數學表現形式都有哪些

A. 幾何形狀的數學表達形式有哪些

△，三角形
平行四邊形，這個打不出來
○圓
就這幾種，其他只能用漢字

B. 大數定律的表現形式

大數定律有若干個表現形式。這里僅介紹高等數學概率論要求的常用的三個重要定律： 切比雪夫大數定理 設 是一列相互獨立的隨機變數(或者兩兩不相關) ，他們分別存在期望 和方差 。若存在常數C使得：
則對任意小的正數 ε，滿足公式一：

將該公式應用於抽樣調查，就會有如下結論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數將接近於總體平均數。從而為統計推斷中依據樣本平均數估計總體平均數提供了理論依據。
特別需要注意的是，切比雪夫大數定理並未要求 同分布，相較於後面介紹的伯努利大數定律和辛欽大數定律更具一般性。 伯努利大數定律 設μ是n次獨立試驗中事件A發生的次數，且事件A在每次試驗中發生的概率為P，則對任意正數ε，有公式二：

該定律是切比雪夫大數定律的特例，其含義是，當n足夠大時，事件A出現的頻率將幾乎接近於其發生的概率，即頻率的穩定性。
在抽樣調查中，用樣本成數去估計總體成數，其理論依據即在於此。 辛欽大數定律 辛欽大數定律：常用的大數定律
設為獨立同分布的隨機變數序列，若 的數學期望存在，則服從大數定律:
即對任意的ε>0，有公式三：

大數定律的四種證法
對於一般人來說，大數定律的非嚴格表述是這樣的： 是獨立同分布隨機變數序列，均值為 ，則 收斂到u.
如果說「弱大數定律」，上述收斂是指依概率收斂(in probability)，如果說「強大數定律」，上述收斂是指幾乎必然收斂(almost surely/with probability one)。
大數定律通俗一點來講，就是樣本數量很大的時候，樣本均值和真實均值充分接近。這一結論與中心極限定理一起，成為現代概率論、統計學、理論科學和社會科學的基石。（有趣的是，雖然大數定律的表述和證明都依賴現代數學知識，但其結論最早出現在微積分出現之前。而且在生活中，即使沒有微積分的知識也可以應用。例如，沒有學過微積分的學生也可以輕松利用excel或計算器計算樣本均值等統計量，從而應用於社會科學。）
最早的大數定律的表述可以追溯到公元1500年左右的義大利數學家Cardano。1713年，著名數學家James (Jacob) Bernouli正式提出並證明了最初的大數定律。不過當時現代概率論還沒有建立起來，測度論、實分析的工具還沒有出現，因此當時的大數定律是以「獨立事件的概率」作為對象的。後來，歷代數學家如Poisson（「大數定律」的名字來自於他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（「強大數定律」的名字來自於他）、Borel、Cantelli等都對大數定律的發展做出了貢獻。直到1930年，現代概率論奠基人、數學大師Kolmogorov才真正證明了最後的強大數定律。
下面均假設 是獨立同分布隨機變數序列，數學期望為u。獨立同分布隨機變數和的大數定律常有的表現形式有以下幾種。 (1) 帶方差的弱大數定律：若 小於無窮，則 依概率收斂到0。
證明方法：Chebyshev不等式即可得到。這個證明是Chebyshev給出的。
(2) 帶均值的弱大數定律：若u存在，則 依概率收斂到0。
證明方法：用Taylor展開特徵函數，證明其收斂到常數，得到依分布收斂，然後再用依分布收斂到常數等價於依概率收斂。 (3). 精確弱大數定律：若xP(|X|>x) 當x趨於無窮時收斂到0，則 依概率收斂到0，其中。（在這個定理里，不需要u存在。）
證明方法：需要用到截斷隨機變數. 然後要用的三角陣列的依概率收斂定理和Fubini定理分析積分變換。
(4). 帶4階矩的強大數定律：若小於無窮，則 幾乎必然收斂到0.
證明方法：與(1)類似，先用Chebyshev不等式。然後因為4階矩的存在，得到對任意常數t的收斂速度足夠快，滿足Borel-Cantelli的要求，用Borel-Cantelli引理得到大數定律。
(5). 帶方差的強大數定律：若小於無窮，則 幾乎必然收斂到0.
證明方法：用Kolgoromov三級數定理和Kronecker定理。
(6). 精確強大數定律：若u存在，則 幾乎必然收斂到0.
證明方法：這個大數定律的證明確實有幾種不同的方法。最早的證明是由數學大師Kolmogorov給出的。Durrett (2010)的書上用的是Etemadi (1981)的方法，需要截斷X，用到現代概率論的知識如Borel-Cantelli引理、Kolmogorov三級數定理、Fubini定理等。（感謝讀者指出，Durrett的書在倒向鞅一章中給出了大數定律的倒向鞅方法證明，只需要用到倒向鞅的知識和Hewitt-Savage 0-1律，不過這也是現代概率論的知識。）
此外，還有很多不同的大數定律，不同分布的，不獨立的序列等。定律也不一定是關於隨機變數的，也可以是關於隨機函數的，甚至隨機集合的等等。以數學家命名的也有Khinchin大數定律(不獨立序列的強大數定律)、Chebyshev大數定律(弱大數定律(1))、Poisson大數定律(不同概率的隨機事件序列的大數定律)、Bernoulli大數定律(隨機事件的大數定律)、Kolmogorov大數定律(強大數定律(6))等等……
以上(1-6)是常見的獨立同分布序列的大數定律。其中，(3)和(6)是最嚴格也是最精妙的結果，證明所涉及的高等概率論知識也最多。它們成立的條件不僅是充分條件，也是必要條件，因此它們算是完結了大數定律的發展。大數定律的發展符合數學的一般規律：想證明某一結論，條件越弱（弱大數定律：2階矩條件->1階矩條件->沒矩條件；強大數定律：4階矩條件→2階矩條件→1階矩條件），證明也就變得越難。
雖然只有(3)和(6)是最精確的結果，但是必須認識到，數學的發展是一個循序漸進的過程，如果沒有前面那些更強條件下的定理，也無法得到最後的大數定律。
從最開始的自然界觀察到大數定律的存在，到最後證明最終形式，歷時數百年，現代概率論也在這個過程中建立起來。此外，雖然(3)和(6)比前面的(1)和(5)強很多，但是(1)和(5)的條件僅僅是2階矩（或方差）的存在，因此他們在幾百年間早就被廣泛使用，對於一般的社會科學問題、統計問題等已經足足夠用了。
總之，大數定律包含概率論里核心的知識。「大數定律的四種證法」盡管表述模糊，原意也充滿調侃，但並不是真如《孔乙己》里回字四種寫法所暗示的那樣迂腐或毫無價值。作為概率或統計專業的研究生，弄懂這些定理表述的區別和證明方法的區別和聯系，了解前代數學家的工作，對於深刻理解現代概率論是很有好處的。當然，任何人也不應去死記硬背這些證法，只要能理解、弄清其中微妙即可。

