數學三階幻方怎麼填

A. 三階幻方的規律

Merzirac法生成奇階幻方

Merzirac法的口訣：

1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重復便在下格填，出角重復一個樣。用Merziral法生成的任何階的奇幻方。

下面（如圖）是用Merziral法生成1-9的3階幻方（即九宮格）：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

3階幻方不止這一種填法，只要間1放於四個變格的正中，向幻方外側依次斜填其餘數字；若出邊，將數字另一側；若目標格已有數字或出角，回一步填寫數字，再繼續按一開始的相同方向依次斜填其餘數字。

3階幻方的填法如下8種：

【3階幻方有且只有一個基本解，其餘的7種形式是基本解的同解異構，是基本解旋轉和鏡像（翻面）而得】

第一種：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

第二種：

6 1 8

7 5 3

2 9 4

第三種：

4 9 2

3 5 7

8 1 6

第四種：

2 9 4

7 5 3

6 1 8

第五種：

6 7 2

1 5 9

8 3 4

第六種：

8 3 4

1 5 9

6 7 2

第七種：

2 7 6

9 5 1

4 3 8

第八種：

4 3 8

9 5 1

2 7 6

3階幻方的性質：

下面是用1-9構成的3階幻方：

8 1 6

3 5 7

4 9 2

幻和值=15。

性質一：幻和值=3×5（3×中心格數）；

證明方法：主對角線+副對角線+中間行=3×幻和值（N），

變式得：第一列+第三列+3×中心格數=3N，即，2N+3×中心格數=3N，

解得：N=3×中心格數。

性質二：2×8=9+7，2×4=1+7，2×6=3+9，2×2=1+3；即：2×角格的數=非相鄰的2個邊格數之和。

證明方法：如左上角的數為例，第一行的和+副對角線的和=第二列的和 +第三列的和，

等式兩邊消去相同項，得：2×左上角的數=非相鄰的2個邊格數之和。

其餘角格數的證明方法類似。

性質三：以中心對稱的2個數相加的和相等，這2個數的和值=2×中心格數。

證明方法：兩條對角線之和=一、三行（列）之和，

消去相同項，證得：2×中心格數=對稱的兩邊格之和。

一、三行（列）之和=中間列（行）+一條對角線，

消去相同項，證得：2×中心格數=對稱的兩角格之和。

推論（由性質三）：以中心對稱的2個數同為偶數或同為奇數；

推論（由性質二、三）：幻方4個邊格數同為偶數或同為奇數。

性質四：幻方的每個數乘以A（A≠0），再加X，幻方亦成立。

例如把1-9構成的3階幻方的每個數乘以3，再加3：

27 6 21

12 18 24

15 30 9

幻和值=54

性質五：將組成幻方的三組數（如：1-9組成的幻方為【1、2、3】【4、5、6】【7、8、9】這三組）乘以A（A≠0），再分別加X、Y、Z（X、Y、Z為等差的數），幻方亦成立。

也就是3個一組的數，組與組等差，每組數與數等差，這樣的數能構成3階幻方。

例如以下3組9個數：

【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】構成幻方，

26 2 17

6 15 24

13 28 4

幻和值=45。

B. 三階幻方有幾種填法

一種，把他做鏡像，根據方位的不同，可以變成其它形式，一共有8種。

C. 三階幻方怎麼解

幻方是一種廣為流傳的數學游戲，據說早在大禹治水時就發現過。幻方的特點是：由自然數構成n×n正方形陣列，稱為n階幻方，每一行、每一列、兩對角線上的數之和相等。

羅伯法的具體方法如下：

把1(或最小的數)放在第一行正中； 按以下規律排列剩下的n2-1個數： 1)每一個數放在前一個數的右上一格； 2)如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行。

仍然要放在右一列； 3)如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4)。

如果這個數所要放的格已經超出了頂行且超出了最右列那麼就把它放在前一個數的下一行同一列的格內； 5)如果這個數所要放的格已經有數填入，處理方法同4)。

(3)數學三階幻方怎麼填擴展閱讀

想：1 9=10，2 8=10，3 7=10，4 6=10。這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。

