數學的研究對象有哪些

『壹』 數學研究的對象是什麼有哪些類型

數學的研究對象可以是任何事物，只要它有量，並和事物發生關系，就能通過不同量的變化關系進行研究

『貳』 數學的研究對象有兩個方面,第一個是什麼與數有關

數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。
中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是「以數解形」，而第二種情形是「以形助數」。「以數解形」就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

『叄』 數學的研究對象和要解決的問題是什麼有哪些主要特點

數學研究的對象是數量、結構、變化、空間以及信息等概念，解決的是現實世界的任何問題。數學的主要特點是嚴謹性。

所有的數學對象本質上都是人為定義的，它們並不存在於自然界，而只存在於人類的思維與概念之中。因而，數學命題的正確性，無法像物理、化學等以研究自然現象為目標的自然科學那樣，能夠藉助於可以重復的實驗、觀察或測量來檢驗，而是直接利用嚴謹的邏輯推理加以證明。一旦通過邏輯推理證明了結論，那麼這個結論也就是正確的。

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數學的公理化方法實質上就是邏輯學方法在數學中的直接應用。在公理系統中，所有命題與命題之間都是由嚴謹的邏輯性聯系起來的。從不加定義而直接採用的原始概念出發，通過邏輯定義的手段逐步地建立起其它的派生概念；由不加證明而直接採用作為前提的公理出發，藉助於邏輯演繹手段而逐步得出進一步的結論，即定理；然後再將所有概念和定理組成一個具有內在邏輯聯系的整體，即構成了公理系統。

嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯誤的「定理」或「證明」，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所作的定義，到了19世紀才讓數學家用嚴謹的分析及正式的證明妥善處理。數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計算難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。

『肆』 你認為數學是什麼已學的高等數學的研究對象是什麼

窮進入數學，這是高等數學的又一特徵。現實世界的各種事物都以有限的形式出現，無窮是對他們的共同本質的一種概括。所以，無窮進入數學是數學高度理論化、抽象化的反映。數學中的無窮以潛無窮和實無窮兩種形式出現。在極限過程中，變數的變化是無止境的，屬於潛無窮的形式。而極限值的存在又反映了實無窮過程。最基本的極限過程是數列和函數的極限。數學分析以它為基礎，建立了刻畫函數局部和總體特徵的各種概念和有關理論，初步成功地描述了現實世界中的非均勻變化和運動。另外一些形式上更為抽象的極限過程，在別的數學學科中也都起著基本的作用。還有許多學科的研究對象本身就是無窮多的個體，也就說是無窮集合，例如群、環、域之類及各種抽象空間。這是數學中的實無窮。能夠處理這類無窮集合，是數學水平與能力提高的表現。為了處理這類無窮集合，數學中引進了各種結構，如代數結構、序結構和拓撲結構。另外還有一種度量結構，如抽象空間中的范數、距離和測度等，它使得個體之間的關系定量化、數字化，成為數學的定性描述和定量計算兩方面的橋梁。上述結構使得這些無窮集合具有豐富的內涵，能夠彼此區分，並由此形成了眾多的數學學科。

數學的計算性方面。在初等數學中甚至佔了主導的地位。它在高等數學中的地位也是明顯的，高等數學除了有很多理論性很強的學科之外，也有一大批計算性很強的學科，如微分方程、計算數學、統計學等。在高度抽象的理論裝備下，這些學科才有可能處理現代科學技術中的復雜計算問題。

『伍』 數學所研究的兩大對象是什麼

數學——研究現實世界的數量關系和空間形式的科學.
數學可以分成兩大類,一類叫純粹數學,一類叫應用 數學.
純粹數學也叫基礎數學,專門研究數學本身的內部規律.中小學課本里介紹的代數、幾何、微積分、概率論知識,都屬於純粹數學.純粹數學的一個顯著特點,就是暫時撇開具體內容,以純粹形式研究事物的數量關系和空間形式.例如研究梯形的面積計算公式,至於它是梯形稻田的面積,還是梯形機械零件的面積,都無關緊要,大家關心的只是蘊含在這種幾何圖形中的數量關系.

