如何淺顯地理解不動點

❶ 不動點定理的本質是什麼

這好像是我在高中的時候學過的一點東西，現在也記得不大清楚了。但是不動點就是滿足F（x）= x的點。可以理解為圖像y=F（x）與圖像Y=x的交點。這樣或許更好理解。
不知道這是不是你要的答案。如果不是，可以追問。
謝謝！

❷ 如何理解數列遞推中的不動點法 不是解法...想要理解令F(X)=X.

不知樓主是否知道「蛛網工作法」,如果把數列理解為一個離散動力系統系統的話,蛛網工作法就揭示了不動點的意義,蛛網工作法實際上是一種作圖方法,如果樓主想詳細了解的話可以去看看介紹動力系統方面的書.

❸ 不動點的原理

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x
不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

❹ 如何理解不動點定理

不動點就是滿足F（x）= x的點。可以理解為圖像y=F（x）與圖像Y=x的交點。

證明： 設φ： X → D是X到n維閉單位球的同胚映射， ψ： D → X為其逆映射 (也是同胚映射)。

由f： X → X連續， 可知g = φ·f·ψ： D → D連續。

根據Brouwer不動點定理， g在D中存在不動點， 不妨設y ∈ D滿足g(y) = y， 即φ·f·ψ(y) = y。

由ψ為φ的逆映射， 有ψ(y) = ψ·φ·f·ψ(y) = f(ψ(y))。

即x = ψ(y) ∈ X為f的不動點。

❺ f(x)=x的根是f(x)的不動點,怎麼理解這句話,它的幾何意義是什麼

不動點
函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點。例如，定義在實數上的函數f，
f(x) = x2 -3x + 4，
則2 是函數f的一個不動點，因為 f (2) = 2。
也不是每一個函數都具有不動點。例如 f(x) = x + 1就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於x + 1。用畫圖來說，不動點意味著點 (x,f(x)) 在直線y = x上，或者換句話說，函數f的圖像與那根直線有共點。這個例子的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。

不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：
完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。
用初等數學可以這么理解：
連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x

不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。

假設X是拓撲空間， f: : X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x) = x, 就稱x是不動點。

❻ 介紹函數不動點

函數的不動點，在數學中是指被這個函數映射到其自身一個點
不動點原理
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或Banach不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點
不動點應用
1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）
2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）
5 求解一階遞歸數列的極限

❼ 通俗地講解數列遞推中不動點法的原理和用法，最好有例子，謝謝 思考到哪步

數列遞推中不動點法的原理和用法，

❽ 什麼是不動點

動點，是一個函數術語，在數學中是指「被這個函數映射到其自身一個點」。
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x 不動點的概念可以推廣到一般的拓撲空間上。 假設X是拓撲空間， f:X→X是一個連續映射， 且存在x∈X， 使得f(x)=x, 就稱x是不動點。

❾ 什麼是不動點原理 還有 Brouwer 不動點定理，不動點法，不動點的運用，證明

好像是滿足f(x)=x的點，這個好像用於求近似解什麼的。
網上是這么寫的：
布勞威爾不動點定理得名於荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾（英語：L. E. J. Brouwer）。布勞威爾不動點定理說明：對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x0，使得f(x0) = x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數f。而更為廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。
數列中，A1=1,A2=2, A(n+2)=-A(n+1)+2An （A後的括弧代表下標）求An通項

這道體我當時記了個方法：原式變形後 A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝為公比-2的數列；｛A(n+1)+2An｝為公比1的數列
然後聯立 解出來

上述方法，應該說是特徵根法和不動點法。
特徵根：
對於多個連續項的遞推式（不含常數項），可化為X的(n-1)次方程.
即：a0*An+a1*An+1+a2*An+2+...ak*An+k可寫為：
a0+a1x+a2x^2+...akx^(k-1)=0
然後求出根（實根虛根都可以），不同項寫成C*x^(n-1),相同項寫成關於n的整式，有多少同根，n的次數就是同根數減1，比如求出x1=2,x2=3,x3=3,x4=6,x5=3,通項就是：a*2^(n-1)+b*6^(n-1)+3*(cn^2+bn+d),其中abcde都是待定系數，要靠已知項聯立方程求解。

