點群數學上意思是什麼

① 點群的點群定義

見晶體的對稱性。
在固體物理中，點群與晶類（crystal class）有等同的含義。
點群與兩個概念有關：對稱要素，對稱操作群
對稱操作群：由物體的對稱操作構成的群。
對稱操作：物體在正交變換（保持兩點間距離不變的幾何操作，如旋轉，反伸，反映）下不變，則該變換為物體的對稱操作。
群：數學概念，集合和其上的一種運算構成一個群。群要求滿足封閉性，存在單位元素，存在逆元素，滿足該運算的結合律；簡單說群是按照某種規律相互聯系著的一組元素的集合。群的元素可以是字母、數字等，在晶體對稱理論中，群的元素是對稱操作。 對稱要素包括對稱中心、對稱軸、對稱面、旋轉反伸軸和旋轉反映軸。對稱要素可用普通符號、國際符號和Schoenflies 符號三種方式表示。可以證明，晶體中對稱要素共有8種。分別是1，2，3，4，6 ，m，i，-4（這里用國際符號表示，准晶中還可以出現其他對稱要素）。
對稱軸：對稱軸是一根假象直線，n重旋轉軸是指若物體繞某軸轉2π/n 及2π/n的整數倍，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉軸。 普通符號 國際符號 n Schoenflies 符號 對稱面：對稱面是一個假象的平面，相應的對稱操作為對於此平面的反映。它將圖形平分為互為鏡像的兩個相等部分 。 普通符號 P 國際符號 m 對稱中心：對稱中心是一個假象的點，相應的對稱操作是對此點的反伸（或稱倒反）。如果通過此點作任意直線，則在此直線上距對稱中心等距離的兩端，必定可以找到對應點。 普通符號 C 國際符號 -1 旋轉反伸軸：旋轉反伸軸是一根假象直線，若物體對某軸作轉2π/n 加上中心反伸的聯合操作，及聯合操作的倍數，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉反伸軸。 普通符號 國際符號 -n 其中，除了外，其餘各種旋轉反伸軸都可以用其它簡單的對稱要素或它們的組合來代替，期間關系如下：

旋轉反映軸：旋轉反映軸是一根假象直線，若物體對某軸作轉2π/n 加上對垂直它的一個平面進行反映的聯合操作，及聯合操作的倍數，物體不變，則該軸為物體的n重旋轉反伸軸。 普通符號 國際符號 ~n Schoenflies 符號 在結晶多面體中，可以有一個對稱要素單獨存在，也可以有若干個對稱要素組合在一起共存。
對稱要素組合服從如下規律：
1）如果有一個二次軸垂直n次軸，則必有n個垂直與，即x→n。
2）如果有一個對稱面P垂直偶次軸（n為偶數），則在其交點存在對稱中心C，即xP→PC。
3）如果有一個對稱面P包含對稱軸，則必有n個P包含，即xP→nP。
4）如果有一個二次軸垂直與旋轉反伸軸，或者有一個對稱面P包含，當n為奇數時必有n垂直和n個對稱麵包含，即x→nnP，xP→nnP；當n為偶數時必有n/2個垂直和n/2個P包含，即x→n/2n/2P，xP→n/2n/2P 。

② 有機化合物分子大多數屬於哪個點群

分子點群。
晶體中所含有的全部宏觀對稱元素至少交於一點，這些匯聚於一點的全部對稱元素的各種組合稱為晶體的點群，或稱為對稱類型。
數學分析證明，前述旋轉及旋轉一反演對稱操作所可能有的三維空間點群共有32種。在分析中考慮了晶體結構周期性重復的制約。當晶體具有一個以上的對稱元素時，這些對稱元素一定會通過一個公共點，相應的對稱操作都屬於點操作。這種對稱操作的數學分析是數學中群論的一個分支，所以稱為點群。每一種晶體的宏觀對稱性必須屬於32種點群中的一種。