『陸』 從數學的發展歷史來看，數學的研究對象各個階段有哪些

數學發展具有階段性，因此根據一定的原則把數學史分成若干時期。目前通常將數學發展劃分為以下五個時期：
1．數學萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等數學時期（公元前600年至17世紀中葉）；
3．變數數學時期（17世紀中葉至19世紀20年代）；
4．近代數學時期（19世紀20年代至第二次世界大戰）；
5．現代數學時期（20世紀40年代以來）
在數學萌芽期這一時期，數學經過漫長時間的萌芽階段，在生產的基礎上積累了豐富的有關數和形的感性知識。到了公元前六世紀，希臘幾何學的出現成為第一個轉折點，數學從此由具體的、實驗的階段，過渡到抽象的、理論的階段，開始創立初等數學。此後又經過不斷的發展和交流，最後形成了幾何、算術、代數、三角等獨立學科。世界上最古老的幾個國家都位於大河流域：黃河流域的中國；尼羅河下游的埃及；幼發拉底河與底格里斯河的巴比倫國；印度河與恆河的印度。這些國家都是在農業的基礎上發展起來的，因此他們就必須掌握四季氣候變遷的規律。
現在對於古巴比倫數學的了解主要是根據巴比倫泥版，這些數學泥版表明，巴比倫自公元前2000年左右即開始使用60進位制的記數法進行較復雜的計算了，並出現了60進位的分數，用與整數同樣的法則進行計算；已經有了關於倒數、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數表；藉助於倒數表，除法常轉化為乘法進行計算。巴比倫數學具有算術和代數的特徵，幾何只是表達代數問題的一種方法。這時還沒有產生數學的理論。對埃及古代數學的了解，主要是根據兩卷紙草書。從這兩卷文獻中可以看到，古埃及是採用10進位制的記數法。埃及人的數學興趣是測量土地，幾何問題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉的容積和有關金字塔的簡易計演算法。但是由於這些計演算法是為了解決尼羅河泛濫後土地測量和穀物分配、容量計算等日常生活中必須解決的課題而設想出來的，因此並沒有出現對公式、定理、證明加以理論推導的傾向。埃及數學的一個主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發展。由於地理位置和自然條件，古希臘受到埃及、巴比倫這些文明古國的許多影響，成為歐洲最先創造文明的地區。
希臘的數學是輝煌的數學，第一個時期開始於公元前6世紀，結束於公元前4世紀。泰勒斯開始了命題的邏輯證明，開始了希臘偉大的數學發展。進入公元前5世紀，愛利亞學派的芝諾提出了四個關於運動的悖論，柏拉圖強調幾何對培養邏輯思維能力的重要作用，亞里士多德建立了形式邏輯，並且把它作為證明的工具；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構成。第二個時期自公元前4世紀末至公元1世紀，這時的學術中心從雅典轉移到了亞歷山大里亞，因此被稱為亞歷山大里亞時期。這一時期有許多水平很高的數學書稿問世，並一直流傳到了現在。公元前3世紀，歐幾里得寫出了平面幾何、比例論、數論、無理量論、立體幾何的集大成的著作幾何原本，第一次把幾何學建立在演繹體繫上，成為數學史乃至思想史上一部劃時代的名著。之後的阿基米德把抽象的數學理論和具體的工程技術結合起來，根據力學原理去探求幾何圖形的面積和體積，奠定了微積分的基礎。阿波羅尼寫出了《圓錐曲線》一書，成為後來研究這一問題的基礎。公元一世紀的赫倫寫出了使用具體數解釋求積法的《測量術》等著作。二世紀的托勒密完成了到那時為止的數理天文學的集大成著作《數學匯編》，結合天文學研究三角學。三世紀丟番圖著《算術》，使用簡略號求解不定方程式等問題，它對數學發展的影響僅次於《幾何原本》。希臘數學中最突出的三大成就--歐幾里得的幾何學，阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論，標志著當時數學的主體部分--算術、代數、幾何基本上已經建立起來了。
羅馬人征服了希臘也摧毀了希臘的文化。公元前47年，羅馬人焚毀了亞歷山大里亞圖書館，兩個半世紀以來收集的藏書和50萬份手稿競付之一炬。
從5世紀到15世紀，數學發展的中心轉移到了東方的印度、中亞細亞、阿拉伯國家和中國。在這1000多年時間里，數學主要是由於計算的需要，特別是由於天文學的需要而得到迅速發展。古希臘的數學看重抽象、邏輯和理論，強調數學是認識自然的工具，重點是幾何；而古代中國和印度的數學看重具體、經驗和應用，強調數學是支配自然的工具，重點是算術和代數。
印度的數學也是世界數學的重要組成部分。數學作為一門學科確立和發展起來。印度數學受婆羅門教的影響很大，此外還受希臘、中國和近東數學的影響，特別是受中國的影響。
此外，阿拉伯數學也有著舉足輕重的作用，阿拉伯人改進了印度的計數系統，"代數"的研究對象規定為方程論；讓幾何從屬於代數，不重視證明；引入正切、餘切、正割、餘割等三角函數，製作精密的三角函數表，發現平面三角與球面三角若乾重要的公式，使三角學脫離天文學獨立出來。
在我國，春秋戰國之際，籌算已得到普遍的應用，籌算記數法已使用十進位值制，這種記數法對世界數學的發展是有劃時代意義的。這個時期的測量數學在生產上有了廣泛應用，在數學上亦有相應的提高。戰國時期的百家爭鳴也促進了數學的發展，秦漢是封建社會的上升時期，經濟和文化均得到迅速發展。中國古代數學體系正是形成於這個時期，它的主要標志是算術已成為一個專門的學科，以及以《九章算術》為代表的數學著作的出現。
《九章算術》是戰國、秦、漢封建社會創立並鞏固時期數學發展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。魏、晉時期趙爽與劉徽的工作為中國古代數學體系奠定了理論基礎。劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恆為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓台的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。這之後，我國數學經過像秦九邵、祖沖之、郭守敬、程大位這樣的數學家進一步發展了我國的數學事業。
