① 在魔術中XCM和flourish是什麼意思
是撲克魔術的一個子門類，也是對技法要求最高的一個門類，按照廣義的XCM定義，它幾乎涵蓋了整個撲克魔術領域的半邊天空，是絕大多數高階撲克魔術愛好者的必然發展方向。展牌(Flourish)：利用撲克為媒介，將你所想要表達的想法展現給觀眾的過程。它的一般形式為將撲克牌疊展成某個特定的形狀，擺出某個特定的姿勢，或者將特定的牌以特定的形式展現出來。最常見的有出4A類（出4A類不屬於出牌類，這是很容易產生誤解的地方）和類似卡西諾的花式展牌類，這里值得指出的是，目前國內一些愛好者並不清楚展牌與切牌的區別，總是搖旗吶喊著所謂的「7段花切」、「12段花切」之類，其實並非花式切牌，而是屬於花式展牌，從目前科學角度對人手結構的研究，5段以上的切牌，以目前的科技水平，在正常人的手上是施展不開的，所以所謂的那些「5+」的花式切牌，都實應歸到花式展牌旗下，不能為盲目追求花切的光輝，而忘記了還給花展一個公道。
② 數學解答，要求公式。
假設木桶中水深Xcm，由鐵棒甲露出水面長度是總長的三分之一可知，鐵棒甲的總長為3X/2；同理，鐵棒乙的長度為5X/4。因此，3X/2+5X/4=55，解得X=20
③ 一元一次方程
一、判斷題：
（1）判斷下列方程是否是一元一次方程：
①-3x-6x2=7;( ) ② ( )
③5x+1-2x=3x-2; ( ) ④3y-4=2y+1. ( )
（2）判斷下列方程的解法是否正確：
①解方程3y-4=y+3
解：3y-y=3+4,2y=7,y= ;( )
②解方程：0.4x-3=0.1x+2
解：0.4x+0.1x=2-3;0.5x=-1,x=-2;( )
③解方程
解：5x+15-2x-2=10,3x=-3,x=-1;
④解方程
解：2x-4+5-5x=-1,-3x=-2,x= .( )
二、填空題：
（1）若2（3-a）x-4=5是關於x的一元一次方程，則a≠ .
（2）關於x的方程ax=3的解是自然數，則整數a的值為： .
（3）方程5x-2(x-1)=17 的解是 .
（4）x=2是方程2x-3=m- 的解，則m= .
（5）若-2x2-5m+1=0 是關於x的一元一次方程，則m= .
（6）當y= 時，代數式5y+6與3y-2互為相反數.
（7）當m= 時，方程 的解為0.
（8）已知a≠0.則關於x的方程3ab-(a+b)x=(a-b)x的解為 .
三．選擇題：
（1）方程ax=b的解是（ ）.
A．有一個解x= B．有無數個解
C．沒有解 D．當a≠0時，x=
（2）解方程 ( x-1)=3,下列變形中，較簡捷的是（ ）
A.方程兩邊都乘以4，得3（ x-1）=12
B.去括弧，得x- =3
C.兩邊同除以 ，得 x-1=4
D.整理，得
（3）方程2- 去分母得（ ）
A.2-2(2x-4)=-(x-7) B.12-2(2x-4)=-x-7
C.12-2(2x-4)=-(x-7) D.以上答案均不對
（4）若代數式 比 大1，則x的值是（ ）.
A．13 B． C．8 D．
（5）x=1是方程（ ）的解.
A．-
B．
C．2{3[4(5x-1)-8]-2}=8
D．4x+ =6x+
四、解下列方程：
（1）7(2x-1)-3(4x-1)=4(3x+2)-1;
（2） (5y+1)+ (1-y)= (9y+1)+ (1-3y);
（3） [ ( )-4 ]=x+2;
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）20%+(1-20%)(320-x)=320×40%
五、解答下列各題：
（1）x等於什麼數時，代數式 的值相等？
（2）y等於什麼數時，代數式 的值比代數式 的值少3？
（3）當m等於什麼數時，代數式2m- 的值與代數式 的值的和等於5？
（4）解下列關於x的方程：
①ax+b=bx+a;(a≠b);
② .