先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格里已不可再填奇數，不行。若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。

因此，判定四個角上必須填兩對偶數。對角線上的數填好後，其餘格里再填奇數就很容易了。解上面是最簡單的幻方，也叫三階幻方。相傳，大禹治水時，洛水中出現了一個「神龜」背上有美妙的圖案，史稱「洛書」。

用現在的數字翻譯出來，就是三階幻方。南宋數學家楊輝概括其構造方法為：「九子斜排。上下對易，左右相更。四維挺出。」

D. 三階幻方的填法

它要求在階數乘以階數組成的一個正方形內填入連續的數，使各行、各列、對角線加起來的數都相等。如三階幻方即在3乘以3這樣的一個正方形里填入1至9使各行各列都相等
宮格只要不是2和6的都可以填出！！！
奇階幻方

當n為奇數時，我們稱幻方為奇階幻方。可以用Merzirac法與loubere法實現，根據我的研究，發現用國際象棋之馬步也可構造出更為神奇的奇幻方，故命名為horse法。

偶階幻方

當n為偶數時，我們稱幻方為偶階幻方。當n可以被4整除時，我們稱該偶階幻方為雙偶幻方；當n不可被4整除時，我們稱該偶階幻方為單偶幻方。可用了Hire法、Strachey以及YinMagic將其實現，Strachey為單偶模型，我對雙偶（4m階）進行了重新修改，製作了另一個可行的數學模型，稱之為Spring。YinMagic是我於2002年設計的模型，他可以生成任意的偶階幻方。

在填幻方前我們做如下約定：如填定數字超出幻方格範圍，則把幻方看成是可以無限伸展的圖形，如下圖：

Merzirac法生成奇階幻方

在第一行居中的方格內放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有數字，則向下移一格繼續填寫。如下圖用Merziral法生成的5階幻方：

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

loubere法生成奇階幻方

在居中的方格向上一格內放1，依次向左上方填入2、3、4…，如果左上方已有數字，則向上移兩格繼續填寫。如下圖用Louberel法生成的7階幻方：

30 39 48 1 10 19 28

38 47 7 9 18 27 29

46 6 8 17 26 35 37

5 14 16 25 34 36 45

13 15 24 33 42 44 4

21 23 32 41 43 3 12

22 31 40 49 2 11 20

horse法生成奇階幻方

先在任意一格內放入1。向左走1步，並下走2步放入2(稱為馬步)，向左走1步，並下走2步放入3，依次類推放到n。在n的下方放入n+1（稱為跳步），再按上述方法放置到2n，在2n的下邊放入2n+1。如下圖用Horse法生成的5階幻方：

77 58 39 20 1 72 53 34 15

6 68 49 30 11 73 63 44 25

16 78 59 40 21 2 64 54 35

26 7 69 50 31 12 74 55 45

36 17 79 60 41 22 3 65 46

37 27 8 70 51 32 13 75 56

47 28 18 80 61 42 23 4 66

57 38 19 9 71 52 33 14 76

67 48 29 10 81 62 43 24 5

一般的，令矩陣[1,1]為向右走一步，向上走一步，[-1,0]為向左走一步。則馬步可以表示為2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。對於2X+Y相應的跳步可以為2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方為魔鬼幻方。

Hire法生成偶階幻方

將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內的數字記為a(i,j)。在A內兩對角線上填寫1、2、3、……、n，各行再填寫1、2、3、……、n，使各行各列數字之和為n*(n+1)/2。填寫方法為:第1行從n到1填寫，從第2行到第n/2行按從1到進行填寫(第2行第1列填n，第2行第n列填1)，從第n/2+1到第n行按n到1進行填寫，對角線的方格內數字不變。如下所示為6階填寫方法：