在西歐的歷史上，中世紀的黑暗在一定程度上阻礙了數學的發展，15世紀開始了歐洲的文藝復興，使歐洲的數學得以進一步發展，15世紀的數學活動集中在算術、代數和三角方面。繆勒的名著《三角全書》是歐洲人對平面和球面三角學所作的獨立於天文學的第一個系統的闡述。16世紀塔塔利亞發現三次方程的代數解法，接受了負數並使用了虛數。16世紀最偉大的數學家是偉達，他寫了許多關於三角學、代數學和幾何學的著作，其中最著名的《分析方法入門》改進了符號，使代數學大為改觀；斯蒂文創設了小數。17世紀初，對數的發明是初等數學的一大成就。1614年，耐普爾首創了對對數，1624年布里格斯引入了相當於現在的常用對數，計算方法因而向前推進了一大步。至此，初等數學的主體部分--算術、代數與幾何已經全部形成，並且發展成熟。
變數數學時期從17世紀中葉到19世紀20年代，這一時期數學研究的主要內容是數量的變化及幾何變換。這一時期的主要成果是解析幾何、微積分、高等代數等學科。
17世紀是一個開創性的世紀。這個世紀中發生了對於數學具有重大意義的三件大事。 首先是伽里略實驗數學方法的出現，它表明了數學與自然科學的一種嶄新的結合。其特點是在所研究的現象中，找出一些可以度量的因素，並把數學方法應用到這些量的變化規律中去。第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學》於1637年發表。它引入了運動著的一點的坐標的概念，引入了變數和函數的概念。由於有了坐標，平面曲線與二元方程之間建立起了聯系，由此產生了一門用代數方法研究幾何學的新學科--解析幾何學。這是數學的一個轉折點，也是變數數學發展的第一個決定性步驟。第三件大事是微積分學的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨立完成的。他們認識到微分和積分實際上是一對逆運算，從而給出了微積分學基本定理，即牛頓-萊布尼茲公式。17世紀的數學，發生了許多深刻的、明顯的變革。在數學的活動范圍方面，數學教育擴大了，從事數學工作的人迅速增加，數學著作在較廣的范圍內得到傳播，而且建立了各種學會。在數學的傳統方面，從形的研究轉向了數的研究，代數占據了主導地位。在數學發展的趨勢方面，開始了科學數學化的過程。最早出現的是力學的數學化，它以1687年牛頓寫的《自然哲學的數學原理》為代表，從三大定律出發，用數學的邏輯推理將力學定律逐個地、必然地引申出來。18世紀數學的各個學科，如三角學、解析幾何學、微積分學、數論、方程論，得到快速發展。19世紀20年代出現了一個偉大的數學成就，它就是把微積分的理論基礎牢固地建立在極限的概念上。柯西於1821年在《分析教程》一書中，發展了可接受的極限理論，然後極其嚴格地定義了函數的連續性、導數和積分，強調了研究級數收斂性的必要，給出了正項級數的根式判別法和積分判別法。而在這一時期，非歐幾何的出現，成為數學史上的一件大事，非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和准備。這時人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何--非歐幾何。非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終於開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質。非歐幾何的發現，黎曼和羅巴切夫斯基功不可滅，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域--黎曼幾何學。後來，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數--四元數代數。不可交換代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數的大門。另一方面，由於一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅瓦開創了近世代數學的研究。這時，代數學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，並漸漸轉向代數系統結構本身的研究。19世紀還發生了第三個有深遠意義的數學事件：分析的算術化。1874年威爾斯特拉斯提出了被稱為"分析的算術化"的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然後分析的所有概念應該由此數系導出。19世紀後期，由於狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。
20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。1945年，第一台電子計算機誕生以後，由於電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。計算機的出現更是促進了數學的發展，使數學分為了三個領域，純粹數學，計算機數學，應用數學。 現代數學雖然呈現出多姿多彩的局面，但是它的主要特點可以概括如下：(1)數學的對象、內容在深度和廣度上都有了很大的發展，分析學、代數學、幾何學的思想、理論和方法都發生了驚人的變化，數學的不斷分化，不斷綜合的趨勢都在加強。(2)電子計算機進入數學領域，產生巨大而深遠的影響。(3)數學滲透到幾乎所有的科學領域，並且起著越來越大的作用，純粹數學不斷向縱深發展，數理邏輯和數學基礎已經成為整個數學大廈基礎。