C. 數字的表示方法有哪些

一、基數詞

202表示為：two hundred(and)two

（1）在英式英語中，一個數的最後兩位(十位和個位)得用"and''，但美式英語中則不用。如：

3，077（U.S）：three thousand，seventy-seven

（2）不定冠詞"a"只在數的開頭才和hundred，thousand等連用。試比較：

146表示為：a hundred(and)forty-six

2，146表示為：two thousand，one hundred(and)forty-six

（3）1，000這個整數我們說a thousand，在and前我們也說a thousand，但是在一個有百位數的數目前就得說one thousand，試比較：

1,031表示為：a thousand，(and)thirty-one

二、序數詞

①lst表示為：(the)first

②2nd表示為：(the)second

③3nd表示為：(the)third

④4th表示為：(the)fourth

⑤20th表示為：(the)twentieth

⑥21st表示為：(the)twenty-first

⑦22nd表示為：(the)twenty-second

⑧23rd表示為：(the)twenty-third

其它以此類推。

三、小數

小數點"."讀"point"，小數點前按基數詞的讀法來讀，小數點後的數若是兩位以上，則分別讀出。

①0.5表示為：zero point five

②0.25表示為：zerop point two five

③0.125表示為：zero point one two five

④93，64m表示為：ninety-three point six four meters

⑤2'15.11''表示為：two minutes fifteen point one one seconds

四、年代及日期的表示方法

數字表示的年份通常分成兩半來讀：

①2000B.C.表示為：two thousand BC

②1558表示為：fifteen fifty-eight

③1603表示為：sixteen(hundred and)three/sixteen oh three

④921表示為：nine twenty-one

對於日期的表達，英式和美式有所不同，請注意區別：英式先寫日子，美式先寫月份：

英：1999年4月6日=6th April l999

美：1999年4月6日=April 6，1999

在讀法上，英國人有兩種表達方式：

April the sixth，nineteen ninety-nine/the sixth of April，nineteen ninety-nine

美國人則一般這樣表示：

April sixth，nineteen ninety-nine(省略"the")

五、鍾點的表示方法

鍾點的讀法分英式和美式兩種，我們應對此加以注意。

英：

①7：00表示為：seven o'clock a.m./p.m.

②8：15表示為：a quarter past eight/eight fifteen

③9：30表示為：half past nine/nine thirty

④9：45表示為：a quarter to ten/nine forty-five

⑤10：03表示為：three(minutes)past ten/ten oh three

美用法基本相似，只是英國用past之處，美國通常用after；英國用to之處，美國常用of，例如：

①5：15表示為：a quarter after five/five fifteen

②9：45表示為：a quarter of ten/nine forty-five

③9：55表示為：five of ten/nine fifty-five

D. 數學美的表現形式

數學美的表現形式是多種多樣的，從數學內容看，有概念之美、公式之美、體系之美等；從數學的方法及思維看，有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學意義上看，有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。

（一）語言美

數學有著自身特有的語言———數學語言，其中包括：

1 數的語言——符號語言

關於「∏」 ，《九章算術》 如斯說：「割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓合體，而無所失矣」；面對「√2」這一差點被無理的行為淹沒的無理數，我們一直難以忘懷那位因發現「邊長為1的正方形，其對角線長不能表示成整數之比」這一「數學悖論」而被拋進大海的希帕索斯（公元前五世紀畢達哥拉斯學派成員）。還有sin∂、∞ 等等，一個又一個數的語言，無不將數的完美與精緻表現得淋漓盡致。

2形的語言——視角語言

從形的角度來看——對稱性（「中心對稱」、「軸對稱」演繹了多少遙相呼應的纏綿故事）；比例性（美麗的「黃金分割法」分出的又豈止身材的絕妙配置？）；和諧性（如對數中：對數記號、底數以及真數三者之間的關聯與配套實際上是一種怎樣的經典的優化組合！）；鮮明性（「最大值」、「最小值」 讓我們聯想起——「山的偉岸」與「水的溫柔」，並深切地感悟到：有山有水的地方，為何總是人傑地靈的內在神韻……）和新穎性（一個接一個數學「悖論」的出現，保持了數學乃至所有自然科學的新鮮與活力）等等。

（二）簡潔美

愛因期坦說過：「美，本質上終究是簡單性。」他還認為，只有藉助數學，才能達到簡單性的美學准則。樸素，簡單，是其外在形式。只有既朴實清秀，又底蘊深厚，才稱得上至美。

歐拉給出的公式：V－E＋F＝2，堪稱「簡單美」的典範。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？！

在數學中，像歐拉公式這樣形式簡潔、內容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：圓的周長公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊平方 + = 。

正弦定理：ΔABC的外接圓半徑R，則

數學的這種簡潔美，用幾個定理是不足以說清的，數學歷史中每一次進步都使已有的定理更簡潔。正如偉大的希而伯特曾說過：「數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著」。

龐加萊指出：「在解中，在證明中，給我們以美感的東西是什麼呢？是各部分的和諧，是它們的對稱，是它們的巧妙、平衡」。

（四）、和諧美

美是和諧的．和諧性也是數學美的特徵之一．和諧即雅緻、嚴謹或形式結構的無矛盾性．

沒有那門學科能比數學更為清晰的闡明自然界的和諧性。

—— Carus,Paul

數論大師賽爾伯格曾經說，他喜歡數學的一個動機是以下的公式： ，這個公式實在美極了，奇數1、3、5、…這樣的組合可以給出 ，對於一個數學家來說，此公式正如一幅美麗圖畫或風景。

歐拉公式： ，曾獲得「最美的數學定理」稱號。歐拉建立了在他那個時代，數學中最重要的幾個常數之間的絕妙的有趣的聯系，包容得如此協調、有序。與歐拉公式有關的棣美弗－歐拉公式是 ――（1）。這個公式把人們以為沒有什麼共同性的兩大類函數――三角函數與指數函數緊密地結合起來了。對他們的結合，人們始則驚詫，繼而贊嘆――確是「天作之合」。