③ n2分子屬於什麼點群

氮氣，化學式為N2。不屬於點群。
O2分子為直線型，屬於D∞v點群。NH3分子為三角錐形，屬於C3v點群。CO分子為直線型，屬於C∞V點群。CH4分子為四面體構型，屬於Td點群。C6H6分子為平面六邊形，屬於D6h點群。C10H8分子為平面構型，屬於D2h點群。
氮氣，化學式為N2。氮氣通常狀況下是一種無色無味的氣體，而且一般氮氣比空氣密度小。氮氣佔大氣總量的78、08%（體積分數），是空氣的主要成份之一。在標准大氣壓下，氮氣冷卻至負195、8℃時，變成無色的液體，冷卻至負209、8℃時，液態氮變成雪狀的固體。氮氣的化學性質不活潑，常溫下很難跟其他物質發生反應，所以常被用來製作防腐劑。但在高溫、高能量條件下可與某些物質發生化學變化，用來製取對人類有用的新物質。晶體中所含有的全部宏觀對稱元素至少交於一點，這些匯聚於一點的全部對稱元素的各種組合稱為晶體的點群。點群一般用於晶體的數學分析中。當晶體具有一個以上的對稱元素時，這些對稱元素一定會通過一個公共點，相應的對稱操作都屬於點操作。

④ 點群符號222表示什麼意思

222點群表示三個二次旋轉軸，分別沿x,y,z方向。

⑤ 空間群符號P6mm是什麼意思

P代表對稱類型（無對稱），其他對稱類型包括I(體心對稱）、F（面心對稱）、C（底心對稱）。6代表六次旋轉軸，其他旋轉對稱軸還包括1、2、3、4。m代表對稱面。

與點陣、螺旋軸、滑移面對應的對稱操作，空間上的每一點都移動了，具有這種性質的操作稱空間操作。因為空間操作直接與晶體微觀結構的周期性相聯系，故也稱微觀對稱操作，其階為。與空間操作相對應的對稱操作要素只能存在於無限的結構中，而不能存在於有限的晶體中。

(5)點群數學上意思是什麼擴展閱讀：

空間群可以分為兩類：

（1）一類稱為簡單空間群或稱點空間群；

（2）一類稱為復雜空間群或稱非點空間群。

點空間群，由一個平移群和一個點群對稱操作組合而成的，它的一般對稱操作可以寫成（R | t (αβγ)），其中R表示點群對稱操作，t(αβγ)表示平移操作。具體分析表明，共有73種不同的點空間群。

理想的完整晶體應是無限大的，點陣單元在空間三個方向上的無限平移將給出整個點陣。或者說，無限的點陣在平移下保持不變。所以平移也是一種對稱操作，它的對稱要素不是一個軸，一個點，一個面，而是整個點陣。

⑥ 分子點群何以為「分子點群」，為什麼起這個名字，不就是那些對稱操作嗎

對稱操作的集合符合數學上群的定義（封閉性、結合律、單位元素和逆），因此稱對稱操作群；
由於分子是有限圖形，所以在分子對稱操作中，至少有一點保持不動，或者說，分子的所有對稱元素至少要交於一點，因此分子的對稱操作群稱為點群。

⑦ 請問點群中的n/m與nm區別是什麼 各自什麼意思呢

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⑧ 個對稱型（點群）及其推導

晶體形態中，全部對稱要素的組合，稱為該晶體形態的對稱型（class of symmetry）或點群（point group）。一般來說，當強調對稱要素時稱對稱型，強調對稱操作時稱點群，因為在晶體形態中，全部對稱要素相交於一點（晶體中心），在進行對稱操作時至少有一點不移動，並且各對稱操作可構成一個群，符合數學中群的概念（見第六章），所以稱為點群。對稱型與點群是一一對應的。

根據晶體形態中可能存在的對稱要素及其組合規律，推導出晶體中可能出現的對稱型（點群）是非常有限的，僅有32種（表3-2）。這32個對稱型（點群）的推導方法可以根據上述對稱要素組合定理，直觀地推導出來。

