如何在數學上應用分析法

A. 如何學好小學數學如何應用分析發解題

解答應用題一直是許多孩子做數學題的「心頭大患」，因為它既要綜合應用小學數學中的概念性質、法則、公式、數量關系和解題方法等最基本的知識
數量關系分析法

數量關系是指應用題中已知數量和未知數量之間的關系，只有搞清數量關系，才能根據四則運算的意義恰當的選擇演算法，把數學問題轉化為數學式子，通過計算進行解答。數量關系分析法分為三步：

(一)尋找題中的數量。

(二)明確各數量間的關系。

(三)解決各個產生的問題。下面以一道例題的教學從以下幾方面來談數量關系分析法的運用。

家長在家輔導孩子作業可以參考老師的引導方法教導孩子思考的角度和方法，養成孩子獨立思考、快速解答的好習慣：

如題：「學校舉行運動會，三年級有35人參加比賽，四年級參加的人數是三年級3倍，五年級參加的人數比三、四年級參加的總人數多12人，五年級參加比賽的有多少人?」

解題思路：

師：題中有幾個數量呢?

生：三個。

師：哪兩個數量之間有直接關系呢?

生：三年級有35人參加比賽，四年級參加的人數是三年級3倍。

師：這兩個數量間的關系讓我們頭腦中產生一個什麼問題呢?

生：四年級有多少人參加比賽?

師：怎樣列式解答這個問題呢?

生：用乘法35 ×3=105(人)。

師：現在又多了一個數量：四年級有105人參加比賽，那麼哪兩個數量間又存在關系呢?根據他們的關系可以產生一個怎樣的問題?

生：三年級有35人參加比賽，四年級有105人參加比賽。

問題是：三四年級參加比賽一共有多少人?

師：所以第二步算式怎樣列呢?

生：105+35=140(人)。

師：根據現在已經產生的數量，又有哪兩個數量間的關系存在呢?

生：三、四年級參加比賽一共有多140人，五年級參加的人數比三、四年級參加的總人數多12人。

師：這兩個數量間的關系能幫助我們解決什麼問題呢?

生：五年級參加比賽的有多少人?

師：那麼解決最後問題的算式怎樣列出呢?

生：140+12=152(人)

問題中心散射倒推法

所謂的「問題中心散射法」就是根據分析法這一思路模式，讓孩子從最後的問題出發，不斷地逆向推理，層層解決。

即從問題所要求的量開始探究，先要想一下，要知道所求的量，就必須知道的條件是什麼，要使這些條件成立，又必須具備另外哪些條件，這樣推究下去，直到所需要的條件都是題目中所給的已知條件時，問題就解決了。

還是以上面這一道應用題為例來談談吧。

解題思路：

師：這道題的問題是「五年級參加比賽的有多少人?」要想解決這個問題，在題裡面尋找那一句關鍵的信息提示呢?

生：五年級參加的人數比三、四年級參加的總人數多12人。

師：看來，現在要解決三、四年級參加比賽的總人數才是更關鍵的。那麼這個問題能一下子解決嗎?

生：不能，因為三年級參加比賽的人數知道了，可四年級參加比賽的人數不知道。

師：那麼四年級參加比賽的人數又怎麼求呢?根據題中的什麼數學信息呢?

生：三年級有35人參加比賽，四年級參加的人數是三年級3倍。列式是35 ×3=105(人)。

師：根據我們剛才的分析，接下來第二步求什麼/怎樣列式?

生：三、四年級參加比賽的總人數是多少?105+35=140(人)。

師：接下來呢?

生：五年級參加的人數是多少?140+12=152(人)

線段圖示助解分析法

運用圖示法解析應用題，是培養孩子思維能力的有效方法之一。圖示法不僅可以形象地、直觀地反映應用題的數量關系，啟發孩子的解題思路，幫助孩子找到解題的途徑，而且通過畫圖的訓練，可以調動孩子思維的積極性，提高孩子分析問題和解決問題的能力。

在解答應用題時，可以先把應用題中的已知條件和所求的問題用圖表示出來，然後通過圖去尋找解答應用題的方法。

除此之外還可以採用許多方法。如列表法、比較法、方程法等，注重教給孩子學習的方法，使孩子能逐步獨立地分析和解決問題。我們幫助孩子形成正確的思維規律，掌握了正確的思維方法，做到舉一反三，切實提高解答應用題的能力。

如下四種具體應用題題型詳解：

1.一般應用題

一般應用題沒有固定的結構，也沒有解題規律可循，完全要依賴分析題目的數量關系找出解題的線索。

要點：從條件入手?從問題入手?

從條件入手分析時，要隨時注意題目的問題

從問題入手分析時，要隨時注意題目的已知條件。

例題如下：

某五金廠一車間要生產1100個零件，已經生產了5天，平均每天生產130個。剩下的如果平均每天生產150個，還需幾天完成?

