Ⅰ 什麼是數學概念
眾所周知，概念是思維的基本形式之一，是對一切事物進行判斷和推理的基礎．數學概念是構成數學知識的基礎,是基礎知識和基本技能教學的核心,正確地理解數學概念是掌握數學知識的前提．因此數學概念的教學是數學教學的一個重要方面,但數學概念的抽象性使得數學概念的教學相對棘手．
概念的產生都有其必然性，我們要抓住概念產生的背景，讓學生了解數學概念的產生、發展、演變的原因以及在這些原因中所隱藏著數學概念間的內在聯系,將數學概念在數學思想的整體連貫性中的作用體現出來．
因此，教師在講授新的概念時，可以分析概念產生的背景．找出合適學生理解的、有趣而生動的切入點，讓學生更容易理解新概念，更容易對新知識找到共鳴,才能讓學生有更多的機會參與發現需要建立新概念的時機並加入到這一創造活動中去,從中感受和諧、連貫、嚴密、有用的數學之美．下面淺談一下在概念教學中用到的幾種方法．
一、從概念的產生背景著手，層層深入
對數這一概念就是學生在數學學習中遇到的一個非常抽象的概念，直接講授的方式會使學生難於理解．其實我們分析一下對數產生的背景，可以發現這是數學運算發展到一定的階段後，必然產生的一種新運算．加法發展到一定程度必然要引入減法，乘方發展到一定階段必然要出現開方一樣，對數也是為了生產生活中的計算需要而必然產生的．如果把這些概念的背景、運算方式列成表格，在對比過程中自然而然形成新的概念，使學生輕松地接受並理解它．
教師可以設置了一個這樣的教學引入過程： 首先提出兩個問題1、1個細胞一次分裂成兩個細胞，請問1個細胞需要分裂多少次以後才能分裂成128個？2、某人原來年薪為a萬元，假設他的工資以每年10%的速度增長，請問經過多少年以後他的年薪增長為原來的2倍？
這兩個例題中，運用的運算都是解指數方程：1、，2、．但第一題答案是特殊值，不需要引入新運算；第二題答案則不是特殊值了，在現有的運算中，答案算不出來．如何讓解決這一問題？
緊接著，教師再提出了幾種具有互逆關系的運算進行對比，如：3+x=10 x=10-3、5=8 x=、 ．
在接下來的教學中，我們就可以自然的將指數式化成對數式x=，引入新的運算概念．並且指出：指數式與對數式的關系（1）是等價的（2）它們只是寫法不一樣，讀法不一樣，a、b、N的名稱不一樣，所在位置不一樣，但代表的數一樣，含義一樣，數的范圍也是一樣，只要牢牢記住指數式和對數式中的字母a、b、N交換的方式、交換的位置，就可以自由的將指數式和對數式進行互化．在這個過程中，指數對數與加減、乘除、乘方開方之間關系是相類似的，這些概念之間的對比要貫穿教學始終，以便於學生的理解．
二、從概念的生活背景出發，創設學習情境
很多數學概念是人們在長期的現實生活中對事物進行高度抽象概括的產物，有具體的素材為基礎，有生動的現實原型，教師要善於結合生活實際，通過多種方式創造良好的學習情境激發學生的學習興趣，使學生覺得這些抽象的數學概念彷彿就在自己的身邊，伸手可摸．
等比數列這樣的概念就是直接源於生活的概念，在講授的過程中，現實生活中的實例隨手可得，如常見的細胞分裂問題，商店打折問題，放射性物質的重量問題，銀行利率，為自己家選擇合適的還貸方式等等實例可以信手拈來穿插在概念的講解、鞏固的過程中．
為了讓學生積極性充分發揮出來，我還設計了一個有趣的問題情境引入等比數列這一概念：
阿基里斯（希臘神話中的善跑英雄）和烏龜賽跑，烏龜在前方1里處，阿基里斯的速度是烏龜的10倍，當他追到1里處時，烏龜前進了里，當他追到了里，烏龜前進了里；當他追到了里，烏龜又前進了里……
（1）分別寫出相同的各段時間里阿基里斯和烏龜各自所行的路程；
（2）阿基里斯能否追上烏龜？
讓學生觀察這兩個數列的特點引出等比數列的定義，學生興趣十分濃厚，積極性和主動性高漲，課堂氣氛也十分活躍．
三、從概念的歷史背景出發，激發興趣
復數和虛數的概念有悠遠的歷史背景，是數發展到一定的階段的必然產物．在很長一段時間里，人們在實際生活中找不到用虛數和復數表示的量，在學生的有限的知識結構中也找不到虛數的生活原型，所以學生很難完全理解它．因此，在講解這兩個概念時，可以將數的發展史、虛數與復數的出現歷程作簡單闡述，為了表述得清晰而有趣，教師可以把這過程製作成動畫短片：
從原始人分配食物開始，首先是自然數的出現，然後到分數的出現．接下來經過漫長的數的發展，人們又發現了很多不能用兩整數之比寫出來的數，如圓周率等．人們把它們寫成π等形式，稱它們為無理數．到19世紀，由於運算時經常需要開平方，如果被開方數是負數，比如，這道題還有解嗎？如果沒有解，那數學運算就像走在死胡同中那樣處處碰壁．這樣，可以讓學生融入教學中，跟著故事的結尾一起思索，然後引入新概念：數學家們就規定用符號"i "表示"-1"的平方根，即＝-1，虛數就這樣誕生了．實數和虛數結合起來，寫成 a＋bi的形式（a、b均為實數），這就是復數．種引入概念的過程新穎別致，一開始就能抓住學生的眼球，吸引他們的注意力，使課堂教學輕松有趣．
四、從概念的專業背景出發，講求實用
許多數學概念在其他的專業領域應用也非常廣泛．把數學知識和其他專業知識有機結合在一起，可以讓學生充分認識到數學學習的重要性．