不動點：
比如：已知a1=1,且a(n+1)=1+2/an (n大於等於1),求an
a(n+1)=(an+2)/an(*)
令an=x,a(n+1)=x
x=(x+2)/x
x^2-x-2=0
x1=2,x2=-1
{(an-2)/(an+1)}為等比數列
令(an-2)/(an+1)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-2)/(a(n+1)+1)]/[(an-2)/(an+1)]
(將a(n+1)用*式換成an)
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-2)/(an+1)
an=[2+(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1

註：形如：a(n+1)=(Aan+B)/(Can+D)，A,C不為0的分式遞推式都可用不動點法求。讓a(n+1)=an=x，代入化為關於x的二次方程
(1)若兩根x1不等於x2，有{(an-x1)/(an-x2)}為等比數列，公比由兩項商求出
(2)若兩根x1等於x2，有{1/(an-x1)}為等差數列，公差由兩項差求出
若無解，就只有再找其他方法了。
並且不動點一般只用於分式型上下都是一次的情況，如果有二次可能就不行了。
當你打開地圖，找到你所在的位置，也許你不知道，但是你驗證了一個數學中重要的定理——「不動點原理」中的「壓縮影像定理」。如果你的地圖還很不規則，嚴重的變形，那麼你還做了數學家認為很困難的事—在復雜的情況下，找到了不動點。

解方程無疑是數學中非常重要的問題，諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，這些方程都能改寫成ƒ(x)=x形式，這就是不動點原理，數學家證明了很多不動點存在定理，但是具體找到不動點，除了特殊情況，依然是十分困難的事情。

不動點原理有很多種形式，涉及到很多數學分支，有關科普性的介紹可以參見【1】，【2】，在此我們不展開詳細討論。

不動點原理有著很直觀的幾何意義，本文我們通過幾個例子，試圖使大家對不動點原理抽象的概念有一個直觀的理解。
不動點例子：
例一

假設你有一把精確的理想米尺A、將A縮小為B（不要求均勻按比例），再任意的放到A上，這時在相同的位置上，A與B刻度很可能不同，例如B的10cm也許在A的15cm上。但是，不動點原理告訴我們，B上必有一點，在A，B上有相同的刻度，即所謂的「不動點」。用數學語言描述這一過程：如果一條線段經過連續變換F，但其每個點仍然在這個線段上，也就是F(A)包含在A中，則必有一點位置c不變，即F(c)=c。

如果是按比例縮小，我們可以用幾何方法很容易證明這一命題【3，p136】。對一般情況，我們可以這樣直觀的證明：

設A的參數是t，壓縮變換F: A→B（A包含B），假設F可微分，v=dF/dt。想像兩只螞蟻a、b分別在A，B的起始端向終端爬行，a以速度1勻速運動，b以速度v（變速）運動，則a，b在相同的時刻分別在A，B的相同刻度上，直觀的看，必有某個時刻T，a，b相遇，相遇的點就是「不動點」。

（但是要是具體找出這個點，隨著F的復雜性會變得很困難。）

例二

我們再看二維的情景：將地圖A，例如中國地圖，縮小（不要求均勻按比例）後記為B，將B任意地放到原圖A上，地圖B的每一個點在A上都有了新的位置，也許B的北京在A的上海位置，南京在成都位置。但不動點原理告訴我們：B上必有一個點位置沒有動，即該點在兩張地圖A、B上表示相同的位置。

如果按比例縮小，我們可以用平面幾何（不很容易）證明【3，p138】。對一般情況，這個例子我們很難給出一個簡單直觀的證明（如果學過區間套定理，可以利用該定理證明，證明思路可參考後面列舉的一段微博對話），但我們可以給出一個很直觀的解釋：

想像你有一台精確的理想GPS，但是屏幕嚴重變形，如此，屏幕上顯示一個變形且縮小的中國地圖。如果我們把中國國土看作一個大的地圖A，GPS屏幕上的地圖看作這個地圖的縮小B，那麼屏幕上顯示你當前位置的點就是這個所謂的「不動點」。