首先回顧一下晶體形態上可能存在的對稱要素，它們是：對稱軸L¹、L²、L³、L⁴、L⁶；對稱面 P；對稱中心 C；旋轉反伸軸+C，=L ³+P_⊥。

為了便於推導，我們把這些對稱要素的組合分為兩類：把高次軸不多於一個的組合稱為A類；把高次軸多於一個的組合稱為B類。

1.A類對稱型的推導

上列對稱要素可能的組合共有以下7種情況：

（1）對稱軸Lⁿ單獨存在，可能的對稱型為L¹；L²；L³；L⁴；L⁶。

表3-2 正多邊形可能圍成的正多面體及其對稱軸的組合

圖3-12 Lⁿ與L²的組合

（2）對稱軸與對稱軸的組合。由於A 類只包括高次軸不多於一個的對稱型，所以只考慮 Lⁿ 與L² 的組合，如果 L² 與Lⁿ斜交仍有可能出現多於一個的高次軸，如圖3-12（a）L² 與 Lⁿ 斜交，則 Lⁿ圍繞L² 旋轉 180°，必將產生另一個 Lⁿ；而如圖3-12（b）當 L² 垂直 Lⁿ 時則不會產生新的Lⁿ。因此在這里我們只考慮 Lⁿ與垂直它的L ² 的組合。根據上節所述對稱要素組合規律，可能的對稱型為：（L¹ L²=L²）；L²2 L²=3 L²；L³3 L²；L⁴4 L²；L⁶6 L²。（括弧內的對稱型與其他項推導出的對稱型重復，下同。）

（3）對稱軸Lⁿ與垂直它的對稱面P的組合。考慮到組合定理L^n（偶）×P_⊥→L^n（偶）P_⊥C，則可能的對稱型為：（L¹ P=P）；L² PC；（L³ P=）；L ⁴ PC；L ⁶ PC。

（4）對稱軸Lⁿ與包含它的對稱面的組合。根據組合定理Lⁿ×P_∥→LⁿnP_∥，可能的對稱型為：（L¹P=P）；L²2P；L³3P；L⁴4P；L⁶6P。

（5）對稱軸 Lⁿ 與垂直它的對稱面以及包含它的對稱面的組合。垂直 Lⁿ 的P 與包含Lⁿ 的P 的交線必為垂直Lⁿ 的L² （圖3-13），即 Lⁿ ×P_⊥ ×P_∥→Lⁿ ×P_⊥×P_∥×→LⁿnL² （n+1）P（C）（C 只在有偶次軸垂直P 的情況下產生），可能的對稱型為：（L¹L²2P=L²2P）；L²2L²3PC=3L²3PC；（L³3L²4P=）；L⁴4 L²5 PC；L⁶6 L²7 PC。

圖3-13 Lⁿ與P 的組合

（a）（b）P包含Lⁿ、垂直Lⁿ都不產生新的Lⁿ；（c）Lⁿ與兩個P組合（一個P包含Lⁿ，另一個P垂直Lⁿ，則這兩個P互相垂直將在兩P交線上產生一個L²；（d）P與Lⁿ斜交將產生新的Lⁿ

（6）旋轉反伸軸單獨存在。可能的對稱型為：=C；=P；=L³ C；=L³ P_⊥。

（7）旋轉反伸軸與垂直它的L² （或包含它的 P）的組合。根據組合定理，當 n 為奇數時會產生，可能的對稱型為：=L ² PC）；=L33 L23 PC；當 n 為偶數時會產生（n/2）（n/2）P∥，可能的對稱型為：（=L22 P）；；=L³3 L²4 P。