三角函數這一概念在很多專業領域都有重要的應用．在物理方面，簡單的和諧運動，星體的環繞運動，峰谷電；在心理生理方面，情緒周期性波動、智力體力的周期性變化、一天內的血壓狀況；天文地理方面，氣溫變化規律，月缺月圓、潮漲潮汐的規律；日常生活中，車輪的變化，這一切的研究都離不開三角函數．
因此三角函數的應用課里，可以設計一些有周期性變化規律的實際問題，讓學生建立簡單的三角函數模型，培養學生數學建模，分析問題、數形結合、抽象概括等能力，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，培養學生勤於思考、勇於探索的精神．
學生對新概念的學習只有在已有知識的基礎上才能構建，所以教師在教學時一定要注意教材所設計的知識結構．要做到既不脫離課本，又不拘泥於課本，要有大膽的創新精神．要根據學生實際情況，設計好每一堂概念課．
Ⅱ 數學是由兩個概念所構成,一個是數,一個是
構成數學的兩個概念一個是代數，一個是幾何.
回答完畢~
Ⅲ 什麼叫做數學概念
數學概念（mathematical concepts）是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特徵的一種反映形式，即一種數學的思維形式。
在數學中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現出來，而數學概念則是構成它們的基礎。正確理解並靈活運用數學概念，是掌握數學基礎知識和運算技能、發展邏輯論證和空間想像能力的前提。
Ⅳ 數學概念
一、數學概念的意義
1．概念的意義
邏輯學認為，概念是反映事物(思維對象)及其特有屬性(本質屬性)的思維形式。人們對客觀事物的認識一般是通過感覺、知覺、思維形成觀念(印象或表象)，這是感性認識階段，在感性認識的基礎上，通過對客觀事物的分析、綜合、比較、抽象、概括、歸納與演繹等一系列思維活動，從而認識事物的本質屬性形成概念，這是認識的理性階段。理性認識在實踐基礎上不斷深化，形成的概念又會進一步發展。
2．數學概念的意義
數學概念是一類特殊的概念，是其所反映的事物在現實世界中的空間形式和數量關系及其本質屬性在思維中的反映。如平行四邊形的概念在人的思維中反映出：這樣的對象是四邊形形狀的而且兩組對邊是分別平行的。這就是四邊形的本質屬性。
數學概念在數學思維中起著十分重要的作用，它是最基本的思維形式。判斷是由概念構成的，推理和證明又是由判斷構成的，可以說，數學概念是數學的細胞。
概念是反映客觀事物的思想，是客觀事物在人們頭腦中的抽象概括，是看不見摸不著的。要通過語詞表達出來，才便於人們研究、交流，數學概念也不例外。如平行四邊形概念用語詞表達就是：「兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形」。
數學概念的語詞表達的一般形式是「(概念的本質屬性)……叫做……(概念的名詞)」。
二、數學概念的內涵和外延及它們之間的反變關系
1．數學概念的內涵和外延
客觀世界的事物千差萬別，反映在人的思維中也就千差萬別，所形成的概念也千差萬別，語詞表達出來也是如此。但它們都有一個共同特點，都是用來認識和區別事物的。我們把一個概念所反映的所有對象的共同本質屬性的總和，叫做這個概念的內涵。如平行四邊形的內涵就是平行四邊形所代表的所有對象的共同本質屬性的總和：有四條邊，兩組對邊分別平行……我們把適合概念的所有對象的范圍，叫做概念的外延。如有理數和無理數，就是實數這個概念的外延。同樣，實數和虛數，也是復數這個概念的外延。內涵和外延是概念的兩個方面，正確的思維要求概念明確，明確概念即是要明確概念的內涵和外延。
對數學概念顯然也有上述定義的結論。這對理解數學概念，指導數學概念的教學有十分重要的意義。
2．概念的內涵與外延的反變關系
要對概念加深認識，還要注意邏輯學中稱之為概念的內涵與外延的反變關系，即：概念的內涵擴大時，其所得的新概念的外延縮小；當概念的內涵縮小時，其所得的新概念的外延擴大。反之，也成立。例如，在「矩形」概念的內涵中增加「一組鄰邊相等」的屬性時，就得到外延縮小了的「正方形」的概念；在「矩形」的概念中去掉「有一個角是直角」的屬性，就得到外延擴大了的「平行四邊形」的概念。
利用概念的內涵與外延的反變關系，通過採取擴大概念的內涵同時縮小概念的外延的方法來研究概念間的關系和性質，這種方法在邏輯學中稱之為「概念的限制」；通過縮小概念內涵的同時擴大概念外延的方法來認識同類概念的共同性質，這種方法在邏輯學上稱之為「概念的概括」。在中學數學的概念教學中，經常使用概念的限制和概括的方法給新概念下定義和復習同類概念的共同性質。
三、概念間的關系
Ⅳ 數學中數的概念
數學定義整數（Integer）：像-2，-1，0，1，2這樣的數稱為整數。整數是人類能夠掌握的最基本的數學工具。整數的全體構成整數集，整數集合是一個數環。在整數系中，自然數為正整數，稱0為零，稱-1、-2、-3、…、-n、… (n為整數)為負整數。正整數、零與負整數構成整數系。
一個給定的整數n可以是負數（n∈Z-），非負數（n∈Z*），零（n=0）或正數（n∈Z+）． [編輯本段]數學分類 正整數
