數學史上的天元是什麼

㈠ 天元術的主要貢獻者是誰

李冶

所謂「天元術」，就是設未知數為「天」，然後列出方程，解方程題， 「天元術」的創造者是金、元時期的數學家李冶。他原在金朝做小官，元滅金後，隱居灣山，潛心研究學問，於1248年著成《 測園海鏡》12卷，以解直角三角形容圓內切圓問題為典型問題，論述「天元術」。

李冶的天元術中，先「立天元為一某某」就是設未知數，然後根據問題的條件列出天元式。在未知量的一次項旁邊記一「元」字，在常數項旁記一「太」字，並按高次冪在上低次冪在排列，還可兩個天元式相減進行「同數相消」。天元術已有現代列方程記法的雛型，現代學史家稱它為半符號代數。用「元」代表未知數的說法，一直沿用到現在。

㈡ 對我國古代數學成就天元術的發展

天元術

天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。

「天元」二字首次出現在北宋數學家蔣周的《益古集》中。此後，李文一的《照膽》，石信道的《鈐經》，劉汝諧的《如積釋鎖》，李思聰的《洞淵九容》等著作均對「天元術」進行了一定闡述。但這些方法不系統，一般淺談輒止。對天元術貢獻最大的數學家當屬金元人李冶和朱世傑。李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》，朱世傑的《算學啟蒙》、《四元玉鑒》都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

公元1248年，12卷的《測圓海鏡》的天元術專著誕生。從此書開始，文詞代數演變成符號代數。《測圓海鏡》是一本高雅、正宗的數學專著。其高雅之處有三：

一是總結性強。該書第一卷「識別雜記」闡述了用勾股弦求內切圓直徑的方法，這些方法都是整合前代數學家所成。該書600多條定義，就是古代勾股容圓的總結。從第二捲起，他總結出一套行之有效的天元術程序，並用182種方法先後解答了148個問題。

二是專業度高。書中所列的天元術理論，勾股形解法，數學抽象化的新起點等知識，都是當時最先進的理論知識。

三是敢於創新。為了計算方便，該書中首次使用了負號（在數字上面加一橫）和符號○（中文數字），以及一套先進的小數記法。這些都比西方數學家早幾百年。

李治很快認識到，自己花費十幾年心血寫出的《測圓海鏡》太過高雅、精深，一般人看不懂，普及天元術從何談起？為此，他決心寫一部天元術的基礎讀物。經過十幾年努力，他終於完成了三卷《益古演段》。「益古」指蔣周的專著《益古集》，「演段」即《益古集》中演示的條段法。所謂條段法，是根據古書《九章算術》中用幾何方法代替代數方程的方法，因方程中各項均用條形面積所表示而得名。很顯然，條段法是一種舊法，雖然直觀，但計算麻煩且占篇幅。《益古演段》正是把條段法轉化為天元術的第一理論書，正如序言所講：「使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！」

《益古演段》最大特色就是用天元術解決日常所見的方、圓面積等問題。除四道題是一次方程外，其它都是二次方程，內容安排基本上是從易到難。當時只要熟讀《益古演段》，便可依葫蘆畫瓢地列出方程解決類似問題。可以這么說，目前初中數學教材上的一元二次方程，其解題思想均來自於李冶的《益古演段》。

《測圓海鏡》和《益古演段》成為世界上至今保留下來的有關「天

㈢ 對我國古代數學成就天元術的發展作出重要貢獻的是誰

李冶

我國古代重要的數學成就「天元術」的主要貢獻者是李冶。十二、十三世紀，中國北方終於出現了一種系統解一元方程的方法，即著名的天元術。「天元」即未知數的意思。

「天元」二字首次出現在北宋數學家蔣周的《益古集》中。此後，李文一的《照膽》，石信道的《鈐經》，劉汝諧的《如積釋鎖》，李思聰的《洞淵九容》等著作均對「天元術」進行了一定闡述。但這些方法不系統，一般淺談輒止。

對天元術貢獻最大的數學家當屬金元人李冶和朱世傑。李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》，朱世傑的《算學啟蒙》、《四元玉鑒》都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

(3)數學史上的天元是什麼擴展閱讀

歐洲的數學家，到了十六世紀才完成的東西，在我國在十三世紀已經作出來了。1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》中，系統地介紹了天元術。

用天元術列方程的方法是：首先「立天元一為某棠」，就是現在的設未知數x，然後依據問題的條件列出兩個相等的天元式（就是含這個天元的多項式），把這兩個天元式相減，就得到一個天元式，就是高次方程式。