第四章 一元一次方程的應用(習題課)
一、目的要求
1．通過練習鞏固學生已學過的列出一元一次方程解應用題的5個步驟和有關注意事項，特別是提高尋找相等關系，並把相等關系正確地表示成方程的能力。
2．通過練習使學生進一步領會採用代數方法解應用題的優越性。
二、內容分析
到現在為止，學生已經接觸了列出一元一次方程解以下四類應用題：
1．和倍、差倍問題；
2．形積變化問題；
3．相遇問題；
4．追及問題，它與相遇問題統稱行程問題（行程問題中還有一種「相背而行」的情況，我們把「相背而行」看作與「相向而行」在數學上同等，所以在教科書中沒有提及。當兩個沿著環形跑道運動時，「相向」與「相背」明顯是一回事）。
通過這四類應用題，學生學習了列出一元一次方程應用題的方法（含五個步驟），了解了代數方法與算術方法的差別，並初步體會到代數方法由於使已知數、未知數處於平等地位，方程很容易列出，比算術解法優越（當然這不是絕對的），存在著算術解法比代數解法簡捷的例子）。
本節課要復習列出一元一次方程解應用題的五個步驟以及前兩類問題，並適當予以拓伸。
三、教學過程
復習提問：
1．列出一元一次方程解應用題的五個步驟分別是什麼？其中關鍵步驟是哪一個？
2．什麼叫做「弄清題意」？（「弄清題意」就是搞清楚題目的意思，弄懂每句話的意義，能夠說出知的是什麼，要求出的是什麼。）
3．在把相等關系表示成方程時，要注意些什麼？（把相等關系的左邊、右邊都表示成代數式，並且要使用統一的計量單位。）
引入新課：今天我們要通過做一些練習來鞏固已經學過的列出一元一次方程解應用題的知識。
課堂練習：
1．某農具廠計劃在6天內生產某種新式農具144件，第一天已生產了19件，後5天平均每天應當生產多少件？
提示：設後5天平均每天應當生產x件，根據題意，得
5x+19=144.
解得經x=25。
2．某廠前年年底還有一批職工住在平房裡，去年這些職工中有25％搬進了新樓房，到年底這家工廠還有600名職工住在平房裡，前年年底這家工廠有多少名職工住在平房裡？
提示：設前年年底這家工廠還有x名職工住在平房裡，根據題意，得
x-25％·x=600。
解得x=800。
3．在底面直徑為12cm，高為20cm的圓柱形容器中注滿水，倒入底面是邊長為10cm的正方形的長方體容器，正好注滿。這個長方體容器的高是多少？（在本題中，假設兩個容器里的厚度都可以不考慮，π取近似值3.14。）
提示：設長方體容器的高為xcm，根據題意，得
，
3.14×720=100x。
解得 x=22.608。
4．請同學們根據一元一次方程
編一道應用題。
提示：可從編某數問題著手，先說「某數加上它的20%等於720，求某數」。然後把某數賦以實際意義，例如「初一（1）班張小紅到去年年底已經在銀行儲蓄720元，比前年年底又增加了20%。張小紅到前年年底在儲蓄多少元？
課堂小結：在這節課里，我們復習了列出一元一次方程解應用題的五個步驟和教科書第212頁～216頁上的內容，請同學們回家後把教科書上這5頁再認真閱讀一遍。
四、課外作業
教科書第242頁復習題四A組的第5，6題。
補充題：
1．兩數的和為27.14，差為2.22，求這兩個數。（答案：14.68與12.46。）
提示：設小數為x，則大數為x+2.22。
2．兩個正數的比為5：3，差為6，求這兩個數。（答案：15與9。）
3．某工廠生產一種產品，經過技術革新後，每件產品的成本是37.4元，比革新前降低了15％。革新前每件產品的成本是多少元？（答案：44元）
4．在圓柱形容器甲中注滿水，倒入圓柱形容器乙中，正好注滿。已知圓柱形容器乙的高是圓柱形容器甲的高的一半，那麼圓柱形容器乙的底面積與圓柱形容器甲的底面積之比是幾比幾？（答案：2：1。）
http://www..com/s?wd=%D2%BB%D4%AA%D2%BB%B4%CE%B7%BD%B3%CC%CF%B0%CC%E2&cl=3
④ 用代數式表示 長方面積為xcm²,長為acm,長方形的周長是多少
用代數式表示 長方面積為xcm²,長為acm,長方形的周長是（2a+2x/a）cm。
⑤ 數學題三角形的邊（八上）
（1）設底邊為xcm，則腰長為3xcm
3x+3x+x=35
7x=35
x=5
3x=15
腰15cm，底邊5cm
（2）若1cm為底邊，則腰長為（35-1）÷2=17cm，符合三角形
若1cm為腰，則底邊為35-2=33cm，不符合三角形（兩邊和不大於第三邊）
所以可以圍成一個底邊為1cm，腰17cm 的等腰三角形
⑥ 何謂函數
在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。
（這只是一元函數f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自變數，函數一個與他量有關聯的變數，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函數兩組元素一一對應的規則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。
函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
functions
數學中的一種對應關系，是從某集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數 。精確地說，設X是一個不空集合，Y是某個實數集合 ，f是個規則 ， 若對X中的每個x，按規則f，有Y中的一個y與之對應 ， 就稱f是X上的一個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，Y為其值域，x叫做自變數，y為x的函數。
例1：y＝sinx X＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕 ，它給出了一個函數關系。當然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實數，仍然是一個函數關系。
其深度y與一岸邊點 O到測量點的距離 x 之間的對應關系呈曲線，這代表一個函數，定義域為〔0，b〕。以上3例展示了函數的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖像法。
復合函數
有3個變數，y是u的函數，y＝ψ（u），u是x的函數，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變數u構成了x的函數：
