數學分析級數怎麼求極限函數

1. 函數極限怎麼求

採用洛必達法則求極限。

洛必達法則是分式求極限的一種很好的方法，當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達，其他形式也可以通過變換成此形式。

洛必達法則：符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。

存在准則

單調有界准則：單調增加（減少）有上（下）界的數列必定收斂。

在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。

2. 高數極限問題

極限的十四種方法, 1：利用兩個准則求極限, 2:利用極限的四則運算性質求極限, 3:利用兩個重要極限公式求極限, 4：利用單側極限求極限，5：利用函數的連續性求極限, 6：利用無窮小量的性質求極限, 7：利用等價無窮小量代換求極限, 8：利用導數的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達法則求極限, 11：利用定積分求和式的極限,12：利用級數收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。
關鍵詞: 夾逼准則, 單調有界准則, 無窮小量的性質, 洛必達法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式, 級數收斂的必要條件.
極限是數學分析的基礎，數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數y＝f(x)在處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。
1：利用兩個准則求極限。
(1)夾逼准則：若一正整數 N,當n>N時，有且則有 .
利用夾逼准則求極限關鍵在於從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和 ，使得。
例[1]
求的極限
解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項
則
又因為
（2）：單調有界准則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。
利用單調有界准則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然後根據數列的通項遞推公式求極限。
例：[1] 證明下列數列的極限存在，並求極限。
證明：從這個數列構造來看 顯然是單調增加的。用歸納法可證。
又因為
所以得. 因為前面證明是單調增加的。
兩端除以 得
因為則, 從而
即 是有界的。根據定理有極限，而且極限唯一。
令 則
則. 因為 解方程得
所以
高等數學中極限問題的解法詳析 
2018-06-30
6頁
4.46分
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數學分析中極限的求法 
摘要:本文主要歸納了數學分析中求極限的十四種方法, 1：利用兩個准則求極限, 2:利用極限的四則運算性質求極限, 3:利用兩個重要極限公式求極限, 4：利用單側極限求極限，5：利用函數的連續性求極限, 6：利用無窮小量的性質求極限, 7：利用等價無窮小量代換求極限, 8：利用導數的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達法則求極限, 11：利用定積分求和式的極限,12：利用級數收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。
關鍵詞: 夾逼准則, 單調有界准則, 無窮小量的性質, 洛必達法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式, 級數收斂的必要條件.
極限是數學分析的基礎，數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數y＝f(x)在處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。
1：利用兩個准則求極限。
(1)夾逼准則：若一正整數 N,當n>N時，有且則有  .     
利用夾逼准則求極限關鍵在於從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和 ，使得。
例[1]                                 
求的極限
解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項
則
又因為
（2）：單調有界准則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。
利用單調有界准則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然後根據數列的通項遞推公式求極限。
例：[1]  證明下列數列的極限存在，並求極限。       證明：從這個數列構造來看  顯然是單調增加的。用歸納法可證。 
又因為
所以得. 因為前面證明是單調增加的。
兩端除以 得 
因為則, 從而 

3. 求極限的所有方法，要求詳細點

基本方法有:

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

拓展資料

極限思想是微積分的基本思想，是數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數（為0得到極大值）以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科，並且計算結果誤差小到難於想像，因此可以忽略不計。

4. 總結求函數（數列）極限的方法

求數列極限可以歸納為以下三種形式：
★抽象數列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質及運演算法則直接驗證。
★求具體數列的極限
a.可以參考以下幾種方法：
首先,用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關系中取極限，解方程，
從而得到數列的極限值.。
b.利用函數極限求數列極限
如果數列極限能看成某函數極限的特例，形如，則利用函數極限和數列極限的關系轉化為求函數極限,此時再用洛必達法則求解。
★求n項和或n項積數列的極限，主要有以下幾種方法：
a.利用特殊級數求和法
如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉化為極限已知的一些形式，那麼通過整理可以直接得出極限結果。
b.利用冪級數求和法
若可以找到這個級數所對應的冪級數，則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出，再根據這個極限的形式代入相應的變數求出函數值。
c.利用定積分定義求極限
若數列每一項都可以提出一個因子,剩餘的項可用一個通項表示，則可以考慮用定積分定義求解數列極限。
d.利用夾逼定理求極限
若數列每一項都可以提出一個因子，剩餘的項不能用一個通項表示，但是其餘項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
e.求n項數列的積的極限，一般先取對數化為項和的形式，然後利用求解項和數列極限的方法進行計算。

