初中數學的因式分解怎麼做

⑴ 初中因式分解是什麼

因式分解法是數學中用以求解高次一元方程的一種方法。把方程的一側的數(包括未知數)，通過移動使其值化成0，把方程的另一側各項化成若干因式的乘積，然後分別令各因式等於0而求出其解的方法叫因式分解法。

因式分解是代數學術語，指將一個多項式表示為幾個多項式之積的過程與結果，數域Р上每一個次數n21的多項式都可以唯一分解成Р上的不可約多項式的乘積，將P上多項式表示成這樣的乘積的過程稱為多項式的因式分解，簡稱因式分解（或分解因式)。在不同的數域上，多項式分解因式的結果可能是不同的。

方法分類:

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。

而在競賽上，又有拆項和添減項法、分組分解法和十字相乘法、待定系數法、雙十字相乘法、對稱多項式輪換對稱多項式法、余數定理法、求根公式法、換元法、長除法、除法等。

⑵ 初中八年級數學因式分解的幾種方法

找了一些我學過的給你，我也上初二！
定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。
公式法
如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。
平方差公式:
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
反過來為a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反過來為a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
分解因式技巧
1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。
2.分解因式技巧掌握：
①等式左邊必須是多項式；
②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；
③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；
④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。
註：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從系數和因式兩個方面考慮。
3.提公因式法基本步驟：
（1）找出公因式；
（2）提公因式並確定另一個因式：
①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數在確定字母；
②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；
③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1.
5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：系數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。
2.
x^3-x^2+x-1
解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
=x^2(x-1)+
(x-1)
=(x-1)(x^3+1)
利用二二分法，提公因式法提出
x2，然後相合輕松解決。
3.
x^2-x-y^2-y
解法：=(x^2-y^2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。
十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
a╲╱c
b╱╲d
例如：因為
1
╲╱2
-3╱╲
7
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中
拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)．
換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。
相關公式
注意:換元後勿忘還元.
例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時，可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1)．

⑶ 因式分解怎麼做一般分為哪幾種方法（有例題講解最好）

1. 提公因式法：xx+5x=0→x(x+5)=0
   

2. 公式法：[比如你用完全平方公式aa+2ab+bb=(a+b)(a+b)]2xx+4xx+2=0→

   2(xx+2xx+1)=0→2(x+1)(x+1)=0

3. 十字相乘：xx+2x-3=xx+(3-1)x+(-1)*3=(x+3)(x-1)

4. 分組分解法：xx+yy+13-6x-4y=xx-6x+yy-4y+9+4=(xx-6x+9)+(yy-4y+4)

   =(x-3)(x-3)+(y-2)(y-2)

望採納！

⑷ 如何巧做因式分解

把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式，和我們小學里學的因數分解很類似。

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

口訣：先提首項負號，再看有無公因式，後看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括弧，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止，就像把8進行因數分解的時候，不能寫成8=2*4，這里的4還可以再分解成為2*2，所以要寫成8=2*2*2。

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然後再抽出公因子；

6、括弧內的首項系數一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如ab+ac，因式分解時要寫成a(b+c)；

8、考試時一般就要化到實數，在實數范圍內因式分解，因為在初中，實數范圍是最大的。

口訣：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。

不叫提公因式，因為括弧內不得用分數。

⑸ 因式分解怎麼做，步驟！

1.提取公因式
這個是最基本的.就是有公因式就提出來,這個大家都會,就不多說了
2.完全平方
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
看到式字內有兩個數平方就要注意下了,找找有沒有兩數積的兩倍,有的話就按上面的公式進行.
3.平方差公式
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
這個要熟記,因為在配完全平方時有可能會拆添項,如果前面是完全平方,後面又減一個數的話,就可以用平方差公式再進行分解.
4.十字相乘
x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
這個很實用,但用起來不容易.
在無法用以上的方法進行分解時,可以用下十字相乘法.
例子:x^2+5x+6
首先觀察,有二次項,一次項和常數項,可以採用十字相乘法.
一次項系數為1.所以可以寫成1*1
常數項為6.可以寫成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小數不提倡)
然後這樣排列
1 - 2

