為什麼正態分布的數學期望

A. 互相獨立的x，y服從正態分布，為什麼它們各自的數學期望乘積等於他們乘積的數學期望

題目很清楚，就是已a知兩個g隨機變數互0相獨立，且都服從3標准正態分4布，求它們的平方7和再開l方7的數學期望。是求兩個m隨機變數的函數的期望的題型，這是某本概率教材上t的一o道課後習m題。 首先寫出X和Y的聯合概率密度f（x，y），就等於b各自概率密度的乘積（因為1獨立），注意是乘積，而不l是某一l個r概率密度的平方3。因為5兩個n變數的概率密度是一i樣的，很容易弄錯寫成平方7。 然後根據求隨機變數函數的期望的方2法， E{( x^2+y^2)^(4。2)} =從8負無o窮到正無m窮對( x^2+y^2)^(7。2)*f（x，y）的積分5 算這個e積分4的時候用極坐標變換，令x=rcos@，y=rsin@，注意 dxdy = rdrd@。 不o便於r表示1，只能口d述方0法。如有不o懂，可單獨聯系。 qvn敞ly七觥lw◆蟆g掃xáㄜc

B. 正態分布的期望是什麼

正態分布的期望是：Eξ。

正態分布的期望用數學符號表示ξ，所以正態分布的期望的公式是：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn，而方差用數學符號表示s，所以正態分布的方差的公式是：s=1/n[(x1-x)+(x2-x)+……+(xn-x)]，另外x上有「-」。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

方差：

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數為樣本方差；樣本方差的算術平方根為樣本標准差。樣本方差和樣本標准差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標准差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標准差為測算離散趨勢最重要、最常用的指標，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標准差為方差的算術平方根，用S表示。

C. 正態分布的期望和方差怎麼求

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2。

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

積分區域是從負無窮到正無窮，下面出現的積分也都是這個區域。

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

(2)方差

過程和求均值是差不多的，我就稍微略寫一點了。

對(*)式兩邊對t求導：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式，從而結論得證。

(3)為什麼正態分布的數學期望擴展閱讀：

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

對於連續型隨機變數X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變數X方差計算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。

因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

D. 正態分布的期望和方差是什麼

在概率論和統計學中，數學期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）為試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。

其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。我們通常所說的標准正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

對於連續型隨機變數X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變數X方差計算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。

因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

E. 正態分布的數學期望是多少

正態分布的數學期望是u。

正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分布，在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的高斯分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。我們通常所說的標准正態分布是μ = 0,σ = 1的正態分布。

F. 正態分布的數學期望推導過程！希望拍照啊！

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

（2）方差

對(*)式兩邊對t求導：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

(6)為什麼正態分布的數學期望擴展閱讀：

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

G. 關於正態分布函數的數學期望

X~N(0,1)
Y= (X-1)/2
E(Y)=E((X-1)/2 ) = (1/2)E(X) -1/2 = -1/2
D(Y)=D((X-1)/2 ) = (1/4)D(X) = 1/4
Y=(X-1)/2 ~N(-1/2, 1/4)
(X-1)/2 的數學期望 = -1/2