是從古代以來人類計數(counting)的工具.可以說,從「一頭牛,兩頭牛」或是「五個人,六個人」抽象化成正整數的過程是相當自然的.事實上,我們有時候把正整數叫做自然數(the natural numbers). 零
不僅表示「無」,更是表示空位的符號.中國古代用算籌計算數並進行運算時,空位不放算籌,雖無空 位記號,但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件.印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(sunya)字,其原意也是「空」或「空白」. 負整數
中國最早引進了負數.《九章算術.方程》中論述的「正負數」,就是整數的加減法.減法的需要也促進了負整數的引入.減法運算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然數,則所給方程未必有自然數解.為了使它恆有解,就有必要把自然數系擴大為整數系。 質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，沒法被其他自然數整除的數。換句話說，只有兩個正因數（1和自己）的自然數即為素數。比1大但不是素數的數稱為合數。1和0既非素數也非合數。素數在數論中有著很重要的地位。 奇數 ：整數中，能被2整除的數是偶數，不能被2整除的數是奇數。 實數包括有理數和無理數。其中無理數就是無限不循環小數，有理數就包括整數和分數。
Ⅵ 什麼是數學，數學的概念
數學是研究空間形式和數量關系的科學，是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和有效工具。數學科學是自然科學、技術科學等科學的基礎，並在經濟科學、社會科學、人文科學的發展中發揮越來越大的作用。數學的應用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機技術的結合在許多方面直接為社會創造價值，推動著社會生產力的發展。數學在形成人類理性思維和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用。數學是人類文化的重要組成部分，數學素質是公民所必須具備的一種基本素質。
-------選自<普通高中數學新課程標准>
Ⅶ 數學由什麼構成的
是由數字，和算術構成
加上一些理論知識，以及身邊的一切（萬物離不開數學）
Ⅷ 數學究竟是由什麼組成的
數學是由概念與命題等內容組成的知識體系，它是一門以抽象思維為主的學科，而概念又是這種思維的語言。 因此概念教學是中學數學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的核心，正確理解概念是學好數學的基礎，特別是核心概念，學好核心概念是學好數學最重要的一環。從加德納新穎的智能觀和智能多元論出發,通過對何為「真正理解核心概念」、理解後的行為表現、學校教育要求學生理解核心概念什麼、實現理解的途徑等進行系統的闡述,形成了較為完善核心概念的教學觀。本文將介紹多元智能理論對數學核心概念教學啟示與實踐的價值。
大體分成兩類：數與形，
數與形還有更細的分類。
Ⅸ 數學是由什麼組成
既然你問得這么不負責！偶也第一次很不負責地告訴你！下面是復制的！
名稱來源
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹隘且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。 我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
數學史
基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅度的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。 今日，數學被使用在世界不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家也研究純數學，也就是數學本身，而不以任何實際應用為目標。雖然許多以純數學開始的研究，但之後會發現許多應用。 創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
[編輯本段]數學的本質
數學的本質是什麼？為什麼數學可以運用在所有的其它科目上？ 數學是研究事物數量和形狀規律的科目。 如果要深入的研究其本質及其擴展問題，就必須引入【全集然文明】專有名詞了。 其實數學的本質是：一門研究【儲空】的科目。 自然萬物都有其存儲的空間，這種現象稱之為【儲空】。 要判斷一個事物是否為「儲空」其實很簡單：只要能夠套入「在××里」的××就是「儲空」（包括具體和抽象）。於是大家將會發現，所有的事物都可以套入其中，也就是說：自然萬物都只是不同的「儲空」而已。 於是人們也發現：【代數】就是研究【儲空量】的科目；【幾何】就是研究【儲空形狀】的科目。而既然自然萬物都只是不同的儲空而已，那麼數學當然也就可以通用於所有的科目之中了！