和諧的美，在數學中多得不可勝數。如著名的黃金分割比 ，即0.61803398…。

在正五邊形中，邊長與對角線長的比是黃金分割比。建築物的窗口，寬與高度的比一般為 ；人們的膝蓋骨是大腿與小腿的黃金分割點，人的肘關節是手臂的黃金分割點，肚臍是人身高的黃金分割點；當氣溫為23攝氏度時，人感到最舒服，此時23:37（體溫）約為0.618；名畫的主題，大都畫在畫面的0.618處，弦樂器的聲碼放在琴弦的0.618處，會使聲音更甜美。建築設計的精巧、人體科學的奧秘、美術作品的高雅風格，音樂作品的優美節奏，交融於數的對稱美與和諧美之中。

黃金分割比在許多藝術作品中、在建築設計中都有廣泛的應用。達·芬奇稱黃金分割比 為「神聖比例」．他認為「美感完全建立在各部分之間神聖的比例關繫上」。與 有關的問題還有許多， 「黃金分割」、「神聖比例」的美稱，她受之無愧。

（四）奇異美

全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選「近50年的最佳數學問題」，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數 ，不合理地把b約去得到 ，結果卻是對的？

經過一種簡單計算，可以找到四個分數： 。這個問題涉及到「運算謬誤，結果正確」的歪打正著，在給人驚喜之餘，不也展現一種奇異美嗎。

還有一些「歪打正著等式」，比如

人造衛星、行星、彗星等由於運動的速度的不同，它們的軌道可能是橢圓、雙曲線或拋物線，這幾種曲線的定義如下：到定點距離與它到定直線的距離之比是常數e的點的軌跡，

當e＜1時，形成的是橢圓．當e＞1時，形成的是雙曲線．當e＝1時，形成的是拋物線．

常數e由0.999變為1、變為0.001，相差很小，形成的卻是形狀、性質完全不同的曲線。而這幾種曲線又完全可看作不同的平面截圓錐面所得到的截線。

橢圓與正弦曲線會有什麼聯系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那麼截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。這其中的玄妙是不是很奇異、很美。

（五）對稱美

在古代「對稱」一詞的含義是「和諧」、「美觀」。畢達哥拉斯學派認為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對稱圓形――圓心是它的對稱中心，圓也是軸對稱圖形――任何一條直徑都是它的對稱軸。

梯形的面積公式：S＝ ，

等差數列的前n項和公式： ，

其中a是上底邊長，b是下底邊長，其中a­1是首項，an是第n項，這兩個等式中，a與a1是對稱的，b與an是對稱的。h與n是對稱的。

對稱美的形式很多，對稱的這種美也不只是數學家獨自欣賞的，人們對於對稱美的追求是自然的、樸素的。如我們喜愛的對數螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對稱的研究而發現了宇稱不守恆定律。從中我們體會到了對稱的美與成功。

（六）創新美

歐幾里得幾何曾經是完美的經典幾何學，其中的公理5：「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」和結論「三角形內角和等於二直角」，這些似乎是天經地義的絕對真理。但羅馬切夫斯基卻採用了不同公理5的結論：「過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行」，在這種幾何里，「三角形內角和小於二直角」，從而創造了羅氏幾何。黎曼幾何學沒有平行線。這些與傳統觀念相違背的理論，並不是虛無飄渺的，當我們進行遙遠的天文測量時，用羅氏幾何學是很方便的，原子物理、狹義相對論中也有應用；而愛因斯坦建立的廣義相對論中，較多地利用了黎曼幾何這個工具，才克服了所遇到的數學計算上的困難。每一個理論都在需要不斷創新，每一個奇思妙想、每一個似乎不合理又不可思議的念頭都可能開辟新的天地。這種開闊了我們的視野、開闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們再大膽設想一下，是不是還存在一個能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學呢？事實上，通過高斯曲率可以將三種幾何統一在曲面的內在幾何學中，還可以通過克萊因幾何學與變換群的觀點將三種幾何統一起來。在不斷創新的過程中，數學得到了發展。

（七）統一美

數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數次坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的作用也不斷地增大。那麼，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣。

英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。後來，他「被迫作出妥協」，犧牲了復數集中的一條性質，終於發現了四元數，即形為a1+a2i+a3j+a4k （a1 ，a2 ，a3 ，a4 為實數）的數，其中i、j、k如同復數中的虛數單位。若a3 ＝a4 ＝0，則四元數a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復數。四元數的研究推動了線性代數的研究，並在此基礎上形成了線性代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。

數學的發展是逐步統一的過程。統一的目的也正如希而伯特所說的：「追求更有力的工具和更簡單的方法」。

愛因斯坦一生的夢想就是追求宇宙統一的理論。他用簡潔的表達式E=mc2揭示了自然界中質能關系，這不能不說是一件統一的藝術品。但他還是沒有完成統一的夢想。人類在不斷探尋著紛繁復雜的世界，又在不斷地用統一的觀點認識世界，宇宙沒有盡頭，統一美也需要永遠的追求。

（八）類比美

解析幾何中的代數語言具有意想不到的作用，因為它不需要從幾何考慮也行。考慮方程 我們知道，它是一個圓。圓的完美形狀，對稱性，無終點等都存在在哪裡呢？在方程之中！例如， 與 對稱，等等。代數取代了幾何，思想取代了眼睛！在這個代數方程的性質中，我們能夠找出幾何中圓的所有性質。這個事實使得數學家們通過幾何圖形的代數表示，能夠探索出更深層次的概念。那就是四維幾何。我們為什麼不能考慮下述方程呢？ 以及形如 的方程呢？這是一個偉大的進步。僅僅靠類比，就從三維空間進入高維空間，從有形進入無形，從現實世界走向虛擬世界。這是何等奇妙的事情啊！用宋代著名哲學家程顥的詩句可以准確地描述這一過程：道通天地有形外，思入風雲變態中。

（九）抽象美、自由美

從初等數學的基本概念到現代數學的各種原理都具有普遍的抽象性與一般性。正如開普勒所說的：「對於外部世界進行研究的主要目的，在於發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數學語言透露給我們的」。

數學的第一特徵在於她具有抽象思維的能力，在數學中所處理的是抽象的量，是脫離了具體事物內容的用符號表示的量。它可以成為任何一個具體數的代數，但它又不等於任何具體數。比如「N」表示自然數，它不是N個崗位，N只雞或N張照片……也不是哪一個具體的數，分不清是0 ？是1？或者說100？……「知道」中蘊含著「不知道」，「具體」中充滿了「不具體」，它就是這樣一個抽象的數！