x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U 。 f的值域為U，當U*ÍU時，稱f與ψ 構成一個復合函數 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規定x∈（－π，0），此時sinx＜0 ，lgsinx無意義 ，就成不了復合函數。
反函數
就關系而言，一般是雙向的 ，函數也如此 ，設y＝f（x）為已知的函數，若對每個y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，這是一個由y找x的過程 ，即x成了y的函數 ，記為x＝f -1（y）。稱f -1為f的反函數。習慣上用x表示自變數 ，故這個函數仍記為y＝f -1（x） ，例如 y＝sinx與y＝arcsinx 互為反函數。在同一坐標系中，y＝f（x）與y＝f -1（x）的圖形關於直線y＝x對稱。
隱函數
若能由函數方程 F（x，y）＝0 確定y為x的函數y＝f（x），即F（x，f（x））≡0，就稱y是x的隱函數。
多元函數
設點（x1，x2，…，xn） ∈GÍRn，UÍR1 ，若對每一點（x1，x2，…，xn）∈G，由某規則f有唯一的 u∈U與之對應：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），則稱f為一個n元函數，G為定義域，U為值域。
基本初等函數及其圖像 冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數稱為基本初等函數。
①冪函數：y＝xμ（μ≠0，μ為任意實數）定義域：μ為正整數時為（－∞，＋∞），μ為負整數時是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α為整數)，當α是奇數時為（ －∞，＋∞），當α是偶數時為（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作為的復合函數進行討論。略圖如圖2、圖3。
②指數函數：y＝ax（a＞0 ，a≠1），定義成為（ －∞，＋∞），值域為（0 ，＋∞），a＞0 時是嚴格單調增加的函數（ 即當x2＞x1時，） ，0＜a＜1 時是嚴格單減函數。對任何a，圖像均過點（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的圖形關於y軸對稱。如圖4。
③對數函數：y＝logax（a＞0）， 稱a為底 ， 定義域為（0，＋∞），值域為（－∞，＋∞） 。a＞1 時是嚴格單調增加的，0＜a＜1時是嚴格單減的。不論a為何值，對數函數的圖形均過點（1，0），對數函數與指數函數互為反函數 。如圖5。
以10為底的對數稱為常用對數 ，簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數，即自然對數，記作lnx。
④三角函數：見表2。
正弦函數、餘弦函數如圖6，圖7所示。
⑤反三角函數：見表3。雙曲正、餘弦如圖8。
⑥雙曲函數：雙曲正弦（ex－e-x），雙曲餘弦�（ex＋e-x），雙曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ，雙曲餘切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）。
[編輯]補充
在數學領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素（這只是一元函數f（x）＝y的情況，請按英文原文把普遍定義給出，謝謝）。函數的概念對於數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
術語函數，映射，對應，變換通常都是同一個意思。
二次函數
I.定義與定義表達式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關系：
y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)²+k [拋物線的頂點P（h，k）]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
註：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函數的圖象
在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖象，
可以看出，二次函數的圖象是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有一個頂點P，坐標為
P [ -b/2a ，(4ac-b²)/4a ]。
當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b²-4ac=0時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數
Δ= b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。
Δ= b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
Δ= b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax²+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax²+bx+c=0
此時，函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
一次函數
I、定義與定義式：
自變數x和因變數y有如下關系：
y=kx+b（k，b為常數，k≠0）
則稱y是x的一次函數。
特別地，當b=0時，y是x的正比例函數。
II、一次函數的性質：
y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k
即 △y/△x=k
III、一次函數的圖象及性質：
1． 作法與圖形：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線，可以作出一次函數的圖象——一條直線。因此，作一次函數的圖象只需知道2點，並連成直線即可。
2． 性質：在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx+b。
3． k，b與函數圖象所在象限。