『柒』 從數學的發展歷史來看,數學的研究對象各個階段有哪些

1、數學發生圖

數學可分為五大學科：純粹（基礎）數學、應用數學、計算數學、運籌與控制、概率論與數理統
計。
應用數學則以以上數學為綜合理論基礎，可分為：價值數學、運籌學、數理統計學、系統科
學、決策論等。目前又發展出混沌、小波變換、分形幾何等。
2、算術：人類逐步有了數的概念，由自然數開始。由於人有十個手指，所以多數民族建立了十進位制的自然數表示方法。二十個一組的太多太大，不能一目瞭然，還要用上腳趾，五個一組又太少，使組數太多，十個一組是比較會讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數法、希臘記數法、羅馬記數法、中國記數法，發展進步了5000年後，印度人第一次發明了零，零加自然數稱為為整數，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯數字。計算機的出現又需要二進位制，就是近幾十年的事了。
算術運算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導致了分數的出現，以十、百等為分母的除法，簡化表達就是
小數和循環小數。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現了負數，以上這些數放在一起，
就是有理數，可以表示在一個數軸上。人們曾經很長時間以為數軸上的數都是有理數，後來有人發現，正方形的邊是1，它的對角線長度就無法用有理數表示，用園規在數軸上找到那個對應點就是無理數的點，這是第一次數學危機。1761年德國物理學家和數學家蘭伯盧格嚴格證明了
π也是一個無理數，這樣把無理數包入之後，有理數與無理數統稱為實數，數軸也稱之為實數軸。後來人們發現，如果在實數軸上隨機的抽取，得到有理數的概率幾乎是零，得到無理數的概率幾乎是1，無理數比有理數多得多。為什麼會如此，因為我們生活的這個客觀世界，本來就是無理的多過有理的。為了解決負數的開平方是什麼，16世紀出了虛數i，虛軸與實軸垂直交叉形成一個復平面，數也發展成為由虛部和實部組成的復數。數的概念會不會繼續發展，我們試目以待。
3、代數：對實數的運算進入代數學階段，有「加、減、乘、除、乘方、開方、指數、對數」八則，用符號代表數，列出方程，求解方程成了比算術更有力的武器。這個時期稱為初等數學，從5世紀一直到17世紀，大約持續了一千多年。初等數學是常數的數學。對一組數群體性質的研究就導
致線性代數。
4、幾何：以上是研究數的，在研究形方面也平行的發展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構建了幾何學是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經與目前中學幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質，在計算復雜圖形的面積時，接近了高等數學。還初步了解到三角函數的值。在幾何學方面，後來進一步發展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓撲學等分支。 直到17世紀，笛卡爾的工作終於把平行發展的代數與幾何聯系起來，除建立了平面坐標系之外，還完善了目前通行的符號運算系統。
5、變數數學 ： 變化著的量以及它們間的依賴關系，產生了變數與函數的概念，研究函數的領域叫數學分析，其主要內容是微積分，牛頓由物理力學推動了微積分的產生，萊布尼茲從數學中求曲線多邊形的面積出發推動了微積分的發現，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號的記法，都是萊布尼茲最先採用的。他們都運用了極限的概念和無窮小的分析方法。 有了微積分，一系列分支出現了，如級數理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級數是無窮項數列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數而是函數，多元的情況下就出現了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關於曲線和曲面的一般理論，將實數分析的方法推廣到復數域中就產生了復變函數論。
6、概率論和數理統計 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機現象，其中存在很多不確定的、不可預測的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產生了概率論及其統計學等相關分枝。
7、模糊數學 ： 前面涉及的數量，無論是常量還是變數都是「准確」的量，但自然界中存在大量的不準確現象，人為地准確化只能使我們對客觀世界的描述變得不準確。「乏晰數學」Fuzzy就是以這種思想觀點和方法研究問題的數學。