達·芬奇是15至16世紀的一位藝術大師和科學巨匠。他用一句話概括了他的《藝術專論》的思想：「欣賞我的作品的人，沒有一個不是數學家」

歷史上不少著名人物都迷戀音樂，大數學家克蘭納克就是一例。一位數學王子何以如此迷戀音樂？原因也許是多方面的，依我看，最重要的一點就是數學和音樂均為一種抽象語言，它們都充滿了抽象美、自由美。而且，數學和音樂還是兩個人造的金碧輝煌的世界，前者僅用十個阿拉伯數字和若干符號便造出了一個無限的、絕對真的世界，後者僅用五條線和一些蝌蚪狀的音符就造出了一個無限的、絕對美的世界。如果說，音樂是人類感情活動最優美的表現，那麼數學便是人類理性活動最驚人的產品。

（十）辯證美

熟悉數學的人都體會到在數學中充滿著辯證法。如果說各門科學都包含著豐富的辯證思想，那麼，數學則有自己特殊的表現方式，即用數學的符號語言以及簡明的數學公式能明確地表達出各種辯證的關系和轉化。

例如：初等數學中：點與坐標的對應；曲線與方程之間的關系；概率論和數理統計所揭示出的事物的必然性與偶然性的內在聯系等。以及高三數學里所涉及的：極限概念，特別是現代的極限語言，很好地體現了有限與無限，近似和精確的辯證關系；牛頓——萊布尼茨公式描述了微分和積分兩種運算方式之間的聯系和相互轉化等等。

這類事例在數學中比比皆是。當然，要真正掌握好「數學美」，僅僅知道一些數學知識還是遠遠不夠的，還必須善於發現各種數學結構、數學運算之間的關系，建立和運用它們之間的聯系和轉化。唯其如此，才能發揮出蘊藏在數學中的辯證思維的力量。數學中許多計算方法之靈巧，證明方法之美妙，究其思路，往往就是綜合利用了各種關系並對他們進行過適宜的轉化而成的。

掌握了「兩優擇其重，兩劣擇其輕」這一辯證的比較思想，我們就掌握了解這類題目的鑰匙。其實，全部數學無處不在貫徹「兩優擇其重，兩劣擇其輕」這一原則。數學無處不體現著辯證法，數學家們無時不在用辯證的眼光看問題。陳省身教授80年代在北大講學時說：「人們常說，三角形內角和等於180°，但是，這是不對的！」……「說三角形內角和為 180°不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對。應該說三角形外角和是360°！把眼光盯住內角，只能看到：三角形內角和是180°；四邊形內角和是360°；五邊形內角和是 540°……n邊形內角和是 （n-2）*180°，雖然找到了一個計算內角和的公式，但公式里包含邊數n。如果看外角呢？三角形外角和是360°，四邊形外角和是 360°，五邊形外角和是360°，……，n邊形外角和是 360°。

這就把多種情況用一個十分簡單的結論概括起來了，用一個與n無關的常數代替了與n有關的公式，找到了更一般的規律。」其實，數學又何嘗不是美學？

數學的力量是無窮的，數學美猶如但丁神曲中的詩句，優美和諧的樂曲，別具一格的繪畫，雄偉壯美的建築，同樣會使數學學習者們激情盪漾，興趣盎然！數學之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會她的美學價值和她豐富、深隧的內涵和思想，及其對人類思維的深刻影響。如果在學習過程中，我們能與數學家，教師們一起探索、發現，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那麼我們就會不斷深入其中，欣賞和創造美。相信我們的數學學習一定能夠取得更好的學習效果。

個人簡介：高中數學教師，從教十年，發表論文「類比三角公式，尋找解題入口」，「一石激起千層浪」。

採納我吧！！！

E. 數學抽象的基本形式有哪些

數學抽象的四種形式：
1、實物層面的抽象
這個層面的抽象，實際上是立足於已有的生活經驗和社會現實，進行第一步抽象，即以實物為對象進行抽象，到剛剛超越實物而尚未完全脫離實物即結束。例如：在七年級上冊《有理數的乘方》這一節中，用文字和圖片一起呈現出細胞分裂的過程，細胞每過30min便由1個分裂成2個，經過5h，這種細胞由1個能分裂成多少個？從這樣一個有趣的過程中抽象出數學問題，能夠很快的激發學生的學習興趣。在七年級上冊《豐富的圖形世界》這一節中，教科書提供了幾幅圖片，引導學生感受圖形世界的多姿多彩，並且通過給出各種實物模型，讓學生認識圓柱、圓錐、正方體、長方體和球這五種幾何體。在八年級下冊《圖形的旋轉》中，呈現出一幅旋轉的摩天輪，瞬間把學生帶入旋轉的情境中去感受旋轉，繼而思考什麼樣的圖形運動可以稱之為圖形的旋轉。這些都是典型的藉助「實物」的直接抽象。在這些過程中，通過設計好的情境，加上教師的有意引導，學生在仔細觀察圖片中物體的基礎上，思考有理數的乘方、幾何體、圖形的內在本質屬性，形成自己對這些知識的初步認識。
2、半符號層面的抽象
這個階段實際上是簡約階段的一種，是建立在實物抽象的基礎之上的進一步發展。此時，有關的屬性已經從實物中提取出來、抽象出來，但是並沒有完全脫離實物，或者更確切的說，是部分屬性脫離了實物，而其中的關鍵屬性已經初見端倪。例如：在七年級下冊《單項式乘多項式》這一節中，教科書要求在一幅長x米寬mx米的畫左右兩邊各留1/8x米的空白，求畫的面積是多少？接著展示了兩種演算法，通過對同一面積的不同表達，可以得到: x(mx-1/4x)=mx2-1/4x2 此時單項式乘多項式的有關屬性已經呈現出來。在《圖形的全等》這一節中，在學生已經了解了什麼是全等圖形之後，教科書呈現出多個形態各異的圖形，要求學生從中找出全等圖形，這也是實物直觀層面的第二次抽象。在這個過程中，全等圖形是能夠完全重合的圖形這一關鍵屬性已經凸顯出來，學生要做的便是依據全等圖形的概念來找出能夠完全重合的圖形。

