什麼是數學的公理化思想

❶ 數學的基本思想具體有哪些

數學的基本思想有以下三方面：
1、數學抽象思想
包含分類思想，集合思想，數形結合思想，符號表示思想，對稱思想，對應思想，有限與無限思想等。
2、數學推理思想
包含歸納思想，演繹思想，公理化思想，轉化思想，類比思想，逐步逼近思想，代換思想，特殊一般思想等。
3、數學建模思想
包含簡化思想，量化思想，函數思想，方程思想，優化思想，隨機思想，抽樣統計思想等。

❷ 什麼是公理化方法

所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統的方法。 恩格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。 公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎，有利於比較各個數學分支的本質異同，促進新數學理論的建立和發展。 現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特徵。

❸ 數學公理化含義

格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。
所謂數學公理化就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統

❹ 公理化定義是什麼意思

公理是數學體系的基礎，數學上所說的「公理」就是一些不加證明而公認的前提，然後以此為基礎，推演出所討論對象的進一步的內容。
而公理化定義就是通過規定something應具備的基本性質來定義something。
線性空間的定義不是公理化定義，中國學術期刊上曾有人舉出反例。

❺ 公理化思想 解釋

簡單地說，就是按照歐幾里德《幾何原本》創立的公理化方法去思考問題。首先從幾條顯而易見的、被公認為真的命題——也就是所謂「公理」出發，用邏輯方法，推導出整個知識體系中的其他命題

❻ 歐幾里得《原本》與公理化思想

《原本》是古希臘數學家歐幾里得（Euclid，約前330~前275）用公理建立起來的演繹體系的最早典範．在此之前，人們所積累下來的數學知識是片斷的、零散的．歐幾里得藉助於邏輯方法，把這些知識組織起來，整理在一個比較嚴格的演繹體系之中．《原本》的出現對整個數學的發展產生了深遠的影響，現代數學和各門科學中廣泛使用的公理化方法就是從《原本》發展而來的．
《原本》共分13卷，其中第1卷首先給出23個定義、5個公設和5條公理，近代數學不分公設與公理，凡是基本假定都叫做公理．《原本》後面各卷不再列出公理．這一卷在給出的定義、公設和公理的基礎上利用邏輯推理證明了48個命題．其餘各卷與第1卷類似，首先給出定義，之後是命題的證明．歐幾里得從119個定義、5個公設和5條公理出發，推出了465個命題．

❼ 常見的數學公理體系有哪幾個它們的主要特點是什麼

數 學 公 理體系
十九世紀末到二十世紀初，數學已發展成為一門龐大的學科，經典的數學部門已經建立起完整的體系：數論、代數學、幾何學、數學分析。數學家開始探訪一些基礎的問題，例如什麼是數？什麼是曲線？什麼是積分？什麼是函數？……另外，怎樣處理這些概念和體系也是問題。
經典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學的發展，各種幾何學的發展暴露出它的許多毛病；另一類是構造方法或生成方法，這個辦法往往有局限性，許多問題的解決不能靠構造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法斷定的。
對於基礎概念的分析研究產生了一系列新領域—抽象代數學、拓撲學、泛函分析、測度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯特在1899年首先在《幾何學基礎》中做出的。

