為什麼集合論是數學的基礎

A. 集合論真的是數學基礎嗎

我想，如果從正面說明集合論是不是數學的基礎，這個問題很不容易

既然是一個數學問題，那麼參照數學的思考方法：「正難則反」，我們盡量大的范圍找到數學的各個分支，尋找不以集合論為基礎的例子，

• 假如基本都以集合論展開發展，那麼我們就可以基本得出「集合論是數學的基礎」；
• 假如有一兩個特例，那麼，需要考慮我們語言表達的模糊性，分清主次，可能仍然認為「集合論是數學的基礎」；
• 假如得到大部分例子，大部分數學分支都和集合論沒關系，那麼自然說明「集合論不是數學的基礎」；

然後，我們拿一些數學的常見分支和集合論之間的關系來說明，那麼可以比較清晰呈現集合論在數學上的基礎地位。

所以遵照上述思路，我們把這個話題轉化為討論「為什麼說集合論是數學的基礎？」
（注意，此處符合轉化的數學思想）

那麼，我們秉持上述的思路，我們把數學的有限的幾十個重要分支和集合論進行關聯比對。
這部分，更多的需要資料性的搬運（此處省略10000字）。
最後，我們會得到結論：

集合論為是現代數學的基礎

當然，這么重大的結論，我是不敢下的，這是來自《高等數學》的結論。但是，我覺得我能接受。

另外，引用偉大的數學家希爾伯特的名言：

只要一門科學分支能提出超多的問題，它就充滿著性命力，而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡。

集合論直接參與了一次數學危機，「提出超多的問題」，「充滿生命力」。

另一方面，集合論的締造者「康托爾」也曾在爭議中進了精神病院，可見，「集合論」的出現是一件多麼「爆炸性」的成就。

大家覺得呢？

B. 微積分是近代數學的基礎，而集合論是現代數學的基礎，那能不能說論數學界的地位，康托爾能和牛頓比肩

格奧爾格·康托爾（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德國數學家，集合論的創始人
艾薩克·牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，網路全書式的「全才」，著有《自然哲學的數學原理》、《光學》。
他在1687年發表的論文《自然定律》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為了現代工程學的基礎。他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，並推動了科學革命。
在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恆的原理，提出牛頓運動定律 [1] 。在光學上，他發明了反射望遠鏡，並基於對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察，發展出了顏色理論。他還系統地表述了冷卻定律，並研究了音速。
在數學上，牛頓與戈特弗里德·威廉·萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了「牛頓法」以趨近函數的零點，並為冪級數的研究做出了貢獻
明顯不是一個時代的人無法相比，但個人認為牛頓的貢獻比較大，因為對物理還有貢獻

C. "一切數學成果可建立在集合論基礎上"什麼意思

1900年前後,在數學的集合論中出現了三個著名悖論，理發師悖論就是羅素悖論的一種通俗表達方式。此外還有康托爾悖論、布拉利—福爾蒂悖論。這些悖論特別是羅素悖論，在當時的數學界與邏輯界內引起了極大震動。觸發了數學的第三次危機。
讓我們先了解下什麼是悖論。悖論(paradox)來自希臘語「para+dokein」，意思是「多想一想」。這個詞的意義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經驗相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。 悖論是自相矛盾的命題。即如果承認這個命題成立，就可推出它的否定命題成立；反之，如果承認這個命題的否定命題成立，又可推出這個命題成立 如果承認它是真的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是假的；如果承認它是假的，經過一系列正確的推理，卻又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的注意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
悖論有三種主要形式：
1．一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）。
2．一種論斷看起來 好像肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）。
3．一系列推理看起來好像無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。
把所有集合分為2類，第一類中的集合以其自身為元素，第二類中的集合不以自身為元素，假令第一類集合所組成的集合為P，第二類所組成的集合為Q，於是有：
P={A∣A∈A}
Q={A∣A￠A}（￠：不屬於的符號，因為實在找不到）
問，Q∈P 還是 Q∈Q？
這就是著名的「羅素悖論」。羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理發師悖論等。

十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。 「一切數學成果可建立在集合論基礎上」 這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」
可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道：「一個科學家所碰到的最倒霉的事，莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。」
1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成為它們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年羅素提出的理發師故事反映的悖論，它極為簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次「數學危機」。
羅素的悖論發表之後，接著又發現一系列悖論（後來歸入所謂語義悖論）：

