現代數學指的是什麼意思是什麼意思

❶ 現代數學包括哪些分支分別在什麼階段學習

現代數學的三大分支是：代數、幾何、分析。數學的定義是研究集合及集合上某種結構的學科，是形式科學的一種，集合論和邏輯學是它的基礎，證明是它的靈魂。由於它與自然科學尤其是物理學關系極為密切，有時數學也被歸為自然科學六大基礎學科之一。數學中未被定義的概念是集合，其他的一切都是有定義的。數學的標准形式是公理法，即給集合和集合上的某結構下一組公理，其他的一切理論都由這組公理推導證明而來。集合上的結構就是定義在幾何元素或子集之間的一些關系，原始分為三類：描述順序關系的序結構，描述運算關系的代數結構，描述臨近關系的拓撲結構，這些結構可以互相結合成為其他一些復雜的結構，比如幾何結構，測度結構等等。由這些結構構造出來的各種集合或者說空間，就是不同數學分支研究的內容。代數學研究具有若干代數結構的集合，比如群、環、體、域、模、格、線性空間、各種內積空間等等，這些結構最初都是由初等代數，或者說初等數論和方程式論的研究中抽象出來的。代數學包括：初等代數、初等數論、高等（線性）代數、抽象代數（群論、環論、域論等）、表示論、多重線性代數、代數數論、解析數論、微分代數、組合論等等。幾何學研究具有若干幾何-拓撲結構的集合，比如仿射空間、拓撲空間、度量空間、仿射內積空間、射影空間、微分流形等。最初是由歐氏幾何發展而來。幾何學包括：初等（歐氏綜合）幾何、解析幾何、仿射幾何、射影幾何、古典微分幾何、點集拓撲、代數拓撲、微分拓撲、整體微分幾何、代數幾何等等。分析學研究帶有若干拓撲-測度的集合，以及定義在這些集合上的函數空間比如可測-測度空間、賦范空間、巴拿赫空間、希爾伯特空間、概率空間等等，由微積分發展而來。分析學包括：數學分析、常微分方程、復變函數論、實變函數論、偏微分方程、變分法、泛函分析、調和分析、概率論等等。

❷ 現代數學研究什麼

什麼是數學？有人說：「數學，不就是數的學問嗎？」

這樣的說法可不對。因為數學不光研究「數」，也研究「形」，大家都很熟悉的三角形、正方形，也都是數學研究的對象。

歷史上，關於什麼是數學的說法更是五花八門。有人說，數學就是關聯；也有人說，數學就是邏輯，「邏輯是數學的青年時代，數學是邏輯的壯年時代。」

那麼，究竟什麼是數學呢？

偉大的革命導師恩格斯，站在辯證唯物主義的理論高度，通過深刻分析數學的起源和本質，精闢地作出了一系列科學的論斷。恩格斯指出：「數學是數量的科學」，「純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系」。根據恩格斯的觀點，較確切的說法就是：數學——研究現實世界的數量關系和空間形式的科學。

數學可以分成兩大類，一類叫純粹數學，一類叫應用 數學。

純粹數學也叫基礎數學，專門研究數學本身的內部規律。中小學課本里介紹的代數、幾何、微積分、概率論知識，都屬於純粹數學。純粹數學的一個顯著特點，就是暫時撇開具體內容，以純粹形式研究事物的數量關系和空間形式。例如研究梯形的面積計算公式，至於它是梯形稻田的面積，還是梯形機械零件的面積，都無關緊要，大家關心的只是蘊含在這種幾何圖形中的數量關系。

應用數學則是一個龐大的系統，有人說，它是我們的全部知識中，凡是能用數學語言來表示的那一部分。應用數學著限於說明自然現象，解決實際問題，是純粹數學與科學技術之間的橋梁。大家常說現在是信息社會，專門研究信息的「資訊理論」，就是應用數學中一門重要的分支學科， 數學有3個最顯著的特徵。

高度的抽象性是數學的顯著特徵之一。數學理論都算有非常抽象的形式，這種抽象是經過一系列的階段形成的，所以大大超過了自然科學中的一般抽象，而且不僅概念是抽象的，連數學方法本身也是抽象的。例如，物理學家可以通過實驗來證明自己的理論，而數學家則不能用實驗的方法來證明定理，非得用邏輯推理和計算不可。現在，連數學中過去被認為是比較「直觀」的幾何學，也在朝著抽象的方向發展。根據公理化思想，幾何圖形不再是必須知道的內容，它是圓的也好，方的也好，都無關緊要，甚至用桌子、椅子和啤酒杯去代替點、線、面也未嘗不可，只要它們滿足結合關系、順序關系、合同關系，具備有相容性、獨立性和完備性，就能夠構成一門幾何學。

