數學中的混沌現象有什麼用

A. 混沌原理是什麼

混沌一詞原指宇宙未形成之前的混亂狀態
科研上指非線性系統具有的多樣性和多尺度性。
混沌現象起因於物體不斷以某種規則復制前一階段的運動狀態，而產生無法預測的隨機效果。所謂「差之毫釐，失之千里」正是此一現象的最佳批註。具體而言，混沌現象發生於易變動的物體或系統，該物體在行動之初極為單純，但經過一定規則的連續變動之後，卻產生始料所未及的後果，也就是混沌狀態。但是此種混沌狀態不同於一般雜亂無章的的混亂狀況，此一混沌現象經過長期及完整分析之後，可以從中理出某種規則出來

B. 混沌理論是什麼其應用是什麼

混沌理論（Chaos theory）是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用來探討動態系統中（如：人口移動、化學反應、氣象變化、社會行為等）必須用整體、連續的而不是單一的數據關系才能加以解釋和預測的行為。混沌理論是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用以探討動態系統中無法用單一的數據關系，而必須用整體，連續的數據關系才能加以解釋及預測之行為。「一切事物的原始狀態，都是一堆看似毫不關聯的碎片，但是這種混沌狀態結束後，這些無機的碎片會有機地匯集成一個整體」混沌一詞原指宇宙未形成之前的混亂狀態，古希臘哲學家對於宇宙之源起即持混沌論，主張宇宙是由混沌之初逐漸形成現今有條不紊的世界。在井然有序的宇宙中，西方自然科學家經過長期的探討，逐一發現眾多自然界中的規律，如大家熟知的地心引力，杠桿原理，相對論等。這些自然規律都能用單一的數學公式加以描述，並可以依據此公式准確預測物體的行徑。近半世紀以來，科學家發現許多自然現象即使可以化為單純的數學公式，但是其行徑卻無法加以預測。如氣象學家Edward Lorenz發現簡單的熱對流現象居然能引起令人無法想像的氣象變化，產生所謂的「蝴蝶效應」. 60年代，美國數學家Stephen Smale發現某些物體的行徑經過某種規則性變化之後，隨後的發展並無一定的軌跡可循，呈現失序的混沌狀態。

C. 混沌的混沌研究的意義

混沌研究的實際意義是多方面的。①混沌運動的發現，使人們看到普遍存在於自然界而長期視而不見的一種運動形式，從而理解過去難以理解的許多現象。如1977年後曾發現，放在微波諧振腔中的超導隧道結隨著增益的提高出現反常雜訊，在4K低溫下進行的實驗中雜訊的等效溫度高達5×104K以上，這是用當時已知的任何機制都無法解釋的。後來明白這是系統進入了混沌區，雜訊來自動力學本身。高能粒子加速器中的束流損失、磁約束核聚變裝置中等離子體的泄漏、核電站循環水系統可能發生的有害迴流等，都與混沌現象有聯系。②混沌運動的發現提供了一種考慮問題的新角度。如長期天氣預報問題、洛倫茨吸引子的發現、大氣動力學方程組解對初值的敏感性，動搖了原來以為只要提高計算精度即可解決長期天氣預報的想法。而混沌吸引子的遍歷性質，恰好可保證許多長時間平均量的穩定性和對初始條件的無關性。因為長期天氣預報所關心的是相當長時期以後雨量、溫度的平均值，混沌反而增加了長期天氣預報的可靠性。另外，地磁場近百萬年來的多次隨機轉向、影響全球天氣變化的厄爾尼諾現象，都可從確定性系統的混沌運動角度加以研究。③混沌運動的研究對用物理學、數學等精確科學方法研究復雜的生命現象有重要啟發作用。如各種生物節律，既非完全周期，又非純粹隨機。它既有受自然界周期過程如季節、晝夜等影響的一面，又保持著其自身內秉特性。採用耦合非線性振子等數學模型模擬配合生理實驗，可揭示各種心律不齊、房室傳導阻礙、心室纖維顫動與混沌運動的可能聯系。考察人類的腦電波，發現癲癇患者發病時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波更接近隨機信號。採用維數測量發現這些信號並不真正隨機，而是來至維數不很高的吸引子上的動力學行為。④混沌研究改變了人類的自然觀。對於統一的自然界，歷來有確定論和概率論兩套對立的描述體系。牛頓力學建立以來的科學傳統推崇確定論體系，而把概率論描述當作不得已而為之的補充。混沌運動對確定性系統本身就存在著內秉隨機性的揭示，無疑會使人們從這種人為對立的描述系統中解脫出來，深化對必然和偶然的認識，更全面地認識自然界的統一性。
混沌現象的發現和混沌理論的建立，同相對論和量子論一樣，是對牛頓確定性經典理論的重大突破。許多科學家認為，20世紀物理學三件輝煌的科學奇跡是相對論、量子論和混沌理論的創立。

