為什麼發生數學危機

⑴ 歷史上的幾次數學危機是由什麼導致的

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。這個學派集宗教、科學和哲學於一體，該學派人數固定，知識保密，所有發明創造都歸於學派領袖。當時人們對有理數的認識還很有限，對於無理數的概念更是一無所知，畢達哥拉斯學派所說的數，原來是指整數，他們不把分數看成一種數，而僅看作兩個整數之比，他們錯誤地認為，宇宙間的一切現象都歸結為整數或整數之比。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是「荒謬」和違反常識的事。它不僅嚴重地違背了畢達哥拉斯學派的信條，也沖擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。
最後，這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。
我認為第一次危機的產生最大的意義導致了無理數地產生，比如說我們現在說的 ， 都無法用 來表示，那麼我們必須引入新的數來刻畫這個問題，這樣無理數便產生了，正是有這種思想，當我們將負數開方時，人們引入了虛數i（虛數的產生導致復變函數等學科的產生，並在現代工程技術上得到廣泛應用），這使我不得不佩服人類的智慧。但我個人認為第一次危機的真正解決在1872年德國數學家對無理數的嚴格定義，因為數學是很強調其嚴格的邏輯與推證性的。

第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。其實我翻了一下有關數學史的資料，微積分的雛形早在古希臘時期就形成了，阿基米德的逼近法實際上已經掌握了無限小分析的基本要素，直到2100年後，牛頓和萊布尼茲開辟了新的天地——微積分。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾．焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？
直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變數，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，另外Weistrass創立了 極限理論，加上實數理論，集合論的建立，從而把無窮小量從形而上學的束縛中解放出來，第二次數學危機基本解決。
而我自己的理解是一個無窮小量，是不是零要看它是運動的還是靜止的，如果是靜止的，我們當然認為它可以看為零；如果是運動的，比如說1/n，我們說 ，但n個1/n相乘就為1，這就不是無窮小量了，當我們遇到 等情況時，我們可以用洛比達法則反復求導來考查極限，也可以用Taylor展式展開後，一階一階的比，我們總會在有限階比出大小。

第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。
我從很早以前就讀過「理發師悖論」，就是一位理發師給不給自己理發的人理發。那麼理發師該不該給自己理發呢？還有大家熟悉的「說謊者悖論」，其大體內容是：一個克里特人說：「所有克里特人說的每一句話都是謊話。」試問這句話是真還是假?從數學上來說，這就是羅素悖論的一個具體例子。
羅素在該悖論中所定義的集合R，被幾乎所有集合論研究者都認為是在樸素集合論中可以合法存在的集合。事實雖是這樣但原因卻又是什麼呢？這是由於R是集合，若R含有自身作為元素，就有R R，那麼從集合的角度就有R R。一個集合真包含它自己，這樣的集合顯然是不存在的。因為既要R有異於R的元素，又要R與R是相同的，這顯然是不可能的。因此，任何集合都必須遵循R R的基本原則， 否則就是不合法的集合。這樣看來，羅素悖論中所定義的一切R R的集合，就應該是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，這就是同類事物包含所有的同類事物，必會引出最大的這類事物。歸根結底，R也就是包含一切集合的「最大的集合」了。因此可以明確了，實質上，羅素悖論就是一個以否定形式陳述的最大集合悖論。
從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組 公理之上，以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個無矛盾的集合論公理系統（即所謂ZF公理系統），這場數學危機到此緩和下來。
現在，我們通過離散數學的學習，知道集合論主要分為Cantor集合論和Axiomatic集合論，集合是先定義了全集I，空集 ，在經過一系列一元和二元運算而得來得。而在七條公理上建立起來的集合論系統避開了羅素悖論，使現代數學得以發展。

⑵ 數學的歷史上，都經歷過什麼樣的危機

三次數學危機

⑶ 數學史上為什麼會出現三次數學危機

我認為出現數學危機的原因，是由於人類對於數學的更深刻認識和更深入思索。從人類開始認識自然數到現在為止，總是在經歷一次次思想斗爭之後才求得數學整體的發展。第三次數學危機關乎到邏輯學和無限集合的概念，可以說是現代數學的基礎，如果悖論不被解決的話，有可能會使現代數學失去它的大部分內容……