最後用增乘開方法求這個方程的正根。顯然，天元術和現今代數方程的列法雷同，而在歐洲，只是在十六世紀才開始做到這一點。

我國把解方程稱為「開方術」，除了天元術，還有四元術，即是解四元高次方程，這一點，歐洲直到十八世紀才完成，比中國晚了四百多年。

㈣ 天元術與四元術是什麼

天元術和四元術是宋代創造的高次方程的數值解法。天元術是列方程的方法，四元術是高次方程組的解法。

在我國古代，解方程叫做「開方術」。至宋代，開方術已經發展到歷史的新階段，遠遠走在當時世界的前列。

在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。

宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代著名數學家王孝通撰寫的《緝古算經》，首次提出三次方程式正根的解法，能解決工程建設中上下寬狹不一的計算問題，是對古代數學理論的卓越貢獻，比阿拉伯人早300多年，比歐洲早600多年。

隨著宋代數學研究的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對於列方程方法的研究，於是出現了我國數學的又一項傑出創造天元術。

「四元術」是多元高次方程組的建立和求解方法。用四元術解方程組，是將方程組的各項系數擺成一個方陣。

其中常數項右側仍記一「太」字，4個未知數一次項的系數分置於常數項的上下左右，高次項系數則按冪次逐一向外擴展，各行列交叉處分別表示相應未知數各次冪的乘積。

解這個用方陣表示的方程組時，要運用消元法，經過方程變換，逐步化成一個一元高次方程，再用增乘開方法求出正根。

從四元術的表示法來看，這種方陣形式不僅運算繁難，而且難以表示含有4個以上未知數的方程組，帶有很大的局限性。

我國代數學在四元術時期發展至頂峰，如果要再前進一步，那就需要另闢蹊徑，突破新的難關了。

後來，清代的代數學進展是通過汪萊等人對於方程理論的深入研究和引進西方數學這兩條途徑來實現的。

方程組的方陣圖

㈤ 金代數學家天元術的發展是誰

金代數學家天元術的發展是李冶。天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。

宋代以前，數學家要列出一個方程，如唐代王孝通運用幾何方法列三次方程，往往需要高超的數學技巧、復雜的推導和大量的文字說明，這是一件相當困難的工作。

隨著宋代創立的增乘開方法的發展，解方程有了完善的方法，這就直接促進了對於列方程方法的研究，於是，又出現了中國數學的又一項傑出創造——天元術。

(5)數學史上的天元是什麼擴展閱讀：

影響

天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者至少有蔣周、李文一、石信道、劉汝諧、李德載等等，但並未提到李冶。而除李冶之外，其它早期天元術的著作也已經失傳。

1303年朱世傑的《四元玉鑒》問世，其中將天元術擴展為含有天元、地元、人元和物元的「四元術」，即四元高次方程組的解法，將天元術發展到了一個新的高度。

㈥ 天元術是哪個數學家發明的

李冶；朱世傑

1248年，金代數學家李冶在其著作《測圓海鏡》、《益古演段》，以及元代數學家朱世傑的《算學啟蒙下卷》《四元玉鑒》，都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

據史籍記載，金、元之際已有一批有關天元術的著作，如蔣周《益古演段》、李文一《照膽》、石信道《鈐經》、劉汝鍇《如積釋鎖》等（朱世傑《四元玉鑒》祖頤後序），可惜都已失傳。但在稍晚的李冶和朱世傑的著作中，都對天元術作了清楚的闡述。

(6)數學史上的天元是什麼擴展閱讀：

天元術的出現，提供了列方程的統一方法，其步驟要比阿拉伯數學家的代數學進步得多。而在歐洲，只是到了十六世紀才做到這一點。此外，宋代創立的增乘開方法又簡化了求解數學高次方程正根的運算過程。因此，在這一時期，列方程和解方程都有了簡單明確的方法和程式，中國古典代數學發展到了比較完備的階段。

不僅如此，繼天元術之後，數學家又很快把這種方法推廣到多元高次方程組，如李德載《兩儀群英集臻》有天、地二元，劉大鑒《乾坤括囊》有天、地、人三元等，最後又由朱世傑創立了四元術。

㈦ 天元術是金代的哪位數學家

天元術主要貢獻者是李治和朱世傑，李治在數學專著《測圓海鏡》（12卷）中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運演算法則，以及文字元號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，在古代數學中，列方程和解方程是相互聯系的兩個重要問題。
「天元」二字首次出現在北宋數學家蔣周的《益古集》中。此後，李文一的《照膽》，石信道的《鈐經》，劉汝諧的《如積釋鎖》，李思聰的《洞淵九容》等著作均對「天元術」進行了一定闡述。但這些方法不系統，一般淺談輒止。對天元術貢獻最大的數學家當屬金元人李冶和朱世傑。李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》，朱世傑的《算學啟蒙》、《四元玉鑒》都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