體系的嚴謹性是數學的另一個顯著特徵。數學思維的正確性表現在邏輯的嚴謹性上。早在2000多年前，數學家就從幾個最基本的結論出發，運用邏輯推理的方法，將豐富的幾何學知識整理成一門嚴密系統的理論，它像一根精美的邏輯鏈條，每一個環節都銜接得絲絲入扣。所以，數學一直被譽為是「精確科學的典範」。

廣泛的應用性也是數學的一個顯著特徵。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學。20世紀里，隨著應用數學分支的大量涌現，數學已經滲透到幾乎所有的科學部門。不僅物理學、化學等學科仍在廣泛地享用數學的成果，連過去很少使用數學的生物學、語言學、歷史學等等，也與數學結合形成了內容豐富的生物數學、數理經濟學、數學心理學、數理語言學、數學歷史學等邊緣學科。

各門科學的「數學化」，是現代科學發展的一大趨勢。

❸ "數學"的定義是什麼

數學的定義

定義1：
還是一百多年前,恩格斯給數學下的定義是「研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學」,空間形式就是指的幾何學

源自: 高師幾何教學改革的設想 《楚雄師專學報》 2001年 陳萍
來源文章摘要：本文在反思師專幾何教學現狀的基礎上 ,提出改革幾何教學的一些建議

定義2：
數學定義是對數學發展的概括和總結.必然具有其階段性與局限性,不存在適合任何時期亘古不變的數學定義.3.現代數學時期(19世紀末以來)現代數學時期是以1873年康托爾(G·Cantor)建立集合論為起點

源自: 從「數學是什麼」談數學及數學教育 《零陵學院學報》 2004年 肖家洪
來源文章摘要：<正> 數學是什麼?這是一個公認的難於回答的問題。1941年,美國數學家R·柯朗與H·羅賓斯合作寫了一本書,題目就是《數學是什麼》。該書緣何不以「什麼是數學」為題,我想二者是否有所區別,「數學是什麼」,

定義3：
恩格斯在《反杜林論》中,將數學定義為:「純數學的研究對象是客觀世界的空間形式與數量關系」.這在客觀上完整地概括了這一時期數學的對象和本質,因而被譽為「經典定義」

源自: 從「數學是什麼」談數學及數學教育 《零陵學院學報》 2004年 肖家洪
來源文章摘要：<正> 數學是什麼?這是一個公認的難於回答的問題。1941年,美國數學家R·柯朗與H·羅賓斯合作寫了一本書,題目就是《數學是什麼》。該書緣何不以「什麼是數學」為題,我想二者是否有所區別,「數學是什麼」,

定義4：
他說,數學的定義是『』研究數量關系和空間形式的學科」.首先,它的表達形式簡潔、嚴謹,毫無紙漏和瑕疵.其次,數學的分支豐富多樣,為不同興趣的科學家提供了無限寬廣的可能性,具有廣裹之美

源自: 沉浸在奧妙王國的中國數學家 《瞭望》 2002年 浦樹柔
來源文章摘要：有些木訥,有些內向,總皺著眉頭思考玄奧晦澀的數學問題,走路沒准還會撞在電線桿上,這也許是許多人心中給「數學家」描繪的一幅「漫畫像」。數學真的離我們那麼遠嗎?數學家都那麼古怪可笑嗎?8月下旬在北京召開的國際數學家大會,將迎來4000多位來自世界各地的數學家,屆時人們可以一睹其群體風采。

定義5：
過去說的數學的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來的他說數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的.恩格斯這個定義是19世紀提出來的隨著20世紀數學的發展很多東西用這個定義概括不了

源自: 數學的力量 《安徽科技》 2002年 丁石孫

定義6：
在邵雍看來先天之學是以「數」為其根本的所以他的學說又直稱為「數學」.與邵雍同時的道學家程領曾經風趣地說：「堯夫（邵雍）欲傳數學與某兄弟某兄弟那得功夫要學須是二十年功夫

源自: 道教燈儀與易學關系考論 《周易研究》 2000年 詹石窗
來源文章摘要：燈儀是道教儀式之中的重要品類。它的形成具有深遠的民俗學淵源和思想基礎。就理論角度來說，道教之燈似乃以傳統易學為結構框架。本文選擇了道教燈儀中的幾種要代表性的形式進行考察。作者通過文本的解讀與歷史追索，認為此類燈儀不僅貫穿著易學的象數法門，而且蘊含著深刻的易學義理觀念。

❹ 什麼是現代數學

現代數學仍以代數、幾何與分析為三大基礎，作為21世紀的非數學專業的研究生(或科技工作者來講)，系統掌握現代數學基礎知識，無論是作為工具性目的的需要還是邏輯思維方法的訓練(或借鑒)，都是必須的。