思路分析：

已知「已經生產了5天，平均每天生產130個」，就可以求出已經生產的個數。

已知「要生產1100個機器零件」和已經生產的個數，已知「剩下的平均每天生產150個」，就可以求出還需幾天完成。

2.典型應用題

用兩步或兩步以上運算解答的應用題中，有的題目由於具有特殊的結構，因而可以用特定的步驟和方法來解答，這樣的應用題通常稱為典型應用題。

A.求平均數應用題

解答求平均數問題的規律是：總數量÷對應總份數=平均數

註：在這類應用題中，我們要抓住的是對應關系，可根據總數量來劃分成不同的子數量，再一一地根據子數量找出各自的份數，最終得出對應關系。

例題如下：

一台碾米機，上午4小時碾米1360千克，下午3小時碾米1096千克，這天平均每小時碾米約多少千克?

思路分析：

要求這天平均每小時碾米約多少千克，需解決以下三個問題：

1、這一天總共碾了多少米?(一天包括上午、下午)。

2、這一天總共工作了多少小時?(上午的4小時，下午的3小時)。

3、這一天的總數量是多少?這一天的總份數是多少?(從而找出了對應關系，問題也就得到了解決。)

B.歸一問題

歸一問題的題目結構是：

題目的前部分是已知條件，是一組相關聯的量;題目的後半部分是問題，也是一組相關聯的量，其中有一個量是未知的。

解題規律：先求出單一的量，然後再根據問題，或求單一量的幾倍是多少，或求有幾個單一量。

例題如下：

6.台拖拉機4小時耕地300畝，照這樣計數，8台拖拉機7小時可耕地多少畝?

思路分析：

先求出單一量，即1台拖拉機1小時耕地的畝數，再求8台拖拉機7小時耕地的畝數。

3.相遇問題

指兩運動物體從兩地以不同的速度作相向運動。

相遇問題的基本關系是：

1. 相遇時間=相隔距離(兩個物體運動時)÷速度和

例題如下：兩地相距500米，小紅和小明同時從兩地相向而行，小紅每分鍾行60米，小明每分鍾行65米，幾分鍾相遇?

2. 相隔距離(兩物體運動時)=速度之和×相遇時間

例題如下：一列客車和一列貨車分別從甲乙兩地同時相對開出，10小時後在途中相遇。已知貨車平均每小時行45千米，客車每小時的速度比貨車快20％，求甲乙相距多少千米?

3. 甲速=相隔距離(兩個物體運動時)÷相遇時間-乙速

例題如下：一列貨車和一列客車同時從相距648千米的兩地相對開出，4.5小時相遇。客車每小時行80千米，貨車每小時行多少千米?

相遇問題可以有不少變化。

如兩個物體從兩地相向而行，但不同時出發;

或者其中一個物體中途停頓了一下;

或兩個運動的物體相遇後又各自繼續走了一段距離等，都要結合具體情況進行分析。

另：相遇問題可以引申為工程問題：即工效和×合做時間=工作總量

4.工程問題

工程問題是研究工作效率、工作時間和工作總量的問題。

題目特點：

工作總量沒有給出實際數量，把它看做「1」，工作效率用來表示，所求問題大多是合作時間。

例題如下：

一件工程，甲工程隊修建需要8天，乙工程隊修建需要12天，兩隊合修4天後，剩下的任務，有乙工程隊單獨修，還需幾天?

思路分析：

把一件工程的工作量看作「1」，則甲的工作效率是1/8，乙的工作效率是1/12。

已知兩隊合修了4天，就可求出合修的工作量，進而也就能求出剩下的工作量。

用剩下的工作量除以乙的工作效率，就是還需要幾天完成。

B. 如何提高小學二年級上冊數學應用題分析

在小學數學教學中，應用題的教學佔有重要地位。如何教好這部分知識，下面談談我的一些做法和體會。
一、培養學生的審題習慣
細致地審題，弄明白題意，是准確解答應用題的先決條件。因此，在教學中可先讓學生根據解題要求找出題中直接條件和間接條件，構建起條件與問題之間的聯系，確定數量關系。為了便於分析問題中的已知量與未知量之間的相依關系，審題時可要求學生邊讀題邊思考，用不同的符號劃出條件和問題或用線段圖把已知條件和所求問題表示出來。
二、教給學生分析應用題常用的推理方法
在解題過程中，學生往往習慣於模仿教師和例題的解答方法，機械地去完成。因此，教給學生分析應用題的推理方法，幫助學生明確解題思路至關重要。分析法和綜合法是常用的分析方法。所謂分析法，就是從應用題中欲求的問題出發進行分析，首先考慮，為了解題需要哪些條件，而這些條件哪些是已知的，哪些是未知的，直到未知條件都能在題目中找到為止。
三、對易混淆的問題進行對比分析
對一些有聯系而又容易混淆的應用題可引導學生進行對比分析，
四、要引導學生自編應用題
讓學生了解應用題的結構，重視自編應用題的教學，是提高解題能力的重要環節。在低年級進行簡單應用題教學時，就讓學生了解一道應用題總題由已知條件和所求問題兩部分組成，因此，可進行填空練習。