㈧ 天元術是什麼數學家

天元術的主要貢獻者是李冶和朱世傑。1248年，金代數學家李冶的《測圓海鏡》、《益古演段》，以及元代數學家朱世傑的《算學啟蒙下卷》、《四元玉鑒》，都系統地介紹了用天元術建立二次方程。

天元術簡介
天元術是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同。用天元術列方程的方法是：首先「立天元一為某棠」，就是現在的設未知數x，然後依據問題的條件列出兩個相等的天元式(就是含這個天元的多項式)，把這兩個天元式相減，就得到一個天元式，就是高次方程式。最後用增乘開方法求這個方程的正根。

李冶簡介
李冶，真定欒城人，金代著名數學家。李冶與元好問、張德輝交往密切，時人尊稱「龍山三老」。他在數學專著《測圓海鏡》(12卷)中通過勾股容圓問題全面地論述了設立未知數和列方程的步驟、技巧、運演算法則，以及文字元號表示法等，使天元術發展到相當成熟的新階段。
朱世傑簡介
朱世傑，字漢卿，號松庭。他的著作《算學啟蒙》3卷，內容包括常用數據、度量衡和田畝面積單位的換算、算四則運演算法則、籌算簡法、分數、比例、面積、體積、盈不足術、高階等差級數求和、數字方程解法、線性方程組解法、天元術等，是一部比較全面的數學啟蒙書籍。

㈨ 天元術的淵源

天元術的思想淵源於道、名、墨三家。作為天元術發展高峰的四元術，朱世傑的《四元玉鑒》天地人與物並列的「四象會元」方法極有可能也受到道教思想的影響。
天元術是一種半符號式的代數，「以不同的文字表示不同的未知數意味著開始向符號代數的轉化，這包括了對數的抽象、對文字的抽象、對運算的抽象思維過程，表現了中國數學家高度的抽象思維能力。」王鴻鈞、孫宏安：《中國古代數學思想方法》，江蘇教育出版社，1988，第143頁。是近代符號代數的雛形。天元術的出現和完善是中國古代數學思想發展的重要環節，而這一重要數學思想的源頭活水乃是道教思想。
天元術是一種用數學文字元號列方程的方法。「立天元一」是其主要數學思想方法，這與今之代數學「設Ⅹ為某某」是等價的。中國古代數學列方程的數學思想可以遠溯到漢代《九章算術》，書中就用文字敘述的方法建立了二次方程，但尚缺乏明確的未知數概念。唐代王孝通以高度的數學技巧成功地列出了三次方程，但還無法掌握列方程的一般方法，仍然需要藉助語言文字來表述。郭金彬先生對中國傳統計算思想的演變進行了研究，認為：「到了宋代，高次方程的發展使方程的造法越來越困難。但是，不找出某種普遍的列方程的方法是不行的。因為，眾所周知，要運用方程求解實際問題，首先要根據問題所提供的條件列出方程，然後解方程求根，獲得答案。『天元術』就是在這種情況下產生出來的具有中國獨特風格的一種普遍的列方程的方法」郭金彬：《中國傳統科學思想史論》，知識出版社，1993，第43頁。郭金彬先生所說的「中國獨特風格」，筆者以為其主要就體現在道門中人洞淵所首創的「天元」概念及「立天元一」天元術思想方法。
金代道教數學家所傳的天元術對南宋數學思想的發展可能也產生過積極影響。錢寶琮先生在論及「金元之際數學之傳授」這一問題時，指出：
南宋數學以秦九韶《數書九章》（公元1247年）為最有價值。九韶為四川人，轉至東南，寓居湖州。《數書九章》自序雲「早歲侍親中都，因得訪習於太史。又嘗從隱君子受數學」。其大衍求一術之「立天元一」，疑得自金人，非南宋另有天元術也。《錢寶琮科學史論文選集》，科學出版社，1983，第321頁。

㈩ 李冶是怎樣用天元術建方程的

李冶是金元時期的數學家?文學家?詩人。金亡北渡，常與元好問唱和，世稱「元李」。晚年居於封龍山下，隱居講學。

李冶在數學上的主要貢獻是天元術，用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質。與楊輝?秦九韶?朱世傑並稱為「宋元數學四大家」。