事實上，當你用地圖查找你所處的位置，就是尋找不動點（附近）的過程，假若你的地圖又很不規則，那麼你正在做一件數學上很困難的事情，找到不動點（附近）。

例三

再看三維的例子：我們把一塊理想的蛋糕A從各個方向（不一定各向均勻）壓縮成B，並在A內部任意移動，則不動點原理告訴我們：蛋糕中必有一個點沒有位移，即不動點。

類似例二，直觀上，我們可以這樣理解：

把中國國土連同1000米上空看作一個大的蛋糕，假設你有一台未來的三維精確理想的GPS，而且假設你在空中懸浮（坐飛機，熱氣球？），你可以想像這個三維的GPS就是那個壓縮後的蛋糕，這個GPS顯示的你當前位置就是這個不動點。

看過上述3個例子，我們可以發現它們只是同一個問題在一、二、三維空間的直觀描述。在這個過程中「圖像壓縮」了，因而，這一現象在數學中稱作 「壓縮影像定理」，它是諸多「不動點原理」中的一個，「壓縮影像定理」有更一般的表述方式【1】，【2】。

微博上曾有一個關於壓縮影像的有趣的對話：
實際上這段對話描述的就是壓縮影像定理的證明思路。你可以類似的證明壓縮影像定理，設壓縮的函數表達為F，即F：A→A，B=B(1)=F(A)，B(n)=F(B(n-1))，如果F類似我們上述三個例子的條件，則B(n)收斂，其極限就是我們要求的不動點。

下面我們再看一個很不直觀的例子，及一個有趣，但有些不可思議的推論。

例四

數學家總是充滿好奇，總是試圖討論更廣泛的問題。按照這個思維定勢，下面很自然會問，球面上會如何？球面由於其空間的結構不同，問題要復雜得多，我們有如下結論：

Brouwer定理：設F是（2維）球面到球面自身的連續映射，則必有一個點c，使得F(c)=c 或者 –c。即F或者有一個不動點，或者有一個點映射到其對徑點（過c的直徑在球面上連接的另一個點）。

這個命題證明很復雜，需要用到代數拓撲理論，即使直觀理解起來也很困難（至少我沒有辦法像前面的例子那樣去直觀的描述）。但是，利用這個命題，數學家（不是氣象學家）可以得到一個很有趣，又很不直觀的斷言：任何時刻，地球上總有一點不刮風（水平方向風速為零）。

這個斷言看起來與Brouwer定理風馬牛不相干，但證明並不難。我們可以用反證法這樣證明這個斷言：

為了方便起見，不妨假設地球是單位球面（半徑為1），球面上的點可以看作單位向量，而球面到球面的映射可以看作單位向量間的映射。假設在某一時刻，地球任何一點x的風速V(x)（水平方向向量）都不為零，那麼向量V(x)與圓心o到點x的向量ox垂直，而V(x)/ |V(x)|，其中|V(x)|為向量V(x)的長度，可以看作（單位）球面上的點，且與ox垂直。於是我們可以構造一個（單位）球面到自身的映射F：ox→V(x)/ |V(x)|。不難看出該映射把向量ox映射到與其垂直的向量，所以既不是其自身，也不是其對徑點-ox，而這與Brouwer定理矛盾。因而，假設不成立，所以在任一時刻地球上必有一點沒有風。

更一般的，對所有偶數維球面上述Brouwer定理，及我們的斷言仍然成立。

但是對奇數維球面上述命題並不成立，Brouwer定理有更為復雜的形式。

對奇數維球面，我們可以利用線性代數構造一個反例：

用一個偶數2n階的沒有實特徵根的正交矩陣O，自然作用在2n維歐氏空間上，它將奇數2n-1維單位球面變換到自身，易證：不存在這樣的點，在O的作用下，不動（特徵根為1的特徵向量），或者變為對徑點（特徵根為-1的特徵向量）。

註： Brouwer定理在有些科普書以及網上（如：【1】、【3】）錯誤的表述為：設F是球面到球面自身的連續映射，則必有一個點使得F(x)=x，即有不動點。

註：作為慣例，一般中文數學教科書或數學論文為了避免混淆，句號不使用「。」，而是用英文句號「.」，本文作為科普文章，沒有沿襲這個慣例。
比較亂，因為我也很無知....