D. 集合論是數學上最具革命性的理論 為什麼

思維的法則和數學的定律並不屬於任意的虛構, 而是固有的而且可以認識的。集合論誕生是充滿艱辛的, 他是康托慘淡經營終生的產物。在那對集合論充滿排斥和敵意的環境里, 康托為捍衛他自己所創造的超限數和集合論進行了長期的戰斗, 數學無窮的革命幾乎是由他一人完成的。他對自己的理論充滿自信, 堅信時間會證明一切。但康托的斗爭並不是很徹底的, 在某些方面也表現出對唯心主義和宗教的調和, 而這些又都是與康托獨特的個性與哲學思想中深刻的宗教根源有直接的聯系的。康托在超常沉重的精神壓力下, 飽受了精神病的折磨。他一生篤宗教, 至死都把自己當作上帝的使者, 上帝是他力量的源泉, 也是他理論必然性的最終保證。正是這種不可動搖的信念給了他面對數學史上前所未有的激烈風暴的勇氣, 去堅定地捍衛他的超窮集合論, 使其在充滿懷疑和排斥的氣氛中得以生存, 並最終使超窮集合論成為二十世紀科學思想史上最富生命力的偉大創舉。所以說，集合論是數學上最具革命性的理論，也是康託人生智慧的結晶！

E. 為什麼集合是現代數學的基本概念

用集合可以定義自然數（Piano），自然數是後續研究的基礎
推薦你看看菲赫金哥里茨（俄）的微積分學教程（集合運用）
有些東西，學到後面才能真正的理解，這個道理以後你就明白了

如果你真的要認真，去（如：數學資源網）下一個集合論吧
這就像你不讀相對論書沒法給你解釋相對論是什麼一樣，它是理論，不是一個概念

F. 集合是現代數學的重要分支之一,也是現代數學的理論基礎,它主要是由德國數學家康托

集合是現代數學的重要分支之一,也是現代數學的理論基礎,它主要是由德國數學家康托
爾創立的.發展至今,已成為了一門比較完善的學科,它貫穿於中學數學的整個體系.從集合論的觀點看,集合論高度的概括了中學數學的內容,因此能更好的從總體上把握中學數學的研究對象.用集合論的語言來表述有關概念,使其更為簡潔,明了.同時,集合論的思想對解題也具有指導作用.
Collection is an important branch of modern mathematics,and is also the theoretical basis of modern mathematics,it is mainly by the German mathematician Cantor
Seoul created.Development so far,has become a more perfect discipline,which runs through the entire system of mathematics in secondary schools.From the point of view of set theory,set theory of summary of the high content of secondary school mathematics,so they can better grasp the overall study of mathematics in secondary schools.Set the language used to express the concept,make it more concise and clear.At the same time,the idea of set theory on the problem-solving also has a guiding role.

G. 集合論究竟解決了什麼問題

集合論

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數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中佔有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論或集論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含了集合、元素和成員關系等最基本的數學概念。在大多數現代數學的公式化中，集合論提供了要如何描述數學物件的語言。集合論和邏輯與一階邏輯共同構成了數學的公理化基礎，以未定義的「集合」與「集合成員」等術語來形式化地建構數學物件。

在樸素集合論中，集合被當做一堆物件構成的整體之類的自證概念。

在公理化集合論中，集合和集合成員並不直接被定義，而是先規范可以描述其性質的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成員是有如在歐式幾何中的點和線，而不被直接定義。

中文名：集合論
主條目：集合 (數學)和集合代數
特點：在歐式幾何中而不被直接定義
意義：是整個現代數學的基礎

歷史作用

作用
按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者是可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函數）。從這個意義上說，集合論可以說是整個現代數學的基礎。

H. 集合論有什麼應用 或 意義舉個例子. 我們為什麼要學它

舉個例子：集合論是黎曼積分的基礎.必須先學集合論再探索黎曼積分.
集合論是現代數學中重要的基礎理論.它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門,為這些學科提供了奠基的方法,改變了這些學科的面貌.幾乎可以說,如果沒有集合論的觀點,很難對現代數學獲得一個深刻的理解.所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義,而且對現代數學的發展也有深遠的影響.

I. 集合論為啥是數學的基礎

因為所有的數學理論都是集合論的擴充，簡單地說，就是所有的數學公理都是在集合論公理的基礎上添加額外的公理得來的。

J. 為什麼集合論是現代分析數學的基礎

現代數學是在大學數學基礎上的，像集合論、拓撲學、泛函分析。這些課當然大學也學，但是是個皮毛。你同學這樣說只能說明他不懂。趣味數學，不是一個學科啦