數學上最根本的公理是什麼

『壹』 初中數學八大公理是什麼

1.過兩點有且只有一條直線
2.兩點之間線段最短
3.同角或等角的補角相等
4.同角或等角的餘角相等
5.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
7.平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
8.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9.同位角相等，兩直線平行
10.內錯角相等，兩直線平行
11.同旁內角互補，兩直線平行
12.兩直線平行，同位角相等
13.兩直線平行，內錯角相等
14.兩直線平行，同旁內角互補
15.定理：三角形兩邊的和大於第三邊
16.推論：三角形兩邊的差小於第三邊
17.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180°
18.推論1：直角三角形的兩個銳角互余
19.推論2：三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
20.推論3：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
21.全等三角形的對應邊、對應角相等
22.邊角邊公理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23.角邊角公理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
24.推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
25.邊邊邊公理(SSS)：有三邊對應相等的兩個三角形全等
26.斜邊、直角邊公理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27.定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28.定理2：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上
29.角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30.等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角）
31.推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33.推論3：等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°
34.等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
35.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形
36.推論2：有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
37.在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
38.直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39.定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40.逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
41.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合

『貳』 數學最基礎的1條公理是1+1=2嗎

2004年10月，一條科學新聞在國內的媒體上不脛而走：「1+1=2入選最偉大的公式。」原來，英國著名的科學雜志《物理世界》此前舉行了一場別開生面的評選活動，邀請世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛的公式、定理或定律。結果，讓很多人意外的是，1+1=2這個連小學生都知道的基本數學公式不僅入選，而且還高居第七。一個加拿大讀者說出了他的理由：「這個最簡單的公式有著一種妙不可言的美感。」此次評選活動的主持者則這樣評價到：「一個偉大公式的力量不僅論述了宇宙的基本特性並傳達了標志性的信息，而且還在盡力孕育出更多自然界的科學突破。」
無獨有偶，1971年，尼加拉瓜發行了一套紀念郵票《改變世界面貌的十個數學公式》，排在第一的赫然正是這個「1+1=2」。
1+1=2之所以如此重要，原因在於它是一條關於「數」的基礎公式。沒有它，就根本不會有數學，更不要說物理、化學等其他自然科學了。
[編輯本段]數的出現