3、符號層面的抽象
這個層面的抽象屬於數學抽象的符號階段，具有典型的階段性、層次性。准確的說，符號層面的抽象已經去掉了具體的內容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經簡約化了的事物在內的一類事物。例如：在七年級上冊《合並同類項》這一節中，觀察四組代數式，找出它們的共同特點，然後總結出同類項的概念，並進而得到合並同類項法則。在這個過程中，學生在觀察代數式和探索合並同類項及其合並同類項法則的同時，嘗試著用文字去表述自己的發現，這就是在進行符號層面的抽象。在八年級上冊《勾股定理》的教學上，首先通過探索活動讓學生們初步感受直角三角形三邊長之間的特殊關系，接著引導學生用語言准確表述這樣一種特殊關系，最後賦予直角三角形三邊以符號表示，並用符號語言來描述出勾股定理。這樣一種禮儀概念、圖形、符號表述一類事物的方式就是典型的符號層面的抽象。在這個過程中，學生首先要通過觀察「郵票」這一實物對研究勾股定理的這個基本圖形形成一個直觀認識，在經歷分析、猜想、嘗試等過程探求兩個小直角三角形面積與大直角三角形面積之間的數量關系的方法，最後通過分析、推理得到直角三角形三條邊長之間的特殊關系。這樣一個過程能夠讓學生在經歷勾股定理的探索過程後，更深刻的認識、理解這個定理。在九年級上冊《相似多邊形》這一節總，在學生已對相似圖形有了最初的直觀感受後，通過觀察、分析五組形態各異的圖形的內在共同特徵，總結歸納出相似圖形的定義，學生從初步認識相似圖形，到深入了解相似圖形，這整個過程都參與其中，十分有利於學生對相似圖形的全面理解。
4、形式化層面的抽象
這個層面的抽象屬於數學抽象的普適階段，即通過假設和推理建立法則、模式或者模型，並能夠在一般意義上解釋具體事物。這個階段的抽象在中小學也是時常存在的。例如：在七年級下冊《二元一次方程組》這一節中，基於上一節《二元一次方程》已經完成了從「一元」到「二元」、新的數學模型的建立，該節內容的學習主要集中在類似於「雞兔同籠」問題的解決上。建立模型後，將模型運用到一般問題的解決上，這一過程是典型的形式化抽象。再比如說，在九年級下冊圓周角定理的呈現上，通過猜想、推理得到圓周角與圓心角之間的半倍關系，繼而引導學生運用這一關系去解決一些具體的問題。在這一過程中，學生首先要形成對圓周角概念的認識，再在測量同一圓的圓心角和圓周角度數的基礎上，大膽猜想圓心角與圓周角的數量關系，接著在教師的引導下逐步形成證明這一關系的思想和方法，最後能夠將這一定理熟練地運用到解決實際問題當中。在九年級上冊《相似三角形的性質》這一節中，通過深入分析探索得到證明相似三角形、相似多邊形的周長比的方法，繼而引導學生運用所得方法去嘗試解決相似三角形、相似多邊形的面積比、高比等，在這個過程中，學生不僅學到解決問題的方法，還知道了將習得的方法用在其他問題的解決上，符合新課標提出的重視「過程與方法」的目標。
總體來看，現行初中教材中情境中採用最多的是實物層面的抽象，正文中採用最多的是符號層面的抽象，練習中採用最多的是實物半符號層面的抽象，數學活動中最多採用的是形式化層面的抽象。

F. Excel中的數學計算表達方式都有哪些

ABS 工作表函數 返回參數的絕對值
ACOS 工作表函數 返回數字的反餘弦值
ACOSH 工作表函數 返回參數的反雙曲餘弦值
ASIN 工作表函數 返回參數的反正弦值
ASINH 工作表函數 返回參數的反雙曲正弦值
ATAN 工作表函數 返回參數的反正切值
ATAN2 工作表函數 返回給定的 X 及 Y 坐標值的反正切值
ATANH 工作表函數 返回參數的反雙曲正切值
CEILING 工作表函數 將參數 Number 沿絕對值增大的方向，舍入為最接近的整數或基數
COMBIN 工作表函數 計算從給定數目的對象集合中提取若干對象的組合數
COS 工作表函數 返回給定角度的餘弦值
COSH 工作表函數 返回參數的雙曲餘弦值
COUNTIF 工作表函數 計算給定區域內滿足特定條件的單元格的數目
DEGREES 工作表函數 將弧度轉換為度
EVEN 工作表函數 返回沿絕對值增大方向取整後最接近的偶數
EXP 工作表函數 返回 e 的 n 次冪常數 e 等於 2.71828182845904，是自然對數的底數
FACT 工作表函數 返回數的階乘，一個數的階乘等於 1*2*3*...*該數
FACTDOUBLE 工作表函數 返回參數 Number 的半階乘
FLOOR 工作表函數 將參數 Number 沿絕對值減小的方向去尾舍入，使其等於最接近的 significance 的倍數
GCD 工作表函數 返回兩個或多個整數的最大公約數
INT 工作表函數 返回實數舍入後的整數值
LCM 工作表函數 返回整數的最小公倍數
LN 工作表函數 返回一個數的自然對數自然對數以常數項 e（2.71828182845904）為底
LOG 工作表函數 按所指定的底數，返回一個數的對數
LOG10 工作表函數 返回以 10 為底的對數
MDETERM 工作表函數 返回一個數組的矩陣行列式的值
MINVERSE 工作表函數 返回數組矩陣的逆距陣
MMULT 工作表函數 返回兩數組的矩陣乘積結果
MOD 工作表函數 返回兩數相除的余數結果的正負號與除數相同
MROUND 工作表函數 返回參數按指定基數舍入後的數值
MULTINOMIAL 工作表函數 返回參數和的階乘與各參數階乘乘積的比值
ODD 工作表函數 返回對指定數值進行舍入後的奇數
PI 工作表函數 返回數字 3.14159265358979，即數學常數 pi，精確到小數點後 15 位
POWER 工作表函數 返回給定數字的乘冪
PRODUCT 工作表函數 將所有以參數形式給出的數字相乘，並返回乘積值
QUOTIENT 工作表函數 回商的整數部分，該函數可用於舍掉商的小數部分
RADIANS 工作表函數 將角度轉換為弧度
RAND 工作表函數 返回大於等於 0 小於 1 的均勻分布隨機數
RANDBETWEEN 工作表函數 返回位於兩個指定數之間的一個隨機數
ROMAN 工作表函數 將阿拉伯數字轉換為文本形式的羅馬數字
ROUND 工作表函數 返回某個數字按指定位數舍入後的數字
ROUNDDOWN 工作表函數 靠近零值，向下（絕對值減小的方向）舍入數字
ROUNDUP 工作表函數 遠離零值，向上（絕對值增大的方向）舍入數字
SERIESSUM 工作表函數 返回基於以下公式的冪級數之和：
SIGN 工作表函數 返回數字的符號當數字為正數時返回 1，為零時返回 0，為負數時返回 -1
SIN 工作表函數 返回給定角度的正弦值
SINH 工作表函數 返回某一數字的雙曲正弦值
SQRT 工作表函數 返回正平方根
SQRTPI 工作表函數 返回某數與 pi 的乘積的平方根
SUBTOTAL 工作表函數 返回數據清單或資料庫中的分類匯總
SUM 工作表函數 返回某一單元格區域中所有數字之和
SUMIF 工作表函數 根據指定條件對若干單元格求和
SUMPRODUCT 工作表函數 在給定的幾組數組中，將數組間對應的元素相乘，並返回乘積之和
SUMSQ 工作表函數 返回所有參數的平方和
SUMX2MY2 工作表函數 返回兩數組中對應數值的平方差之和
SUMX2PY2 工作表函數 返回兩數組中對應數值的平方和之和，平方和加總在統計計算中經常使用
SUMXMY2 工作表函數 返回兩數組中對應數值之差的平方和
TAN 工作表函數 返回給定角度的正切值
TANH 工作表函數 返回某一數字的雙曲正切值
TRUNC 工作表函數 將數字的小數部分截去，返回整數