⑷ 數學史上的三次數學危機

數學史上的三次數學危機分別發生在公元前5世紀、17世紀、19世紀末，都是發生在西方文化大發展時期。因此，數學危機的發生，都有其一定的文化背景。
這三次數學危機分別是：
第一次：古希臘時代，由於不可公度的線段――無理數的發現與一些直覺的經驗想抵觸而引發的；
第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論後，對無窮小量的理解未及深透引起的；
第三次：是當羅素發現了集合論中的悖論，危及整個數學的基礎而引起的。
三次數學危機盡管當時對數學和哲學都造成了巨大的影響，給當時某個時期造成了某種困境，然而由於一直未妨礙數學的發展與應用。反而在困境過後去，給數學的發展帶來了新的生機。

⑸ 數學史上三次數學危機的時間和原因

第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。
第二次數學shu危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機
第三次數學危機發生在1902年，羅素悖論的產生震撼了整個數學界，號稱天衣無縫，絕對正確的數學出現了自相矛盾。

⑹ 數學史上發生過三次危機，這三次危機是怎麼回事

在數學歷史上，有三次大的危機深刻影響著數學的發展，三次數學危機分別是：無理數的發現、微積分的完備性、羅素悖論。

第一次數學危機

第一次數學危機發生在公元400年前，在古希臘時期，畢達哥拉斯學派對“數”進行了定義，認為任何數字都可以寫成兩個整數之商，也就是認為所有數字都是有理數。

羅素悖論通俗描述為：在某個城市中，有一位名譽滿城的理發師說：“我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。”那麼請問理發師自己的臉該由誰來刮？

羅素悖論的提出，引發了數學上的又一次危機，數學家辛辛苦苦建立的數學大廈，最後發現基礎居然存在缺陷，數學家們紛紛提出自己的解決方案；直到1908年，第一個公理化集合論體系的建立，才彌補了集合論的缺陷。

雖然三次數學危機都已經得到了解決，但是對數學史的影響是非常深刻的，數學家試圖建立嚴格的數學系統，但是無論多麼小心，都會存在缺陷，包括後來發現的哥德爾不完備性定理。

⑺ 每次數學危機都是有什麼問題引起的

第一次數學危機是由不可公度的線段引起的，導致了無理數的產生；第二次數學危機是無窮小悖論，導致了分析的嚴格化；第三次數學危機是羅素悖論，也就是所謂的集合論悖論，指出了集合論基礎的缺陷。

⑻ 產生第二次數學危機的原因主要是什麼

產生第二次數學危機的原因主要是微積分工具的使用。

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲共同發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如反掌。

但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。

其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。

第二次數學危機影響：

這次危機不但沒有阻礙微積分的迅猛發展和廣泛應用，反而讓微積分馳騁在各個科技領域，解決了大量的物理問題、天文問題、數學問題，大大推進了工業革命的發展。

就微積分自身而言，經過本次危機的「洗禮」，其自身得到了不斷的系統化，完整化，擴展出了不同的分支，成為了18世紀數學世界的「霸主」。

⑼ 數學史上三次危機的歷史意義

三次數學危機實質上是西方數學發展過程中矛盾斗爭的結果，也能看出在西方社會，數學的文化精神已經進入到西方社會，是普通民眾所具有的精神。一旦當數學上的問題與社會意識發生矛盾時，便會引起全社會的爭論，進而產生了社會大危機。這些危機的解決只是需要對數學的再認識，再理解，在數學內部用純粹知識就可解決，但是它所折射出的社會文化系統的不同是需要我們中國人給予一定考慮的，為什麼古代中國數學就沒有這樣的危機呢？？？
三次危機一方面促進了數學的發展，另一方面也展示了西方數學在西方社會的文化地位，以及對西方人思維意識的影響。前者只需要數學發展歷程就可看出，而後者是需要我們進一步仔細思考的內容。
希望對樓主能有所幫助！！

⑽ 數學危機有哪些什麼時候發生的

數學危機是數學在發展中種種矛盾， 數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。往往危機的解決，給數學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。

第一次數學危機畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。

第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。

第三次數學危機十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」