D. 混沌常數有什麼用

混沌常數適用於廣泛的數學函數領域，使數學家們能夠在對表象不可捉摸的混沌系統的解密道路上邁出了第一步，反映的物理本質應該是只與混沌現象、或者說是只與有序到無序過渡的某種物理規律有關。

1975年，費根鮑姆用HP-65計算器計算後得出，這種周期倍增分岔發生時的參數之間的差率是一個常數，他為此提供了數學證明。

這個參數的值在一定范圍之內，參數值在被增大的過程中，其映射會在參數的一些特定值處形成分岔，最初是一個穩定點，隨後分岔表現為在兩個值之間擺動，然後分岔表現為在四個值之間擺動，以此類推。

他進一步揭示了同樣的現象、同樣的常數適用於廣泛的數學函數領域，這個普適的結論使數學家們能夠在對表象不可捉摸的混沌系統的解密道路上邁出了第一步，反映的物理本質應該是只與混沌現象、或者說是只與有序到無序過渡的某種物理規律有關。

概況：

1978年費根鮑姆發表了關於映射的研究的重要論文 Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations 《一個非線性變換類型的量子普適性》，其中特別談到了對於混沌理論有直接意義的Logistic映射。

費根鮑姆常數其大小δ ≈4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161 72581 85577 47576 86327 45651 34300 4134。