由於對稱面 P=，對稱中心 C=，故不再單獨列出。

綜合以上，共推導出 A 類對稱型27種（見表3-3）。

2.B類對稱型的推導

首先讓我們考慮高次軸 L⁴ 與 L³ 的組合。如圖3-14所示，設有一個 L⁴ 與 L³ 相交於晶體中心，由於 L⁴ 的作用，在 L⁴ 的周圍可獲得4個 L³。在每個 L³ 上距晶體中心等距離的地方取一個點，連結這些點可以得到一個正四邊形（即圖 3-14 中的立方體的正方形的面），L⁴ 出露於正四邊形的中心，L³ 出露於正四邊形的角頂。由於 L³ 的作用，在 L³ 的周圍必定可以獲得3個正四邊形，它們會集而成一個凸三面角，L³ 即出露於這個凸三面角的角頂上。這樣，我們就獲得了一個由 6 個正四邊形和 8 個凸三角組成的正多面體———立方體。高次軸 L⁴ 與 L³ 的組合就相當於正四邊形所組成的正多面體———立方體中高次軸的組合。

由此可知，在B類對稱型中，高次軸Lⁿ與L^m的組合，相當於由正多邊形所組成的正多面體中的高次軸的組合。

在立體幾何學中業已證明，一個凸多面角至少須由3 個面組成，且其面角之和須小於360°。因此圍成正多面體的正多邊形只可能是正三角形（內角60°）、正方形（內角90°）和正五邊形（內角108°）。它們可能圍成的正多面體及其所具有的對稱軸的組合如表3-2所列。

圖3-14 L⁴與 L³的組合圖解

從表3-2 可以看出，正三角十二面體和正五角十二面體皆具有 L⁵，與晶體的對稱不符，可不予考慮。其餘3種多面體中對稱軸的組合有下面兩種類型：①立方體及八面體3 L⁴4 L³6 L²；②四面體3 L²4 L³。

在第一種對稱型3L⁴4L³6L²中加入一個不產生新對稱軸的對稱面，可以獲得如下的第3種對稱型：③3L⁴4L³6L²9PC。

在上述第二種對稱型3L²4L³中加入不產生新對稱軸的對稱面的方法有二，其一是垂直L²的對稱面，其二是與兩個L²等角度（45°）斜交的對稱面，其結果可分別獲得如下的第4種和第5種對稱型：④3 L²4 L³3 PC；⑤。

屬於B類的對稱型共有上列的5種。

綜合 A、B 兩類，晶體中可能有的對稱型共32種，如表3-3所列。

表3-3 32種對稱型的推導

⑨ 群論在晶體對稱理論中的應用

對稱要素組合構成對稱型，其對應的對稱操作的復合就構成點群，即這種對稱操作的復合是符合數學中群的定義的。現在我們具體討論群論這一數學工具（或語言）對對稱操作的運算（或描述）。

用群論的數學工具來運算晶體中的對稱操作時，每一對稱要素的操作（或者一個對稱要素的每一次操作）就是一個群元素，這個群所定義的乘法為操作的復合，而操作的復合的運算就是操作矩陣的乘積。這樣，藉助於矩陣運算，我們就可以對對稱操作進行運算。所以，首先我們必須給出對稱操作的矩陣表達。

1.對稱操作的矩陣表達

對稱操作用數學的方法來描述，就是在一個固定坐標系中，操作前後空間所有的點的坐標發生了改變。

設：空間中的一點（x，y，z）經對稱操作R得到另一點（x′，y′，z′）。

則：

結晶學及礦物學

可以通過一個矩陣變換來表示R：

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其中

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稱為對稱變換矩陣，任一對稱變換都有惟一的對稱變換矩陣。

那麼，兩種對稱操作的復合就是這兩種對稱操作的對稱變換矩陣的乘積，矩陣乘積的演算法為：

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其中c_ij=（a_i1·b_1j+a_i2·b_2j+a_i3·b_3j）（i，j=1，2，3）。簡單地說就是：前面一個矩陣的第i行的j個矩陣元素a_i1，a_i2，a_i3與後面一個矩陣的第j列的i個矩陣元素b_1j，b_2j，b_3j分別相乘後相加，就得到作為乘積結果矩陣中的第i行第j列的矩陣元素c_ij。

