數學中阿羅法等於多少

『壹』 數學中e是什麼

前面那位仁兄發表的長篇大論，都是什麼呀，似乎離題了吧！！！講自然對數的底數e的由來，就要說說歐拉（Leonhard Euler 1707-1783）了——一個偉大的數學家！因為這個符號是他引進的，他不僅發明了e，而且現在許多數學符號都是他發明的，如：函數符號f(x)、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虛數i等。至於他為什麼取命名這么一個符號，較為人所接受的說法有二：一為在a，b，c，d等四個常被使用的字母後面，第一個尚未被經常使用的字母就是e，所以，他很自然地選了這個符號，代表自然對數的底數；一為e是指數的第一個字母，雖然你或許會懷疑瑞士人歐拉的母語不是英文，可事實上法文、德文的指數都是它。高中教師常用一則自然對數的底數e笑話，幫助學生記憶一個很特別的微分公式：在一家精神病院里，有個病患整天對著別人說，「我微分你、我微分你。」也不知為什麼，這些病患都有一點簡單的微積分概念，總以為有一天自己會像一般多項式函數般，被微分到變成零而消失，因此對他避之不及，然而某天他卻遇上了一個不為所動的人，他很意外，而這個人淡淡地對他說，「我是e的x次方。」這個微分公式就是：e不論對x微分幾次，結果都還是e！難怪數學系學生會用e比喻堅定不移的愛情！

『貳』 阿爾法還是阿羅法希臘字母讀

當然是阿爾法啊。數學老師的語文真的笑死人。

『叄』 阿羅不可能性定理是什麼

阿羅不可能性定理是指，如果眾多的社會成員具有不同的偏好，而社會又有多種備選方案，那麼在民主的制度下不可能得到令所有的人都滿意的結果。定理是由1972年度諾貝爾經濟學獎獲得者美國經濟學家肯尼思·J·阿羅提出。 1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（KennethJ．Arrow）在他的現在已經成為經濟學經典著作的《社會選擇與個人價值》一書中，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說「將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序」進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更准確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，「程序民主」必將越來越遠離「實質民主」。從而給出了證明一個不可思議的定理：假如有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對於最應該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程序，能把個體的偏好結合起來，達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。

眾所周知，多數原則是現代社會廣泛接受的決策方法。洛克認為「根據自然和理性的法則，大多數具有全體的權力，因而大多數的行為被認為是全體的行為，也當然有決定權了」。但很多在自然法學家那裡是想當然正確的東西在社會選擇理論中是需要證明的。所謂社會選擇，在數學上表達為一個建立在所有個人的偏好上的函數（或對應），該函數的性質代表了一定的價值規范，比如公民主權、全體性、匿名性、目標中性，帕累托最優性，無獨裁性等。社會選擇最重要的問題是，這些價值規范之間是否是邏輯上協調的。阿羅證明，不存在同時滿足如下四個基本公理的社會選擇函數：①個人偏好的無限制性，即對一個社會可能存在的所有狀態，任何邏輯上可能的個人偏好都不應當先驗地被排除；②帕累托原則，即一個方案對所有人是最優的意味著相對於社會偏好序也是最優的；③非相關目標獨立性，即關於一對社會目標的社會偏好序不受其它目標偏好序變化的影響；④社會偏好的非獨裁性。

定理內容：

公理1：個體可以有任何偏好；而且是民主選擇——每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇（數學上稱為原則U—無限制原則：>i，u=1，2，…，m在x上的定義方式無任何限制）。

公理2：不相乾的選擇是互相獨立的；（數學上稱為原則I——獨立性原則：對於X中的兩個事件X和Y，對它們做出的偏好判斷與X中的任何其他事件無關）。

公理3：社會價值與個體價值之間有正向關聯；（數學上稱為原則P—一致性原則：如果對X中的兩個事件X和Y，對於所有的i都有xiY不成立。就是說，每人都有同樣明確態度的兩件事，社會也應該有同樣的態度。）