C. 數學分析方法的應用

在決策時如何運用數學分析法，應視具體情況而定。掌握數量關系是運用數學分析法的前提。如果決策者和有關專家能夠把握決策對象的數量關系，運用數學分析法進行預測和決策，就會速度快，效率高，數據准確，結論可靠。
在決策實踐中採用哪種數學分析方法，與決策問題的性質和特點有關，其中主要有三個方面的因素：第一，問題本身包含的變數數目；第二，決策環境的不確定程度；第三，時間因素的影響。這三個方面因素的不同，形成了不同類型的決策，需要採用不同數學工具。例如，對於單變數靜態確定型決策，一般採用算術、基本代數、微積分中的古典極值原理；對於多變數靜態確定型決策，一般採用矩陣代數、線性規劃、非線性規劃等方法；對於單變數靜態概率型決策，應採用概率論基本原理；對於多變數靜態概率型決策，應運用多元統計分析；對於單變數動態確定型決策，應採用微分方程；對於多變數動態確定型決策，應採用動態規劃、自動控制論；對於單變數動態概率型決策，應採用存貨理論、排隊論、馬爾科夫方程；對於多變數動態概率性決策，應採用復雜的隨機過程論；等等。

D. 關於分析法在中學數學中的應用

【題名】：數學推理中的分析法中學數學雜志：初中版論文(：ChuZhongBanLunWen)
【關鍵詞】：數學推理 分析法 數學教學 綜合法 追溯型分析法 構造型分析法 中學
【keywords】：ShuXueTuiLi FenXiFa ShuXueJiaoXue ZongHeFa ZhuiSuXingFenXiFa GouZaoXingFenXiFa ZhongXue
【作者】：於江濤,李樹臣, 【來源】： 知識詞典
【期刊名稱】：中學數學雜志：初中版(ZhongXueShuXueZaZhi：ChuZhongBan)
【國際標准刊號】：1002-2775 【國內統一刊號】：37-1116
【作者單位】：[1]沂南大庄中學 [2]沂南第四中學276300([1]YiNanDaZhuangZhongXue [2]YiNanDiSiZhongXue276300)
【分類號】：G633.6 【頁碼】：-8-10 【出版年】：2000.5

【題名】：數學推理中的分析法山東教育論文()
【關鍵詞】：數學推理 數學學習 分析法 學生 證明 題目 途徑 知道 邏輯關系 書寫
【keywords】：ShuXueTuiLi ShuXueXueXi FenXiFa XueSheng ZhengMing TiMu TuJing ZhiDao LuoJiGuanXi ShuXie
【作者】：李樹臣 【來源】： 知識詞典
【期刊名稱】：山東教育(ShanDongJiaoYu)
【國際標准刊號】：1004-0897 【國內統一刊號】：37-1025
【作者單位】：沂南四中(YiNanSiZhong)
【分類號】：G633 【頁碼】：-41-42 【出版年】：2001.8
在數學學習中，學生都想知道，碰到一道稍微復雜的題目(特別是兒何題目)，應如何著手思考，如何在較短的時間內找到一種正確的解(證)題途徑，並完整地按照一定的邏輯關系將解(證明)的過程書寫出來。為此，我們在本文介紹一種經常用到的邏輯方法，這就是分析與綜合。

【題名】：數學推理的本質和功能及其能力培養數學教育學報論文()
【關鍵詞】：數學推理 本質 功能 培養 演繹推理 合情推理 實踐性推理 思維功能 理解功能
【keywords】：ShuXueTuiLi BenZhi GongNeng PeiYang YanYiTuiLi HeQingTuiLi ShiJianXingTuiLi SiWeiGongNeng LiJieGongNeng
【作者】：寧連華 【來源】： 知識詞典
【期刊名稱】：數學教育學報(ShuXueJiaoYuXueBao)
【國際標准刊號】：1004-9894 【國內統一刊號】：12-1194
【作者單位】：南京師范大學數學與計算機科學學院，江蘇南京210097(，JiangSuNanJing210097)
【分類號】：G427 O1-0 【頁碼】：-42-45 【出版年】：2003.3
數學推理包括演繹推理、合情推理及實踐性推理等，但其本質在於演繹推理．思維功能和理解功能是數學推理的2個主要功能．在早期數學教育中，對推理能力尤其是演繹推理能力的培養至關重要．數學課程設置及教學實施要創造推理的環境和機會，使數學課堂形成良好的推理風氣。