G. 中國傳統數學的主要特徵是什麼從哪些成就表現出來

數學是研究客觀事物的空間形式與數量關系的科學。它不受任何時間和空間的限制，強烈地顯現這一本質屬性。然而，在古代各個時期不同的文化傳統中，數學的表現形式往往也不盡相同，各自呈現出自己的特徵。比如中國古典數學在表現形式、思維模式、與社會實際的關系、研究的中心以及發展的歷程等許多方面與其他文化傳統，特別是古希臘數學有較大的區別。

首先是其表現形式，這里主要指數學經典的著作形式。古希臘數學常常採取抽象的公理化的形式，而中國古典數學則是以術文統率例題的形式。兩種不同的形式，代表著迥然不同的兩種風格。這兩種形式和風格同樣可以闡發數學理論的基礎。有人往往忽略了這一點，把中國古代數學著作籠統地概括成應用問題集的形式。只要仔細分析、比較一下數學著作本身，就不難發現這個結論是極不正確的。比如最重要的著作《九章算術》，它的九章中，方田、粟米、少廣、商功、盈不足、方程六章的全部及衰分、均輸、勾股三章的部分，要麼先列出一個或幾個例題，然後給出十分抽象的「術」；要麼先列出十分抽象的「術」，然後給出若干例題。這里的「術」都是些公式或抽象的計算程序；前者的例題只有題目及答案，後者的例題則包括題目、答案與「術」。所謂「術」就是闡述各種演算法及具體應用，類似於後世的細草。《九章算術》中只有約五分之一的部分，即衰分、均輸、勾股三章的約50個題目，可以說是應用問題集的形式。由此就得出《九章算術》是一部應用問題集的結論是不恰當的，正確的提法應是術文統率例題的形式。後來的《孫子算經》等的主體應該說是應用問題集的形式，但把一些預備知識放到了卷首。宋元數學高潮中的著作，賈憲《黃帝九章算經細草》的抽象性更高於《九章算術》，其它著作由於演算法更為復雜，演算法的抽象性有時達不到《九章》的程度，但是也作了可貴的努力，如《數書九章》的「大衍總數術」及其核心「大衍求一術」就是同餘式解法的總術；「正負開方術」用抽象的文字闡述了開四次方的方法後，又聲明「後篇效此」，說明也是普遍方法。朱世傑的兩部著作都把大量預備知識、演算法放在卷首，《四元玉鑒》的卷首還載有天元術、二元術、三元術、四元術的解法範例。《測圓海鏡》更是把「圓城圖式」及後面要用到的定義、命題列入卷一的「識別雜記」。因此，總的說來，演算法(術)是解應用題的關鍵，「術」自然就成為中國古代數學的核心。中國數學著作是以演算法為核心，演算法統率例題的形式。中國傳統文化

其次是關於數學理論的研究。古希臘數學使用演繹推理，使數學知識形成了嚴謹的公理化體系。許多學者誇大了中國古算與古希臘數學的差別，認為中國古代數學成就只是經驗的積累，沒有推理，尤其是沒有演繹推理。這是對中國古代數學缺乏起碼了解的膚淺之見。遺憾的是，這種膚淺之見被某些科學泰斗所贊同而頗為流行，甚至成為論述現代科學沒有在中國產生的出發點。誠然，中國古代數學與哲學結合得不像古希臘那麼緊密，中國古代數學大家也不像古希臘數學大師那樣大多是思想界的頭面人物或思想流派的首領。一般說來，中國思想家對數學的興趣遠遜於古希臘的同仁，先秦諸子中即使數學修養最高的墨家，其數學成就也難望古希臘思想家的項背。同樣，中國數學家，就整體而言，對數學理論研究的關注，也遠不如古希臘數學家。比如，《九章算術》和許多數學著作對數學概念沒有定義，許多數學問題的表述，並不嚴謹。這就要求讀者必須站在作者的立場上，與作者共處於一個和諧的體系中，才能理解其內容，這或多或少也阻礙了數學理論的發展。硬說中國古代與古希臘同樣重視數學理論研究，固然是不妥的。反之，說中國古代數學沒有理論，沒有推理，也是不符史實的。《周髀算經》記載，先秦數學家陳子在教誨榮方時，指出他之所以對某些數學原理不能理解，在於他「之於數未能通類」，他認為數學的「道術」，「言約而用博」，必須做到「能類以合類」。陳子大約處於《九章算術》編纂過程的初期。實際上，《九章》的編纂正是貫穿了「通類」、「類以合類」的思想。《九章算術》的作者把能用同一種數學方法解決的問題歸於一類，提出共同的、抽象的「術」，如方田術、圓田術、今有術、衰分術、返衰術、少廣術、開方術、盈不足術、均輸術、方程術、勾股術等等，又將這些術及例題按其性質或應用分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九類。劉徽進一步挖掘《九章》許多方法的內在聯系，又將衰分術、均輸術、方程新術等歸結到今有術。劉徽正是通過「事類相推」，找出了各種方法的歸宿，發現數學知識是「枝條雖分而同本干」，並「發自一端」的一株大樹，形成了自己完整的數學理論體系。賈憲總結開方法，創造開方作法本源。楊輝總結出勾股生變十三名圖，李冶探討了各種容圓關系，給出600多條公式，也都是通過歸納、類比做到通類，進而「類以合類」，進行數學的理論概括。