公理4：沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。數學上稱為原則D——非獨裁原則：不存在某個i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規則是不存在的，就是著名的「阿羅不可能性定理」：如果X中的事件個數不小於3，那麼就不存在任何遵循原則U，P，I，D的規則（稱為「社會福利函數」）。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要麼是強加的，要麼就是獨裁的結果。

『肆』 簡述阿羅不可能定理

1951年，阿羅出版了他的研究社會理論的重要著作《社會選擇和個人價值》，採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說「將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序」進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數情況下是——不可能的！更准確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，「程序民主」必將越來越遠離「實質民主」。

阿羅不可能定理源自孔多塞的「投票悖論」，早在十八世紀法國思想家孔多賽就提出了著名的「投票悖論」：假設甲乙丙三人，面對ABC三個備選方案，有如圖的偏好排序。

甲（a ＞ b ＞ c）

乙（b ＞ c ＞ a）

丙（c ＞ a ＞ b）

註：甲（a ＞ b ＞ c）代表——甲偏好a勝於b，又偏好b勝於c。

若取「a」、「b」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ b ）

乙（b ＞ a ）

丙（a ＞ b ）

社會次序偏好為（a ＞ b ）

若取「b」、「c」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

甲（b ＞ c ）

乙（b ＞ c ）

丙（c ＞ b ）

社會次序偏好為（b ＞ c ）

若取「a」、「c」對決，那麼按照偏好次序排列如下：

甲（a ＞ c ）

乙（c ＞ a ）

丙（c ＞ a ）

社會次序偏好為（c ＞ a ）

於是我們得到三個社會偏好次序——（a ＞ b ）、（b ＞ c ）、（c ＞ a ），其投票結果顯示「社會偏好」有如下事實：社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見，這種所謂的「社會偏好次序」包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c！所以按照投票的大多數規則，不能得出合理的社會偏好次序。