E. 如何巧借圖表分析解決小學數學應用題

小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件，第二部分是所求問題。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。解答應用題的關鍵在於理解數量關系，數量關系可以用圖表來表達，通過讓學生畫圖表，再加以分析數量間的關系，使問題迎刃而解。
一、對圖表分析法重要性的認識是前提
數學應用題對於正處於由形象思維向抽象思維過渡的小學生來說，由於文字敘述比較抽象，數量關系比較復雜，因此理解起來困難較大。如果不掌握一種直觀而又科學的分析方法，不斷開拓解題的思路和提高解題的能力，長此以往將極大地挫傷學生學習的積極性。為此，圖表法作為一種切實可行的數學思維方法，可以幫助學生輕松、愉快的學會解決復雜關系的應用題，不但可以培養學生的理解能力，提高思維能力，還可調動學生解答應用題的積極性和主動性。
（一）藉助於圖表法解題，可以化抽象為具體
小學生年齡小，認知能力、知識構架和理解能力的局限性，一定程度上影響學生對題目已知條件和未知問題的理解。教師引導學生用圖表的形式表示題目中的數量關系，更符合小學生的認知規律，使深奧的數學問題變得直觀、形象、具體。
（二）藉助於圖表法解題，可以化繁為簡
行程問題、工程問題涉及數量多、數量關系比較復雜，往往讓學生難以理清彼此間的關系，藉助圖表中的線段表示法可以准確地找出數量間的一一對應關系，從而理清頭緒，比較容易地解出要求的問題。
（三）藉助於圖表法解題，可以化知識為能力
運用圖表法解應用題的前提是學會閱讀題目，通過閱讀弄清已知條件和未知條件之間的關系，久而久之可以培養學生的理解能力和邏輯思維能力。同時在畫圖過程中還可以激發學生的靈感，變抽象為具體，提高學生的聯想能力。
二、對數學中數量關系的准確分析是關鍵
數量關系是指應用題中已知數量和未知數量之間的關系，只有搞清數量關系，才能根據四則運算的意義恰當的選擇演算法，把數學問題轉化為數學式子，通過計算進行解答。數量關系分析法分為三步：第一步是尋找題中的數量；第二步是明確各數量間的關系；第三步是解決各個產生的問題。下面以一道例題的教學從以下幾方面來談數量關系分析法的運用。
如：「學校舉行書法大賽，三年級有35人參加比賽，四年級參加的人數是三年級3倍，五年級參加的人數比三、四年級參加的總人數多12人。五年級參加比賽的有多少人？」師：題中有幾個數量呢？生：三個。師：哪兩個數量之間有直接關系呢？生：三年級有35人參加比賽，四年級參加的人數是三年級3倍。師：這兩個數量間的關系讓我們頭腦中產生一個什麼問題呢？生：四年級有多少人參加比賽？師：怎樣列式解答這個問題呢？生：用乘法35 ×3=105（人）。師：現在又多了一個數量：四年級有105人參加比賽，那麼哪兩個數量間又存在關系呢？根據他們的關系可以產生一個怎樣的問題？生：三年級有35人參加比賽，四年級有105人參加比賽。問題是：三四年級參加比賽一共有多少人？師：所以第二步算式怎樣列呢？生：105+35=140（人）。師：根據現在已經產生的數量，又有哪兩個數量間的關系存在呢？生：三、四年級參加比賽一共有多140人，五年級參加的人數比三、四年級參加的總人數多12人。師：這兩個數量間的關系能幫助我們解決什麼問題呢？生：五年級參加比賽的有多少人？師：那麼解決最後問題的算式怎樣列出呢？生：140+12=152（人）
三、培養學生具有熟練的圖表能力是基礎
圖表法因其直觀性與實用性，在解決數學應用題方面具有很大的優勢，但對於小學生，尤其是低年級學生而言，如何將抽象的語言文字轉換成具體直觀的畫面，完成從文字到圖表的抽象過程將是一件很困難的事，這就需要教師從學生接觸應用題開始，就進行相關方面的訓練，循序漸進地提高審題的能力和畫圖的水平。一般來講，可通過 個方面的科學訓練，以達到准確熟練地實現從文本文字轉換成圖畫符合。
（一）教師要躬親示範做好榜樣
要求教師在解題中形成運用圖表法的習慣，從最基本的「1」開始，比如1個蘋果可以用圓圈來表示，一個人可以用一豎橫來表示，一段路程可以一橫來表示，手把手來教會學生葫蘆畫瓢，仿照一步一步來畫， 找准數量關系，切不可急於求成。
（二）教師要因材施教做好指導
隨著學生對「1」這個概念的理解，學生可以由此推及到大的數量，比如20米長如果真用20米畫那困難大了，教師可指導學生用1厘米或者是3厘米、4厘米來表示長度，其中的1份代表多少厘米，幾分之幾是多少的問題通過畫圖可以清晰地表示出來。在具體過程中要將讀題、口述、畫圖有機結合起來，實現數量關系與圖畫的有機統一。
（三）教師要適時放手做好點撥
待學生掌握了一定的技能後， 教師可以放手讓學生自己去畫， 可以按照教師平時說的去表示，也可創造性地根據自己的理解、喜好去畫，只要科學、合理、直觀地反映數量關系即可，而且要遵循簡潔明了的原則，教師可給以適時的點撥，不斷培養學生的使用圖表解決問題的主動性、自覺性，同時也可讓學生分組合作交流，評選出最優方案，不斷提高學生的圖表解析問題的能力。
實踐證明， 圖表法具有直觀性、形象性、實用性的優點，完全符合小學中低段學生以具體形象思維為主的年齡特點。如果學生從小掌握了藉助圖表輔助解題的方法， 分析問題和解決問題的能力將會有大大的提高， 對今後的學習生活將有很大的幫助。