當k＞0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大；
當k＜0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
當b＞0時，直線必通過一、二象限；當b＜0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當b=O時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖象。
這時，當k＞0時，直線只通過一、三象限；當k＜0時，直線只通過二、四象限。
IV、確定一次函數的表達式：
已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請確定過點A、B的一次函數的表達式。
（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx+b。
（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程：
y1=kx1+b① 和 y2=kx2+b②。
（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最後得到一次函數的表達式。
V、一次函數在生活中的應用
1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。
2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。
反比例函數
形如 y＝k／x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。
自變數x的取值范圍是不等於0的一切實數。
反比例函數的圖像為雙曲線。
如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖像。
三角函數
三角函數是數學中屬於初等函數中的超越函數的一類函數。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的映射。通常的三角函數是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復數系。
由於三角函數的周期性，它並不具有單值函數意義上的反函數。
三角函數在復數中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數也是常用的工具。
它有六種基本函數：
函數名 正弦 餘弦 正切 餘切 正割 餘割
符號 sin cos tan cot sec csc
正弦函數 sin（A）=a/h
餘弦函數 cos（A）=b/h
正切函數 tan（A）=a/b
餘切函數 cot（A）=b/a
在某一變化過程中，兩個變數x、y，對於某一范圍內的x的每一個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函數。這種關系一般用y=f(x)來表示。
函數概念的發展歷史
1.早期函數概念——幾何觀念下的函數
十七世紀伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學》一書中，幾乎全部包含函數或稱為變數關系的這一概念，用文字和比例的語言表達函數的關系。1673年前後笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個變數對另一個變數的依賴關系，但因當時尚未意識到要提煉函數概念，因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
1673年，萊布尼茲首次使用「function」 （函數）表示「冪」，後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用 「流量」來表示變數間的關系。
2.十八世紀函數概念——代數觀念下的函數
1718年約翰•貝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數概念的基礎上對函數概念進行了定義：「由任一變數和常數的任一形式所構成的量。」他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。
1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數定義為「如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函數。」
18世紀中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：「一個變數的函數是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。」他把約翰•貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了「隨意函數」。不難看出，歐拉給出的函數定義比約翰•貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
3.十九世紀函數概念——對應關系下的函數
1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變數起給出了定義：「在某些變數間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函數。」同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函數關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。
1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了這一局限，認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數概念，指出：「對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那麼y叫做x的函數。」這個定義避免了函數定義中對依賴關系的描述，以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函數定義。