E. 混沌理論的運用

混沌不是偶然的、個別的事件，而是普遍存在於宇宙間各種各樣的宏觀及微觀系統的，萬事萬物，莫不混沌。混沌也不是獨立存在的科學，它與其它各門科學互相促進、互相依靠，由此派生出許多交叉學科，如混沌氣象學、混沌經濟學、混沌數學等。混沌學不僅極具研究價值，而且有現實應用價值，能直接或間接創造財富。理論上研究混沌的目的是多方面的：揭示混沌的本質（內在隨機性）、刻畫它的基本特徵、了解它的動力性態，並力求對它加以控制，使之為人類所用。在過去20年中，混沌在工程系統中逐漸由被認為僅僅是一種有害的現象轉變到被認為是具有實際應用價值的現象來加以探討。近年來的大量研究工作表明，混沌與工程技術聯系愈來愈密切，它在生物醫葯工程、動力學工程、化學反應工程、電子信息工程、計算機工程、應用數學和實驗物理等領域中都有著廣泛的應用前景。在應用方面，主要包括混沌信號同步化和保密通信，混沌預測，混沌神經網路的信息處理、混沌與分形圖像處理，基於混沌的優化方法、混沌生物工程、天氣系統、生態系統、混沌經濟等。此外，控制混沌的技術還被應用到神經網路、激光、化學反應過程、流體力學、非線性機械故障診斷系統、非線性電路、天體力學、醫療以及分布參數的物理系統的研究工作中去。當前，在一些混沌顯得非常重要而且有用的領域，有目的地產生或強化混沌現象已經成為一個關鍵性的研究課題。
混沌理論在教育行政、課程與教學、教育研究、教育測驗等方面已經有些許應用的例子。由於教育的對象是人，人是隨時變動起伏的個體，而教育的過程基本上依循一定的准則，並歷經長期的互動，因此，相當符合混沌理論的架構。也因此，依據混沌理論，教育系統容易產生無法預期的結果。此一結果可能是正面的，也有可能是負面的。不論是正面或是負面的，重要的是，教育的成效或教育的研究除了短期的觀察之外，更應該累積長期數據，從中分析出可能的脈絡出來，以增加教育效果的可預測性，並運用其擴大教育效果。
混沌理論，是系統從有序突然變為無序狀態的一種演化理論，是對確定性系統中出現的內在「隨機過程」形成的途徑、機制的研討。
過去決策基礎的三個主要假定和三個新的現實。根據混沌理論，格拉斯提出，過去作為決策基礎的三個主要假定已經不再成立。這些假定是：
最早建立混沌反控制理論，國際權威L.O. Chua評價「陳關榮是國際上混沌控制的早期開拓者之一和混沌反控制理論的創始人」；發現Lorenz系統的對偶系統和它們之間的臨界系統，國際權威J.C. Sprott等稱為「Chen系統」、「Lu系統」；提出單參數統一系統，國際權威D.J. Hill稱為「基準系統」；提出廣義Lorenz系統族並建立其理論框架。研究成果在工程技術等領域具有良好的應用前景。 管理者對事件的因果關系有著足夠的認識。他們能夠順藤摸瓜，找出每一事件將會導致的變化。
在格拉斯看來，這些舊的假定已經被三個新的現實所代替： 作為傳統決策理論基礎的簡單線性因果關系模型已經失靈。因此，各種事件的後果是無法預料的。
美國數學家約克與他的研究生李天岩在1975年的論文「周期3則亂七八糟(Chaos)」中首先引入了「混沌」這個名稱。美國氣象學家洛倫茨在20世紀60年代初研究天氣預報中大氣流動問題時，揭示出混沌現象具有不可預言性和對初始條件的極端敏感依賴性這兩個基本特點，同時他還發現表面上看起來雜亂無章的混沌，仍然有某種條理性。1971年法國科學家羅爾和托根斯從數學觀點提出納維-斯托克司方程出現湍流解的機制，揭示了准周期進入湍流的道路，首次揭示了相空間中存在奇異吸引子，這是現代科學最有力的發現之一。1976年美國生物學家梅在對季節性繁殖的昆蟲的年蟲口的模擬研究中首次揭示了通過倍周期分岔達到混沌這一途徑。1978年，美國物理學家費根鮑姆重新對梅的蟲口模型進行計算機數值實驗時，發現了稱之為費根鮑姆常數的兩個常數。這就引起了數學物理界的廣泛關注。與此同時，曼德爾布羅特用分形幾何來描述一大類復雜無規則的幾何對象，使奇 異吸引子具有分數維，推進了混沌理論的研究。20世紀70年代後期 科學家們在許多確定性系統中發現混沌現象。作為一門學科的混沌學目前正處在研討之中，未形成一個完整的成熟理論。
但有的科學家對混沌理論評價很高，認為「混沌學是物理學發生的第二次革命」。但有的人認為這似乎有些誇張。對於它的應用前景有待進一步揭示。但混沌理論研究同協同學、耗散結構理論緊密相關。它們在從無序向有序和由有序向無序轉化這一研究主題有共同任務，因而混沌理論也是自組織系統理論的一個組成部分。近幾年來，科學家們在研究混沌控制方面已取得重要進展，實現了第一類混沌，即時間序列混沌的控制實驗。英、日科學家還在試驗用混沌信號隱藏機密信息的信號傳輸方法。
混沌理論，是近三十年才興起的科學革命，它與相對論與量子力學同被列為二十世紀的最偉大發現和科學傳世之作。量子力學質疑微觀世界的物理因果律，而混沌理論則緊接著否定了包括宏觀世界拉普拉斯（Laplace）式的決定型因果律。
應用

F. 什麼是混沌理論

混沌理論（Chaos theory）是一種兼具質性思考與量化分析的方法，用來探討動態系統中（如：人口移動、化學反應、氣象變化、社會行為等）必須用整體、連續的而不是單一的數據關系才能加以解釋和預測的行為。