李冶的父親李遹是位博學多才的學者，曾在大興府尹胡沙虎手下任推官。李冶出生的時候，蒙古軍隊加緊向金代朝廷進攻，腐朽的朝廷內已潛伏著亡國的危機。

李遹的上司胡沙虎是一個深得金朝寵信的奸臣。李遹見他無惡不作，常常據理力爭，置個人生死禍福於度外。李遹為了防備不測，便把老小送回故鄉欒城。

這時李冶正值童年，他沒有隨家人回鄉而獨自到欒城的鄰縣元氏求學去了。由於胡沙虎篡權亂政，李遹被迫辭職，隱居陽翟，從此不再過問政事。

他吟詩作畫，在當地頗有名聲。

父親的正直為人及好學精神對李冶深有影響。在李冶看來，學問比財富更可貴。他在青少年時期，對文學?史學?數學?經學都感興趣，曾與好友元好問外出求學，拜文學家趙秉文?楊雲翼為師，不久便名聲大振。

1230年，李冶赴洛陽應試，被錄取為詞賦科進士，時人稱贊他「經為通儒，文為名家」。

1232年農歷正月，鈞州城被蒙古軍隊攻破。李冶不願投降，只好換上平民服裝，走上了漫長而艱苦的流亡之路。這是他一生的重要轉折點，將近50年的學術生涯便由此開始了。

李冶經過一段時間的顛沛流離之後，定居於現在山西省崞山的桐川。由於他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間。他在桐川的研究工作是多方面的，包括數學?文學?歷史?天文?哲學?醫學。

李冶在桐川的生活條件是十分艱苦的，不僅居室狹小，而且常常不得溫飽，要為衣食而奔波。但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作。

李冶的數學研究是以天元術為主攻方向的。這時天元術雖已產生，但還不成熟，就像一棵小樹一樣，需要人精心培植。李冶在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。

特別值得一提的是，他在桐川得到了道教洞淵派的一部算書，內有九容公式，專講勾股容圓問題的內容。此書對他啟發甚大。為了能全面?深入地研究天元術，李冶把勾股容圓問題作為一個系統來研究。

李冶討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，經過多年的艱苦奮斗，終於在l248年寫成《測圓海鏡》12卷。這是他一生中的最大的成就，也是我國現存最早的一部系統講述天元術的著作。

《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。其主要成就是總結並完善了天元術，使之成為我國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。卷1的「識別雜記」闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關系以及它們與圓徑的關系，共600餘條，每條可看做一個定理或公式。這部分內容是對中國古代關於勾股容圓問題的總結。

後面各卷的習題，都可以在「識別雜記」的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，並給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，採用了從0至9的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年。

《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程，給出的根全部准確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。

《測圓海鏡》在體例上也有創新。全書基本上是一個演繹體系，卷一包含了解題所需的定義?定理?公式，後面各卷問題的解法均可在此基礎上以天元術為工具推導出來。李冶之前的算書，一般採取問題集的形式，各章?卷內容大體上平列。李冶以演繹法著書，這是我國數學史上的一個進步。

《測圓海鏡》的成書標志著天元術成熟，對後世有深遠影響。元代王恂?郭守敬在編《授時歷》的過程中，曾用天元術求周天弧度。元代大數學家朱世傑說:「以天元演之?明源活法，省功數倍。」清代著作家阮元認為:「立天元者，自古算家之秘術;而海鏡者，中土數學之寶書也。」

《測圓海鏡》無疑是當時世界上第一流的數學著作。但由於內容較深，粗知數學的人看不懂，所以天元術的傳播速度較慢。

李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。於是，他在1259年寫成另一部數學著作《益古演段》，這是一本普及天元術的著作。

《益古演段》把天元術用於解決實際問題，研究對象是日常所見的方?圓面積。全書64題，處理的主要是平面圖形的面積問題，所求多為圓徑?方邊?周長之類。除4道題是一次方程外，其他全是二次方程問題，內容安排基本上是從易到難。

此時的李冶對天元術的運用更加熟練，他在《益古演段》中常用人們易懂的幾何方法對天元術進行驗證，這對於人們接受天元術是有好處的。

在數學理論上，《益古演段》也有創新。該書的問題同《測圓海鏡》不同，所求量不是一個而是兩個?三個甚至四個。按古代方程理論，應該用方程組來解，所含方程個數與所求量個數一致。但解二次方程組要比解一元方程困難得多。

李冶既已完善了天元術程序，便力圖提高它的一般化程度，用以解決各種多元問題。他的主要方法是利用出入相補原理及等量關系來減少未知數，化多元為一元，找到關鍵的天元一。一旦這個天元一求出來，其他要求的量就可根據與天元一的關系，很容易求出了。《益古演段》的價值不僅在於普及天元術，理論上也有創新。李冶善於用傳統的出入相補原理及各種等量關系來減少題目中的未知數個數，化多元問題為一元問題。同時，李冶在解方程時採用了設輔助未知數的新方法，以簡化運算。

《益古演段》圖文並茂，深入淺出，不僅利於教學，也便於自學。這些特點，使它成為一本深受人們歡迎的數學教材，對天元術的傳播發揮了不小的作用。

測圓海鏡