通過「合類」，歸納出抽象的公式之後，將這些公式應用於解某些數學問題，實際上是從一般到特殊的演繹過程，這里要特別談一下中國古代數學中有沒有演繹推理的問題。大家知道，數學知識的獲得，要通過類比、歸納、演繹各種推理途徑，而證明一個數學命題的正確性，則必須依靠演繹推理。中國古代數學著作正是大量使用演繹推理。以中國古代最為發達的高次方程這一分支為例，劉徽、王孝通都提出了方程的推導過程，金元數學家更創造了設未知數列方程的天元術，李冶將用天元術列方程所需要的定理、公式大都在卷一的「識別雜記」中給出。劉徽、王孝通、秦九韶、李冶、朱世傑等推導高次方程的過程都是依靠演繹推理的，因而是正確的。至於劉徽用極限思想和無窮小分割對圓面積公式的證明，對錐體體積公式的證明；用出入相補原理對解勾股形諸公式的證明，對大量面積、體積公式的證明，對開方術的證明；利用齊同原理對方程術、盈不足術及許多演算法的證明，都是演繹推理的典範。只要不帶偏見，都會認識到劉徽在拓展數學知識時以歸納、類比為主，而在論證《九章算術》的公式、演算法的正確性時，在批駁《九章算術》的某些錯誤時，則以演繹推理為主，從而把他自己掌握的數學知識建立在可靠的理論基礎之上。

說數學研究與思想界結合得不密切，是就整體而言的，並不是說每個數學家都如此，比如劉徽就例外。他深受魏晉辯難之風的影響，他對《九章算術》「析理以辭，解體用圖」，「析理」正是辯難之風的要件，劉徽析理的原則、析理的方法都是與當時辯難之風合拍的。當然，即使是劉徽對許多數學概念的探討還沒達到古希臘那麼深入的地步。比如，劉徽將無窮小分割引入數學證明是前無古人的貢獻，卻從未考慮過潛無窮小與實無窮小的區別。不過，這未必是壞事。古希臘數學家無法圓滿解決潛無限與實無限的問題，不得不把無窮小概念排除在數學研究之外，因此，他們在證明數學命題時，從未使用過極限思想和無窮小分割。劉徽則不然，他認為圓內接正多邊形邊數無限增多，最後必定「與圓周合體」，因此可以對與圓周合體的正多邊形進行無窮小分割並求其面積之和；他認為對陽馬與鱉臑組成的塹堵進行無窮分割，可以達到「微則無形」的地步；劉徽在極限思想的運用上遠遠超過了古希臘的同類思想，達到了文藝復興前世界數學界的最高峰。古希臘數學家認為正方形的對角線與其邊長沒有公度，即與1沒有公度，導致數學史上的第一次危機，使古希臘數學轉向，把計算排除在數學之外，只注重空間形式的研究，因而在無理數面前束手無策。而劉徽、祖沖之等則不然，他們對「開之不盡」的「不可開」的數，敢於繼續開方，「求其微數」，以十進分數無限逼近無理根的近似值。沒有陷入哲學的爭論，從數學計算的實際出發，使中國數學家能夠繞過曾導致希臘數學改變航向或裹足不前的暗礁，在數學理論和實踐上達到古希臘數學家所不曾達到的高度。

長於計算，以演算法為中心，是中國古代數學的顯著特點。古希臘數學只考慮數和形的性質，而不考慮具體數值。比如，他們很早就懂得，任何一個圓的周長與直徑之比是個常數，但這個常數的數值，幾百年無人問津，直到阿基米德才求出其值的范圍。相反，中國古典數學幾乎不研究離開數量關系的圖形的性質，而通過切實可行的方法把實際問題化為一類數學模型，然後用一套程序化即機械化的演算法求解。算經中的「術」全是計算公式與計算程序，或應用這些公式、程序的細草，所有的問題都要算出具體數值作為答案，即使幾何問題，也要算出有關因素的長度、面積、體積。這就是幾何方法與演算法相結合，或幾何問題的演算法化。劉徽說：「以法相傳，亦猶規矩、度量可得而共」(《九章算術注·序》)，清楚地表達了中國古算形、數結合的特點。《九章算術》的開方術、方程術、盈不足術、衰分術、均輸術，劉徽計算圓周率的割圓術、計算弧田面積近似值的方法，賈憲求賈憲三角各廉的增乘方法，賈憲開創而秦九韶使之完備的求高次方程正根的正負開方術，秦九韶的同餘式解法，朱世傑的四元術，等等，都有相當復雜的計算程序。數學運算的程序化使復雜的計算問題易於掌握，即使不懂其數學原理，也可掌握其程序，於是產生了程序的輔助用表「立成」。上述這些程序都具有完全確定性、對一整類問題適用性及有效性等現代演算法的三個特點。許多程序幾乎可以一字不差地搬到現代電子計算機上實現。

先進的記數制度，強烈的位置值制是促成中國演算法理論充分發展的重要因素。中國最早發明了十進位置值制記數法，這種記數法十分有利於加減乘除四則運算及分數、小數的表示。加之漢語中數字都是單音節，便於編成口訣，促成籌算乘除捷演算法向口訣的轉化。而籌算的使用使分離系數表示法成為順理成章。線性方程組的分離系數表示法、開方式的記法、天元多項式、四元式的記法，實際上也是一種位置值制。未知數的冪次完全由其在表達式中的位置決定，而不必寫出未知數本身，如開方式中，自上而下依次是「商」、「實」(常數項)、「方」(一次項)、「一廉」、「二廉」(二、三次項系數)……隅(最高次項系數)。天元式也是如此，只是因為運算中有正冪也有負冪，才需要在常數項旁標一「太」字，或在一次項旁標一「元」字，未知數冪次完全由與「太」或「元」的相對位置決定。這種表示法特別便於開方或加減乘除運算，尤其是用天元的冪次乘(或除)，只要上下移動「太」或「元」字的位置即可。