『捌』 數學是研究什麼和什麼的科學

數學是研究數量關系和空間形式的科學。

數學是一切科學（科技）研究的基礎。正是由於數學的發展，我們現在才能夠利用它來發展其他科學。盡管21世紀才過去20年，數學領域已經出現了很多重大的研究成果。

例如，2011年，彼得·舒爾茨（Peter Scholze）引入了完美胚空間（Perfectoid Spaces）的概念，震驚了代數和算術幾何領域。完美胚空間是存在於p進幾何領域的一類代數幾何對象。

數與形是數學的兩個研究對象

數與形是數學的兩個研究對象，數代表的是數量關系，形代表的是空間形式。數形結合方法充分體現了化歸理念，在數學的教學過程中可以用這種方法，對於學生的思考、解決問題的能力有很大的提升。

數形結合主要分為三種情況：第一種為由形思數，其方法為解析法、代數法與三角法等；第二種為由數思形，其方法為構造圖形法；第三種為數形互化，其方法為圖示法、體積法與面積法等。

『玖』 數學研究的對象是什麼

就是和數學有關的知識！
下面分別解釋什麼是數學，什麼是知識。
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數學：
數學，其英文是mathematics，這是一個復數名詞，「數學曾經是四門學科：算術、幾何、天文學和音樂，處於一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。」

自古以來，多數人把數學看成是一種知識體系，是經過嚴密的邏輯推理而形成的系統化的理論知識總和，它既反映了人們對「現實世界的空間形式和數量關系（恩格斯）」的認識（恩格斯），又反映了人們對「可能的量的關系和形式」的認識。數學既可以來自現實世界的直接抽象，也可以來自人類思維的勞動創造。

從人類社會的發展史看，人們對數學本質特徵的認識在不斷變化和深化。「數學的根源在於普通的常識，最顯著的例子是非負整數。"歐幾里德的算術來源於普通常識中的非負整數，而且直到19世紀中葉，對於數的科學探索還停留在普通的常識，」另一個例子是幾何中的相似性，「在個體發展中幾何學甚至先於算術」，其「最早的徵兆之一是相似性的知識，」相似性知識被發現得如此之早，「就象是大生的。」因此，19世紀以前，人們普遍認為數學是一門自然科學、經驗科學，因為那時的數學與現實之間的聯系非常密切，隨著數學研究的不斷深入，從19世紀中葉以後，數學是一門演繹科學的觀點逐漸占據主導地位，這種觀點在布爾巴基學派的研究中得到發展，他們認為數學是研究結構的科學，一切數學都建立在代數結構、序結構和拓撲結構這三種母結構之上。與這種觀點相對應，從古希臘的柏拉圖開始，許多人認為數學是研究模式的學問，數學家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數學與善》中說，「數學的本質特徵就是：在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進行研究，」數學對於理解模式和分析模式之間的關系，是最強有力的技術。」1931年，歌德爾（K，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數學是經驗科學的觀點，著名數學家馮·諾伊曼就認為，數學兼有演繹科學和經驗科學兩種特性。

