有多少數學理論是基於黎曼猜想的

⑴ 什麼是黎曼猜想

Riemann 猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？ 在回答這個問題之前我們先得介紹一個函數： Riemann ζ 函數。 這個函數雖然掛著 Riemann 的大名， 其實並不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 雖然不是這一函數的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函數的理解， 為其在數學與物理上的廣泛應用奠定了基礎。 後人為了紀念 Riemann 的卓越貢獻， 就用他的名字命名了這一函數。
那麼究竟什麼是 Riemann ζ 函數呢？ Riemann ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數)
ζ(s) = ∑n n-s (Re(s) > 1)
在復平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為 - 如我們已經註明的 - 這一表達式只適用於復平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。 Riemann 找到了這一表達式的解析延拓 (當然 Riemann 沒有使用 「解析延拓」 這樣的現代復變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的 Riemann ζ 函數可以表示為：如右上角圖
式中的積分實際是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞ - 離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在復平面上的推廣， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點外在整個復平面上解析。 這就是 Riemann ζ 函數的完整定義。
編輯本段黎曼猜想
運用右上角圖中的積分表達式可以證明， Riemann ζ 函數滿足以下代數關系式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
從這個關系式中不難發現， Riemann ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零[注三]。 復平面上的這種使 Riemann ζ 函數取值為零的點被稱為 Riemann ζ 函數的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是 Riemann ζ 函數的零點。 這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為 Riemann ζ 函數的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外， Riemann ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得復雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。 對 Riemann ζ 函數非平凡零點的研究構成了現代數學中最艱深的課題之一。Riemann 猜想就是一個關於這些非平凡零點的猜想。
Riemann 猜想: Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於復平面上 Re(s)=1/2 的直線上。
這就是 Riemann 猜想的內容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。從其表述上看， Riemann 猜想似乎是一個純粹的復變函數命題，但它其實卻是一曲有關素數分布的神秘樂章。
編輯本段證明黎曼猜想的嘗試
黎曼1859年在他的論文 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe' 中提及了這個著名的猜想，但它並非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數的不平凡零點對稱地分布在直線s = ½ + it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位於區域0 ≤ Re(s) ≤ 1中。
1896年，雅克·阿達馬和 Charles Jean de la Vallée-Poussin 分別獨立地證明了在直線Re(s) = 1上沒有零點。連同了黎曼對於不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處於區域0 < Re(s) < 1上。這是素數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。
1900年，大衛·希爾伯特將黎曼猜想包括在他著名的23條問題中，黎曼猜想與哥德巴赫猜想一起組成了希爾伯特名單上第8號問題。當被問及若他一覺醒來已是五百年後他將做什麼時，希爾伯特有名地說過他的第一個問題將是黎曼猜想有否被證明。(Derbyshire 2003:197; Sabbagh 2003:69; Bollobas 1986:16). 黎曼猜想是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎數學難題的。
1914年，高德菲·哈羅德·哈代證明了有無限個零點在直線Re(s) = ½上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位於其它地方（而且有可能是最主要的零點）。後來哈代與約翰·恩瑟·李特爾伍德在1921年及塞爾伯格在1942年的工作（臨界線定理）也就是計算零點在臨界線 Re(s) = ½ 上的平均密度。
近幾十年的工作集中於清楚的計算大量零點的位置（希望藉此能找到一個反例）以及對處於臨界線以外零點數目的比例置一上界（希望能把上界降至零）
過去數十年很多數學家隊伍聲稱證明了黎曼猜想，而截至2007年為止有少量的證明還沒被驗證。但它們都被數學社群所質疑，而專家們多數並不相信它們是正確的。艾希特大學的 Matthew R. Watkins 為這些或嚴肅或荒唐的聲明編輯了一份列表，而一些其它聲稱的證明可在arXiv資料庫中找到。

⑵ 黎曼猜想（Riemann hypothesis）是什麼有什麼用

黎曼猜想（或稱黎曼假設）是關於黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼於1859年提出。德國數學家戴維·希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出了20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題，其中便包括黎曼假設。現今克雷數學研究所懸賞的世界七大數學難題中也包括黎曼假設。