等到康托(Cantor，德，1845－1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用「集合」和「對應」的概念給出了近代函數定義，通過集合概念把函數的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了「變數是數」的極限，變數可以是數，也可以是其它對象。
4.現代函數概念——集合論下的函數
1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念「序偶」來定義函數，其避開了意義不明確的「變數」、「對應」概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)於1921年用集合概念來定義「序偶」使豪斯道夫的定義很嚴謹了。
1930 年新的現代函數定義為「若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f(x)。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元。」
術語函數，映射，對應，變換通常都有同一個意思。
但函數只表示數與數之間的對應關系，映射還可表示點與點之間，圖形之間等的對應關系。可以說函數包含於映射。
正比例函數:
正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線．當x>0時，圖象經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
正是由於正比例函數y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx．
（另：中文「函數」名稱的由來
在中國清代數學家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數學》一書中首次用中文把「function」翻譯為「函數」，此譯名沿用至今。對為什麼這樣翻譯這個概念，書中解釋說「凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數」；這里的「函」是包含的意思。）
深入研究一次函數
徐若翰
在學習一次函數時，根據中學要求，我們還要深入研究它的實際應用，以及如何改變圖象的位置。
一、實際問題中的分段函數
〔例1〕（2005年武漢市）小明早晨從家騎車到學校，先上坡後下坡，行程情況如圖。若返回時上、下一個坡的速度不變，那麼小明從學校騎車回家用的時間是多少？
分析：上、下坡的速度不同，問題要分兩段來研究。
根據函數圖象提供的信息，可知小明從家去學校時，上坡路程為3600米，下坡路程為9600－3600=6000（米）。
∴上坡速度為3600÷18=200（米/分鍾）
下坡速度為6000÷（30－18）=500（米/分鍾）
小明回家時，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用時間為6000÷200＋3600÷500=37.2（分鍾）。
二、在物理學科中的應用
〔例2〕（2004年黃岡市）某班同學在探究彈簧的長度與外力的變化關系時，實驗記錄得到的相應數據如下表：
求y關於x的函數解析式及自變數的取值范圍。
分析：根據物理學知識可知，彈簧在外力（所掛砝碼的重力）作用下發生形變（伸長），外力與指針位置的關系可以用一次函數表示；但是，每個彈簧所受的外力都有一定的限度，因此我們必須求出自變數的取值范圍。
由已知數據求出：在彈簧受力伸長過程中，
令y=7.5，得x=275
∴所求函數為
注 兩段之間的分界點是x=275，不是x=300。
三、直線平移的應用
〔例3〕（2005年黑龍江省）在直角坐標系中，已知點A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。問：在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，求直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由。
分析：在所研究的梯形中哪兩邊平行？有兩種可能：如果，就是把直線CA平移，經過P點易求直線CA的解析式為
平移後得到直線的解析式為
如果
把直線PA：平移，經過C點
得到直線：
直線交x軸於點（－36，0）
直線的解析式為
如何理解函數概念
曹陽
函數是數學中的一個極其重要的基本概念，在中學數學中，函數及其有關的內容很豐富，所佔份量重，掌握好函數的概念對今後的學習非常有用。回顧函數概念的發展史，「函數」作為數學術語是萊布尼茲首次採用的，他在1692年的論文中第一次提出函數這一概念，但其含義與現在對函數的理解大不相同。現代初中數學課程中，函數定義採用的是「變數說」。即：
在某變化過程中，有兩個變數x，y，如果對於x在某一范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼就把y稱為x的函數，x稱為自變數，y稱為因變數。
它明確指出，自變數x在某一給定范圍可以取任一個值，因變數y按一定的規律也相應每次取唯一確定的值。但是，初中階段並不要求掌握自變數的取值范圍（看一下初中要學的幾個函數可知，這個定義完全夠用，而且，對於初中生來說，也容易理解）。
函數概念的抽象性很強，學生不易理解，要理解函數概念必須明確兩點：第一，明確自變數和因變數的關系，在某變化過程中，有兩個變數x，y，如果看成y隨x的變化而變化，那麼x稱為自變數，y稱為因變數；如果看成x隨y的變化而變化，那麼y稱為自變數，x稱為因變數。第二，函數定義的核心是「一一對應」，即給定一個自變數x的值就有唯一確定的因變數y的值和它對應，這樣的對應可以是「一個自變數對應一個因變數」（簡稱「一對一」），也可以是「幾個自變數對應一個因變數」（簡稱「多對一」），但不可以是「一個自變數對應多個因變數」（簡稱「一對多」），下面以圖1來闡述這樣的對應關系（其中x是自變數，y是因變數）：
「一對一」 「多對一」 「一對多」
是函數 是函數 不是函數
圖1
下面舉4個例子幫助大家理解函數的概念：
例1 一根彈簧的長度為10cm，當彈簧受到拉力F（F在一定的范圍內）時，彈簧的長度用y表示，測得有關的數據如表1：
表1
拉力F（kg）
1
2
3
4
…
彈簧的長度y（c）
…
彈簧的長度y是拉力F的函數嗎？
分析：從表格中可讀出信息，當拉力分別是1kg、2kg、3kg、4kg時，都唯一對應了一個彈簧的長度y，滿足函數的定義，所以彈簧的長度y是拉力F的函數。一般地，以表格形式給出的函數，第一行是自變數的值，第二行是因變數的值。