對於上述關於數學本質特徵的看法，我們應當以歷史的眼光來分析，實際上，對數本質特徵的認識是隨數學的發展而發展的。由於數學源於分配物品、計算時間、丈量土地和容積等實踐，因而這時的數學對象（作為抽象思維的產物）與客觀實在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數學概念的現實原型，這樣，人們自然地認為數學是一種經驗科學；隨著數學研究的深入，非歐幾何、抽象代數和集合論等的產生，特別是現代數學向抽象、多元、高維發展，人們的注意力集中在這些抽象對象上，數學與現實之間的距離越來越遠，而且數學證明（作為一種演繹推理）在數學研究中占據了重要地位，因此，出現了認為數學是人類思維的自由創造物，是研究量的關系的科學，是研究抽象結構的理論，是關於模式的學問，等等觀點。這些認識，既反映了人們對數學理解的深化，也是人們從不同側面對數學進行認識的結果。正如有人所說的，「恩格斯的關於數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的提法與布爾巴基的結構觀點是不矛盾的，前者反映了數學的來源，後者反映了現代數學的水平，現代數學是一座由一系列抽象結構建成的大廈。」而關於數學是研究模式的學問的說法，則是從數學的抽象過程和抽象水平的角度對數學本質特徵的闡釋，另外，從思想根源上來看，人們之所以把數學看成是演繹科學、研究結構的科學，是基於人類對數學推理的必然性、准確性的那種與生俱來的信念，是對人類自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現，因此人們認為，發展數學理論的這套方法，即從不證自明的公理出發進行演繹推理，是絕對可靠的，也即如果公理是真的，那麼由它演繹出來的結論也一定是真的，通過應用這些看起來清晰、正確、完美的邏輯，數學家們得出的結論顯然是毋庸置疑的、無可辯駁的。

事實上，上述對數學本質特徵的認識是從數學的來源、存在方式、抽象水平等方面進行的，並且主要是從數學研究的結果來看數學的本質特徵的。顯然，結果（作為一種理論的演繹體系）並不能反映數學的全貌，組成數學整體的另一個非常重要的方面是數學研究的過程，而且從總體上來說，數學是一個動態的過程，是一個「思維的實驗過程」，是數學真理的抽象概括過程。邏輯演繹體系則是這個過程的一種自然結果。在數學研究的過程中，數學對象的豐富、生動且富於變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認為，「數學有兩個側面，它是歐幾里德式的嚴謹科學，但也是別的什麼東西。由歐幾里德方法提出來的數學看來象是一門系統的演繹科學，但在創造過程中的數學看來卻像是一門實驗性的歸納科學。」弗賴登塔爾說，「數學是一種相當特殊的活動，這種觀點「是區別於數學作為印在書上和銘，記在腦子里的東西。」他認為，數學家或者數學教科書喜歡把數學表示成「一種組織得很好的狀態，」也即「數學的形式」是數學家將數學（活動）內容經過自己的組織（活動）而形成的；但對大多數人來說，他們是把數學當成一種工具，他們不能沒有數學是因為他們需要應用數學，這就是，對於大眾來說，是要通過數學的形式來學習數學的內容，從而學會相應的（應用數學的）活動。這大概就是弗賴登塔爾所說的「數學是在內容和形式的互相影響之中的一種發現和組織的活動」的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說，「數學家的理想是要獲得嚴謹的、條理清楚的、具有邏輯結構的知識實體，這一事實並不排除必須將數學看成是個創造性過程：數學本質上是人類活動，數學是由人類發明的，」數學活動由形式的、演算法的與直覺的等三個基本成分之間的相互作用構成。庫朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說，「數學是人類意志的表達，反映積極的意願、深思熟慮的推理，以及精美而完善的願望，它的基本要素是邏輯與直覺、分析與構造、一般性與個別性。雖然不同的傳統可能強調不同的側面，但只有這些對立勢力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構成數學科學的生命、效用與高度的價值。」