作用：對黎曼猜想的研究也促進了相關學科的蓬勃發展。

黎曼猜想起源：

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數學家於1826年出生在當時屬於漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。

作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為「論小於給定數值的素數個數」的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的「誕生地」。

⑶ 黎曼猜想是什麼

黎曼猜想是一個尋找質數的方法。
廣義黎曼猜想是1859年由德國大數學家黎曼提出的幾個猜想之一，而其他猜想均已證明。這個簡單的特殊函數在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。
在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種函數和它們的推廣L函數，它們各有相應的「黎曼猜想」，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以設想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。

⑷ 黎曼假設、普安卡雷猜想、霍奇猜想、戴爾猜想、斯托克斯方程、米爾斯理論、P對NP問題）

21世紀七大數學難題
最近美國麻州的克雷（Clay）數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個「千僖年數學難題」的每一個懸賞一百萬美元。以下是這七個難題的簡單介紹。
「千僖難題」之一：P（多項式演算法）問題對NP（非多項式演算法）問題

在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由於感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鍾，你就能向那裡掃視，並且發現你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。

「千僖難題」之二： 霍奇(Hodge)猜想

二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。

「千僖難題」之三： 龐加萊(Poincare)猜想

如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮斗。

「千僖難題」之四： 黎曼(Riemann)假設

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。

「千僖難題」之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關系。基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和築波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於「誇克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。

「千僖難題」之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。

「千僖難題」之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。

⑸ 黎曼猜想是什麼

黎曼猜想具體內容

黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。

黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式

(5)有多少數學理論是基於黎曼猜想的擴展閱讀：

黎曼猜想的提出：

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數學家於1826年出生在當時屬於漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為「論小於給定數值的素數個數」的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的「誕生地」。

黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。素數又稱質數。質數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大於1的正整數都可以表示成它們的乘積。

從某種意義上講，它們在數論中的地位類似於物理世界中用以構築萬物的原子。質數的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。

黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了質數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數之中，尤其是使那個函數取值為零的一系列特殊的點對質數分布的細致規律有著決定性的影響。那個函數如今被稱為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多「證明從略」的地方。而要命的是，「證明從略」原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻並非如此，他那些「證明從略」的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。

但黎曼的論文在為數不少的「證明從略」之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年「誕生」以來，已過了150多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。

有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

⑹ 黎曼對數學的貢獻有哪些﹖

他引入三角級數理論，從而指出積分論的方向，並奠定了近代解析數論的基礎，提出一系列問題；他最初引入黎曼曲面這一概念，對近代拓撲學影響很大；在代數函數論方面，如黎曼-諾赫定理也很重要。在微分幾何方面，繼高斯之後建立黎曼幾何學。

⑺ 黎曼假設的猜想來源

黎曼猜想是黎曼1859年提出的，這位數學家於1826年出生在一座如今屬於德國，當時屬於漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為「論小於給定數值的素數個數」的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的「誕生地」。
黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。素數又稱質數。質數是像2、5、19、137那樣除了1和自身以外不能被其他正整數整除的數。這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大於1的正整數都可以表示成它們的乘積。從某種意義上講，它們在數論中的地位類似於物理世界中用以構築萬物的原子。質數的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。
黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了質數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數之中，尤其是使那個函數取值為零的一系列特殊的點對質數分布的細致規律有著決定性的影響。那個函數如今被稱為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點。
有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多「證明從略」的地方。而要命的是，「證明從略」原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻並非如此，他那些「證明從略」的地方有些花費了後世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數不少的「證明從略」之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。 黎曼猜想自1859年「誕生」以來，已過了一百五十多個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。
當然，如果僅從時間上比較的話，黎曼猜想的這個紀錄跟費爾馬猜想時隔三個半世紀以上才被解決，以及哥德巴赫猜想歷經兩個半世紀以上屹立不倒相比，還差得很遠。但黎曼猜想在數學上的重要性卻要遠遠超過這兩個大眾知名度更高的猜想。有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。一個數學猜想與為數如此眾多的數學命題有著密切關聯，這是極為罕有的。