1.更多的證據
因為一個除真空外的儲空都是有【儲隔】（儲空隔膜）的，於是人們在其它科目中使用數字就必須用【單位】來區分各種不同的儲空，如：個、頭、條、小時、牛、焦耳、歐姆、安培等等，可以說離開了單位，數字幾乎毫無意義。 並且各種名詞的【定義】也是相關儲空的儲隔，就是區別於其他事物的地方。
2.新數學等式和計算模型
異儲空計算模型異儲空等式【異儲空等式】比如：1個人 異等於 5個蘋果 ，就是說：一個人可以得到5個蘋果，或一個人和5個蘋果相聯系（任何聯系都可以）；異等號就是等號=下面加個o（儲空標志）；這樣就可以簡單的描述很多日常生活中碰到的計算。而且您還可以通過右圖的【異儲空計算模型】（最簡單的模型），來計算一些事物。
3.其他幾何領域
當然有，其實一直都有兩個巨大的幾何領域被人們長期的忽視，那就是【文字幾何】與【功能幾何】。 （1）文字幾何：當一些有特定含義的文字按照特殊的組合和形狀排列下來就會出現各種特殊的功能和特性。就像我們最常見的「化學元素周期表」、「文字圖表」、「數學計算模型」等等。 （2）功能幾何：各種形狀都是擁有各種不同的功能的！如球形可以做大容量的容納物質，交叉有利於物質傳播等等。所以我們應該仔細研究和探討各種形狀的各種特殊功能！ 使用全集然文明邏輯：如果自然萬物有共同的本質和規律，那麼它們必然可以用來推導各個科目的本質和規律，並推理出該科目內的新內容。於是我們發現了數學就是研究「儲空」的一個科目，並推理出了各種新領域。 註：等式、四則運算、解方程式的本質都可以用【儲空】內部規律推理出來
[編輯本段]數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。 數量 數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數猜想及哥德巴赫猜想。 當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成復數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。 結構 許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。 空間 空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。 基礎與哲學 為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。德國數學家康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向「無窮大」進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，就連被譽為「博大精深，富於創舉」的數學家Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是「神經質」，「走進了超越數的地獄」.對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：「我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」他還指出：「數學的本質在於它的自由性，不必受傳統觀念束縛。」這種爭辯持續了十年之久。Cantor由於經常處於精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最後死於精神病院。 然而，歷史終究公平地評價了他的創造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。 數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。 恩格斯說：「數學是研究現定世界的數量關系與空間形式的科學。」
[編輯本段]數學的分類
離散數學 模糊數學
數學的五大分支
1.經典數學 2.近代數學 3.計算機數學 4.隨機數學 5.經濟數學
數學分支
1.算術 2.初等代數 3.高等代數 4. 數論 5.歐式幾何 6.非歐式幾何 7.解析幾何 8.微分幾何 9.代數幾何 10.射影幾何學 11.幾何拓撲學 12.拓撲學 13.分形幾何 14.微積分學 15. 實變函數論 16.概率和統計學 17.復變函數論 18.泛函分析 19.偏微分方程 20.常微分方程 21.數理邏輯 22.模糊數學 23.運籌學 24.計算數學 25.突變理論 26.數學物理學
廣義的數學分類