早在蒙昧時代，人們就在對獵物的儲藏與分配等活動中，逐漸產生了數的感覺。當一個原始人面對放在一起的3隻羊、3個蘋果或3支箭時，他會朦朧地意識到其中有一種共性。可以想像，他此時會是多麼地驚訝。但是，從這種原始的感覺到抽象的「數」的概念的形成，卻經過了極其漫長的時間。
一般認為，自然數的概念的形成可能與火的使用一樣古老，至少有著30萬年的歷史。現在我們無法考證，人類究竟在什麼時候發明了加法，因為那時沒有足夠詳細的文獻記錄（也許文字也剛剛誕生）。但加法的出現無疑是為了在交換商品或戰俘時進行運算。至於乘法和除法，則必定是在加減法的基礎上搞出來的。而分數應該是處於分割物體的需要。
應該說，當某個原始人第一個意識到1+1=2，進而認識到兩個數相加得到另一個確定的數時，這一刻是人類文明的偉大時刻，因為他發現了一個非常重要的性質——可加性。這個性質及其推廣正是數學的全部根基，它甚至說出數學為什麼用途廣泛的同時，告訴我們數學的局限性。
人們現在知道，世界上存在三類不同的事物。一類是完全滿足可加性的量。比如質量，容器里的氣體總質量總是等於每個氣體分子質量之和。對於這些量，1+1=2是完全成立的。第二類是僅僅部分滿足可加性的的量。比如溫度，如果把兩個容器的氣體合並在一起，則合並後氣體的溫度就是原來氣體各自溫度的加權平均（這是一種廣義的「相加」）。但這里就有一個問題：溫度這個量不是完全滿足可加性的，因為單個分子沒有溫度。
世界上還有一些事物，他們是徹底拒絕可加性的，比如生命世界裡的神經元。我們可以將容器里的分子分到兩個容器，使得每個容器里的氣體仍然保持有宏觀量——溫度、壓強等。但是，我們對神經元不能這樣做。我們每個人都會產生幸福、痛苦之類的感覺。生物學告訴我們，這些感覺是由神經元產生的。但是，我們卻不能說，某個神經元會產生多少幸福或痛苦。不僅每個神經元並不具備這種性質，而且我們也不能將大腦劈成兩半，使得每個半球都有幸福或者痛苦感。神經元不是分子——分子可以隨時分開或者重組，神經元具有協調性，一旦將他們分開，生命就會終結，不可能再組合（你可以自我實驗下-.-）。
目前的數學盡管已發展了5000年，卻仍主要建立在可加性的基礎之上。遇到這些不滿足可加性的問題時，我們常常覺得很難用數學來處理。這正反映了數學的局限性。
[編輯本段]另一種「1+1」
數學上，還有另一個非常有名的「（1+1）」，它就是著名的哥德巴赫猜想。盡管聽起來很神奇，但它的題面並不費解，只要具備小學三年級的數學水平就就能理解其含義.原來，這是18世紀時，德國數學家哥德巴赫偶然發現，每個不小於6的偶數都是兩個素數之和。例如3+3=6； 11+13=24。他試圖證明自己的發現，卻屢戰屢敗。1742年，無可奈何的哥德巴赫只好求助當時世界上最有權威的瑞士數學家歐拉，提出了自己的猜想。歐拉很快回信說，這個猜想肯定成立，但他無法證明。
有人立即對一個個大於6的偶數進行了驗算，一直算到了330000000，結果都表明哥德巴赫猜想是對的，但就是不能證明。於是這道每個不小於6的偶數都是兩素數之和[簡稱（1+1）]的猜想，就被稱為「哥德巴赫猜想」，成為數學皇冠上一顆可望不可即的「明珠」。
19世紀20年代，挪威數學家布朗用一種古老的數學方法「篩法」證明，每一個大於6的偶數可以分解為一個不超過9個素數之積和另個不超過9個素數之積的和，簡稱「（9+9）」。從此，各國數學家紛紛採用篩法去研究哥德巴赫猜想。
1956年底，已先後寫了四十多篇論文的陳景潤調到科學院，開始在華羅庚教授指導下專心研究數論。1966年5月，他象一顆璀璨的明星升上了數學的天空，宣布他已經證明了（1＋2）。
1973年，關於（1+2）的簡化證明發表了，他的論文轟動了全世界數學界。「（1+2）」即「大偶數都能表示為一個素數及一個不超過二個素數的積之和」，被國際公認為「陳景潤定理」。
陳景潤(1933.5~1996.3)是中國現代數學家。1933年5月22日生於福建省福州市。1953年畢業於廈門大學數學系。由於他對塔里問題的一個結果作了改進，受到華羅庚的重視，被調到中國科學院數學研究所工作，先任實習研究員、助理研究員，再越級提升為研究員，並當選為中國科學院數學物理學部委員。
1996年3月下旬，由於積勞成疾，在距離哥德巴赫猜想的光輝頂峰只有咫尺之遙時，陳景潤卻倒下了，給世人留下無盡遺憾。
沒有「1+1=2"就沒有我們的宇宙了.然而為什麼「1+1=2」?是誰讓「1+1=2」呢?

『叄』 數學上的公理有哪些

數學上的公理有很多，你所要問的可能指作為數學基礎的東西。我不保證如果只有中學數學知識就可以看懂我寫的東西，但我將大致講講思想，後面會給出一些知識的來源。

現代數學的大部分，其基礎是數理邏輯和公理集合論。它們各自是由一組確定的公理描述的。
數理邏輯中描述了關於邏輯演算的基本規則。其中描述了如（用通俗的話說）「如果A、B兩句話都對，那麼A就對」等等的一組公理。
公理集合論通常指由著名的ZFC（Zemelo-Fraenkel公理加上選擇公理[Axiom of Choice]）公理系統定義的集合論。其中描述了如（用通俗的話說）「兩個集合的元素相同則集合相等」等等的一組公理。
用上面的公理系統，加上適當的定義和推理，就可以推演出現代數學的大部分內容。
從某種角度上看，所有數學定義都是公理，因為定義就是規定了研究對象的一些性質——而定義甚至不能指出研究對象是存在的。