數學理論密切聯系實際，是中國古代數學的又一顯著特徵。不能把古算經的所有題目都看成日常生產生活的應用題，有些題目只是為了說明演算法的例題，《九章算術》和《測圓海鏡》中都有此類題目。但是，中國古算確實是以應用為目的的，這是與古希臘數學的顯著區別之一。後者公開申明不以實際應用為目的，而是看成純理念的精神活動，歐幾里得幾乎抹去了《幾何原本》的實際來源的所有蛛絲馬跡。而中國數學家卻從不諱言研究數學的功利主義目的。自《漢書·律歷志》到劉徽、秦九韶，都把數學的作用概括為「通神明」、「類萬物」兩個方面。這里神明的意義既可作神秘主義來理解，也可以看作說明物質世界的變化性質的范疇，或二者兼而有之。《九章算術》劉徽為其注沒有任何神秘主義的成份，對通神明的作用也沒作任何闡發，劉徽倒是明確指出了《九章算術》各章在實際生產生活中的應用范圍：方田以御田疇界域，粟米以御交質變易，衰分以御貴賤稟稅，少廣以御積冪方圓，商功以御功程積實，均輸以御遠近勞費，盈不足以御隱雜互見，方程以御錯糅正負，勾股以御高深廣遠，顯然是「類萬物」方面。秦九韶把「通神明」看作數學作用之大者，並且其理解是神秘主義與世界變化的性質二者兼而有之的，而把類萬物、經世務看成數學作用之小者。盡管他表示要將數學「進之於道」，但他的數學研究實踐使他感到對於大者仍「膚末於見」，而注重於小者，認識到「數術之傳，以實為體」，因此「設為問答以擬於用」。他的《數書九章》除第一問外，大都是實際生活、生產及各種工程的應用題，反映南宋經濟活動之翔實遠勝於《九章算術》等著作對當時現實經濟活動的反映。總之，中國數學密切聯系實際，並在實際應用中得到發展。也許正因為有這個長處，中國數學從《九章算術》到宋元高潮，基本上堅持了唯物主義傳統，未受到數字神秘主義的影響。明朝著作有一些神秘主義的東西，具有穿靴戴帽的性質，但仍不能改變以實際應用為目的這一總的特徵。

統治者對數學的態度造成了中國與希臘數學不同的發展特點。古希臘統治者非常重視數學，造成希臘數學有很強的連續性、繼承性。而中國古代的統治者，除個別者外，大都不重視數學。秦始皇統一中國，較為重視數學的墨家遭到鎮壓，漢朝以後獨尊儒術，儒法合流，讀經學禮，崇尚文史，成為一種社會風氣。由於數學對國計民生的重大作用，統治階級又不得不承認「算術亦六藝要事」(《顏氏家訓·雜藝》)，但卻主張「可以兼明，不可以專業」(同上)。數學一直被視為「九九賤技」。劉徽哀嘆「當今好之者寡」，(《九章算術注·序》)秦九韶說「後世學者鄙之不講」，(《數書九章序》)李冶以大儒研究數學，自謂「其憫我者當百數，其笑我者當千數」。(《測圓海鏡序》)劉徽所處之魏晉，秦、李所處之宋元，都是中國數學興盛時期，尚且如此，何論其他！二十四史，林林總總，列入無數帝王將相，以及文學家、思想家，甚至烈女節婦，卻沒有為一個數學家立傳，祖沖之、李冶有傳，卻是以文學家、名臣的身份入傳的。社會的需要，以及世代數學家不計憫笑，刻苦鑽研，自漢迄元，使中國數學登上了世界數壇的一個又一個高峰，然而中國數學的發展常常大起大落，艱難地前進。更使人覺得奇怪的是，高潮往往出現在戰亂時期，如戰國時期《九章算術》主要成就的奠基，魏晉南北朝數學理論的建立，宋遼金元籌算數學的高潮；相反，低谷往往出現在大一統的太平盛世，如唐、明兩代，不僅數學建樹甚少，甚至到了大數學家看不懂前代成果的可笑地步！這當然絲毫不意味著戰亂、分裂比安定、統一更有利於數學的發展，而是因為戰亂時期，儒家思想的統治地位往往受到沖擊，社會思潮較為活躍，思想比較解放。同時由於戰亂，讀經入仕的道路被堵，知識分子稍稍能按自己的興趣和社會的需求發揮自己的才智，所蘊藏的數學才能也得到較充分展示，致使處於夾縫中的數學研究狀況反而比大一統的太平盛世更好一些罷了。

H. 懂數學建模的人進~~~~~ 數學建模的表現形式有什麼跪求

你是指數學建模競賽？還是平常中解決的實際問題？
對於第一個，一般比賽時向組委會提交一篇論文。一般格式有1問題重述，2問題分析，3模型假設，4模型建立，5模型求解，6模型優缺點分析，7模型推廣與應用。
所謂的模型就像小學時解方程一樣。只是這里的模型要復雜一點，一般你先從理想化條件去解決問題，然後考慮實際問題的情況，再將模型細化，在解決。直到把問題解決的好。具體表現形式是把條件量化，通過圖表、公式等數學語言進行描述。
對於第二個問題，一般著重於實際解決。不著重於形式，能解決問題就好。

建議幾個網站，數學中國，校園數苑。是關於建模比賽的網站。

I. 小學數學概念的表現形式有哪些

數學概念是客觀現實中的數量關系和空間形式的本質屬性在人腦中中的反映。數學的研究對象是客觀事物的數量關系和空間形式。在數學中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質屬性而被舍棄，只保留它們在形狀、大小、位置及數量關系等方面的共同屬性。在數學科學中，數學概念的含義都要給出精確的規定，因而數學概念比一般概念更准確。
中文名
小學數學概念
內
容
數的概念、運算的概念
表現形式
描述式和定義式
語
言
小學數學教材

J. 小學數學概念的小學數學概念表現形式

在小學數學教材中的概念，根據小學生的接受能力，表現形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。 用一些生動、具體的語言對概念進行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般藉助於學生通過感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：「我們在數物體的時候，用來表示物體個數的1、2、3、4、5……叫自然數」；「象1.25、0.726、0.005等都是小數」等。這樣的概念將隨著兒童知識的增多和認識的深化而日趨完善，在小學數學教材中一般用於以下兩種情況。
一種是對數學中的點、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說明。例如，「直線」這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線。「平面」就用「課桌面」、「黑板面」、「湖面」來說明。
另一種是對於一些較難理解的概念，如果用簡練、概括的定義出現不易被小學生理解，就改用描述式。例如，對直圓柱和直圓錐的認識，由於小學生還缺乏運動的觀點，不能像中學生那樣用旋轉體來定義，因此只能通過實物形象地描述了它們的特徵，並沒有以定義的形式揭示它們的本質屬性。學生在觀察、擺拼中，認識到圓柱體的特徵是上下兩個底面是相等的圓，側面展開的形狀是長方形。
一般來說，在數學教材中，小學低年級的概念採用描述式較多，隨著小學生思維能力的逐步發展，中年級逐步採用定義式，不過有些定義只是初步的，是有待發展的。在整個小學階段，由於數學概念的抽象性與學生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒有下嚴格的定義；而是從學生所了解的實際事例或已有的知識經驗出發，盡可能通過直觀的具體形象，幫助學生認識概念的本質屬性。對於不容易理解的概念就暫不給出定義或者採用分階段逐步滲透的辦法來解決。因此，小學數學概念呈現出兩大特點：一是數學概念的直觀性；二是數學概念的階段性。在進行數學概念教學時，我們必須注意充分領會教材的這兩個特點。