初等幾何學的公理化

十九世紀八十年代，非歐幾何學得到了普遍承認之後，開始了對於幾何學基礎的探討。當時已經非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學原始定義中的點、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學運用許多直觀的概念，如「介於……之間」等沒有嚴格的定義；另外，對於公理系統的獨立性、無矛盾性、完備性沒有證明。
在十九世紀八十年代，德國數學家巴士提出一套公理系統，提出次序公理等重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理系統不夠完美。而且他也沒有系統的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過理想元素的引進，把度量幾何包括在射影幾何之中。
十九世紀八十年代末期起，皮亞諾和他的學生們也進行了一系列的研究。皮亞諾的公理系統有局限性；他的學生皮埃利的「作為演繹系統的幾何學」（1899），由於基本概念太少（只有「點」和「運動」）而把必要的定義和公理弄得極為復雜，以致整個系統的邏輯關系極為混亂。
希爾伯特的《幾何學基礎》的出版，標志著數學公理化新時期的到來。希爾伯特的公理系統是其後一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其後數學基礎的發展，他這部著作重版多次，已經成為一本廣為流傳的經典文獻了。
希爾伯特的公理系統與歐幾里得及其後任何公理系統的不同之處，在於他沒有原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：「我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面」。當然，他的意思不是說幾何學研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學中，點、線、面的直觀意義要拋掉，應該研究的只是它們之間的關系，關系由公理來體現。幾何學是對空間進行邏輯分析，而不訴諸直觀。
希爾伯特的公理系統包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個公理，為關聯公理（從屬公理）；第二組四個公理，為次序公理；第三組五個公理；第四組是平行公理；第五組二個，為連續公理。
希爾伯特在建立公理系統之後，首要任務是證明公理系統的無矛盾性。這個要求很自然，否則如果從這個公理系統中推出相互矛盾的結果來，那麼這個公理系統就會毫無價值。希爾伯特在《幾何學基礎》第二章中證明了他的公理系統的無矛盾性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術模型。
實際上，由解析幾何可以把點解釋為三數組（可以理解為坐標（x、y、z）），直線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個公理的。因此，公理的推論若出現矛盾，則必定在實數域的算術中表現出來。這就把幾何學公理的無矛盾性變成實數算術的無矛盾性。
其次，希爾伯特考慮了公理系統的獨立性，也就是說公理沒有多餘的。一個公理如果由其他公理不能推出它來，它對其他公理是獨立的。假如把它從公理系統中刪除，那麼有些結論就要受到影響。希爾伯特證明獨立性的方法是建造模型，使其中除了要證明的公理（比如說平行公理）之外其餘的公理均成立，而且該公理的否定也成立。
由於這些公理的獨立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變為否定，並由此得出新的幾何學。比如平行公理換成其否定就得到非歐幾何學；阿基米德公理（大意是一個短線段經過有限次重復之後，總可以超出任意長的線段）換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基米德幾何學的種種性質。
希爾伯特對初等幾何公理的無矛盾性是相對於實數的無矛盾性，因此自然要進一步考慮實數系的公理化及其無矛盾性，於是首當其沖的問題是算術的公理化。

算術的公理化

數學，顧名思義是一門研究數的科學。自然數和它的計算——算術是數學最明顯的出發點。歷史上不少人認為，所有經典數學都可以從自然數推導出來。可是，一直到十九世紀末，卻很少有人解釋過什麼是數？什麼是0？什麼是1？這些概念被認為是最基本的概念，它們是不是還能進一步分析，這是一些數學家關心的問題。因為一旦算術有一個基礎，其他數學部門也就可以安安穩穩建立在算術的基礎上。
什麼東西可以做為算術的基礎呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數序數理論，他把自然數建立在集合論的基礎上，並把自然數向無窮推廣；弗雷格和羅素把數完全通過邏輯詞彙來定義，把算術建立在純邏輯的基礎上；用公理化的方法通過數本身的性質來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。
在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是准備向有理數、實數方面推廣，為數學分析奠定基礎。他們也都注意到邏輯是基礎，但都有非邏輯公理。
1888年，戴德金發表《什麼是數，什麼是數的目的？》一文，闡述他的數學觀點。他把算術（代數、分析）看成邏輯的一部分，數的概念完全不依賴人對空間、時間的表象或直覺。他說「數是人類心靈的自由創造，它們做為一個工具，能使得許許多多事物能更容易、更精確地板掌握」。而創造的方法正是通過邏輯。他的定義是純邏輯概念——類（System），類的並與交，類之間的映射，相似映射（不同元素映到不同元素）等等。通過公理定義，戴德金證明數學歸納法。但是他沒有能夠直接從純邏輯名詞來定義數。
1889年，皮亞諾發表他的《算術原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件事：第一，把算術明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號來表達。後來皮亞諾刻劃數列也同弗雷格一樣是從0開始，但是他對數的概念也同戴德金一樣，是考慮序數。
皮亞諾的興趣主要在於清楚地表述了數學結果，他編制的數理邏輯符號（1894年發表於《數學論集》）也主要是如此，而不是為了哲學分析。1900年羅素從皮亞諾學習這套符號之後，才對邏輯、哲學同時也對數學產生了巨大沖擊。
從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數學論集》的續集，每一次都把他提出的五個公理（只是用0代1）作為算術的基礎。但是皮亞諾除了邏輯符號之外，還有其他三個基本符號，即：數、零、後繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數完全建立在邏輯基礎上。
他的公理系統也是有毛病的，特別是第五公理涉及所有性質，因此須要對性質或集合有所證明。有人把它改為可數條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的就不單純是自然數了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統購非標准模型，這樣就破壞了公理系統的范疇性。