一個習見的例子是歐幾里得幾何，也就是中學課本中的幾何。可以說它是一組公理推演出來的，但也可以說是一組幾何公理定義了什麼是幾何，定義了什麼是點、線、面等幾何對象。當然，中學課本用的公理系統並不完善，出於教學的需求，它增加了一些多餘的公理（如關於三角形全等的公理，本來只是定理），但省略了一些中學階段不易理解的公理（如連續性公理，要求了解實數構造）。

再舉一個常有人問的例子：自然數是什麼？
其實數學上嚴格定義自然數就是用一組公理來定義的，也就是Peano公理。它的嚴格表述較繁，你可以參看網路（那個解釋其實也不是很好，將就吧）。
Peano公理，用通俗的話說，是說自然數必須有個1；然後有了1，後面就一定得有個2，而且只有一個2，以此類推；然後還要有歸納法，或者說從1開始的一個無窮序列必須構成一個集合。
這組公理並沒有說明自然數存在，但我們可以把只含一個空集一個元素的集合當成1，然後把1與空集作為兩元素的集合當成2，以此類推，構造出確實有這么一個自然數的集合。
在公理的基礎上，我們還可以定義加法的運算，並證明它們的運算性質。（順便說一句，你會發現很多人曾無聊地問過的「1 + 1 = 2」恰是由加法的定義直接保證的

『肆』 數學有哪些公理有哪些基本事實

公理：等於同量的量彼此相等。等量加等量，其和相等。等量減等量，其差相等。

在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。

和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。

公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。

然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

『伍』 初中數學公理是什麼

1.過兩點有且只有一條直線 2.兩點之間線段最短
3.同角或等角的補角相等 4.同角或等角的餘角相等
5.過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6.直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
7.平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8.如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行 9.同位角相等，兩直線平行 10.內錯角相等，兩直線平行 11.同旁內角互補，兩直線平行 12.兩直線平行，同位角相等 13.兩直線平行，內錯角相等 14.兩直線平行，同旁內角互補
15.定理：三角形兩邊的和大於第三邊 16.推論：三角形兩邊的差小於第三邊
17.三角形內角和定理：三角形三個內角的和等於180° 18.推論1：直角三角形的兩個銳角互余
19.推論2：三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和 20.推論3：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角 21.全等三角形的對應邊、對應角相等
22.邊角邊公理(SAS)：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 23.角邊角公理(ASA)：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等 24.推論(AAS)：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等 25.邊邊邊公理(SSS)：有三邊對應相等的兩個三角形全等
26.斜邊、直角邊公理(HL)：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27.定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28.定理2：到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上 29.角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30.等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角） 31.推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33.推論3：等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°
34.等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
35.推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形 36.推論2：有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形 37.在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
38.直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39.定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40.逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
41.線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42.定理1：關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43.定理2：如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44.定理3：兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
45.逆定理：如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱
46.勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a^2+b^2=c^2
47.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ，那麼這個三角形是直角三角形
48.定理：四邊形的內角和等於360° 49.四邊形的外角和等於360°
50.多邊形內角和定理：n邊形的內角的和等於（n-2）×180° 51.推論：任意多邊的外角和等於360°
52.平行四邊形性質定理 1：平行四邊形的對角相等 53.平行四邊形性質定理 2：平行四邊形的對邊相等 54.推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等
55.平行四邊形性質定理 3：平行四邊形的對角線互相平分
56.平行四邊形判定定理 1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57.平行四邊形判定定理 2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58.平行四邊形判定定理 3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59.平行四邊形判定定理 4：一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60.矩形性質定理 1：矩形的四個角都是直角 61.矩形性質定理 2：矩形的對角線相等
62.矩形判定定理 1：有三個角是直角的四邊形是矩形 63.矩形判定定理 2：對角線相等的平行四邊形是矩形 64.菱形性質定理 1：菱形的四條邊都相等
65.菱形性質定理 2：菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
66.菱形面積=對角線乘積的一半，即 S=（a×b）÷2 67.菱形判定定理 1：四邊都相等的四邊形是菱形
68.菱形判定定理 2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69.正方形性質定理 1：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
70.正方形性質定理 2：正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71.定理1：關於中心對稱的兩個圖形是全等的
72.定理2：關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分
73.逆定理：如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱
74.等腰梯形性質定理：等腰梯形在同一底上的兩個角相等 75.等腰梯形的兩條對角線相等
76.等腰梯形判定定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
釋義
①經過人類長期反復的實踐檢驗是真實的，不需要由其他判斷加以證明的命題和原理。
②某個演繹系統的初始命題，這樣的命題在該系統內是不需要其他命題加以證明的，並且是推出該系統內其他命題的基本命題。