F. 極限分析法在數學中有什麼應用

關於概念你可以上網查查。對於極限分析法，對於處理實際問題有很大地幫助，比如解決不規則物體的質量，體積，還有一些其它問題。

G. 關於數學分析的學習方法

這樣沒有問題，一開始覺得可能比較慢，但基礎扎實。還有，要注意學習的節奏，不能在某些問題上乾耗。實在搞不明白，可以放著，以後學習深了，再來研究，說不定就會有意外收獲。有問題時可以找志同道合的一起研究，也是一大樂事。

H. 常用的數學分析方法有哪些

1．避免「一步到位」
是指解題過程中，省略關鍵步驟，而直接得到答案，這樣扣分是嚴重的．由於解答題是嚴格按照步驟給分的，如果解題過程中失去關鍵步驟，跳過擬考查的知識點、能力點，就意味著失去得分點，自然被扣分.
例1(2000年全國高考題) 已知函數y＝ cos2x＋ sinxcosx＋1，x∈R．
(I) 當函數y取得最大值時，求自變數x的集合；
(II) 該函數的圖像可由y＝sinx(x∈R)的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？
解：(I)由題設可得，y＝ sin(2x＋ )＋ ，故有
當 x= ＋k ，k∈Z，函數y取得最大值．
(II) 略．
評註：在(Ⅰ)的解答中犯了「大題小作」中的「一步到位」錯誤，缺少了化簡過程的3個要點與何時取到最大值的1個要點，因而被扣分.
2． 避免「使用升華結論」
在解選擇和填空題中，使用升華結論(教材中未給出的正確結論)是允許的，而且還是一種簡捷快速的答題技巧．而直接運用(不加說明或證明)在解答題中是不合適的，且是「大題小作」，要適當扣分的.
解答高考解答題的理論根據應該是教材中的定義、定理、公理和公式，而學生使用「升華結論」則達不到考查能力、考查過程的目的，因此不能以題解題，不能直接運用教材以外別的東西，以免被扣分.
例2⑴(1991年全國高考題) 根據函數單調性的定義，證明函數f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數．
⑵(2001年全國高考題) 設拋物線y2 =2px (p＞0)的焦點為F，經過點F的直線交拋物線於A、B兩點，點C在拋物線的准線上，且BC∥x軸．證明直線AC經過原點O．
評分標准中指出：
對於⑴：「利用y＝x3在[0，＋∞)上是增函數的性質，未證明y＝x3在(－∞，＋∞)上也是增函數而直接寫出f(x1)－f(x2)＝ － ＜0，未能證明為什麼 － ＜0過程，由評分標准知最多得3分．
對於⑵：有些考生證明時，直接運用課本中的引申結論「y1 y2＝p2」而跳過擬考查的知識點、能力點而被扣2分.
對於課本習題、例題的結論，是要通過證明才能直接使用(黑體字結論例外)，否則將被「定性」為解題不完整而被扣分．又如1996年高考理科第22(Ⅱ)及2001年全國高考理科第17(Ⅱ)利用面積射影定理，由於不加證明而直接使用，因而被扣分.
3 避免「答非所問」
是指沒有根據題意要求或沒有看清題意要求，用其它方法或結論作答，這明顯也要被扣分的.
例3(1993年全國高考題)已知數列
Sn為其前n項和．計算得 觀察上述結果，推測出計算Sn的公式，並用數學歸納法加以證明．
解：依據題意，推測出Sn的公式為：
Sn＝ ．
∵ ak＝ ＝ － ，
分別取k＝1，2，3，…，n，並將n個式子相加得：
Sn＝1－ ＝ ．
評注 以上解法可謂「簡單、明了」，但證明時不用數學歸納法，為「答非所問」，不合題意，扣分是必然的. 又如1999年高考第22題(應用題)，第(Ⅰ)問中求「冷軋機至少需要安裝多少對軋輥」，要求是用整數作答，不少考生未能用整數作答，違背題意而被扣分.
(四)了解「評分標准」，把握得分點
掌握解答題的「得分點」就要了解高考的評分標准，解答題評分標準是分步給分，但並非寫得越多得分越高，而是踏上得分點就給分，即按所用的數學知識，數學思想方法要點式給分，允許「等價答案」，允許「跳步得分」. 因此解答時，應步驟清，要點明，格式齊. 對於不同題型的給分規律有：
1．立幾題得分點
通常分作證，計算兩部分給分，各段中間又按要點給分.證明主要寫清兩點：①空間位置關系的判斷推理的依據(課本中的定理、公理)；②什麼是空間角和距離及理由(緊扣定義). 特別要注意沒有寫清角、距離要被扣分. 計算過程的書寫：計算一般是解三角形，要寫清三角形的條件及解出的結果. 用等積法解題，要找出等積關系並計算. 都是分段得分的，如1998年23題，1999年22題，都有3個小題，每小題4分，其中作證2分，計算2分.
2．分類討論題得分點
按所分類分別給分，加上歸納的格式(即寫為「綜上：當××時，結論是××」)分. 如1996年第20題，按a＞1和0＜a＜1兩類分別給5分，歸納給1分. 2000年理19(Ⅱ)，求 a 的取值范圍，使函數在區間[0，＋∞)上是單調函數，按 a≥1和0＜a＜1討論各得2分.
3．應用題得分點
按設列、解答兩部分給分. 特別要注意不答和答錯都要扣1分，應注意設、列、解、答的完整性，爭取步驟階段分.
4．推理證明題得分點
按推理格式，推理變形步驟給分. 對於用定義證明函數的單調性、奇偶性，用數學歸納法證題，都有嚴格的格式分，應完整，避免失分. 即使推理證明不出，寧可跳步作答，也要套用格式. 從條件、結論兩頭往中間靠，這樣寫完格式，這樣可以少扣分.
5．綜合題得分點
按解答的過程，分步給分，每個步驟又按要點給分. 盡可能把過程分步寫出，盡量不跳步，根據題意
列出關系，譯出題設中每一個條件，能演算幾步算幾步，尚未成功不等於失敗，特別是那些解題層次分明的題目，那些已經程序化的方法，每進行一步得分點的演算都可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有算出來，但分數已過半，所以說，「大題拿小分」也是一個好主意. 因此盡量增加分步得分機會，千萬別輕易留空白題.
(五)常用的解答題解題技巧
1.較簡單的解答題的求解
對於比較容易解答的解答題(一般是前面3道),宜採用一慢一快的方法,就是審題要慢,解題要快,速戰速決,為後面3道解答題留下時間.
找到解題方法後，書寫要簡明扼要，快速規范，不要拖泥帶水，羅唆重復，用閱卷老師的話，就是寫出「得分點」，一般來講，一個原理寫一步就可以了。至於不是題目直接考查的過渡知識，可以直接寫出結論，高考允許合理省略非關鍵步驟，應詳略得當。
例2004北京理科第15題
在 中， ， ， ，求 的值和 的面積.
分析:本小題主要考查三角恆等變形、三角形面積公式等基本知識，考查運算能力
解：
又 ,