❺ 現代數學的主要特點及成因

現代數學發展特點
現代數學時期是指由19世紀20年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關系和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。抽象代數、拓撲學、泛函分析是整個現代數學科學的主體部分。它們是大學數學專業的課程，非數學專業也要具備其中某些知識。變數數學時期新興起的許多學科，蓬勃地向前發展，內容和方法不斷地充實、擴大和深入。
18、19世紀之交，數學已經達到豐沛茂密的境地，似乎數學的寶藏已經挖掘殆盡，再沒有多大的發展餘地了。然而，這只是暴風雨前夕的寧靜。19世紀20年代，數學革命的狂飆終於來臨了，數學開始了一連串本質的變化，從此數學又邁入了一個新的時期——現代數學時期。
19世紀前半葉，數學上出現兩項革命性的發現——非歐幾何與不可交換代數。大約在1826年，人們發現了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何——非歐幾何。這是由羅巴契夫斯基和里耶首先提出的。非歐幾何的出現，改變了人們認為歐氏幾何唯一地存在是天經地義的觀點。它的革命思想不僅為新幾何學開辟了道路，而且是20世紀相對論產生的前奏和准備。
後來證明，非歐幾何所導致的思想解放對現代數學和現代科學有著極為重要的意義，因為人類終於開始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質。從這個意義上說，為確立和發展非歐幾何貢獻了一生的羅巴契夫斯基不愧為現代科學的先驅者。
1854年，黎曼推廣了空間的概念，開創了幾何學一片更廣闊的領域——黎曼幾何學。非歐幾何學的發現還促進了公理方法的深入探討，研究可以作為基礎的概念和原則，分析公理的完全性、相容性和獨立性等問題。1899年，希爾伯特對此作了重大貢獻。
在1843年，哈密頓發現了一種乘法交換律不成立的代數——四元數代數。不可交換 代數的出現，改變了人們認為存在與一般的算術代數不同的代數是不可思議的觀點。它的革命思想打開了近代代數的大門。
另一方面，由於一元方程根式求解條件的探究，引進了群的概念。19世紀20～30年代，阿貝爾和伽羅華開創了近世代數學的研究。近代代數是相對古典代數來說的，古典代數的內容是以討論方程的解法為中心的。群論之後，多種代數系統(環、域、格、布爾代數、線性空間等)被建立。這時，代數學的研究對象擴大為向量、矩陣，等等，並漸漸轉向代數系統結構本身的研究。
上述兩大事件和它們引起的發展，被稱為幾何學的解放和代數學的解放。
19世紀還發生了第三個有深遠意義的數學事件：分析的算術化。1874年威爾斯特拉斯提出了一個引人注目的例子，要求人們對分析基礎作更深刻的理解。他提出了被稱為「分析的算術化」的著名設想，實數系本身最先應該嚴格化，然後分析的所有概念應該由此數系導出。他和後繼者們使這個設想基本上得以實現，使今天的全部分析可以從表明實數系特徵的一個公設集中邏輯地推導出來。
現代數學家們的研究，遠遠超出了把實數系作為分析基礎的設想。歐幾里得幾何通過其分析的解釋，也可以放在實數系中；如果歐氏幾何是相容的，則幾何的多數分支是相容的。實數系(或某部分)可以用來解群代數的眾多分支；可使大量的代數相容性依賴於實數系的相容性。事實上，可以說：如果實數系是相容的，則現存的全部數學也是相容的。
19世紀後期，由於狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數學基礎已經建立在更簡單、更基礎的自然數系之上。即他們證明了實數系(由此導出多種數學)能從確立自然數系的公設集中導出。20世紀初期，證明了自然數可用集合論概念來定義，因而各種數學能以集合論為基礎來講述。
拓撲學開始是幾何學的一個分支，但是直到20世紀的第二個1/4世紀，它才得到了推廣。拓撲學可