其他數學對象的公理化

在十九世紀末到二十世紀初的公理化浪潮中，一系列數學對象進行了公理化，這些公理化一般在數學中進行。例如由於解代數方程而引進的域及群的概念，在當時都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀後半葉，才逐步有了抽象群的概念並用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個元素相加（或相乘）仍對應唯一的元素、運算滿足結合律、有零元素及逆元素存在。
群在數學中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀末才開始。當然，它與數理邏輯有密切的關系。有理數集體、實數集體、復數集體構成抽象域的具體模型，域的公理很多。另外，環、偏序集合、全序集合、格、布爾代數，都已經公理化。
另一大類結構是拓撲結構，拓撲空間在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀抽象數學研究的出發點。在模型論中，這些數學結構成為邏輯語句構成理論的模型

❽ 公理化方法

公理化思想就是任何真正的科學都始於原理，以它們為基礎，並由之而導出一切結果。隨著假設演繹模型法的進一步發展，經濟學日益走向公理化方法。

公理化是一種數學方法。最早出現在二千多年前的歐幾里德幾何學中，當時認為「公理』(如兩點之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂「定理」 (如三對應邊相等的兩個三角形全等)則是需要由公理出發來證明的，18世紀德國哲學家康德認為，歐幾里德幾何的公理是人們生來就有的先驗知識，19世紀末，德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎研究中系統地提出數學的公理化方法。

公理化方法發展的第一階段是由亞里士多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世．大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把完全三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統。

亞里斯多德的思想方法深深地影響了當時的希臘數學家歐幾里得。歐幾里得把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》。他從古代的量地術和關於幾何形體的原始直觀中，用抽象分析方法提煉出一系列基本概念和公理。他總結概括出10個基本命題，其中有5個公設和5條公理，然後由此出發，運用演繹方法將當時所知的全部幾何學知識推演出來，整理成為演繹體系。《幾何原本》一書把亞里斯多德初步總結出來的公理化方法應用於數學，整理、總結和發展了希臘古典時期的大量數學知識，在數學發展史上樹立了一座不朽的豐碑。

❾ 公理化方法的內容與影響。

公理化方法在近代數學的發展中起過巨大的作用，可以說，它對各門現代數學都有極其深刻的影響．即使在數學教學中，公理化方法也是一個十分重要的方法．
所謂公理化方法(或公理方法)，就是從盡可能少的無定義的原始概念(基本概念)和一組不證自明的命題(基本公理)出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學理論構造成為演繹系統的一種方法．所謂基本概念和公理，當然必須反映數學實體對象的最單純的本質和客觀關系而並非人們自由意志的隨意創造．
眾所周知，Hilbert l899年出版的《幾何學基礎》一書是近代數學公理化的典範著作．該書在問世後的二三十年間曾引起西方數學界的一陣公理熱，足見其影響之大．Hilbert的幾何公理系統實際上是在前人的一一系列工作成果基礎上總結出來的，書中的公理條目也曾屢經修改．直到1930年出第七版時，還作了最後修改．這說明一門學科的公理化未必是一次完成的，公理化過程是可以包含著一些發展階段的．
談到數學公理化的作用，至少可以舉出如下四點：
(1)這種方法具有分析、總結數學知識的作用．凡取得了公理化結構形式的數學，由於定理與命題均已按邏輯演繹關系串聯起來，故使用起來也較方便．
(2)公理化方法把一門數學的基礎分析得清清楚楚，這就有利於比較各門數學的實質性異同，並能促使和推動新理論的創
(3)數學公理化方法在科學方法論上有示範作用．這種方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如，20世紀40年代波蘭的Banach曾完成了理論力學的公理化，而物理學家亦把相對論表述為公理化形式……
(4)公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理性和結構的和諧性確實符合美學上的要求，因而為數學活動中貫徹審美原則提供了範例．