『伍』 阿羅不可能定理的推理及評價

為了簡單起見，假定，每個個體至少有3個供排列的選項，可以用各種味道的餅干為選項的例子，如，香草餅干(V）、巧克力餅干(C）和草莓餅干(S），每一個人要形成一個序列，表示出他對3種味道的喜愛程度，如V>S>C，表示這個人最喜歡香草餅干，其次是草莓餅干，最後是巧克力餅干。設有甲乙丙三人作選擇，他們的個人偏好為：
甲：V>C>S；乙：C>S>V；丙：S>V>C
投票者對不同選擇方案的偏好次序，甲：V；C；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。
用民主的多數表決方式，如果三個人都能充分表達自己的意見，則結果必然如下所示：
首先，在V和C中選擇，甲、丙喜歡V，乙喜歡C；
然後，在C和S中選擇，甲、乙喜歡C，丙喜歡S；
最後，在V和S中選擇，乙、丙喜歡S，甲喜歡V。
這樣三個人的最終表決結果如下：
V>C，C>S，S>V可見，利用少數服從多數的投票機制，將產生不出一個令所有人滿意的結論，這就是著名的「投票悖論」（paradoxofvoting）。這個投票悖論最早是由康德爾賽(Coudorcet，Marquisde）在l8世紀提出的，因而該悖論又稱為「康德爾賽效應」，而利用數學對其進行論證的則是阿羅。
用數學語言來說，即：假設群體S上有m個個體成員，群體中出現的各種事件構成一個集合X，每個個體對每一事件都有自己的態度，即每個人都對集合X有一個偏好關系>i=1，2，…，m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為：其中P是一種由每個個體偏好得出群體偏好的規則。按這個規則從個體排序（偏好）得到群體排序（偏好），而且這個排序符合民主社會的民主決策的各種要求。注意這個排序是自反的，即如果A>B，那麼，B<A；是傳遞的，即如果A>B，B>C，則有A>C；並且還是完全的，即要麼A>B，要麼B>A，二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會的民主決策的各種要求是什麼，阿羅用4個公理（有時表述為5條，把公理1分為兩條）表述出這些要求。他用的是數學方法，符號化的公理和數理邏輯的證明方法，為了簡單地說明問題，採用了自然語言解釋。 公理1：個體可以有任何偏好；而且是民主選擇——每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇（數學上稱為原則U—無限制原則：>i，u=1，2，…，m在x上的定義方式無任何限制）。
公理2：不相乾的選擇是互相獨立的；（數學上稱為原則I——獨立性原則：對於X中的兩個事件X和Y，對它們做出的偏好判斷與X中的任何其他事件無關）。
公理3：社會價值與個體價值之間有正向關聯；（數學上稱為原則P—一致性原則：如果對X中的兩個事件X和Y，對於所有的i都有xiY不成立。就是說，每人都有同樣明確態度的兩件事，社會也應該有同樣的態度。）
公理4：沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。（數學上稱為原則D——非獨裁原則：不存在某個i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規則是不存在的，就是著名的「阿羅不可能性定理」：如果X中的事件個數不小於3，那麼就不存在任何遵循原則U，P，I，D的規則（稱為「社會福利函數」）。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要麼是強加的，要麼就是獨裁的結果。
換句話說，阿羅不可能性定理指出，多數規則(majorilyrule）的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致循環投票。
在得多數票獲勝的規則下，每個人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數人是偏好X勝於Y，同樣大多數人也是偏好Y勝於Z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的（transitivity），即大多數人偏好X勝於Z。但實際上，大多數人偏好Z勝於X。因此，以投票的多數規則來確定社會或集體的選擇會產生循環的結果。結果，在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數票而通過，這就是「投票悖論」，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規則都難以避開這兩難境地。
那麼，能不能設計出一個消除循環投票，做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、並且不依賴程序(agenda）的多數規則的投票方案。簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序准確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。