.

2.較難的解答題的求解
對於較難的解答題(後面3道)來說,要想在有限的時間內做全對是不大現實的.當然也不能全部放棄,應該盡可能的爭取多拿分.對於絕大多數考生來說，在這里重要的是：如何從拿不下來的題目中分段得點分。我們說，有什麼樣的解題策略，就有什麼樣的得分策略，下面談四個觀點。
(1)、缺步解答
如果我們遇到一個很困難的問題，確實啃不動，一個明智的策略是：將它分解成為一個系列的步驟，或者是一個個子問題，能演算幾步就演算幾步，尚未成功不等於徹底失敗，每進行一步得分點的演算就可以得到這一步的滿分，最後結論雖然沒有得出來，但分數卻已過半。因為近幾年高考解答題的特點是：入口易完善難，不可輕易放棄任何一題。
例: (2004浙江理科第21題)已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1.
（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且 ，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）當 時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲線的方程.
解: (Ⅰ)由條件得直線AP的方程
即
因為點M到直線AP的距離為1,
∵ 即 .
∵ ∴
解得 +1≤m≤3或--1≤m≤1-- .
∴m的取值范圍是
(Ⅱ)可設雙曲線方程為 由
得 .
又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45º,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1.因此， （不妨設P在第一象限）
直線PQ方程為 .
直線AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐標是（2+ ，1+ ），將P點坐標代入 得，

所以所求雙曲線方程為
即
(2)、跳步解答
解題卡在某一過渡環節上是常見的，這時，我們可以先承認中間結論，往後推，看能否得到結論。如果得不出，證明這個途徑不對，立即改變方向；如果能得出預期結論，我們再回過頭來，集中力量攻克這個「中途點」。由於高考時間的限制，「中途點」的攻克來不及了，那麼可以把前面的寫下來，再寫上「證明某步之後，繼而有……」一定做到底。也許，後來中間步驟又想出來了，這時不要亂七八糟地補上去，可補在後面，可書寫為「事實上，某步可證如下」。
有的題目可能設有多問，第一問求不出來，可以把第一問當成已知，先做第二問，這也算做是跳步解答。
例: (2004天津文科第18題) 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.
(I) 求所選3人都是男生的概率；
(II)求所選3人中恰有1名女生的概率；
(III)求所選3人中至少有1名女生的概率.
解: (I) 所選3人都是男生的概率為
(II)所選3人中恰有1名女生的概率為
(III)所選3人中至少有1名女生的概率為
這3道小題可以說是互相獨立的,彼此不相干.所以如果第1小題做不來,可以跳過去,直接做第2小題.