1 5 4 3 2 6

6 2 3 4 5 1

1 2 3 4 5 6

6 5 3 4 2 1

6 2 4 3 5 1

1 5 4 3 2 6

如下所示為8階填寫方法（轉置以後）：

1 8 1 1 8 8 8 1

7 2 2 2 7 7 2 7

6 3 3 3 6 3 6 6

5 4 4 4 4 5 5 5

4 5 5 5 5 4 4 4

3 6 6 6 3 6 3 3

2 7 7 7 2 2 7 2

8 1 8 8 1 1 1 8

將A上所有數字分別按如下演算法計算，得到B，其中b(i,j)=n×（a(i,j)－1）。則AT＋B為目標幻方

（AT為A的轉置矩陣）。如下圖用Hire法生成的8階幻方：

1 63 6 5 60 59 58 8

56 10 11 12 53 54 15 49

41 18 19 20 45 22 47 48

33 26 27 28 29 38 39 40

32 39 38 36 37 27 26 25

24 47 43 45 20 46 18 17

16 50 54 53 12 11 55 9

57 7 62 61 4 3 2 64

Strachey法生成單偶幻方

將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m+1階奇數幻方。

A C

D B

A用1至2m+1填寫成(2m+1)2階幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填寫成2m+1階幻方；在A中間一行取m個小格，其他行左側邊緣取m-1列，將其與D相應方格內交換；B與C接近右側m-1列相互交換。如下圖用Strachey法生成的6階幻方：

35 1 6 26 19 24

3 32 7 21 23 25

31 9 2 22 27 20

8 28 33 17 10 15

30 5 34 12 14 16

4 36 29 13 18 11

Spring法生成以偶幻方

將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內的數字記為a(i,j)。

先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行從左到可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之後進行對角交換。對角交換有兩種方法：

方法一；將左上區域i+j為偶數的與幻方內以中心點為對稱點的右下角對角數字進行交換；將右上區域i+j為奇數的與幻方內以中心點為對稱點的左下角對角數字進行交換。（保證不同時為奇或偶即可。）

方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上的方格內數字與n階幻方內以中心點為對稱點的對角數字進行交換。

如下圖用Spring法生成的4階幻方：

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

YinMagic構造偶階幻方

先構造n-2幻方，之後將其中的數字全部加上2n-2，放於n階幻方中間，再用本方法將邊緣數字填寫完畢。本方法適用於n>4的所有幻方，我於2002年12月31日構造的數學模型。YinMagic法可生成6階以上的偶幻方。如下圖用YinMagic法生成的6階幻方：

10 1 34 33 5 28

29 23 22 11 18 8

30 12 17 24 21 7

2 26 19 14 15 35

31 13 16 25 20 6

9 36 3 4 32 27

魔鬼幻方

如將幻方看成是無限伸展的圖形，則任何一個相鄰的n*n方格內的數字都可以組成一個幻方。則稱該幻方為魔鬼幻方。

用我研究的Horse法構造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因為對於任意四個在兩行兩列上的數字，他們的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。

15 10 3 6

4 5 16 9

14 11 2 7

1 8 13 12

E. 2,3,4,5,6,7,8,9,10構造成一個三階幻方怎麼構造

三階幻方九宮數，一行中間最小數，二行中央中位數，三行最右二小數(第二小的數簡稱二小數)，幻和中位三倍數(幻和是中位數的三倍)，由此推出空格數。

例如，用2、3、4、5、6、7、8、9、10這九個數製作一個三階幻方。 2最小，2填在三階幻方第一行中間位置。 6是從小到大的中位數，6填在三階幻方第二行中間位置，即三階幻方的中心位置。

3是第二小的數，3填在三階幻方第三行最右的位置。幻和是中位數6的3倍，即為18。由幻和是18推出其他空格位置的數。如第一行第一列的數為18－6－3=9；其他幾個數都可一一推出。

(5)數學三階幻方怎麼填擴展閱讀：

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格里已不可再填奇數，不行。

若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。因此，判定四個角上必須填兩對偶數。對角線上的數填好後，其餘格里再填奇數就很容易了。