1 - 3
(後面一列的位置可以調換,只要這兩個數的乘積為常數項即可)
然後對角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘積相加.2+3=5,與一次項系數相同(有可能不相等,此時應另做嘗試),所以可一寫為(x+2)(x+3) (此時橫著來就行了)

我再寫幾個式子,樓主再自己琢磨下吧.
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
2x^2+5x-12=(2x-3)(x+4)

其實最重要的是自己去運用,以上方法其實可以聯合起來一起用,實踐永遠比別人教要好.

順便告訴你.若一個式子的b^2-4ac小於0的話,這個式子是無論如何也不能分解了(在實數范圍內,b為一次項系數,a為二次項系數,c為常數項)

這些方法一般在最高次為二次時適用!

⑹ 因式分解方法是怎麼樣的

分解因式最簡單的方法，就是提公因式

不過要注意，公因式不僅是系數、字母，還會是一個式子，例如

( a + b )( 3m + 2n ) + ( 2m + 3n )( a + b )，公因式是 ( a + b )

= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )

= ( a + b )( 5m + 5n ) 這樣再提出系數 5

= 5( a + b )( m + n )

公式法就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒過來用

a" - b" = (a - b)(a + b)

a" + 2ab + b" = (a + b)"

a" - 2ab + b" = (a - b)"

a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")

a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")

(6)初中數學的因式分解怎麼做擴展閱讀：

把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。因式分解沒有普遍的方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；

完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3．

其他公式：(1)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)

例如：a2+4ab+4b2=(a+2b)2。

⑺ 數學因式分解的方法

因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：
1、 提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象法
令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

⑻ 數學因式分解怎麼做

數學因式分解題做法，無非是提取公因式或湊公式。
1、公因式法，如果一個多項式的各項都含有公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式
2、比如分解因式x^3-2x^2-x=x（x^2-2x-1）。
3、應用公式法，由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，把乘法公式反過來就可以用來把某些多項式分解因式。
4、比如分解因式a2+4ab+4b2，可得到結果為（a+2b）×2。

⑼ 初二數學因式分解怎麼做詳細過程詳細方法，拜託了各位

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。 也可以用一句話來概括：「先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。」 幾道例題 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的過程也可以參看右圖。） 當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。 3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。 分析：此題實質上是對關系式的等號左邊的多項式進行因式分解。 證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三條邊， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC為等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．因式分解中的四個注意，可用四句話概括如下：首項有負常提負，各項有「公」先提「公」，某項提出莫漏1，括弧裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考 例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。 解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2） 這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤 例2把－12x2ｎyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1） 這里的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這里的「1」，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1。 分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「干凈」，不留「尾巴」，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤。 考試時應注意： 在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了,有說明實數的話,一般就要化到整數！ 由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：「先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適」等是一脈相承的。 編輯本段應用 1、 應用於多項式除法。 2、 應用於高次方程的求根。 3、 應用於分式的通分與約分 順帶一提，梅森合數分解已經取得一些微不足道的進展： 1，p=4r+3，如果8r+7也是素數，則：(8r+7)|(2^P-1)。即（2p+1）|（2^P-1）； .例如： 23|(2^11-1);；11=4×2+3； 47|(2^23-1);；23=4×5+3； 167|(2^83-1);,,,.83=4×20+3； 。。。。 2,，p=2^n×3^2+1,，則（6p+1）|(2^P-1)， 例如：223|(2^37-1);；37=2×2×3×3+1； 439|(2^73-1)；73=2×2×2×3×3+1； 3463|(2^577-1);；577=2×2×2×2×2×2×3×3+1； ，，，。 3，p=2^n×3^m×5^s-1,則（8p+1）|（2^P-1）； .例如;233|(2^29-1)；29=2×3×5-1； ;1433|(2^179-1)；179=2×2×3×3×5-1； 1913|（2^239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1； ，，，。 還有一些梅森數分解取得進展，不再一一敘述