(3)、退步解答
「以退求進」是一個重要的解題策略，如果你不能解決題中所提出的問題，那麼，你可以從一般退到特殊，從復雜退到簡單，從整體退到局部。總之，退到一個你能夠解決的問題，比如，{an}是公比為q的等比數列，Sn為{an}的前n項和，若Sn成等差數列，求公比q=____.
對等比數列問題，我們需考慮到q=1，q≠1兩種情況，你可以先對特殊的q=1進行討論，滿足題意，找到解題思路和情緒上的穩定後，再討論q≠1時是否也滿足題意，發現無解，如果對q≠ 1的情況你確實不會解，你還可以開門見山的寫上：本題分兩種情況：q=1或q≠1.
也許你只能完成一種情況，但你沒有用一種情況來代替主體。在概念上、邏輯上是清楚的。另外「難的不會做簡單的」還為尋找正確的、一般的解題方法提供了有意義的啟發。
4、輔助解答
一道題目的完整解答，即要有主要的實質性的步驟，也要有次要的輔助性的步驟，如：准確的作圖，把題目中的條件翻譯成數學表達式，設應用題中的未知量，函數中變數的取值范圍，軌跡題中的動點坐標，數學歸納法證明時，第一步n的取值等，如果處理得當，也會增分，不要小視它們。
另外，書寫也是輔助解答，卷面隨意塗改及正確答案的位置不合理，都會造成不必要的失分。
所以，有人說，書寫工整，卷面整齊也得分，不無道理。

