數學四個心是什麼

① 數學上的四心。主要詳解

三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心和內心稱之為三角形的四心。三角形四心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理的總稱。 一、三角形重心定理三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。（重心原是一個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名） 重心的性質： 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。 2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。 3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。 4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其重心坐標為（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 二、三角形外心定理 三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質：1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形外心。2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。4、計算外心的坐標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三頂點的距離相等 三、三角形垂心定理三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。垂心的性質：1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點共線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line））3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。定理證明已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點O，連接CO並延長交AB於點F ，求證：CF⊥AB 證明： 連接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點共圓 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB 因此，垂心定理成立！ 四、三角形內心定理三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。內心的性質：1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。3、P為ΔABC所在平面上任意一點，點I是ΔABC內心的充要條件是：向量PI=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊於N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC

② 數學的 外心 內心 垂心 重心 分別是什麼

1.垂心是三角形三條高的交點2. 內心是三角形三條內角平分線的交點 即內接圓的圓心 3.重心是三角形三條中線的交點 4.外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點 即外接圓的圓 心 正三角形中,中心和重心,垂心,內心,外心重合! 垂心定理：三角形的三條高交於一點。該點叫做三角形的垂心 內心定理：三角形的三內角平分線交於一點。該點叫做三角形的內 心。 重心定理：三角形的三條中線交於一點，這點到頂點的 離是它到對邊中點距離的2倍。該點叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

③ 三角形的「四心」指哪四心

三角形的四心是指三角形的重心、外心、內心、垂心。當且僅當三角形是正三角形的時候，重心、垂心、內心、外心四心合一心，稱做正三角形的中心。

1、數學上的重心是指三角形的三條中線的交點，其證明定理有燕尾定理或塞瓦定理，應用定理有梅涅勞斯定理、塞瓦定理。

2、三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外.

3、三角形三條內角平分線的交點叫三角形的內心。即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。

4、外心是一個數學名詞。是指三角形三條邊的垂直平分線也稱中垂線的相交點。用這個點做圓心可以畫三角形的外接圓。

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一、垂直性質

三角形的三條垂直平分線必交於一點

已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分線DO,EO相交於點O

求證：O點在BC的垂直平分線上

證明：連結AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO

∵EO垂直平分AC，∴AO=CO

∴BO=CO

即O點在BC的垂直平分線上

二、外心性質

1、三角形三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心.

2、三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。

3、銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合

4、OA=OB=OC=R

5、∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA

6、S△ABC=abc/4R

④ 高中數學：重心垂心中心內心外心的定義分別是什麼速度，謝謝了。

1、重心：三角形的三條中線交點。

2、外心：三角形的三邊的垂直平分線交點。

3、垂心：三角形的三條高交於一點。

4、內心：三角形的三內角平分線交於一點。

5、中心：僅當三角形是正三角形的時候，重心、垂心、內心、外心四心合一心，稱做正三角形的中心。

三角形的五心特點：

1、內心：三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。

2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內心、外心、旁心，當且僅當三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三邊中線的交點。

5、旁心：三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。旁心到三角形三邊的距離相等。三角形有三個旁切圓，三個旁心。旁心一定在三角形外。直角三角形斜邊上的旁切圓的半徑等於三角形周長的一半。

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任何三角形都有五心，分別是重心、垂心、外心、內心、旁心。

重心：三角形三邊中線的交點，為三角形的重心；在三角形的內部；

重心定理：重心到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍。

垂心：三角形三邊高線的交點，為三角形的垂心；銳角三角形垂心在內部，直角三角形在直角頂點，鈍角三角形在外部。

外心：三角形三邊垂直平分線的交點，為三角形的外心；銳角三角形的外心在內部，直角三角形在斜邊中點，鈍角三角形在外部；此點為△外接圓的圓心，到三頂點的距離相等，這個距離叫外接圓半徑R.

內心：三角形三內角平分線的交點，為三角形的內心；在三角形的內部，此點為三角形內切圓的圓心，到三邊的距離相等，此距離為內切圓半徑r.

⑤ 數學中的幾個重要的心

通常提到或者比較常用的是三角形的四心。三條中線的交點叫三角形的重心。三條高的交點叫三角形的垂心。三條內角平分線的交點叫三角形的內心，他也是三角形的內切圓的圓心。三邊中垂線的焦點角，三角形的外心，它是三角形的外接圓的圓心。

⑥ 初三數學有"四心」，是哪四心

必然是重心（中線交點）、內心（角分線）、外心（中垂線）、垂心（高線）

⑦ 數學三角形里重心中心垂心內心外心分別是什麼

重心：三角形的三條中線交點.
外心：三角形的三邊的垂直平分線交點.
垂心：三角形的三條高交於一點.
內心：三角形的三內角平分線交於一點.
中心：沒有具體概念,是以上四個心的重合一點以後的名稱,只有正三角形才有

⑧ 數學中的重心，中心，垂心的定義和性質

正三角形的重心、垂心、外心、內心重合的點叫中心

一個物體的各部分都要受到重力的作用。從效果上看，我們可以認為各部分受到的重力作用集中於一點，這一點叫做物體的重心。
重心的幾條性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點

三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
銳角三角形垂心在三角形內部。
直角三角形垂心在三角形直角頂點。
鈍角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高線的交點
垂心是從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。
三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。

內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。
直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心。旁心是一個三角形內角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點，它到三邊的距離相等。。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

⑨ 數學什麼是重心、垂心、外心、內心

所謂三角形的「四心」是指三角形的重心、垂心、外心及內心。當三角形是正三角形時，四心重合為一點，統稱為三角形的中心。

一、三角形的外心

定 義：三角形三條中垂線的交點叫外心，

二、三角形的內心

定 義：三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心。的內心一般用字母表示，它具有如下性質：

三、三角形的垂心

定 義：三角形三條高的交點叫重心。的重心一般用字母表示。

四、三角形的「重心」：

定 義：三角形三條中線的交點叫重心。的重心一般用字母表示。

⑩ 數學上,中心,垂心,外心,內心,重心分別是什麼的交點

三角形五心是指三角形的重心、外心、內心、垂心、旁心。三條中線的交點是重心，三邊垂直平分線的交點是外心，三條內角平分線的交點為內心，三角形三條高線的交點為垂心。

與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形旁心。

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三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯系，如：

（1）三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；

（2）三角形的外心到三頂點的距離相等；

（3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其餘三點所構成的三角形的垂心；

（4）三角形的內心、旁心到三邊距離相等；

（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；

（6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心；

（7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；

（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心。