2解釋
①根據基本事實和人類理性而共同約定、遵守的基本命題。
②在一個系統中已為實踐反復證明而被認為無須再證明的基本事實。如「等量加等量其和相等」，就是公理。

3實例
（a）傳統形式邏輯三段論由一類事物的不證自明的全稱判斷作為前提，可以推斷這類事物中部分判斷為真，那麼這個全稱判斷就是公理。如「有生必有死」，就屬於這種判斷。
（b）在歐幾里得幾何系統中，下面所述的是幾何系統中的部分公理：
① 等於同量的量彼此相等。
② 等量加等量，其和相等。
③ 等量減等量，其差相等。
④ 彼此能重合的物體是全等的。
以下是常用的等量公理的代數表達：
①如果a=b，那麼a+c=b+c。
②如果a=b，那麼a－c=b－c。
③如果a=b，且c≠0，那麼ac=bc。
④如果a=b，且c≠0，那麼a/c=b/c。
⑤如果a=b，b=c，那麼a=c。

4公理系統
公理系統（axiomatic system）就是把一個科學理論公理化，用公理方法研究它，每一科學理論都是由一系列的概念和命題組成的體系。公理化的實現就是：①從其諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論中的其餘概念，都由初始概念通過定義引入，稱為導出概念；②從其一系列命題中挑選出一組公理，而其餘的命題，都應用邏輯規則從公理推演出來，稱為定理。應用邏輯規則從公理推演定理的過程稱為一個證明，每一定理都是經由證明而予以肯定的。由初始概念、導出概念、公理以及定理構成的演繹體系，稱為公理系統。初始概念和公理是公理系統的出發點[1] 。
公理系統相應地區分為古典公理系統、現代公理系統或稱形式公理系統。最有代表性的古典公理系統是古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》一書中建立的。第一個現代公理系統是D.希爾伯特於1899年提出的。他在《幾何基礎》一書中，不僅建立了歐幾里得幾何的形式公理系統，而且也解決了公理方法的一些邏輯理論問題[2] 。
例如歐幾里德《幾何原本》中就規定了五條公理和五條公設（以現代觀點來看，公設也是公理），平面幾何中的一切定理都可由這些公理和公設推導而得。
公理系統要滿足某些一般要求，包括系統的一致性（無矛盾性）、完全性，以及公理的獨立性。其中一致性是最重要的，其他幾個性質則不是每個公理系統都能滿足的，或可以不必一定要求的
由於公理系統可以建造一個完整的、無矛盾、滿足一致性的理論體系，所以幾乎所有的數學領域甚至一些數學以外的科學領域也採用了公理化體系來構造他們的理論系統。如現代得到多數人認可的大爆炸理論，就是基於這種認識。
在數學中，所有的定理都必須給予嚴格的證明，但公理卻是無需證明的。因為數學公理是在基本事實或自由構造的基礎上為了研究方便人為設定的。有些是一般性的東西，人類仍無法用現有理論推導，如1+1=2。
一個公理體系中的名詞是預先已經定義的概念，這樣的公理系統就是實質公理系統。如歐幾里德幾何公理系統。因為要先定義概念，所以就要有一些初始的概念作為定義其他概念的出發點，如歐氏幾何中使用的「部分」、「長度」、「寬度」、「界限」以及「同樣的位置」等。

