數學中凸閉包指什麼

A. 高數上什麼叫凹，凸給個圖！！！

1、對於連續函數f(x)，若f(x)為凹函數，那麼區間中的任何兩點x1、x2，當x1<x2時，有不等式

f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2為正數，q1+q2=1恆成立。凹函數圖像如下。

(1)數學中凸閉包指什麼擴展閱讀：

1、凸函數性質

一元可微函數在某個區間上是凸的，當且僅當它的導數在該區間上單調不減。

一元二階可微的函數在區間上是凸的，當且僅當它的二階導數是非負的；這可以用來判斷某個函數是不是凸函數。

一元連續可微函數在區間上是凸的，當且僅當函數位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特別地，如果f '(c) = 0，那麼c是f(x）的最小值。

2、凹函數性質

如果一個可微函數f它的導數f'在某區間是單調上升的，也就是二階導數若存在，則在此區間，二階導數是大於零的，f就是凹的；即一個凹函數擁有一個下跌的斜率。

如果f(x)是二次可微的，那麼f(x)就是凹的當且僅當f''(x)是非正值。如果二階導數是負值的話它就是嚴謹凹函數。

參考資料來源：網路-凹函數

參考資料來源：網路-凸函數

B. 數學中定義閉包有什麼意義，有哪些應用

當一個內部函數被調用，就會形成閉包，閉包就是能夠讀取其他函數內部變數的函數，定義在一個函數內部的函，創建一個閉包環境，讓返回的這個子程序抓住i，以便在後續執行時可以保持對這個i的引用。

應用：在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等語言中都能找到對閉包不同程度的支持。

閉包包含自由（未綁定到特定對象）變數，這些變數不是在這個代碼塊內或者任何全局上下文中定義的，而是在定義代碼塊的環境中定義（局部變數）。

「閉包」 一詞來源於以下兩者的結合：要執行的代碼塊（由於自由變數被包含在代碼塊中，這些自由變數以及它們引用的對象沒有被釋放）和為自由變數提供綁定的計算環境（作用域）。

(2)數學中凸閉包指什麼擴展閱讀

閉包使得Javascript的垃圾回收機制不會收回a所佔用的資源，因為a的內部函數b的執行需要依賴a中的變數。

由於閉包的存在使得函數a返回後，a中的i始終存在，這樣每次執行c()，i都是自加1後alert出i的值。

如果a返回的不是函數b，情況就完全不同了。因為a執行完後，b沒有被返回給a的外界，只是被a所引用，而此時a也只會被b引 用，因此函數a和b互相引用但又不被外界打擾（被外界引用），函數a和b就會被回收。

objective c 中的的閉包，是通過block實現的。Apple在C，Objective-C和C++中擴充了Block這種文法的，並且在GCC4.2中進行了支持。可以把它理解為函數指針，匿名函數，閉包，lambda表達式，這里暫且用塊對象來表述，因為它們之間還是有些許不同的。

如果以內聯方式使用塊對象，則無需聲明。塊對象聲明語法與函數指針聲明語法相似，但是塊對象應使用脫字元(^)而非星號指針 (*)。代碼聲明一個aBlock變數，它標識一個需傳入三個參數並具有float返回值的塊。

C. 數學里什麼叫閉包

http://wiki.sopai.cn/wiki?title=%E9%97%AD%E5%8C%85&variant=zh-tw

閉包點
對歐幾里德空間的子集 S，x 是 S 的閉包點，若所有以 x 為中心的開球都包含 S 的點（這個點也可以是 x）。

這個定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的閉包點，若對所有 r > 0，存在 y 屬於 S，使得距離 d(x, y) < r（同樣的，可以是 x = y）。另一種說法可以是，x 是 S 的閉包點，若距離 d(x, S) := inf{d(x, s) : s 屬於 S} = 0（這里 inf 表示下確界）。

這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代「開球」。設 S 是拓撲空間 X 的子集，則 x 是 S 的閉包點，若所有 x 鄰域都包含 S 的點。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。

極限點
閉包點的定義非常接近極限點的定義。這兩個定義之間的差別非常微小但很重要——在極限點的定義中，點 x 的鄰域必須包含和 x 不同的集合的點。

因此，所有極限點都是閉包點，但不是所有的閉包點都是極限點。不是極限點的閉包點就是孤點。也就是說，點 x 是孤點，若它是 S 的元素，且存在 x 的鄰域，該鄰域中除了 x 沒有其他的點屬於 S。

對給定的集合 S 和點 x，x 是 S 的閉包點，當且僅當 x 屬於 S，或 x 是 S 的極限點。

集合的閉包
集合 S 的閉包是所有 S 的閉包點組成的集合。S 的閉包寫作 cl(S)，Cl(S) 或 S−。集合的閉包具有如下性質：

cl(S) 是 S 的閉父集。
cl(S) 是所有包含 S 的閉集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的閉集。
集合 S 是閉集，當且僅當 S = cl(S)。
若 S 是 T 的子集，則 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是閉集，則 A 包含 S 當且僅當 A 包含 cl(S)。
有時候，上述第二或第三條性質會被作為拓撲閉包的定義。

在第一可數空間（如度量空間）中，cl(S) 是所有點的收斂數列的所有極限。

注意，若將「閉包」，「交集」，「包含」，「最小」，「閉」等詞彙相應替換成「內部」，「並集」，「飽含於」，「最大」，「開」，上述性質仍然成立。更多信息請參看下面的「閉包運算」。

閉包的本質
集合 <math>S<math> 是閉集當且僅當 <math>Cl(S)=S<math>。特別的，空集的閉包是空集，<math>X<math> 的閉包是 <math>X<math>。集合的交集的閉包總是集合的閉包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多個集合的並集的閉包和這些集合的閉包的並集相等；零個集合的並集為空集，所以這個命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個集合的並集的閉包不一定等於這些集合的閉包的並集，但前者一定是後者的父集