⑻ 什麼是黎曼猜想

黎曼猜想
這是1859年由德國大數學家黎曼提出的幾個猜想之一，而其他猜想均已證明。這個猜想是指黎曼 函數：

的非平凡零點都在 的直線上。
在數學中我們碰到過許多函數，最常見的是多項式和三角函數。多項式 的零點也就是代數方程 =0的根。根據代數基本定理，n次代數方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函數有兩種表示方法，即

當s為大於1的實數時， 為收斂的無窮級數，歐拉仿照多項式情形把它表示為乘積的情形，這時是無窮乘積，而且也不是零點的形式：

但是，這樣的 用處不大，黎曼把它開拓到整個復數平面，成為復變數s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函數的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此， 的零點就成為大家關心的頭等大事。 有兩類零點，一類是s=-2，-4，…-2n，…時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（後稱為臨界線）上。
這個看起來簡單的問題並不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函數的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有2/5的復零點都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發現復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。
這個簡單的特殊函數在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數定理就是在100年前由於黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明復零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數論將取得全面進展。
更重要的是，在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種 函數和它們的推廣L函數，它們各有相應的「黎曼猜想」，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以設想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。

⑼ 數學領域中還有哪些數學猜想，收集一些整理出來

很多很多.例如：
1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=?
更一般地：當k為奇數時,
求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=?
歐拉已經求出了：
(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6
並且給出了當k為偶數時的表達式.
於是,於是他提出了上述問題.