5公理集合論
公理集合論（axiomatic set theory）是數理邏輯的主要分支之一。是用公理化方法重建（樸素）集合論的研究以及集合論的元數學和集合論的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首開先河，提出了第一個集合論公理系統，旨在克服集合論中出現的悖論。20世紀20年代，A.弗倫克爾和A.斯科朗對此予以改進和補充，從而得到常用的策梅洛—弗倫克爾公理系統，簡記為ZF。ZF是一個形式系統，建立在有等詞和關系符號「∈」（與樸素集合論中的屬於關系相對應）的一階謂詞演算之上。它的非邏輯公理有：外延公理、空集公理、無序對公理、並集公理、冪集公理、無窮公理、分離（子集）公理模式、替換公理模式、正則（基礎）公理。如果另加選擇公理（AC），則所得到的公理系統簡記為ZFC。現已證明：ZF對於發展集合論是足夠的，它能避免已知的集論悖論，並在數學基礎的研究中提供了一種較為方便的語言工具。[3] 但是由哥德爾不完備性定理可知，ZF是不完備的[4] 。由哥德爾第二不完備性定理可知，如此豐富的集合論公理系統，如果是協調的，那麼在其內部也是無法證明的，而須藉助於更強的公理才能證明[4] 。
由於幾乎全部數學都可歸約為集合論，所以ZF系統的一致性一直是集合論中至關重要的問題。但根據哥德爾的不完全性定理，卻無法在ZF系統內證明自身的一致性。此外，一些重要的命題，如連續統假設也是在ZF中不可判定的。尋找這些不可判定問題並證明其不可判定性和擴充ZF，以期在擴充後的系統中判定這些命題，就成了公理集合論研究的兩個出發點。1963年，美國學者P.科恩創立力迫法，從而證明了集合論中的一大批獨立性問題 。
詳細請參考http://wenku..com/link?url=D0h-

『陸』 數學八大公理是什麼

傳統形式邏輯三段論由一類事物的不證自明的全稱判斷作為前提，可以推斷這類事物中部分判斷為真，那麼這個全稱判斷就是公理。如「有生必有死」，就屬於這種判斷。

在歐幾里得幾何系統中，下面所述的是幾何系統中的部分公理：

① 等於同量的量彼此相等。

②等量加等量，其和相等。

③ 等量減等量，其差相等。

④ 彼此能重合的物體是全等的。

以下是常用的等量公理的代數表達：

①如果a=b，那麼a+c=b+c。

②如果a=b，那麼a－c=b－c。

③如果a=b，且c≠0，那麼ac=bc。

④如果a=b，且c≠0，那麼a/c=b/c。

⑤如果a=b，b=c，那麼a=c。

在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

(6)數學上最根本的公理是什麼擴展閱讀

古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。

「公理」，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。

在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為「公設」。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。

參考資料來源：
網頁鏈接網路-公理

『柒』 數學公理的定義

公理是一個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。

在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

中文名
公理
外文名
axiom
拼音
gōng lǐ
注音
ㄍㄨㄙ ㄌㄧˇ
適用范圍
數學，物理學
快速
導航
詞語概念

公理系統

實例

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古希臘
經由可靠的論證（三段論、推理規則）由前提（原有的知識）導至結論（新的知識）的邏輯演繹方法，是由古希臘人發展出來的，並已成為了現代數學的核心原則。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。
古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。
「公理」，以傳統的術語來說，是指在許多科學分支中所共有的一個不證自明的假設。
在各種科學領域的基礎中，或許會有某些未經證明而被接受的附加假定，此類假定稱為「公設」。公理是許多科學分支所共有的，而各個科學分支中的公設則是不同的。公設的有效性必須建立在現實世界的經驗上。確實，亞里斯多德曾言，若讀者懷疑公設的真實性，這門科學之內容便無法成功傳遞。
傳統的做法在《幾何原本》中很好地描繪了出來，其中給定一些公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），以及一些「公理」（極基本、不證自明的斷言）。
公設
能從任一點畫一條直線到另外任一點上去。
能在一條直線上造出一條連續的有限長線段。
能以圓心和半徑來描述一個圓。
每個直角都會相互等值。
（平行公設）若一條直線與兩條直線相交，在某一側的內角和小於兩個直角，那麼這兩條直線在各自不斷地延伸後，會在內角和小於兩直角的一側相交。
公理
等同於相同事物的事物會相互等同
若等同物加上等同物，則整體會相等。
若等同物減去等同物，則其差會相等。
相互重合的事物會相互等同。
整體大於部分。
近代的發展
近150年來，數學家所學到的是，將意思從數學陳述（公理、公設[1] 、命題、定理）和定義中抽離出去是很有用的。此一抽象化（或甚至可說是公式化）使得數學知識變得更一般化，容許多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上。
結構主義的數學走得更遠，並發展出沒有「任一」特定應用的理論和公理（如體論、群論、拓撲學、向量空間）。「公理」和「公設」之間的差異消失了。歐幾里得公設因為可以導出大量的幾何事實而被創造出來。這些復雜事實的真實性依賴於對基本假定的承認。然而，若舍棄第五公設，則可以得到有更多內容的理論，如雙曲幾何。我們只需要准備以更彈性的方式來使用「線」和「平行」等術語。