由上可見，兩個相乘矩陣的前後位置是有意義的，不能隨便交換位置，即矩陣運算不滿足交換律。

下面我們給出一些主要的對稱要素的對稱操作變換矩陣。

（1）對稱面所對應的變換矩陣為：

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注意，這里對稱面的方位用其法線標定，即［100］、［010］、［001］方向為對稱面m的法線，我們使用了晶棱符號［rst］。例如，對稱面m［010］對點（x，y，z）操作：

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即點（x，y，z）在對稱面 m[010]的作用下，變換成（x，，z）。

（2）對稱軸所對應的旋轉操作變換矩陣。在直角坐標系下，繞Z軸或繞Y軸旋轉的矩陣分別為：

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式中a_n的角度是有正、負之分的，我們規定順時針旋轉為正。例如，繞Z軸的二次軸對點（x，y，z）的操作表示為：

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從而得到點。但三次軸和六次軸不適合用上述矩陣，因為對於三方、六方晶系，習慣採用四軸定向法，即採用 H 坐標系。在這種坐標系下，有：

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可以證明，兩次L⁶的操作即等於L³的操作（即兩次旋轉60°等於一次旋轉120°）：

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同理，這里對稱軸的方位也用晶棱符號表示。當對稱軸的軸次n=1就是恆等操作，因為n=1 就是物體旋轉360°只重復一次，任何物體圍繞任意直線旋轉360°都可以恢復原狀（重復一次），所以恆等操作似乎是無實際意義的，但它在對稱操作的點群中起著重要的單位元的作用。恆等操作的對稱變換矩陣為：

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每一個對稱操作的反向操作就是它的逆操作，那麼對稱操作和它的反向操作的復合（即相當於兩者之積）肯定為恆等操作。一般將操作R的逆操作寫成R^-1。

（3）對稱中心所對應的反伸操作變換矩陣。對於晶體的宏觀對稱，對稱中心一定位於晶體中心，即坐標原點，故反伸操作的變換矩陣為：

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空間一點（x，y，z），經對稱中心操作，則：

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從而得到點）。

2.對稱型中所有對稱要素的操作構成群——點群

現在我們來說明對稱型所對應的操作就是點群。

例如：對稱型2/m 包含三個對稱要素，2，m，，它們的操作則構成一個群，群元素可以理解為每個對稱要素所對應的操作，表示為：2/m{2，m，，1}，它滿足群的四個基本性質：

（1）封閉性：可以用矩陣運算驗證，上述4個群元素中任兩個或3個的乘積（操作的復合，或操作矩陣的乘積）還是這4個群元素之一。例如：

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矩陣表達為（設2和m的法線都是［010］方向）：

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（2）結合律：同樣可以用矩陣運算驗證，（2 m）=2。（3）單位元：群中的1即為單位元。

（4）逆元素：群中每一元素都有逆元素，逆元素為每個元素的反向操作。但在這里，逆元素也可以是每個元素的本身，因為二次軸操作兩次就回到原來的位置了，相當於沒操作，可記為22=2²=1。對稱面m與對稱中心1也類似。

由此可見，2/m是一個群。

所有的對稱型中所對應的操作都可構成一個群，稱點群。

但是，這里要做兩點說明：

（1）有的對稱型只有一個對稱要素，這時，群元素就是這個對稱要素的每一次操作。例如：對稱型4（L⁴）的各種旋轉操作就構成一個群，表示為：4｛4¹，4²，4³，4⁴=1｝（其中4ⁿ表示繞四次軸順時針旋轉n×90°）。這時群元素的乘積為兩個群元素所對應的操作相繼連續施行，也可用矩陣的乘積表達（其中4ⁿ的操作變換矩陣為四次軸的變換矩陣自乘n次）。同樣也可證明群4｛4¹，4²，4³，4⁴=1｝中的四個元素滿足群的4個基本條件（請同學們自己進行，見習題）。