例2 圖2是某地區一年內每個月的最高氣溫和最低氣溫圖。
圖2
圖2描述了哪些變數之間的關系？你能將其中某個變數看成另一個變數的函數嗎？
分析：圖中給出了三個變數，最高氣溫、最低氣溫和月份，從圖中可以直觀地看出最高氣溫和最低氣溫隨著月份的變化而變化，而且每月的最高氣溫和最低氣溫都是唯一的，所以最高氣溫（或最低氣溫）是月份的函數。我們還可以發現7月和8月的最高氣溫相同，也就是說兩個自變數對應了同一因變數。一般地，以圖象形式給出的函數，橫軸表示自變數，縱軸表示因變數。
例3 下列變數之間的關系是不是函數關系？說明理由。
（1）圓的面積S與半徑r之間的關系；
（2）汽車以70千米/時的速度行駛，它駛過的路程s（千米）和所用時間t（時）之間的關系；
（3）等腰三角形的面積是，它的底邊長y（厘米）和底邊上的高x（厘米）之間的關系。
分析：（1）圓的面積S與半徑r之間的關系式是，當半徑確定時，圓的面積S也唯一確定，所以圓的面積S與半徑r之間的關系是函數關系。
（2）路程s（千米）和所用時間t（時）的關系式是，當時間t確定時，路程s也唯一確定，所以路程s（千米）和所用時間t（時）之間的關系是函數關系。
（3）底邊長ycm和底邊上的高xcm的關系式是，當底邊上的高x確定時，底邊長y也唯一確定，所以底邊長ycm和底邊上的高xcm之間的關系是函數關系。
一般地，以關系式形式給出的函數，等號左邊是因變數，等號右邊的未知數是自變數。
例4 下列圖象中，不能表示函數關系的是（ ）
分析：在上面四個圖象中，A、C、D都可以表示函數關系，因為任意給定一個自變數x的值，都有唯一的一個y值與它相對應，但是B圖中，任意給定一個自變數x的值，卻有兩個不同的y值與它對應，所以本題應選B。
〔問題2.9〕設m是一個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質數，且mn是一個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m。
冪函數
冪函數的一般形式為y=x^a。
如果a取非零的有理數是比較容易理解的，不過初學者對於a取無理數，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數為無理數的問題，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。
對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號（x的p次方），如果q是奇數，函數的定義域是R，如果q是偶數，函數的定義域是[0,＋∞）。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x≠0，函數的定義域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數；
排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，q不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。
總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函數的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數，則函數的定義域為大於0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函數的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函數的定義域為大於0的所有實數；如果同時q為奇數，則函數的定義域為不等於0 的所有實數。
在x大於0時，函數的值域總是大於0的實數。
在x小於0時，則只有同時q為奇數，函數的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函數的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數在第一象限的各自情況.
可以看到：
（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。
（2）當a大於0時，冪函數為單調遞增的，而a小於0時，冪函數為單調遞減函數。
（3）當a大於1時，冪函數圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函數圖形上凸。
（4）當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
（5）a大於0，函數過（0，0）；a小於0，函數不過（0，0）點。
（6）顯然冪函數無界。
高斯函數
設x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，並用表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯（Guass）函數，也叫取整函數。
任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和，即：x= [x] + （0≤<1）
⑦ 數學的高手來
1.解下列一元一次方程：
（1）2.5x-1.9 = 1.8x+1.6 ；
解：移項，得：2.5x-1.8x = 1.6+1.9
合並同類項，得：0.7x = 3.5
系數化為一，得：x = 5
（2）5x+9 = 7x-3 ；
解：移項，得：5x-7x = -3-9
合並同類項，得：-2x = -12
系數化為一，得：x = 6
(3)3(x-2)+1 = x-(2x-1) ；
解：去括弧，得：3x-6+1 = x-2x+1
移項，得：3x-x+2x = 1+6-1
合並同類項，得：4x = 6
系數化為一，得：x = 3/2 (3÷2)
(4) 4-x x-3
── = ──﹣1
3 5 ；
解：去分母，得：5（4-x）=3(x-3)-15
去括弧，得：20-5x = 3x-9-15
移項，得：-5x-3x = -9-15-20
合並同類項，得：-8x = -44
系數化為一，得：x = 11/4 (11÷4)
2.用一根長為24cm的鐵絲圍成一個長方形，使它的長比寬的2倍少1cm，則長方形的長、寬各是多少？
解：設長方形的寬為xcm，則長方形的長為(2x-1)cm.