另外，對數學還有一些更加廣義的理解。如，有人認為，「數學是一種文化體系」，「數學是一種語言」，數學活動是社會性的，它是在人類文明發展的歷史進程中，人類認識自然、適應和改造自然、完善自我與社會的一種高度智慧的結晶。數學對人類的思維方式產生了關鍵性的影響．也有人認為，數學是一門藝術，「和把數學看作一門學科相比，我幾乎更喜歡把它看作一門藝術，因為數學家在理性世界指導下（雖然不是控制下）所表現出的經久的創造性活動，具有和藝術家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實的而並非臆造的。數學家的嚴格的演繹推理在這里可以比作專門注技巧。就像一個人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數學家，這些品質是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質共同構成一個優秀的藝術家或優秀的數學家的素質，其中最主要的一條在兩種情況下都是想像力。」「數學是推理的音樂，」而「音樂是形象的數學」．這是從數學研究的過程和數學家應具備的品質來論述數學的本質，還有人把數學看成是一種對待事物的基本態度和方法，一種精神和觀念，即數學精神、數學觀念和態度。尼斯（Mogens Niss）等在《社會中的數學》一文中認為，數學是一門學科，「在認識論的意義上它是一門科學，目標是要建立、描述和理解某些領域中的對象、現象、關系和機制等。如果這個領域是由我們通常認為的數學實體所構成的，數學就扮演著純粹科學的角色。在這種情況下，數學以內在的自我發展和自我理解為目標，獨立於外部世界，另一方面，如果所考慮的領域存在於數學之外，數學就起著用科學的作用，數學的這兩個側面之間的差異並非數學內容本身的問題，而是人們所關注的焦點不同。無論是純粹的還是應用的，作為科學的數學有助於產生知識和洞察力。數學也是一個工具、產品以及過程構成的系統，它有助於我們作出與掌握數學以外的實踐領域有關的決定和行動，數學是美學的一個領域，能為許多醉心其中的人們提供對美感、愉悅和激動的體驗，作為一門學科，數學的傳播和發展都要求它能被新一代的人們所掌握。數學的學習不會同時而自動地進行，需要靠人來傳授，所以，數學也是我們社會的教育體系中的一個教學科目．」

從上所述可以看出，人們是從數學內部（又從數學的內容、表現形式及研究過程等幾個角度）。數學與社會的關系、數學與其它學科的關系、數學與人的發展的關系等幾個方面來討論數學的性質的。它們都從一個側面反映了數學的本質特徵，為我們全面認識數學的性質提供了一個視角。

基於對數學本質特徵的上述認識，人們也從不同側面討論了數學的具體特點。比較普遍的觀點是，數學有抽象性、精確性和應用的廣泛性等特點，其中最本質的特點是抽象性。A，。亞歷山大洛夫說，「甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地覺察到數學的這些特點：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最後是它的應用的極端廣泛性」王梓坤說，「數學的特點是：內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴謹性和結論的明確必」這種看法主要從數學的內容、表現形式和數學的作用等方面來理解數學的特點，是數學特點的一個方面。另外，從數學研究的過程方面、數學與其它學科之間的關系方面來看，數學還有形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」的特點。對數學特點的認識也是有時代特徵的，例如，關於數學的嚴謹性，在各個數學歷史發展時期有不同的標准，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關於嚴謹性的評價標准有很大差異，尤其是哥德爾提出並證明了「不完備性定理…以後，人們發現即使是公理化這一曾經被極度推崇的嚴謹的科學方法也是有缺陷的。因此，數學的嚴謹性是在數學發展歷史中表現出來的，具有相對性。關於數學的似真性，波利亞在他的《數學與猜想》中指出，「數學被人看作是一門論證科學。然而這僅僅是它的一個方面，以最後確定的形式出現的定型的數學，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數學的創造過程是與任何其它知識的創造過程一樣的，在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容，在你完全作出詳細證明之前，你先得推測證明的思路，你先得把觀察到的結果加以綜合然後加以類比．你得一次又一次地進行嘗試。數學家的創造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的。只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那麼就應當讓猜測、合情推理佔有適當的位置。」正是從這個角度，我們說數學的確定性是相對的，有條件的，對數學的形象性、似真性、擬經驗性。「可證偽性」特點的強調，實際上是突出了數學研究中觀察、實驗、分析。比較、類比、歸納、聯想等思維過程的重要性。
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知識：
知識到底是什麼，目前仍然有爭議。我國對知識的定義一般是從哲學角度作出的，如在《中國大網路全書·教育》中「知識」條目是這樣表述的：「所謂知識，就它反映的內容而言，是客觀事物的屬性與聯系的反映，是客觀世界在人腦中的主觀映象。就它的反映活動形式而言，有時表現為主體對事物的感性知覺或表象，屬於感性知識，有時表現為關於事物的概念或規律，屬於理性知識。」從這一定義中我們可以看出，知識是主客體相互統一的產物。它來源於外部世界，所以知識是客觀的；但是知識本身並不是客觀現實，而是事物的特徵與聯系在人腦中的反映，是客觀事物的一種主觀表徵，知識是在主客體相互作用的基礎上，通過人腦的反映活動而產生的。

