1. 在數學中,余數是什麼
數學余數是除法中出現的叫法,余數就是除法中被除數除不盡,剩下的數。
2. 余數的數學術語
1.指整數除法中被除數未被除盡部分,且余數的取值范圍為0到除數之間(不包括除數)的整數。
例如27除以6,商數為4,余數為3。
2.一個數除以另一個數,要是比另一個數小的話,商為0,余數就是它自己.。
例如:1除以2,商數為0,余數為1。2除以3,商數為0,余數為2。 在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生余數,所以余數問題在小學數學中非常重要。
取余數運算:
a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得余數為c。
如 7 mod 3 = 1 余數有如下一些重要性質(a,b,c均為自然數):
(1)余數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值(適用於實數域);
(2)被除數=除數×商+余數;
除數=(被除數-余數)÷商;
商=(被除數-余數)÷除數;
余數=被除數-除數×商。
(3)如果a,b除以c的余數相同,那麼a與b的差能被c整除。例如,17與11除以3的余數都是2,所以17-11能被3整除。
(4)a與b的和除以c的余數(a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外),等於a,b分別除以c的余數之和(或這個和除以c的余數)。例如,23,16除以5的余數分別是3和1,所以(23+16)除以5的余數等於3+1=4。注意:當余數之和大於除數時,所求余數等於余數之和再除以c的余數。例如,23,19除以5的余數分別是3和4,所以(23+19)除以5的余數等於(3+4)除以5的余數。
(5)a與b的乘積除以c的余數,等於a,b分別除以c的余數之積(或這個積除以c的余數)。例如,23,16除以5的余數分別是3和1,所以(23×16)除以5的余數等於3×1=3。注意:當余數之積大於除數時,所求余數等於余數之積再除以c的余數。例如,23,19除以5的余數分別是3和4,所以(23×19)除以5的余數等於(3×4)除以5的余數。
性質(4)(5)都可以推廣到多個自然數的情形。 例1 5120除以一個兩位數得到的余數是64,求這個兩位數。
分析與解:
由性質(2)知,除數×商=被除數-余數。
5120-64=5056,
5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數,得到
5056=64×79。
由性質(1)知,除數應大於64,再由除數是兩位數,得到除數在67~99之間,
符合題意的5056的約數只有79,所以這個兩位數是79。
例2 被除數、除數、商與余數之和是2143,已知商是33,余數是52,求被除數和除數。
解:因為被除數=除數×商+余數=除數×33+52,
被除數=2143-除數-商-余數=2143-除數-33-52=2058-除數,
所以 除數×33+52=2058-除數,所以 除數=(2058-52)÷34=59,
被除數=2058-59=1999。
答:被除數是1999,除數是59。
例3 甲、乙兩數的和是1088,甲數除以乙數商11餘32,求甲、乙兩數。
解:因為 甲=乙×11+32,
所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,
所以 乙=(1088-32)÷12=88,
甲=1088-乙=1000。
答:甲數是1000,乙數是88。
例4 有一個整數,用它去除70,110,160得到的三個余數之和是50。求這個數。
分析與解:先由題目條件,求出這個數的大致范圍。因為50÷3=16……2,所以三個余數中至少有一個大於16,推知除數大於16。由三個余數之和是50知,除數不應大於70,所以除數在17~70之間。
由題意知(70+110+160)-50=290應能被這個數整除。將290分解質因數,得到290=2×5×29,290在17~70之間的約數有29和58。
因為110÷58=1……52>50,所以58不合題意。所求整數是29。
例5 求478×296×351除以17的余數。
分析與解:先求出乘積再求余數,計算量較大。根據性質(5),可先分別計算出各因數除以17的余數,再求余數之積除以17的余數。
478,296,351除以17的余數分別為2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1。
所求余數是1。
例6 甲、乙兩個代表團乘車去參觀,每輛車可乘36人。兩代表團坐滿若干輛車後,甲代表團餘下的11人與乙代表團餘下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完,甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片,那麼拍完最後一張照片後,相機里的膠卷還可拍幾張照片?
分析與解:甲代表團坐滿若干輛車後餘11人,說明甲代表團的人數(簡稱甲數)除以36餘11;兩代表團餘下的人正好坐滿一輛車,說明乙代表團餘36-11=25(人),即乙代表團的人數(簡稱乙數)除以36餘25;甲代表團的每個成員與乙代表團的每個成員兩兩合拍一張照片,共要拍「甲數×乙數」張照片,因為每個膠卷拍36張,所以最後一個膠卷拍的張數,等於「甲數×乙數」除以36的余數。
因為甲數除以36餘11,乙數除以36餘25,所以「甲數×乙數」除以36的余數等於11×25除以36的余數。
(11×25)÷36=7……23,
即最後一個膠卷拍了23張,還可拍36-23=13(張)。
由例6看出,將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題,有助於我們思考解題。
例7 5397被一個質數除,所得余數是15.求這個質數.