混沌理論還有一個是發展特徵，他有三個原則：

1、能量永遠會遵循阻力最小的途徑

2、始終存在著通常不可見的根本結構，這個結構決定阻力最小的途徑。

3、這種始終存在而通常不可見的根本結構，不僅可以被發現，而且可以被改變。

(6)數學中的混沌現象有什麼用擴展閱讀：

混沌控制方法有兩種，一是通過合適的策略、方法及途徑，有效地抑制混沌行為，使李雅普諾夫指數下降進而消除混沌；二是選擇某一具有期望行為的軌道作為控制目標。

一般情況下，在混沌吸引子中的無窮多不穩定的周期軌道常被作為首選目標，其目的就是將系統的混沌運動軌跡轉換到期望的周期軌道上。不同的控制策略必須遵循這樣的原則：控制律的設計須最小限度的改變原系統，從而對原系統的影響最小。

從這個觀點來看，控制方式可以分為兩類：反饋控制和非反饋控制。

G. 混沌理論簡述

混沌，已成為具有嚴格定義的科學概念，成為一門新科學的名字.混沌，它揭示有序與無序的關系，確定性和隨機性的統一，覆蓋面廣到包括自然科學與社會科學的幾乎各個領域.

自然界現象遵循的原則可以看成是一部機器（見圖6-1（a））.當我們向機器輸入初始條件時，機器會產生一個輸出，它告訴我們未來將是怎樣的.如果說初始條件Ⅰ發生了很小的變化δ，當這部機器是個線性系統時，輸出A只會發生很小的變化δA.我們熟知的牛頓力學方程組就是構成這部機器的核心，這樣的動力學方程組確定了過去、現在和將來的關系.因果一一對應是這種機器的特徵，這種動力學模型叫做確定性模型.我們在地球科學中遇到的絕大多數模型都屬於這種確定性模型.這在科學上是一種傳統的經典的模型.但是，自然界還存在著另一種模型：當輸入初始條件發生很小變化δ_i（i=1，2，…，∞）時，機器的輸出卻發生顯著的變化，輸出的結果分別為A_i（i=1，2，…，∞）.在許多情況下，初始條件δ_i變化是如此之小，以至難於被測量所察覺.然而，一種奇怪現象發生了〔見圖6-1（b）〕：一部確定性機器，可以輸出許多不同的結果A_i.從有限的觀測精度來看，這部機器的輸入都是Ⅰ，但輸出卻是不同的A₁，A₂，…，A_∞，每個A_i的出現是以概率p_i這種統計形式顯示出其規律性的.這種對初始條件極端敏感的動力學行為，叫做混沌（Chaos）.不難證明，產生混沌行為的機器的動力學方程組必須是非線性的.因此，混沌動力學是現代非線性理論研究的核心問題之一.在目前已知的絕大多數情況下，輸出狀態A_i的集合，是一種統計分形集合.

圖6-1（a）傳統的動力學——確定論；（b）非線性動力學——混沌

混沌概念在穩定的確定性的解和不穩定的確定性的解之間起著橋梁作用.混沌解必須從統計學上進行處理.混沌解在時間演化上以指數方式敏感於初值條件.一個確定解，當其在時間演化時，如果初值相差很少的兩個解以指數方式發散，則定義為混沌解.在演化中解的可預測性僅有統計學意義.一個解是混沌的必要條件是支配方程是非線性方程.

混沌體系是一種行為不規則而且對初始條件高度敏感的體系.這種體系的行為又是決定論的，即可用數學方法（常常是很簡單的方程）來描述.

混沌現象是非常有意思的，它使決定性系統看起來是非決定性的、雜亂無章的.其實不然，混沌的理論找到了從決定性到非決定性的解釋.發現混沌的根源是系統的非線性，而不是外在的因素所致，這無疑是個非常重要的突破.

混沌理論的廣泛適用范圍和獨特的數學手段，使它能夠更加全面、准確地揭示和描述客觀世界的屬性及其復雜的規律性，無論對自然科學研究還是社會科學研究，均有重要的方法論意義.

混沌理論在一定程度上實現了系統行為確定性描述與隨機性描述的溝通和統一.在方法論上，它把自然科學中長期存在著的系統行為的確定性和隨機性二種不相容的描述體系，即確定性描述和隨機性描述溝通起來.混沌理論揭示出，系統行為的隨機性在一個確定論的發展過程中作為內在的必然行為而產生出來，這就使我們把系統行為的原因理解為確定性和隨機性二種因素.這一事實說明，在描述系統混沌行為時，在一定程度上溝通和統一了確定性和概率論這二種不相容描述體系演化的方法，這是方法論體系的豐富和擴展.