上述定義為我們討論知識的內涵提供了哲學基礎。但宏觀的哲學反映論的認識還需要從個體認知角度進行具體化，這樣才能有效地用以指導學校的具體教學。

與哲學不同，認知心理學是從知識的來源、個體知識的產生過程及表徵形式等角度對知識進行研究的。例如，皮亞傑認為，經驗（即知識）來源於個體與環境的交互作用，這種經驗可分為兩類：一類是物理經驗，它來自外部世界，是個體作用於客體而獲得的關於客觀事物及其聯系認識；另一類是邏輯——數學經驗，它來自主體的動作，是個體理解動作與動作之間相互協調的結果。如兒童通過擺弄物體，獲得關於數量守恆的經驗，學生通過數學推理獲得關於數學原理的認識。皮亞傑對知識的定義是從個體知識的產生過程來表述的。布盧姆在《教育目標分類學》中認為知識是「對具體事物和普遍原理的回憶，對方法和過程的回憶，或者對一種模式、結構或框架的回憶」，這是從知識所包含的內容的角度說的，屬於一種現象描述。

我們認為，在理解知識的含義時，有必要把作為人類社會共同財富的知識與作為個體頭腦中的知識區分開來。人類社會的知識是客觀存在的，但個體頭腦中的知識並不是客觀現實本身，而是個體的一種主觀表徵，即人腦中的知識結構，它既包括感覺、知覺、表象等，又包括概念、命題、圖式，它們分別標志著個體對客觀事物反應的不同廣度和深度，這是通過個體的認知活動而形成的。一般來說，個體的知識以從具體到抽象的層次網路結構（認知結構）的形式存儲於大腦之中。哲學主要對人類社會共同知識的性質進行研究，心理學則主要對個體知識的性質進行研究。

有關知識的名言

高爾基： 愛護書籍吧，它是知識的源泉。

諾思科特： 博學的人是知識的蓄水池，而不是源泉。

不吸取知識之光，心靈就會被黑暗籠罩。

弗萊克斯： 大學是這樣一種機構：它自覺地獻身於對知識的追，力爭解決難題，用挑剔的眼光去評價人們的成就，並用真正的高水平去教育人。

切斯特菲爾德： 當我們步入晚年，知識將是我們舒適而必要的隱退的去處；如果我們年輕時不去栽種知識之樹，到老就沒有乘涼的地方了。

宋·朱熹： 當務之急，不求難知；力行所知，不憚所難為。

切斯特菲爾德： 讀書能獲得知識；但更有用的知識對世界的認識卻只能通過研究各種各樣的人才能獲得。

塞·約翰遜： 對知識的渴求是人類的自然意向，任何頭腦健全的人都會為獲取知識而不惜一切。

恩格斯： 復雜的勞動包含著需要耗費或多或少的辛勞、時間和金錢去獲得的技巧和知識的運用。

卡斯特： 管理者不承擔創造知識的任務，他的任務是有效地運用知識。

·里格斯： 經理人員的管理能力是他在品質、知識和經驗方面的功能。這三種因素相互作用形成一個特殊的管理方式。

鄧小平： 靠空講不能實現現代化，必須有知識，有人才。沒有知識，沒有人才，怎麼上得去？

科爾莫戈羅夫： 科學是人類的共同財富，而真正的科學家的任務就是豐富這個令人類都能受益的知識寶庫。

赫·斯賓塞： 科學是系統化了的知識。

約瑟夫·魯： 科學是為了那些勤奮好學的人，詩歌是為了那些知識淵博的人。

奧·霍姆斯： 科學是「無知」的局部解剖學。

叔本華： 沒有深厚經驗襯托的廣博思想和知識，就像是一本每頁僅有兩行正文卻有四十行注釋的教科書。

論衡： 人有知識，則有力矣。

實踐是知識的母親，知識是生活的明燈。

愛因斯坦： 學習知識要善於思考，思考，再思考。

『拾』 數學是研究什麼和什麼的科學

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，從某種角度看屬於形式科學的一種。數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。

在人類歷史發展和社會生活中，數學也發揮著不可替代的作用，也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

數學的基本特徵是：

1、高度的抽象性和嚴密的邏輯性。

2、應用的廣泛性與描述的精確性。

3、研究對象的多樣性與內部的統一性。

(10)數學的研究對象有哪些擴展閱讀

有關數學定義的名言：

1、數學是上帝描述自然的符號。——黑格爾

2、自然界的書是用數學的語言寫成的。——伽利略

3、宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。——華羅庚

4、數學是研究抽象結構的理論。——布爾巴基學派

5、數學是知識的工具，亦是其它知識工具的泉源。——笛卡爾用一，從無，可生萬物。——萊布尼茲