解:這個質數能整除
5397-15=5382,
而 5382=2×31997×13×23.
因為除數要比余數15大,除數又是質數,所以它只能是23.
當被除數較大時,求余數的一個簡便方法是從被除數中逐次去掉除數的整數倍,從而得到余數。
例8 求 645763除以7的余數。
解:可以先去掉 7的倍數630000餘15763,再去掉14000還餘下 1763,再去掉1400餘下363,再去掉350餘13,最後得出余數是6.這個過程可簡單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果演算能力強,上面過程可以更簡單地寫成:
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結論:
如果兩個數被同一個除數除余數相同,那麼這兩個數之差就能被那個除數整除。
例9 有一個大於 1的整數,它除967,1000,2001得到相同的余數,那麼這個整數是多少?
解:由上面的結論,所求整數應能整除 967,1000,2001的兩兩之差,即
1000-967=33=3×11,
2001-1000=1001=7×11×13,
2001-967=1034=2×11×47.
這個整數是這三個差的公約數11.
請注意,我們不必求出三個差,只要求出其中兩個就夠了。因為另一個差總可以由這兩個差得到。
例如,求出差1000-967與2001-1000,
那麼差
2001-967=(2001-1000)+(1000-967)
=1001+33
=1034
從帶余除式,還可以得出下面結論:
甲、乙兩數,如果被同一除數來除,得到兩個余數,那麼甲、乙兩數之和被這個除數除,它的余數就是兩個余數之和被這個除數除所得的余數。
例如,57被13除餘5,152被13除餘9,那麼57+152=209被13除,余數是5+9=14被 13除的余數1.
例10 有一串數排成一行,其中第一個數是15,第二個數是40,從第三個數起,每個數恰好是前面兩個數的和,問這串數中,第1998個數被3除的余數是多少?
解:我們可以按照題目的條件把這串數寫出來,再看每一個數被3除的余數有什麼規律,但這樣做太麻煩。根據上面說到的結論,可以採取下面的做法,從第三個數起,把前兩個數被3除所得的余數相加,然後除以3,就得到這個數被3除的余數,這樣就很容易算出前十個數被3除的余數,列表如下:
從表中可以看出,第九、第十兩數被3除的余數與第一、第二兩個數被3除的余數相同。因此這一串數被3除的余數,每八個循環一次,因為
1998= 8×249+ 6,
所以,第1998個數被3除的余數,應與第六個數被3除的余數一樣,也就是2.
一些有規律的數,常常會循環地出現.我們的計算方法,就是循環制.計算鍾點是
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
這十二個數構成一個循環。
按照七天一輪計算天數是
日,一,二,三,四,五,六.這也是一個循環,相當於一些連續自然數被7除的余數
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6的循環,用循環制計算時間:鍾表、星期、月、四季,說明人們很早就發現循環現象.用數來反映循環現象也是很自然的事。
循環現象,我們還稱作具有「周期性」,12個數的循環,就說周期是12,7個數的循環,就說周期是7.例 10中余數的周期是8。研究數的循環,發現周期性和確定周期,是很有趣的事。
下面我們再舉出兩個余數出現循環現象的例子。在講述例題之前,再講一個從帶余除式得出的結論:
甲、乙兩數被同一除數來除,得到兩個余數.那麼甲、乙兩數的積被這個除數除,它的余數就是兩個余數的積,被這個除數除所得的余數.
例如,37被11除餘4,27被11除餘5,37×27=999被 11除的余數是 4×5=20被 11 除後的余數 9。
1997=7×285+2,就知道1997×1997被7除的余數是2×2=4.
例 11 191997被7除余幾?
解:從上面的結論知道,191997被7除的余數與21997被7除的余數相同.我們只要考慮一些2的連乘,被7除的余數.
先寫出一列數
2,2×2=4,2×2×2 =8,
2×2×2×2=16,…
然後逐個用7去除,列一張表,看看有什麼規律。列表如下:
事實上,只要用前一個數被7除的余數,乘以2,再被7除,就可以得到後一個數被7除的余數.(為什麼?請想一想.)