混沌理論表明，混沌現象是系統演化傳統概念的有序與無序的中介態.這種形態依賴於形態演化的內在規律性及系統與環境的相互作用，它不是固定不變的，而是系統運動過程中的一種暫態.這就給了我們這樣的啟示：由於系統行為中有序與無序的相對性以及系統演化為混沌的階段性，我們要在普遍存在混沌的世界裡掌握系統演化的這種機制，加以合理控制，從而有可能利用或避免混沌現象.

混沌理論已向我們展開了廣闊的理論和應用前景.在理論上，它深化了人類對客觀世界的觀察與分析，大大豐富了我們對客觀事物的認識，它豐富和發展了系統理論，這或許要影響乃至改變我們對若干問題的看法.在應用上，有可能在一定程度上實現對混沌現象的預測、控制和利用.

混沌有以下幾個特性：

（1）隨機性.體系處於混沌狀態是由體系內部動力學隨機性產生的不規則性行為，常稱之為內隨機性.例如，在一維非線性映射中，即使描述系統演化行為的數學模型中不包含任何外加的隨機項，即使控制參數、初始值都是確定的，而系統在混沌區的行為仍表現為隨機性.這種隨機性自發地產生於系統內部，與外隨機性有完全不同的來源與機制，顯然是確定性系統內部一種內在隨機性和機製作用.體系內的局部不穩定是內隨機性的特點，也是對初值敏感性的原因所在.

（2）敏感性.系統的混沌運動，無論是離散的或連續的，低維的或高維的，保守的或耗散的，時間演化的還是空間分布的，均具有一個基本特徵，即系統的運動軌道對初值的極度敏感性.這種敏感性，一方面反映出在非線性動力學系統內，隨機性系統運動趨勢的強烈影響；另一方面也將導致系統長期時間行為的不可預測性.氣象學家洛侖茲（E.N.Lorenz）提出的所謂「蝴蝶效應」，就是對這種敏感性的突出而形象的說明.

（3）分維性.混沌具有分維性質，是指系統運動軌道在相空間的幾何形態可以用分維來描述.例如，Koch雪花曲線的分維數是1.26；描述大氣混沌的洛侖茲模型的分維數是2.06.體系的混沌運動在相空間無窮纏繞、折疊和扭結，構成具有無窮層次的自相似結構.

（4）普適性.當系統趨於混沌時，所表現出來的特徵具有普適意義.其特徵不因具體系統的不同和系統運動方程的差異而變化.這類系統都與費根鮑姆常數相聯系.這是一個重要的普適常數δ=4.66920160910299097….

（5）標度律.混沌現象是一種無周期性的有序態，具有無窮層次的自相似結構，存在無標度區域.只要數值計算的精度或實驗的解析度足夠高，則可以從中發現小尺寸混沌的有序運動花樣，所以具有標度律性質.例如，在倍周期分叉過程中，混沌吸引子的無窮嵌套自相似結構，從層次關繫上看，具有結構的自相似，具備標度變換下的結構不變性，從而表現出有序性.

混沌定義：令f（x）為區間I到自身的連續映射，如果滿足下列條件：

（1）f的周期點的周期無上界.

（2）存在I的不可數子集S，滿足

a.對於任何x，y∈S，當x≠y時有

b.對於任何x，y∈S，有

則稱f（x）描述的系統為混沌系統，S為f的混沌集.

在日常生活里，洛倫茲所指出的對初始條件的敏感性比比皆是.如一個男人早上晚離家了30分鍾，一個花瓶只有毫米之差險些打破他的頭，隨後他被一輛卡車撞倒.或者說，他沒趕上每10分鍾一趟的公共汽車，因而耽誤了每一小時一趟的火車.一個人日常軌道中的小小擾動可能留下巨大的後果.

對初始條件的敏感性並非一個新概念，民謠中早已有之：缺掉一枚釘，壞了一支蹄鐵；缺了一支蹄鐵，跌翻了一匹馬；翻了一匹馬，死了一個騎馬的武士；死了這位騎馬武士，失去這場戰爭的勝利；失去了這個勝利，亡掉了這一個帝國！