2、e+π的超越性：
背景：此題為希爾伯特第7問題中的一個特例.
已經證明了e^π的超越性,卻至今未有人證明e+π的超越性.
3、素數問題（又稱黎曼猜想）.
證明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ,(s屬於復數域)
所定義的函數ζ(s)的零點,除負整實數外,全都具有實部1/2.
背景：此為希爾伯特第8問題.
現已證明：ζ(s)函數中,前300萬個零點確實符合猜想.
引申的問題是：素數的表達公式?素數的本質是什麼?
4、 存在奇完全數嗎?
背景：
所謂完全數,就是等於其因子的和的數.
前三個完全數是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個完全數全部是偶數.
1973年得到的結論是如果n為奇完全數,則：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外,再沒有兩個連續的整數可表為其他正整數的方冪了嗎?
背景：
這是卡塔蘭猜想（1842）.
1962年我國數學家柯召獨立證明了不存在連續三個整數可表為其它正整數的方冪.
1976年,荷蘭數學家證明了大於某個數的任何兩個正整數冪都不連續.因此只要檢查小於這個數的任意正整數冪是否有連續的就行了.
但是,由於這個數太大,有500多位,已超出計算機的計算范圍.
所以,這個猜想幾乎是正確的,但是至今無人能夠證實.
6、 任給一個正整數n,如果n為偶數,就將它變為n/2,如果除後變為奇數,則將它乘3加1（即3n+1）.不斷重復這樣的運算,經過有限步後,一定可以得到1嗎?
背景：
這角古猜想（1930）.
人們通過大量的驗算,從來沒有發現反例,但沒有人能證明.
三 希爾伯特23問題里尚未解決的問題.
1、問題1連續統假設.
全體正整數（被稱為可數集）的基數 和實數集合（被稱為連續統）的基數c之間沒有其它基數.
背景：1938年奧地利數學家哥德爾證明此假設在集合論公理系統,即策莫羅-佛朗克爾公理系統里,不可證偽.
1963年美國數學家柯恩證明在該公理系統,不能證明此假設是對的.
所以,至今未有人知道,此假設到底是對還是錯.
2、問題2 算術公理相容性.
背景：哥德爾證明了算術系統的不完備,使希爾伯特的用元數學證明算術公理系統的無矛盾性的想法破滅.
3、 問題7 某些數的無理性和超越性.
見上面 二 的 2
5、 問題 8 素數問題.
見上面 二 的 3
6、 問題 11 系數為任意代數數的二次型.
背景：德國和法國數學家在60年代曾取得重大進展.
7、 問題 12 阿貝爾域上的克羅內克定理在任意代數有理域上的推廣.
背景：此問題只有些零散的結果,離徹底解決還十分遙遠.
8、 問題13 僅用二元函數解一般7次代數方程的不可能性.
背景：1957蘇聯數學家解決了連續函數情形.如要求是解析函數則此問題尚未完全解決.
9、 問題15 舒伯特計數演算的嚴格基礎.
背景： 代數簌交點的個數問題.和代數幾何學有關.
10、 問題 16 代數曲線和曲面的拓撲.
要求代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目.和微分方程的極限環的最多個數和相對位置.
11、 問題 18 用全等多面體來構造空間.
無限個相等的給定形式的多面體最緊密的排列問題,現在仍未解決.
12、 問題 20 一般邊值問題.
偏微分方程的邊值問題,正在蓬勃發展.
13、 問題 23 變分法的進一步發展.
四 千禧七大難題
2000年美國克雷數學促進研究所提出.為了紀念百年前希爾伯特提出的23問題.每一道題的賞金均為百萬美金.
1、 黎曼猜想.
見 二 的 3
透過此猜想,數學家認為可以解決素數分布之謎.
這個問題是希爾伯特23個問題中還沒有解決的問題.透過研究黎曼猜想數
學家們認為除了能解開質數分布之謎外,對於解析數論、函數理論、
橢圓函數論、群論、質數檢驗等都將會有實質的影響.
2、楊-密爾斯理論與質量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規范理論,楊振寧由
數學開始,提出一個具有規范性的理論架構,後來逐漸發展成為量子
物理之重要理論,也使得他成為近代物理奠基的重要人物.
楊振寧與密爾斯提出的理論中會產生傳送作用力的粒子,而他們
碰到的困難是這個粒子的質量的問題.他們從數學上所推導的結果
是,這個粒子具有電荷但沒有質量.然而,困難的是如果這一有電荷
的粒子是沒有質量的,那麼為什麼沒有任何實驗證據呢?而如果假定
該粒子有質量,規范對稱性就會被破壞.一般物理學家是相信有質
量,因此如何填補這個漏洞就是相當具挑戰性的數學問題.
3、P 問題對NP 問題(The P Versus NP Problems)
隨著計算尺寸的增大,計算時間會以多項式方式增加的型式的問題叫做「P 問題」.
P 問題的P 是Polynomial Time(多項式時間)的頭一個字母.已
知尺寸為n,如果能決定計算時間在cnd (c 、d 為正實數) 時間以下
就可以或不行時,我們就稱之為「多項式時間決定法」.而能用這個
演算法解的問題就是P 問題.反之若有其他因素,例如第六感參與進來
的演算法就叫做「非決定性演算法」,這類的問題就是「NP 問題」,NP 是
Non deterministic Polynomial time (非決定性多項式時間)的縮寫.
由定義來說,P 問題是NP 問題的一部份.但是否NP 問題裡面有
些不屬於P 問題等級的東西呢?或者NP 問題終究也成為P 問題?這
就是相當著名的PNP 問題.
4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因為尤拉方程太過簡化所以尋求作修正,在修正的過程中產生了
新的結果.法國工程師納維爾及英國數學家史托克經過了嚴格的數學
推導,將黏性項也考慮進去得到的就是納維爾–史托克方程.
自從西元1943 年法國數學家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托
克方程的全時間弱解(global weak solution)之後,人們一直想知道
的是此解是否唯一?得到的結果是：如果事先假設納維爾–史托克方
程的解是強解(strong solution),則解是唯一.所以此問題變成:弱解與強解之間的差距有多大,有沒有可能弱解會等於強解?換句話說,是不是能得到納維爾–史托克方程的全時間平滑解?再者就是證
明其解在有限時間內會爆掉(blow up in finite time).
解決此問題不僅對數學還有對物理與航太工程有貢獻,特別是亂
流(turbulence)都會有決定性的影響,另外納維爾–史托克方程與奧