若 <math>A<math> 為包含 <math>S<math> 的 <math>X<math> 的子空間，則 <math>S<math> 在 <math>A<math> 中計算得到的閉包等於 <math>A<math> 和 <math>S<math> 在 <math>X<math> 中計算得到的閉包（<math>Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)<math>）的交集。特別的，<math>S<math> 在 <math>A<math> 中是稠密的，當且僅當 <math>A<math> 是 <math>Cl_X(S)<math> 的子集。

D. 什麼叫凸胞，數學裡面的！

凸包絡（convex envelope）是優化論中有某些性質的函數，其定義如下：定義：設f:S->R 是下半連續函數，其中S是n維空間中的非空凸集，則f(x)在S上的凸包絡 是指滿足如下性質的函數F(x)：（1） F(x)在S上是凸的；（2）對於所有的x屬於S，有F(x)小於等於f(x)；（3）若h(x)是任意一個定義在S上的凸函數，並且對於所有的x屬於S，h(x)小於等於f(x)，則所有的x屬於S，有h(x)小於等於F(x)。可理解為最凸的凸函數

E. 凸集S的閉包是凸集

用定義驗證.
設a, b ∈ S的閉包, 對0 < t < 1, 證明c = (1-t)a+tb ∈ S的閉包.
對c的任意鄰域U, 存在a的鄰域V與b的鄰域W使得(1-t)V+tW ⊆ U (*).
由a ∈ S的閉包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W.
可驗證z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ⊆ U.
且由S是凸集, x, y ∈ S, 可知z = (1-t)x+ty ∈ S, 故z ∈ S∩U.
在c的任意鄰域內都有S中的點, 即得c ∈ S的閉包.

(*)處的理由是: 對拓撲線性空間X, 映射: φ: X×X → X, φ(a,b) = (1-t)a+tb是連續的.
因此c的鄰域在φ下的原像是(a,b)的鄰域.

F. 如何理解閉包這一概念

通俗的說，閉包就是函數嵌套函數，並且函數被作為函數的返回值。
閉包是指可以包含自由（未綁定到特定對象）變數的代碼塊；這些變數不是在這個代碼塊內或者任何全局上下文中定義的，而是在定義代碼塊的環境中定義（局部變數）。「閉包」 一詞來源於以下兩者的結合：要執行的代碼塊（由於自由變數被包含在代碼塊中，這些自由變數以及它們引用的對象沒有被釋放）和為自由變數提供綁定的計算環境（作用域）。在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等語言中都能找到對閉包不同程度的支持。

G. 數學閉包的定義

閉包是可以包含自由（未綁定到特定對象）變數的代碼塊；這些變數不是在這個代碼塊內或者任何全局上下文中定義的，而是在定義代碼塊的環境中定義（局部變數）。「閉包」 一詞來源於以下兩者的結合：要執行的代碼塊（由於自由變數被包含在代碼塊中，這些自由變數以及它們引用的對象沒有被釋放）和為自由變數提供綁定的計算環境（作用域）。在 Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Lua、objective c 以及Java（Java8及以上）等語言中都能找到對閉包不同程度的支持。
中文名：閉包
外文名：closure
相關學科：離散數學
用途：編程邏輯
特點：未綁定到特定對象
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拓撲概念
集合A的閉包定義為所有包含A的閉集之交。A的閉包是包含A的最小閉集。
本質
集合 S 是閉集當且僅當 Cl(S)=S（這里的cl即closure，閉包）。特別的，空集的閉包是空集，X 的閉包是 X。集合的交集的閉包總是集合的閉包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多個集合的並集的閉包和這些集合的閉包的並集相等；零個集合的並集為空集，所以這個命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個集合的並集的閉包不一定等於這些集合的閉包的並集，但前者一定是後者的父集。
若 A 為包含 S 的 X 的子空間，則 S 在 A 中計算得到的閉包等於 A 和 S 在 X 中計算得到的閉包（Cl_A(S) = A ∩ Cl_X(S））的交集。特別的，S在 A 中是稠密的，當且僅當 A 是 Cl_X(S) 的子集

H. 凸集S的閉包是凸集怎麼證

其實,(1)(2)兩個問題應該同時證明: ＞表示"包含" 設對於任意的凸集Ai, 滿足 Ai＞S , 則 ∩Ai > ∩S (這里∩是對i=1到無窮) 即 ∩Ai > S 又因為Ai >∩Ai (這是由交集的定義決定了∩Ai 是最小) 所以對於任意的凸集Ai ,有 Ai >∩Ai > S 由上式中, 凸集Ai 。

I. 凸集S的閉包是凸集 怎麼證

用定義驗證.
設a, b ∈ S的閉包, 對0 < t < 1, 證明c = (1-t)a+tb ∈ S的閉包.
對c的任意鄰域U, 存在a的鄰域V與b的鄰域W使得(1-t)V+tW ⊆ U (*).
由a ∈ S的閉包, 存在x ∈ S∩V. 同理, 存在y ∈ S∩W.
可驗證z = (1-t)x+ty ∈ (1-t)V+tW ⊆ U.
且由S是凸集, x, y ∈ S, 可知z = (1-t)x+ty ∈ S, 故z ∈ S∩U.
在c的任意鄰域內都有S中的點, 即得c ∈ S的閉包.
(*)處的理由是: 對拓撲線性空間X, 映射: φ: X×X → X, φ(a,b) = (1-t)a+tb是連續的.
因此c的鄰域在φ下的原像是(a,b)的鄰域.