（2）因為每個對稱要素的操作就構成一個群，所以，從這個意義上說，對稱型中的每個對稱要素的操作實際上為這個對稱型所對應的點群中的子群，而不是群元素。例如，上述點群2/m{2，m，，1}中，也可以將每個群元素看成是子群，2這個子群包含兩個群元素，表示為2{2¹ ，2²=1}；同樣 m這兩個子群也分別可以表示為 m{m¹，m²=1}，=1}。但是，有些對稱型卻不能將每個對稱要素的操作看成群元素，只能看成是子群，例如4/m 這個對稱型，它包含3個對稱要素：4，m，，這時，如果將每個對稱要素看成是群元素而將點群4/m表示為：4/m{4，m，，1}，就不能驗證群的封閉性，因為 m與的操作的復合（或矩陣的乘積）只能產生2，表面上看，2不是上述4個群元素之一，所以就不能驗證該點群的封閉性，這時一定要將4這個群元素看成是子群，即4可表示為4{4¹ ，4²=2¹ ，4³ ，4⁴=2²=1}，其中包含了2，所以 m 與的乘積等於2，就可以滿足群的封閉性了。

總結以上兩點，我們可以看出點群中群元素之間的運算包含兩個層次，一是同一個對稱要素的各次操作之間的復合；二是不同對稱要素的操作之間的復合。

3.點群中存在的一些母群與子群關系

前面我們已經看到，4{4¹ ，4²=2¹ ，4³ ，4⁴=2²=1}中，群元素4²=2¹ ，4⁴=2² ，所以群4中的4²和4⁴構成一個子群2，即4包含2這個子群，那麼4就是2的母群。同樣，6包含3這個子群，因為6{6¹ ，6² ，6³ ，6⁴ ，6⁵ ，6⁶=1}中，群元素6²=3¹ ，6⁴=3² ，6⁶=3³ ，所以群6中的6²、6⁴、6⁶構成一個子群3，即3為6中的一個子群；此外，6還包含2這個子群，因為6³=2¹ ，6⁶=2² ，所以群6中的6³和6⁶構成一個子群2。同理我們還可以證明 2 也是中的子群，因為，中，，即和）⁴構成子群2。

除了高次軸包含低次軸的子群外，前面我們已敘及，在每個對稱型所對應的點群中，每一對稱要素所對應的操作就是這個點群中的子群。

4.利用群的共軛性質及矩陣運算證明對稱要素的組合定理

式（6-3）所給出的群的共軛性質很抽象，不是很好理解的。但是，在對稱操作的點群中，共軛性質可以理解為這樣的幾何意義：滿足式（6-3）的操作 a，b 是同類型的對稱操作，x 是使操作 a的對稱要素與操作 b 的對稱要素重合的對稱操作，即 a的對稱要素可通過 x 的操作而派生（或復制）出 b 的對稱要素，a 和 b 的對稱要素稱為同一共軛類的對稱要素。這一點我們在32個點群的國際符號中已經用到。

圖6-1 證明對稱要素組合定理1的圖解

此外，共軛性質還有如下應用：設 a 的操作矩陣已知，x 的操作矩陣已知，就可用式（6-3）求出 b 的操作矩陣（即將 a 和 x 的操作矩陣代入式（6-3）即可）。下面我們就利用這一點來證明對稱要素組合定理。

（1）證明定理1，這一定理也稱雙面群定理。先證命題②：設 n 次軸位於 Z 軸方向，基轉角為αn=2π/n。初始二次軸2_（1）位於 Y 軸方向（見圖6-1），兩步操作 n×2_（1）的相應矩陣之乘積為：

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另一方面，設另有一個二次軸2_（2），軸2_（1）轉向該2_（2）軸的角度為αn/2。運用共軛變換的幾何意義（式6-3），2_（2）的操作矩陣可表示為：

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其中R_a為將2_（1）轉向2_（2）的旋轉操作，所以：

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因此有：

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這就證明了命題②，命題①可形象直觀地推出，即360°空間內兩兩相交π/n的二次軸的數目只能是n個。