依題意。得：
2×（2x-1+x）= 22
4x-2+2x=22
6x=24
x=4
∴2x-1=2×4-1=7（cm）
答：長方形的長、寬各是4cm和7cm。
3.一個數的七分之一與5的差等於最小的正整數，求這個數.
解：∵最小的正整數為1
∴依題意，得：
設這個數為x.
1
─ x -5 = 1
7
1
─ x= 6
7
x=6×7
x=42
答：這個數是42。
4.某班組織全班同學去郊遊，需要一定的費用。如果每隔筒靴交5元.那麼還差15.6元；如果每個同學交505元，則多出10.4元。這個班共有多少名同學？共需開支多少費用？
解：設這個班共有x名同學.
依題意，得：
5x+15.6=5.5x-10.4
5x-5.5x=-10.4-15.6
-0.5x=-26
x=52
∴開支費用：5×52+15.6=275.6（元）（或5.5×52-10.4=275.6（元））
答：這個班共有52名同學，共需開支費用275.6元。
5.某琴行同時賣出兩架鋼琴，售價都為9600元，其中一架盈利20%。另一架虧損20%。這家琴行在銷售這兩家鋼琴上，是盈利，虧損，還是不盈不虧？
解：設盈利的鋼琴成本為x元，虧損的鋼琴成本為y元.
依題意，得：
（1+20%）x=9600 （1-20%）x=9600
120%x=9600 80%x=9600
x=8000 x=12000
∵8000+12000=20000(元)＞9600×2=19200（元）
∴是虧損
答：這家琴行在銷售這兩家鋼琴上，是虧損。
6.某商場用9萬元購進A、B兩種型號的電視機共50台。A型和B型電視機的進價分別為1500元和2500元，商場銷售一台A型電視機可獲利80元，銷售一台B型電視機可獲利100元。問購機的電視機全部銷售後，商場能獲利多少元？
解：設購進A型電視機x台，則購進B型電視機（50-x）台.
依題意，得：
1500x+2500(50-x)=90000
1500x+125000-25000x=90000
-1000x=-35000
x=35
購進B型電視機：50-x=50-35=15（元）
獲利：35×80+15×100=2800+1500=4300（元）
答：商場能獲利4300元。
⑧ 幾道不懂做的高中數學題（解三角形）
解：1、在三角形中，a=x cm,b=2cm,B=45度，由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑），則有x/sinA=b/sinB，代入數字，得x=2根號2*sinA，因為0°＜A＜135°，所以0＜sinA≤1，所以0＜x≤2根號2，有很多個解，不可能只有兩個解的，要麼加上「該三角形為等腰三角形」，此時只有兩個解：
若b=c=2，則c=45°，x=2根號2；
若b=a=2，則x=2
2、因為sinC=sin（A+B），這個知道吧，所以右邊的sinC= sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
題中以告訴2cosBsinA=sinC，將sinC= sinAcosB+cosAsinB代入，得cosBsinA= sinBcosA，平移得，cosBsinA- sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，則A=B，所以是等腰三角形。
3、由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為外接圓半徑），可知，最大的邊對最大的角，所以x+2對應的角為鈍角，用餘弦定理，可得cosα=[x²+（x+1）²-（x+2）²]/[2x（x+1）]＜0，解得-1＜x＜3，
再由構成三角形的條件，可知，x+（x+1）＞x+2，解得x＞1，
所以1＜x＜3
4、假設AC、BD交於點O，由三角形內角和為180°，可以求到其它角為：DAC=30°，CBD=60°，AOB=105°，由正弦定理，可以求得，AD=根號3，BC=根號2，再在△AOD中，∠AOD=75°,AO=根號3，而在△BOC中，∠BOC=75°,可以求得BO=1/sin75°=根號6-根號2，
在三角形AOB中，用餘弦定理，可以求得AB，用cos∠AOB即可，最後求得AB=根號5
5、由c/sinC=2R，得c=2RsinC=2×2×sin60°=2*根號3，
由餘弦定理得cosC=（a²+b²-c²）/2ab，由a:b=3:4，設a=3x，b=4x，代入解得，x=2*根號39/13，所以a=3x =6*根號39/13，b=4x =8*根號39/13