5. 求函數極限的方法有幾種具體怎麼求

1、利用函數的連續性求函數的極限（直接帶入即可）

如果是初等函數，且點在的定義區間內，那麼，因此計算當時的極限，只要計算對應的函數值就可以了。

6. 求極限的方法總結

求極限的方法總結如下：

1、抽象數列求極限這類題一般以選擇題的形式出現,因此可以通過舉反例來排除。此外,也可以按照定義、基本性質及運演算法則直接驗證。

2、具體的求極限,可以用數學歸納法或不等式的放縮法判斷數列的單調性和有界性,進而確定極限存在性;其次,通過遞推關系中取極限,解方程,從而得到數列的極限值。

3、如果數列極限能看成某函數極限的特例,形如,則利用函數極限和數列極限的關系轉化為求函數極限,此時再用洛必達法則求解。

4、若可以找到這個級數所對應的冪級數,則可以利用冪級數函數的方法把它所對應的和函數求出,再根據這個極限的形式代入相應的變數求出函數值。

5、若數列每一項都可以提出一個因子,剩餘的項可用一個通項表示,則可以考慮用定積分定義求解數列極限。

7. 函數極限怎麼求技巧

你好
第一種：利用函數連續性：lim f(x) = f(a) x->a
（就是直接將趨向值帶出函數自變數中，此時要要求分母不能為0）
第二種：恆等變形
當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以通過下面幾個小方法解決：
第一：因式分解，通過約分使分母不會為零。
第二：若分母出現根號，可以配一個因子使根號去除。
第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的，如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變數的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）
當然還會有其他的變形方式，需要通過練習來熟練。
第三種：通過已知極限
特別是兩個重要極限需要牢記。

(7)數學分析級數怎麼求極限函數擴展閱讀
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。
1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立
（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A
不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。
2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。
在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。
3.柯西准則
數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立。
望採納祝你好運

8. 求函數極限

求函數極限的方法：
1、代入後如果能算出具體數值，或判斷出是
無窮大，就直接帶入。
2、如果代入後發現是0/0，或∞/∞，或
化簡，或用用羅畢達法則求導。直到能計算出
具體數或判斷出結果為止。
3、無窮小代換法，此法在國內甚囂塵上，用
時千萬要小心，加減時容易出錯。
4、其它不定式，化成可求導的0/0或∞/∞型
計算或判斷。
5、運用兩個基本極限。
6、運用麥克勞林級數，或泰勒級數，然後將函數展開。
7、運用夾擠法，求兩頭的極限。
兩邊夾定理：
1、當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個
符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 ；

2、g(x)—Xo=A,h(x)—Xo=A,那麼，f(x)極限
存在，且等於A
不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用
放縮法。
利用函數連續性：
lim f(x) = f(a) x-a （就是直接將趨向值帶出函
數自變數中，此時要要求分母不能為0）

恆等變形，當分母等於零時，就不能將趨向值
直接代入分母。

9. 數分函數求極限

1、本題是無窮小/無窮小型不定式；

2、本題的解答方法有兩種：

第一種方法：二項式展開，其實質是麥克勞林級數展開。

在國內的教學中，大學數學教師的絕大部分，

都是把麥克勞林級數，統統說成是泰勒級數。

而二項式展開的無窮級數形式，國內是系統

迴避的，一般都是以泰勒級數搪塞過去，並

沒有把它作為一種特別的展開方法進行教學。

第二種方法：運用羅畢達求導法則。

第三者方法：另類二項式展開。這個展開與第一種方法並

沒有本質差別。但是運用起來可以迴避等價

無窮小帶來的問題，尤其在(e^tanx - e^sinx)

over (tanx - sinx)這類問題上。

3、具體解答如下：