地利偉大物理學家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關系,研究納維
爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩
者之關系的學問叫做流體極限(hydrodynamics limit),由此可見納
維爾–史托克方程本身有非常豐富之內涵.
5.龐加萊臆測(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測是拓樸學的大問題.用數學界的行話來說：單連通的
三維閉流形與三維球面同胚.
從數學的意義上說這是一個看似簡單卻又非
常困難的問題,自龐加萊在西元1904 年提出之
後,吸引許多優秀的數學家投入這個研究主題.
龐加萊（圖4）臆測提出不久,數學們自然的將
之推廣到高維空間(n4),我們稱之為廣義龐加萊臆測：單連通的
≥
n(n4)維閉流形,如果與n
≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚.
經過近60 年後,西元1961 年,美國數學家斯麥爾（Smale）以
巧妙的方法,他忽略三維、四維的困難,直接證明五維(n5)以上的
≥
廣義龐加萊臆測,他因此獲得西元1966 年的費爾茲獎.經過20年之
後,另一個美國數學家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆
測,並於西元1986年因為這個成就獲得費爾茲獎.但是對於我們真
正居住的三維空間(n3),在當時仍然是一個未解之謎.
=
一直到西元2003 年4 月,俄羅斯數學家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工學院做了三場演講,在會中他回答了許多數學家的疑問,許
多跡象顯示斐雷曼可能已經破解龐加萊臆測.數天後「紐約時報」首
次以「俄國人解決了著名的數學問題」為題向公眾披露此一消息.同
日深具影響力的數學網站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測
被證明了,這次是真的!」[14].
數學家們的審查將到2005年才能完成,到目前為止,尚未發現
斐雷曼無法領取克雷數學研究所之百萬美金的漏洞.
6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的橢圓曲線方程式 y^2=x^3+ax+b ,在計算橢圓之弧長時
就會遇見這種曲線.自50 年代以來,數學家便發現橢圓曲線與數論、
幾何、密碼學等有著密切的關系.例如：懷爾斯（Wiles）證明費馬
最後定理,其中一個關鍵步驟就是用到橢圓曲線與模形式(molarform)之關系－即谷山-志村猜想,白之與斯溫納頓-戴爾臆測就是與
橢圓曲線有關.
60年代英國劍橋大學的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計算一些
多項式方程式的有理數解.通常會有無窮多解,然而要如何計算無限
呢?其解法是先分類,典型的數學方法是同餘(congruence)這個觀念
並藉此得同餘類(congruence class)即被一個數除之後的余數,無窮
多個數不可能每個都要.數學家自然的選擇了質數,所以這個問題與
黎曼猜想之Zeta 函數有關.經由長時間大量的計算與資料收集,他
們觀察出一些規律與模式,因而提出這個猜測.他們從電腦計算之結
果斷言：橢圓曲線會有無窮多個有理點,若且唯若附於曲線上面的
Zeta 函數ζ (s) = 時取值為0,即ζ (1)
；當s1= 0
7.霍奇臆測(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數曲體上的調和微分形式,都是代數圓之
上同調類的有理組合.」
最後的這個難題,雖不是千禧七大難題中最困難的問題,但卻可
能是最不容易被一般人所了解的.因為其中有太多高深專業而且抽象
參考資料：《數學的100個基本問題》《數學與文化》《希爾伯特23個數學問題回顧

⑽ 什麼是黎曼猜想急

黎曼猜想
這是1859年由德國大數學家黎曼提出的幾個猜想之一，而其他猜想均已證明。這個猜想是指黎曼 函數：

的非平凡零點都在 的直線上。
在數學中我們碰到過許多函數，最常見的是多項式和三角函數。多項式 的零點也就是代數方程 =0的根。根據代數基本定理，n次代數方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函數有兩種表示方法，即

當s為大於1的實數時， 為收斂的無窮級數，歐拉仿照多項式情形把它表示為乘積的情形，這時是無窮乘積，而且也不是零點的形式：

但是，這樣的 用處不大，黎曼把它開拓到整個復數平面，成為復變數s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函數的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此， 的零點就成為大家關心的頭等大事。 有兩類零點，一類是s=-2，-4，…-2n，…時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（後稱為臨界線）上。
這個看起來簡單的問題並不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函數的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有2/5的復零點都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發現復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。
這個簡單的特殊函數在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數定理就是在100年前由於黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明復零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數論將取得全面進展。
更重要的是，在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種 函數和它們的推廣L函數，它們各有相應的「黎曼猜想」，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以設想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。