『捌』 在數學上什麼叫做公理

公理是一個漢語詞彙，讀音為gōng lǐ，是指依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。
在數學中，公理這一詞被用於兩種相關但相異的意思之下——邏輯公理和非邏輯公理。在這兩種意義之下，公理都是用來推導其他命題的起點。和定理不同，一個公理（除非有冗餘的）不能被其他公理推導出來，否則它就不是起點本身，而是能夠從起點得出的某種結果—可以乾脆被歸為定理了。

『玖』 數學世界前五大公理是什麼數學的所有定理

歐幾里德的《幾何原本》，一開始歐幾里德就劈頭蓋臉地給出了23個定義，5個公設，5個公理。其實他說的公社就是我們後來所說的公理，他的公理是一些計算和證明用到的方法（如公理1：等於同一個量的量相等，公理5：整體大於局部等）他給出的5個公設倒是和幾何學非常緊密的，也就是後來我們教科書中的公理。分別是：
公設1：任意一點到另外任意一點可以畫直線
公設2：一條有限線段可以繼續延長
公設3：以任意點為心及任意的距離可以畫圓
公設4：凡直角都彼此相等
公設5：同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小於二直角的和，則這二直線經無限延長後在這一側相交。
在這五個公設理里，歐幾里德並沒有幼稚地假定定義的存在和彼此相容。亞里士多德就指出，頭三個公設說的是可以構造線和圓，所以他是對兩件東西頓在性的聲明。事實上歐幾里德用這種構造法證明很多命題。第五個公設非常羅嗦，沒有前四個簡潔好懂。聲明的也不是存在的東西，而是歐幾里德自己想的東西。這就足以說明他的天才。從歐幾里德提出這個公理到1800年這大約2100年的時間里雖然人們沒有懷疑整個體系的正確性，但是對這個第五公設卻一直耿耿於懷。很多數學家想把這個公設從這個體系中去掉，但是幾經努力而無果，無法從其他公設中推到處第五公設。
同時數學家們也注意到了這個公設既是對平行概念的論述（故稱之為平行公理）也是對三角形內角和的論述（即內角和公理）。高斯對這一點是非常明白的，他認為歐幾里德幾何式物質空間的幾何，1799年他說給他的朋友的一封信中表現了他相信平行公里不能從其他的公設中推導出來，他開始認真從事開發一個新的能夠應用的幾何。1813年，發展了他幾何，最初稱為反歐氏幾何，後稱星空幾何，最後稱非歐幾何。在他的幾何中三角形內角可以大於180度。當然得到這樣的幾何不是高斯一人，歷史上有三個人。一個是他的搭檔，另一個是高斯的朋友的兒子獨立發現的。其中一個有趣的問題是，非歐氏幾何中過直線外一點的平行線可以無窮。

『拾』 數學上，最根本的公理是那幾條它與定理又是怎麼區分的

兩點之間，線段最短
經過一點的直線有無數條
經過兩點的直線有且僅有一條
兩直線平行，同位角相等
兩個三角形兩條邊和其夾角對應相等，則這兩個三角形全等
。。。。。。
定理是由公理推導出來的
公理是公認成立的，一般不可以證明的
比如說
兩點之間，線段最短
無法證明
但定理
三角形的任意兩邊之和一定大於第三邊
就可以根據
兩點之間，線段最短
推導出來