（2）證明定理2，這一定理也稱萬能公式，其證明方法很簡單，就是用2，m，的操作矩陣相乘即可，請同學們自己進行（見習題）。

（3）證明定理3，這一定理也稱萬花筒定律。將 X 軸取在對稱面 m_i 上，並使之與對稱面 m_i 和 m_j 的交線垂直（見圖6-2）。對稱面 m_i 將任意點（x，y，z）變換至（x，-y，z），m_j 對（x，y，z）的操作結果則不夠直觀。為此，利用共軛轉化公式（式6-3）求 m_j 的操作矩陣：

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圖6-2 證明萬花筒原理的示意圖

其中R_α是以m_i，m_j的交線為旋轉軸將對稱面m_i轉到對稱面m_j的操作。因此，m_j的操作矩陣為：

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順次進行m_i，m_j兩個操作的矩陣為：

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這正是繞m_i和m_j的交線轉2α角的旋轉。只論及點操作關系時，α可取任意值，而晶體中n次對稱軸的基轉角α取2π/n，相應地兩個對稱面的夾角取π/n。萬花筒定理告訴我們，由兩個對稱面m_i，m_j可以派生出對稱軸n。事實上m_i，m_j，n3個對稱要素中，由任意兩個可派生出第三個。若兩對稱面相互垂直，則交線為一根二次軸。假設m₁［010］和m₂［100］相互垂直，則：

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5.利用群的直積性質推導32個點群

前面我們用直觀的方法，利用對稱要素組合定理，推導出了32個對稱型。其實用群論的方法也可以推導出這32個對稱型所對應的32個點群，方法是：在一種對稱操作的基礎上添加另一種對稱操作，可以用群與群之間的直積來運算，前面已敘及。這種直積是有條件的，構成外直積的條件是兩個直積因子群都為不變子群；構成半直積的條件是兩個直積因子群中有一個是不變子群。那麼，在點群中，什麼是不變子群呢?用式（6-2）去理解不變子群的含義也是很抽象的，不容易理解，同樣，我們也可以理解它的幾何含義：對稱操作點群 G 的不變子群 H 的幾何意義，就是 G 中的任何操作不改變 H 的對稱要素的位置。

所以，群與群的直積的條件就可以具體理解為：兩種對稱操作的點群相互直積（即兩種對稱操作相互復合）時，對稱要素相交不是任意的，至少有一個對稱要素不因另一對稱要素的操作而產生新的對稱要素（即不變子群所對應的對稱要素），否則，兩對稱要素相交在一起會相互作用而永不停止地產生新的對稱要素，這就不滿足直積的條件。再例如，兩個對稱面只能以90°、60°、45°、30°相交，否則這兩個對稱面的組合就會違背晶體對稱定律（即產生出五次及大於六次的對稱軸）。

下面以2（L²）為基礎，在其上添加一些其他對稱操作（要素），而產生出其他點群（對稱型）：

（1）在2的基礎上添加與之垂直的2將產生222點群（對稱型）。

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其中2［001］×2［010］=2［100］由矩陣運算而來：

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（2）在222的基礎上添加一對稱中心，則產生mmm點群（對稱型）。

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其中為萬能公式。

（3）在222的基礎上添加一個與二次軸交角45°的對稱面 m，則產生點群m。

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有關對稱操作乘積過程如下：

結晶學及礦物學

即為共軛變換由 m[010]的矩陣得到 m的矩陣。

結晶學及礦物學

m[110]的產生是萬花筒原理的結果。可見，[001]方向出現4次旋轉反伸軸。換言之，在直積過程，原來的主軸2[001]被升為4次旋轉反伸軸。這樣，我們得到了點群（對稱型）。

以上僅舉出幾個群論直積推導對稱型（點群）的例子，從這幾個例子我們可以看出，對稱要素與對稱要素的組合產生什麼對稱型（點群），是可以通過運算得出的。

群的直積運算又引出了群的另一種層次的運算，即是群與群之間的運算，與前面我們介紹的群元素與群元素之間的運算不同。

⑩ 點群處理是什麼意思

晶體中所含有的全部宏觀對稱元素至少交於一點，這些匯聚於一點的全部對稱元素的各種組合稱為晶體的點群（point group），或稱為對稱類型。