠密」的，於是古人一直認為用有理數即能滿足測量上的實際需要。以邊長為1厘米的正方形為例，其對角線有多長？在規定的精度下（比如誤差小於0.001厘米），總可以用有理數來表示足夠精確的測量結果（比如1.414厘米）。

但是，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家發現，只使用有理數無法完全精確地表示這條對角線的長度，這徹底地打擊了他們的數學理念，他們原以為：任何兩條線段（的長度）的比，可以用自然數的比來表示。

正因如此，畢達哥拉斯本人甚至有「萬物皆數」的信念，而由自然數的比就得到所有正有理數，而有理數集存在「縫隙」這一事實，對當時很多數學家來說可謂極大的打擊（見第一次數學危機）。

從古希臘一直到17世紀，數學家們才慢慢接受無理數的存在，並把它和有理數平等地看作數；後來有虛數概念的引入，為加以區別而稱作「實數」，意即「實在的數」。

在當時，盡管虛數已經出現並廣為使用，實數的嚴格定義卻仍然是個難題，以至函數、極限和收斂性的概念都被定義清楚之後，才由十九世紀末的戴德金、康托等人對實數進行了嚴格處理。

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