F. 三階幻方的規律口訣是什麼

口訣：

一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重復便在下格填，出角重復一個樣。

居上行正中央——數字 1 放在首行最中間的格子中；

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入數字；

上出框界往下寫——如果右上方向出了上邊界，就以出框後的虛擬方格位置為基準，將數字豎直降落至底行對應的格子中。

(6)數學三階幻方怎麼填擴展閱讀

規律

以下規律對所有三階幻方均成立：

幻和=3×中心數：

證明：

通過中心數有4條線。將這4條線全部加起來，可以得到：

幻和×4=全體數的和+中心數×3。

而我們知道三階幻方中，全體數的和=3×幻和（三行或三列）。

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心數×3。

化簡得到：

幻和=3×中心數。

G. 3階幻方的填法

南宋時期的楊輝給出了三階幻方的一個製法:"九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出。"

把九個數按一定順序排列成3×3的方陣，只要每一行、每一列以及對角線上的三個數都成等差數列，用這九個數就能組成三階幻方。如2、4、6、7、9、11、12、14、16這九個數。

一、九子斜排:

這個幻方的定數是

(2+4+6+……+16)÷3=27

還有別的製法。

請參閱本人在網路文庫發表的文章《幻方》。

H. 三階幻方的口訣

口訣：

一居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重復便在下格填，出角重復一個樣。

居上行正中央——數字 1 放在首行最中間的格子中；

依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入數字；

上出框界往下寫——如果右上方向出了上邊界，就以出框後的虛擬方格位置為基準，將數字豎直降落至底行對應的格子中；

右出框時左邊放——同上，向右出了邊界，就以出框後的虛擬方格位置為基準，將數字平移至最左列對應的格子中；

重復便在下格填——如果數字｛N｝ 右上的格子已被其它數字佔領，就將｛N＋1｝ 填寫在｛N｝下面的格子中；

出角重復一個樣——如果朝右上角出界，和「重復」的情況做同樣處理。

幻方是一種將數字安排在正方形格子中，使每行、列和對角線上的數字和都相等的方法。

在我國，幻方最早見於河圖洛書。相傳，上古伏羲氏時，洛陽東北孟津縣境內的黃河中浮出龍馬，背負"河圖"，獻給伏羲。伏羲依此而演成八卦，後為《周易》來源。

又相傳，大禹時，洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱"洛書"，獻給大禹。大禹依此治水成功，遂劃天下為九州。又依此定九章大法，治理社會，流傳下來收入《尚書》中，名《洪範》。《易·系辭上》說："河出圖，洛出書，聖人則之"，就是指這兩件事。

(8)數學三階幻方怎麼填擴展閱讀

規律

以下規律對所有三階幻方均成立：

1、幻和=3×中心數

證明：

通過中心數有4條線。將這4條線全部加起來，可以得到：

幻和×4=全體數的和+中心數×3

而我們知道三階幻方中，全體數的和=3×幻和（三行或三列）

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心數×3

化簡得到：

幻和=3×中心數

2、過中心的線上的三個數，依次成等差數列。或者說，關於中心位置對稱的兩數，平均數是中心數。

證明：

過中心線的三個數之和為幻和。性質1已經說明，幻和=3×中心數。

因此中心數是這三個數的平均數。

從這之中去掉中心數不改變平均數。

因此中心數是關於中心位置對稱的兩數。

也就是一個數比中心數多多少，另一個數就比中心數少多少。即他們成等差數列。

I. 3階幻方的解法

方法一：口訣法
Merzirac法生成奇階幻方口訣：（適用於所有奇階幻方，3×3，5×5等。）
【1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下寫，右出框時左邊放，重復便在下格填，出角重復一個樣。】
3階幻方是奇階幻方，依口訣填寫，如下圖：

其它數組方法雷同。

J. 三階幻方怎麼填

1居上橫正中央（最小的數在第一排中間）
依次斜填莫相忘（2填在右上方）
上出框時往下填（然後2從右上方落到右下角）
右出框時往左填（3填到二排框外，移到最左邊的框里）
排重便往下格填(4跟1排重就到三下面)
右上排重一個樣（7出了框到六下面）
答案：8 1 6
3 5 7
4 9 2