從表中可以看出,第四個數與第一個數的余數相同,都是2.根據上面對余數的計算,就知道,第五個數與第二個數余數相同,……因此,余數是每隔3個數循環一輪。循環的周期是3。
1997=3×665 +2
就知道21997被7除的余數,與21997 被 7除的余數相同,這個余數是4。
再看一個稍復雜的例子。
例12 70個數排成一行,除了兩頭的兩個數以外,每個數的三倍都恰好等於它兩邊兩個數的和.這一行最左邊的幾個數是這樣的:
0,1,3,8,21,55,…
問:最右邊一個數(第70個數)被6除余幾?
解:首先要注意到,從第三個數起,每一個數都恰好等於前一個數的3倍減去再前一個數:
3=1×3-0,
8=3×3-1,
21=8×3-3,
55=21×3-8,
……
不過,真的要一個一個地算下去,然後逐個被6去除,那就太麻煩了。能否從前面的余數,算出後面的余數呢?能!同算出這一行數的辦法一樣(為什麼?),從第三個數起,余數的計算辦法如下:
將前一個數的余數乘3,減去再前一個數的余數,然後被6除,所得余數即是
用這個辦法,可以逐個算出余數,列表如下:
注意,在算第八個數的余數時,要出現0×3-1這在小學數學范圍不允許,因為我們求被6除的余數,所以我們可以 0×3加6再來減 1
從表中可以看出,第十三、第十四個數的余數,與第一、第二個數的余數對應相同,就知道余數的循環周期是 12
70 =12×5+10
因此,第七十個數被6除的余數,與第十個數的余數相同,也就是4。
在一千多年前的《孫子算經》中,有這樣一道算術題:
「今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何?」按照今天的話來說:
一個數除以3餘2,除以5餘3,除以7餘2,求這個數。
這樣的問題,也有人稱為「韓信點兵」.它形成了一類問題,也就是初等數論中解同餘式.這類問題的有解條件和解的方法被稱為「中國剩餘定理」,這是由中國人提出的。許多小學數學的課外讀物都喜歡講這類問題,但是它的一般解法決不是小學生能弄明白的。這里,我們通過兩個例題,對較小的數,介紹一種通俗解法。
例13 有一個數,除以3餘2,除以4餘1,問這個數除以12餘幾?
解:除以3餘2 的數有:
2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23…
它們除以12的余數是:
2,5,8,11,2,5,8,11,…
除以4餘1的數有:
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29,…
它們除以12的余數是:
1, 5, 9, 1, 5, 9,…
一個數除以12的余數是唯一的.上面兩行余數中,只有5是共同的,因此這個數除以12的余數是5
上面解法中,我們逐個列出被3除餘2的整數,又逐個列出被4除餘1的整數,然後逐個考慮被12除的余數,找出兩者共同的余數,就是被12除的余數.這樣的列舉的辦法,在考慮的數不大時,是很有用的,也是同學們最容易接受的。
如果我們把例23的問題改變一下,不求被12除的余數,而是求這個數.很明顯,滿足條件的數是很多的,它是
5+ 12×整數
整數可以取0,1,2,…,無窮無盡.事實上,我們首先找出5後,注意到12是3與4的最小公倍數,再加上 12的整數倍,就都是滿足條件的數.這樣就是把「除以3餘2,除以4餘1」兩個條件合並成「除以12餘5」一個條件。《孫子算經》提出的問題有三個條件,我們可以先把兩個條件合並成一個.然後再與第三個條件合並,就可找到答案.
例14 一個數除以 3餘2,除以5餘3,除以7餘2,求符合條件的最小數.
解:先列出除以 3餘2的數:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,…,
再列出除以5餘3的數:
3, 8, 13, 18, 23, 28,….
這兩列數中,首先出現的公共數是8.3與5的最小公倍數是15.兩個條件合並成一個就是
8+15×整數,
列出這一串數是
8, 23, 38,…,
再列出除以7餘2的數
2, 9, 16, 23, 30,…,
就得出符合題目條件的最小數是23.
事實上,我們已把題目中三個條件合並成一個:被105除餘23.
最後再看一個例子.
例15 在100 至200之間,有三個連續的自然數,其中最小的能被3整除,中間的能被5整除,最大的能被7整除,寫出這樣的三個連續自然數.
解:先找出兩個連續自然數,第一個能被3整除,第二個能被5整除(又是被3除餘1).例如,找出9和10,下一個連續的自然數是11.
3和5的最小公倍數是15,考慮11加15的整數倍,使加得的數能被7整除.11+15×3=56能被7整除,那麼54,55,56這三個連續自然數,依次分別能被3,5,7整除.
為了滿足「在100至200之間」將54,55,56分別加上3,5,7的最小公倍數105.所求三數是
159, 160, 161.