這個結果是令人震動的：一個社會不可能有完全的每個個人的自由——否則將導致獨裁；一個社會也不可能實現完全的自由經濟——否則將導致壟斷。人們對社會的認識達到一個新的高度。因此阿羅的不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的沖擊，甚至招來了上百篇文章對他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經濟學不相乾的論點來駁倒阿羅的不可能定理，但又遭到肯普、黃有光和帕克斯的反駁，他們甚至建立了在給定個人次序情況下的不可能性結果。
事實上，阿羅的不可能性定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰，可以說是無懈可擊的，於是阿羅不可能定理似乎成為規范經濟學發展的一個不可逾越的障礙。怎樣綜合社會個體的偏好，怎樣在理論上找到一個令人滿意的評價不同社會形態的方法，成為一個世界性難題。這時候出現了阿馬弟亞·森（AmartyaKumarSen，1933一）從20世紀60年代中期起，森在工具性建設方面的貢獻減少了這種悲觀主義色彩。森在這方面的研究推動了規范經濟學跨越這個障礙向前發展。他的研究工作不僅豐富了社會選擇理論的原則，而且開辟了一個新的、重要的研究天地。森1970年的著作《集體選擇和社會福利》是其最重要的一部著作，它使許多研究者恢復了對基本福利的興趣。
森所建議的解決方法其實非常簡單。森發現，當所有人都同意其中一項選擇方案並非最佳的情況下，阿羅的「投票悖論」就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意V項選擇方案並非最佳，這樣上面的表1就變為表2，僅僅甲的偏好由於同意「V並非最佳」而V和C的順序互換了一下，別的都不變。
投票者對不同選擇方案的偏好次序，甲：C；V；S。乙：C；S；V。丙：S；V；C。
在對V和C兩種方案投票時，C以兩票（甲乙）對一票（丙）而勝出於V(C>V）；同理，在對V和S以及C和S分別進行投票時，可以得到S以兩票（乙丙）對一票（甲）而勝出於V(S>V）；C以兩票（甲乙)對一票（丙）而勝出於S(C>S）。這樣，C>S—S>V—C>V，投票悖論就此宣告消失，唯有C項選擇方案得到大多數票而獲勝。
森把這個發現加以延伸和拓展，得出了解決投票悖論的三種選擇模式：
⑴所有人都同意其中一項選擇方案並非最佳；
⑵所有人都同意其中一項選擇方案並非次佳；
表2 投票悖論的解決 投票者 對不同 選擇方案 的偏好次序 甲 C V S 乙 C S V 丙 S V C ⑶所有人都同意其中一項選擇方案並非最差。
森認為，在上述三種選擇模式下，投票悖論不會再出現，取而代之的結果是得大多數票者獲勝的規則總是能達到唯一的決定。
一個更完整、更簡單也更具一般意義的不可能性定理，是艾利亞斯在2004年發表的。這一定理聲稱：如果有多於兩個可供選擇的社會狀態，那麼，任何社會集結運算元，只要滿足「偏好逆轉」假設和「弱帕累托」假設，就必定是獨裁的。特別地，阿羅的社會福利函數和森的社會選擇函數，都是社會集結運算元的特例，並且偏好逆轉假設在阿羅和繆勒各自定義的社會選擇框架內分別等價於阿羅的「獨立性假設」和繆勒的「單調性假設」，從而阿羅的不可能性定理、森的最小自由與帕累托效率兼容的不可能性定理、繆勒和塞特斯維特的一般不可能性定理，均可視為艾利亞斯一般不可能性定理的特例。艾利亞斯的不可能性定理有怎樣的經濟學和社會學結論是人們正在研究的問題。 1、所有投票人就備選方案所想到的任何一種次序關系都是實際可能的。
該公理表明：選民對候選人的任何一種排序都是允許的，也就是每一位選民可以完全按照各自的意願挑選自己中意的候選人。
2、對任意一對備選方案 x 、y ，如果對於任何投票人都有 x ≥ y ，根據選舉規則就應該確定 x ≥ y ；而且當且僅當對所有投票人都有 x = y 時，根據選舉規則得到的最後結果才能取等號。
該公理表明：全體選民的一致願望必須得到尊重，同時每個選民的意願也不能受到隨意的忽略，體現了選民的主權特性。
3、對任意一對備選方案 x 、y ，如果在某次投票的結果中有 x > y ，那麼在另一次投票中，如果在每位投票人排序中 x 的位置保持不變或提前，則根據同樣的選舉規則得到的最終結果也應包括 x > y。
該公理表明：如果所有選民對某位候選人的喜歡程度相對於其他候選人來說沒有降低，那麼該候選人在選舉結果中的位置不會變化。
4、如果在兩次投票過程中，備選方案集合的子集中各元素的排序沒有改變，那麼在這兩次選舉的最終結果中，該子集內各元素的排列次序同樣沒有變化。
該公理表明：某一組候選人在選舉結果中的相對位置不會受除他們以外的其他候選人選舉地位變動的影響，反映了無關候選人的獨立性。公理3和公理4結合在一起，說明候選人的選舉成績只取決於選民對他們作出的評價。
5、不存在這樣的投票人，使得對於任意一對備選方案 x 、y ，只要該投票人在選舉中確定 x > y ，選舉規則就確定 x > y。
該公理表明：不存在能夠僅憑個人意願就決定選舉結果的獨裁者

『陸』 @在數學方面表示什麼意思

這個在matlab的裡面可用於定義匿名函數的
要說在數學試卷上出現，一般都是題中的定義吧、

『柒』 在數學中，一個圓圈加一豎，像「中」一樣的符號是什麼意思

一個圓圈加一豎，像「中」一樣的符號是希臘字母 Φ（ΦPHi，讀faì），在數學中Φ有兩種含義。
一種是表示圓的直徑。如ΦA=30mm，就是圓A的直徑是30毫米。在制圖、工程術語中可以直接用Φ加數字表示直徑，例如Φ30。
另一種表示集合中的空集，就是不含任何元素的集合也希臘字母 Φ表示。