I. 在小學數學中如何教給學生准確分析應用題的方法

在小學數學的學習中，應用題的占的比率很大。而在現實生活中，我們也可以利用所學到的應用題來解決實際的問題。例如，費用的支出和收入、盈虧問題，行程問題，工程問題等等。因此，可以說應用題是生活的需要，無所不有，無處不在。其實應用題的學習是對小學生進行思維訓練，培養小學生的數學邏輯思維能力，提高其數學素質。因此，應用題教學是小學數學教學中的一個重點。以下是我的幾點看法：
一、引導學生怎樣解應用題
1、認真閱讀題目。很多學生一直認為只有語文才需要一遍遍地讀。數學是一門很省力的科目，不需要怎麼花時間讀題的。其實這是個很大的誤區。數學是一門綜合性非常強的科目，對語言的理解能力要求相當高。同時讀題也是解決應用題的重要環節，是學生自己感知信息數據的過程。讀，看起來是非常簡單的事。但數學應用題的讀不是泛泛而讀，要求的是讀通、讀透。很多學生之所以做錯，其中最主要原因之一就是由於讀題時走馬觀花，完全沒有看懂題目問了什麼，很隨意的就開始動筆，這樣的結果往往是做錯了題目，甚至有的題目錯的非常的離譜，讓老師無法理解你是如何做出來的。「書讀百遍，其義自見。」應用題也不例外。甚至可以這么說：「與其讓學生抄題目，不如讓學生認真讀題目。」這當中的道理，就像讓學生抄不認識的字一樣，不論抄多少遍，學生還是同樣不認識、不理解。認真的讀題，不僅能提高學生的數學意識，而且也使學生的感知能力得到了培養，同時也提高了學生捕捉信息數據的能力，為學生理解題意奠定了初步的基石。
2、圈重點。在做應用題的時候一定要把重點的詞圈下來。這里所謂的重點詞並不是指同一個詞語，因為每個學生的理解能力不同，所以在他們眼中重點的詞也是完全不一樣的，有多有少，但不管怎麼，圈出的詞一定要為你做題服務。例如：在教《分數加減法》時，經常會遇到這樣的題目，一塊地共多少公頃，其中多少種大豆，多少種棉花，其餘種玉米，玉米的種植面積占這塊地的幾分之幾？
這道題主要是讓你區別給你的分數是分率還是一個數。這個時候我就要求學生必須把有單位名稱的數字圈出來，這樣可以提醒自己，數和分率是不同的，不可以進行加減法。同時劃出「幾分之幾」明白的告訴學生求的是一個分率，和公頃無關。劃是一個很好的習慣，可以提醒學生在今後的思考中注意一些細小的地方，以免出現不該有的錯誤。
二、培養學生的想像能力。
在應用題教學中，必須採用「聯想法」引導學生進行推理、想像。可讓學生找出題中關鍵詞來引發聯想，由題中的一個詞語或數量想到與之有關的另一個詞語或數量，以弄清題中的數量關系。如：五年級同學要澆300棵樹，已經澆了180棵，剩下的分3次澆完，平均每次要澆多少棵？題中出現「要澆、已澆、剩下、3次、平均每次」等字眼，教學時可提示，引導學生進行推理想像，展開一個由「要澆」、「已澆」想到「剩下」，由「剩下」、「分3次」想到「平均每次」的合理想像過程。又如：一塊長方形的蘿卜地，長15米，寬6米。在這塊地里一共收蘿卜1350千克，平均每平方米收蘿卜多少千克？ 解題時只要學生能從「長、寬」想到「周長」或「面積」，或由「平方米」想到「面積」（平方米是常用的面積單位），就能確定必須先求面積了。這樣，問題不就迎刃而解了嗎？
三、讓學生分析應用題常用的推理方法
教學過程中，教給學生分析應用題的推理方法，幫助學生明確解題思路至關重要。分析法和綜合法是常用的分析方法。所謂分析法，就是從應用題中欲求的問題出發進行分析，首先考慮，為了解題需要哪些條件，而這些條件哪些是已知的，哪些是未知的，直到未知條件都能在題目中找到為止。例如：甲車一次運煤300千克，乙車比甲車多運50千克，兩車一次共運煤多少千克？
指導學生口述，要求兩車一次共運煤多少千克？根據題意必須知道哪兩個條件（甲車運的和乙車運的）？題中列出的條件哪個是已知的（甲車運的），哪個是未知的（乙車運的），應先求什麼（乙車運的300+50=350）？然後再求什麼（兩車一共用煤多少千克，300+350=650）？
綜合法是從應用題的已知條件出發，通過分析推導出題中要求的問題。如上例，引導學生這樣想：知道甲車運煤300千克，乙車比甲車多用50千克，可以求出乙車運煤重量（300+50=350），有了這個條件就能求出兩車一共運煤多少千克？（300+350=650）。通過上面題的兩種解法可以看出，不論是用分析法還是用綜合法，都要把應用題的已知條件和所求問題結合起來考慮，所求問題是思考方向，已知條件是解題的依據。
四、培養學生多練習的習慣
多練即對學生進行多種形式的解應用題的訓練。練習中，教師要注意照顧全體，輔差培優，這樣既可穩定尖子生，又可提高中差等生。練習可分為課堂練習和課外練習。設計練習題時應恰當運用口答、板演、書面練習和動手操作等多種練習相結合的形式，注意「質」與「量」的有機統一，發揮每種練習的獨特作用，調動全體學生的積極性，培養學生的創新意識和實踐能力，從而達到開發學生智力，使練習收到實效。比如：既要設計一些選擇、改編、補充條件或問題等基本形式的練習，又要適當設計一些開放性練習。如答案不唯一，一題多變、一題多解、多餘條件、條件不夠等。讓他們在點點滴滴的進步中感受「成功」的喜悅，產生學習的成就感和自豪感，讓他們感受到學習數學的輕松與快樂。
五、引導學生學會「假設」
假設是指將題中的某一條件先假設為與其相近的另一條件，從而使問題的解答趨於簡單、明朗。如練習題：「一批煤，原計劃每天燒16噸，實際每天燒12噸，結果多燒5天。原計劃這批煤可以燒多少天？」假設實際燒煤的時間與原計劃燒煤的時間相同，則實際燒煤的總噸數要比原計劃燒煤的總噸數少12×5=60（噸）。總噸數差60噸的原因是什麼呢？因為實際比原計劃每天少燒16-12=4（噸），60噸里包含幾個4噸，就是原計劃燒煤的時間。根據實際少燒的噸數和實際少燒的時間，就能求出總噸數。
12×5÷（16-12）=15（天）
六、讓數學與生活相結合
我們應從課堂教學入手，聯系生活實際講數學，把孩子的生活經驗數學化，把數學問題生活化。如教學圖畫應用題時，可以編一道這樣的文字應用題：過春節了，爸爸買了一籃子又紅又大的蘋果共10個，給姥姥送去4個，還剩幾個？這樣似乎累贅，但很明顯學生感覺到四個蘋果是從籃子里拿出來的，拿出來即「去掉」，「去掉」就用減法，從10個里去掉4個，則用10減去4得6個。這比讓學生說籃子外面和裡面共有10個蘋果，籃子外有4個，求籃子里有幾個蘋果，讓學生列式計算效果要好得多。又如教學「小明要寫9個字，已經寫了6個，還要寫幾個？」這一道應用題時，教師就畫9個田字格，在6個格子中寫6個字，指著剩下的空田字格問學生「還要寫幾個」。寫一個字就相當於去掉了（手勢）一個格（因為這個格子寫過了就不能再寫了），寫6個字去掉了幾個格？去掉用什麼方法？這樣學生就很快地理解了，還要寫幾個用減法，用總數減去已經寫的個數。這樣的例子還很多，至於怎樣表述更有利於不同的學生理解，就在於教師對學生的了解程度及引導方式了。
總之，教無定法，作為一名數學老師，要從多方面引導學生，教導學生，學生的思路越清析，解題方法也就越豐富靈活。因此，教學中教師不能僅僅滿足於得出正確的結果，而要進行必要的研究。只有這樣才能使學生能靈活運用不同的方法解決問題，做到活學活用，也只有這樣才能滿足於學生的求知慾，使其在數學上得到更好的發展。

J. 什麼是層次分析法，在數學建模中該如何運用

層次分析法在經濟、科技、文化、軍事、環境乃至社會發展等方面的管理決策中都有廣泛的應用.常用來解決諸如綜合評價、選擇決策方案、估計和預測、投入量的分配等問題.