數學群的封閉性是什麼

A. 群的四個基本性質是什麼

1、封閉性：群內任意兩個元素或兩個以上的元素（相同的或不同的）的結合（積）都是該集合的一個元素。即假設對於群G操作（運算）是*，對於G里的任意元素a,b，那麼a*b和b*a都必須是G的元素。

2、結合律：雖然群元素不一定要求滿足交換律，但必須滿足結合律，即對G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)。

3、單位元素(幺元)：集合G內存在一個單位元素e，它和集合中任何一個元素的積都等於該元素本身，即對於G中每個元素a都有 e*a=a*e=a。

4、逆元素：對G中每個元素a在G中都有元素a^（-1），使 a^（-1）*a=a*a^(-1)=e。

(1)數學群的封閉性是什麼擴展閱讀：

一、循環群

循環群是—種很重要的群，也是目前已被完全解決了的—類群。其定義為若—個群G的每—個元都是G的某—個固定元a的乘方，則稱G為循環群，記作G=(a)，a稱為G的—個生成元。循環群有無階循環群和有階循環群兩種類型。

二、置換群

n元對稱群的任意一個子群，都叫做一個n元置換群，簡稱置換群。

置換群是最早研究的一類群，是十分重要的群，每個有限的抽象群都與一個置換群同構，也就是說，所有的有限群都可以用它來表示。

由有限集合各元素的置換*所構成的群*。它是一種重要的有限群。

每個代數方程，都有由它的根的置換所形成的置換群存在;伽羅華*利用置換群的性質，給出了方程可用根式求解的充要條件。

由n個元素的集合中各元素的全部置換所構成的群，稱為n階對稱群。討論正n邊形繞中心的對稱，就得到一個對稱群。

B. 數學上的封閉到底是什麼概念

所謂封閉也就是指值域，上面的例子，第一個是x的集合與T或與A~Z字母集合的交集，他們的封閉就是相加後的最小值到最大值，也就是的值域范圍。值域中最小的是0，最大的是zz。第二個·例子最小值是1，而不是2，下面的你應該會分析了吧

C. 數學中，群、環、域、集分別是什麼它們的范圍不同嗎

群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。

環(Ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究對象。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。

域：定義域，值域，數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。

集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合里的「東西」則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。

范圍：

群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為系數的多項式（可以驗證也是環），當然R也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，復數。

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。

另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。

(3)數學群的封閉性是什麼擴展閱讀

群、環、域代數結構：

群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關系的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學對象的多樣性，有不同的類型的集。

如群表示的集為G×G.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空間涉及域F中的運算，域F中的元對V中元的運算，V中元的運算.引入基本概念——「合成」(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的「合成」有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運算)，並且，要求「合成」適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。

事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關系來定義，即用集合及關系的語言來表述。

做為基本概念，若僅僅著眼於「合成」(即「運算」)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。

D. 數學上的群、域、環等有什麼區別和聯系

1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：

①封閉性：a ∗ b is another element in the set

②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)

⑤如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。

2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。一個代數結構是環(R, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。環公理如下：

①(R, +)是交換群

封閉性：a + b is another element in the set

結合律：(a + b) + c = a + (b + c)

單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)

交換律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法對加法滿足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。

由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、復數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、復數域。

E. 數學上的群，域，環等有什麼區別和聯系

（1）群：集合G上定義了二元運算記作「 * 」，滿足以下四個條件:

1. 封閉性。2.結合律。3.含幺。4.有逆。

那麼該集合和二元運算一起構成的代數結構（G，*）稱作一個群。

（2）Abel群：二元運算還滿足交換律的群。所以Abel群也叫做交換群，是一類特殊的群。二元運算記作「 + 」

（3）半群：集合上定義的二元運算，滿足前兩個條件：

1.封閉性。2.結合律。

(群一定是半群，但是半群不一定是群。)

有了以上的定義，我們來看一下什麼是環和域。

（4）環：設集合R上定義了兩個二元運算「 + 」，「 * 」且滿足

1.（R，+）是Abel群。

2.（R，*）是半群。

3.兩種運算滿足分配率，a*（b+c）=a*b+a*c

則集合R和兩個二元運算構成的代數結構叫做環。

（5）域：環中的半群結構，滿足含幺和交換律，則稱作域。可見域是一種特殊的環。

綜上：最大的概念是半群，群是半群的子集，Abel群又是群的子集。環是在Abel群的基礎上進行「修飾」，也就是再增加一種二元運算使得集合構成半群，且兩種運算滿足上面提到的分配率。最後域是環的子集，要求增加的這種二元運算還要滿足含幺和交換律。

F. 在數學領域封閉是什麼意思

封閉性

在數學里，給定一個非空集合S 和一個函數F
: S X S -> S ，則稱 F 為在 S 上之二元運算(binary operation)，或稱 (S,F) 具有封閉性(closure)。

也就是：集合中的任意兩元素經過一定的運算之後 所得到的結果仍然在該集合當中，則該集合就是封閉的。

G. 離散數學題，怎麼證明群。。第一題怎麼證明

你好，答案如下所示。

在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構

首先證明它具有封閉性

其次證明它滿足結合律

最後證明它有單位元和逆元

希望你能夠詳細查看。

如果你有不會的，你可以提問

我有時間就會幫你解答。
希望你好好學習。
每一天都過得充實。

H. 數學中的封閉性是什麼能不能通俗的說明一下，謝謝~

集合中的任意兩個元素之間經過運算之後仍在該集合當中，就說明該集合是封閉的。

I. 高中數學請祥講，並說明什麼是封閉和不封閉

什麼是封閉的？封閉的是數學中對於關系的一種性質描述，比如[1,2]是1<=x<=2的閉區間，就是說1,2也是這個區間之內的，那它是一種什麼關系說區間對1,2也是封閉的呢？是說【1，2】中任何收斂序列在閉區間中，封閉性對運算來說也是這樣，就是說集合內的二個元素和關系運算的結果還在集合內，而沒有超出這個集合，這就是該運算的對此集合的封閉性，反之則稱不是封閉的。

應此此題核心就是證明兩個形如m+n*的實數乘積依然是此形。又比如4k+1形的整數對乘法也是封閉的。