3. 數學余數是什麼意思
余數指整數除法中被除數未被除盡部分,且余數的取值范圍為0到除數之間(不包括除數)的整數。例如:27除以6,商數為4,余數為3。
一個數除以另一個數,要是比另一個數小的話,商為0,余數就是它自己。 例如:1除以2,商數為0,余數為1;2除以3,商數為0,余數為2。
取余數運算:a mod b = c 表示整數a除以整數b所得余數為c。
余數的計算公式:c = a -⌊ a/b⌋ * b。
(3)數學余位是什麼意思擴展閱讀:
余數的性質
(1)余數和除數的差的絕對值要小於除數的絕對值(適用於實數域);
(2)被除數=除數×商+余數;除數=(被除數-余數)÷商;商=(被除數-余數)÷除數;余數=被除數-除數×商。
(3)如果a,b除以c的余數相同,那麼a與b的差能被c整除。
(4)a與b的和除以c的余數(a、b兩數除以c在沒有餘數的情況下除外),等於a,b分別除以c的余數之和(或這個和除以c的余數)。
(5)a與b的乘積除以c的余數,等於a,b分別除以c的余數之積(或這個積除以c的余數)。
4. 數學里什麼是余數
余數,指的是整數除法中被除數未被除盡部分,例如13÷3 =4 ......1,1就為余數。
5. 小學數學余號是什麼意思
數學大與號為:>,小與號為:<,如:1<3,5>2,分別為1小與3,5大與2。
結余,結算後的剩餘,就是剩下的意思.
比如這周你有十元零花錢,花了八元,就可以說,結余兩元.
6. 數學里什麼是余數數學里余數是什麼
1、余數指整數除法中被除數未被除盡部分,且余數的取值范圍為0到除數之間(不包括除數)的整數。例如:27除以6,商數為4,余數為3。
2、一個數除以另一個數,要是比另一個數小的話,商為0,余數就是它自己。例如:1除以2,商數為0,余數為1;2除以3,商數為0,余數為2。
3、取余數運算:amodb=c表示整數a除以整數b所得余數為c。
4、余數的計算公式:c=a-?a/b?*b。
7. 余數公式是什麼
余數公式是:被除數÷除數=商……余數。
在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生余數,取余數運算:a mod b = c(b不為0) 表示整數a除以整數b所得余數為c,如:7÷3 = 2 ······1。
取余數運算:
a mod b = c 表示 整數a除以整數b所得余數為c。
余數的計算公式:c = a -⌊ a/b⌋ * b
其中,⌊ ⌋為向下取整運算符,向下取整運算稱為Floor,用數學符號⌊ ⌋表示
例:⌊ 3.476 ⌋=3,⌊6.7546⌋=6,⌊-3.14159⌋= -4
如 7 mod 3 = 7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1
(7)數學余位是什麼意思擴展閱讀:
被除數=除數×商+余數;
除數=(被除數-余數)÷商;
商=(被除數-余數)÷除數;
余數=被除數-除數×商。
例:被除數、除數、商與余數之和是2143,已知商是33,余數是52,求被除數和除數。
解:因為被除數=除數×商+余數=除數×33+52,
被除數=2143-除數-商-余數=2143-除數-33-52=2058-除數,
所以 除數×33+52=2058-除數,所以 除數=(2058-52)÷34=59,
被除數=2058-59=1999。
答:被除數是1999,除數是59。
8. 小學數學余數是什麼
余數,數學用語。在整數的除法中,只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時,就產生余數,取余數運算:a mod b = c(b不為0) 表示整數a除以整數b所得余數為c,如:7÷3 = 2 ······1。
9. 數學里關於角的互補,互余是什麼意思
互為餘角是描述兩個角之間數量關系的數學名詞。若兩角之和為90°,則稱這兩個角「互為餘角」,簡稱「互余」。若兩個角互為餘角,則可以說其中一個角是另一個角的餘角。
互補(互為補角)也是描述兩個角之間關系的數學名詞。若兩角之和為180°,則稱這兩個角「互為補角」,簡稱「互補」。若兩個角互為互補,則可以說其中一個角是另一個角的補角。
(9)數學余位是什麼意思擴展閱讀:
若A和B互為餘角,即A+B=90°,則有
(1) sinA=cosB,cosA=sinB
(2) tanAtanB=1 (tanA,tanB均不等於0)
(3) tanA = cotB
互為餘角需要注意的地方:
(1)「互為餘角」是兩角之間的數量關系,與兩個角的位置無關。
(2)「互余」概念中的角總是成對出現。
(3)只有銳角才有餘角。