從縱向劃分： 1.初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。 2.變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。 3.近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。 4.現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。 註：希爾伯特的23個問題—— 在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。 希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。 現在只列出一張清單： （1）康托的連續統基數問題。 （2）算術公理系統的無矛盾性。 （3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。 （4）兩點間以直線為距離最短線問題。 （5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。 （6）對數學起重要作用的物理學的公理化。 （7）某些數的超越性的證明。 （8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。 （9）一般互反律在任意數域中的證明。 （10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？ （11）一般代數數域內的二次型論。 （12）類域的構成問題。 （13）一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。 （14）某些完備函數系的有限的證明。 （15）建立代數幾何學的基礎。 （16）代數曲線和曲面的拓撲研究。 （17）半正定形式的平方和表示。 （18）用全等多面體構造空間。 （19）正則變分問題的解是否總是解析函數？ （20）研究一般邊值問題。 （21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。 （22）用自守函數將解析函數單值化。 （23）發展變分學方法的研究。 從橫向劃分： 1.基礎數學（Pure Mathematics）。又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關系。 2.應用數學（Applied mathematics）。簡單地說，也即數學的應用。 3 .計算數學（Computstion mathematics）。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算復雜性、程序設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。 4.概率統計（Probability and mathematical statistics）。分概率論與數理統計兩大塊。 5.運籌學與控制論（Op-erations research and csntrol）。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的復雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的一門學科。
[編輯本段]符號、語言與嚴謹
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。 我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。 數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。 嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
Ⅹ 「數」的概念是什麼
說實話，寫不下。而且我負責任地告訴你，如果沒有學完高等數學，代數又沒有一定功底的話，寫出來你也難以全看懂。
但我可以告訴你這些概念在什麼書上可以找到。
自然數的概念是Peano公理體系下定義的，在初等數論的教材，或者一些抽象代數教材，或者一些集合論的教材中可以找到。
整數是自然數中定義減法並使運算封閉得到的。常用的方法是定義為用兩個自然數的的笛卡爾積關於「差相等」這一等價關系的商集。即Z＝（N×N）/～，其中～就是這個等價關系。
有理數是在整數下定義除法並使運算封閉得到的。常用的是定義為用整數和正整數（或非零整數）集的笛卡爾積關於「約分後相等」這一等價關系得到的商集。
上述整數和自然數的定義可在部分抽象代數教材中找到。
實數是把有理數Cauchy完備化得到的，常用的方法有用Dedekind分劃和Cantor基本列兩種方法。實數的定義在一些討論數學分析的書中會講（但一般數學分析的教材往往略去），如Rudin的《數學分析原理》之類。
上面從自然數到實數的「數系擴張」過程，在汪芳庭的《數學基礎》中都有十分完整而嚴謹的介紹。
在實數中，正數就是大於0的數，負數就是小於0的數。當然在這之前先要在實數系中定義大小關系。也可見於《數學基礎》這本書，當然其他的書也可以。
關於小數，准確地說是實數的「十進小數表示法」，它不是什麼新的數，只是一種實數的表示方法、記錄方法而已。關於小數的詳細討論一般見於數值分析的教材，部分數學分析教材也有定義。