❻ 現代數學的特徵

現代數學的三大顯著特徵是符號化、公理化和形式化。
符號化：大家都知道數學是抽象的，是研究從現實生活中抽象出來的數及數之間的關系，因此數學研究得到的模型必須具有普適性，是高度抽象和概括的，不能說適用於現實中關於雞的問題，卻不適用於鴨的問題。為了達到這樣的目標，如果在研究數之間的關系時，需要比數量帶上那就非常麻煩。比如我們常說一隻青蛙一張嘴，兩隻眼睛四條腿，按這樣的說法說一輩子也說不完，但數學的符號化很好的解決了這個問題，現在我們都知道a只青蛙a張嘴，2a隻眼睛，4a條腿，而且這里的a、2a和4a的關系不因現實是青蛙還是兔子而發生改變。這只是一個比較簡單的例子，因為這樣的關系只能用於4條腿的動物，而我們都熟知的運算律卻是完全使用與現實生活的，比如a+b=b+a，所以數學的符號化為更好的研究數之間的關系提供了可能，也為後面兩個特徵奠定了基礎。
公理化：其實可以理解為大家學習的數學證明題，你會發現在證明某個命題時我們需要從正確的命題a得到正確的命題b，最後經歷若干次這樣的過程得到命題是否正確。在這個過程中你是否考慮過，每一個命題之所以正確都是由於它有一個前提，這個前提推出了它的正確，比如上面提到的命題b，為什麼命題b是正確的？這是因為正確的命題a推出了命題b是正確的。那現在我們想一想命題a又為什麼是正確的呢？哪個命題能證明呢？這樣逐一倒退，最終我們會發現這是沒有終點的，但如果沒有終點我們就無法證明某個命題是否正確，而且也並不是所有的命題我們都能個找到前提來證明的，比如如果a=b且b=c，那麼a=c，這個命題是沒有辦法找到前提來證明的。鑒於此，著名的數學家歐幾里得提出了五個公理：1、等於同量的量彼此相等。2、等量加等量，其和相等。3、等量減等量，其差相等。4、彼此能重合的物體是全等的。5、整體大於部分。正是因為有了這5條公理，我們才能夠由他們出發，得到更多的關系，也因此建立了數學的公理化體系。
形式化：這里的形式化指的是論證方法的形式化，之前我們說到了數學的公理化，即我們可以通過證明的方法得到某些命題是否正確，但是這個證明的過程應該是怎樣的，怎樣寫才能保證邏輯嚴密，同時又不冗餘，因此亞里士多德提出了著名的「三段論」，即以一個一般性的原則（大前提）以及一個附屬於一般性的原則的特殊化陳述（小前提），由此引申出一個符合一般性原則的特殊化陳述（結論）的過程。比如動物都有思想（大前提），人是動物（小前提），所以人有思想（結論）。這個過程現在看來好像是很正常的，但這一偉大的發明為人類思維方法的確立以及思維能力的提高奠定了堅實的基礎。

❼ 什麼是數學

[編輯本段]數學簡介
數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。
數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。通過抽象化和邏輯推理的使用，由計數、計算、量度和對物體形狀及運動的觀察中產生。數學家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴謹推導出的真理。
數學屬性是任何事物的可量度屬性，即數學屬性是事物最基本的屬性。可量度屬性的存在與參數無關，但其結果卻取決於參數的選擇。例如：時間，不管用年、月、日還是用時、分、秒來量度；空間，不管用米、微米還是用英寸、光年來量度，它們的可量度屬性永遠存在，但結果的准確性與這些參照系數有關。
數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。簡單地說，是研究數和形的科學。由於生活和勞動上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡單的計數，並由用手指或實物計數發展到用數字計數。
基礎數學的知識與運用總是個人與團體生活中不可或缺的一塊。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始，其發展便持續不斷地有小幅的進展，直至16世紀的文藝復興時期，因著和新科學發現相作用而生成的數學革新導致了知識的加速，直至今日。
今日，數學被使用在世界上不同的領域上，包括科學、工程、醫學和經濟學等。數學對這些領域的應用通常被稱為應用數學，有時亦會激起新的數學發現，並導致全新學科的發展。數學家亦研究沒有任何實際應用價值的純數學，即使其應用常會在之後被發現。
創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派認為：數學，至少純粹數學，是研究抽象結構的理論。結構，就是以初始概念和公理出發的演繹系統。布學派認為，有三種基本的抽象結構：代數結構（群，環，域……），序結構（偏序，全序……），拓撲結構（鄰域，極限，連通性，維數……）。
詞源 數學（mathematics；希臘語：μαθηματικά）這一詞在西方源自於古希臘語的μάθημα（máthēma），其有學習、學問、科學，以及另外還有個較狹意且技術性的意義－「數學研究」，即使在其語源內。其形容詞μαθηματικός（mathēmatikós），意義為和學習有關的或用功的，亦會被用來指數學的。其在英語中表面上的復數形式，及在法語中的表面復數形式les mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數mathematica，由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά（ta mathēmatiká），此一希臘語被亞里士多德拿來指「萬物皆數」的概念。
（拉丁文：Mathemetica)原意是數和數數的技術。
我國古代把數學叫算術，又稱算學，最後才改為數學。
[編輯本段]數學的本質
數學的本質是什麼？為什麼數學可以運用在所有的其它科目上？
數學是研究事物數量和形狀規律的科目
如果要深入的研究其本質及其擴展問題，就必須引入【全集然文明】專有名詞了
其實數學的本質是：一門研究【儲空】的科目
自然萬物都有其存儲的空間，這種現象稱之為【儲空】
要判斷一個事物是否為「儲空」其實很簡單：只要能夠套入「在××里」的××就是「儲空」（包括具體和抽象）。於是大家將會發現，所有的事物都可以套入其中，也就是說：自然萬物都只是不同的「儲空」而已。
於是人們也發現：【代數】就是研究【儲空量】的科目；【幾何】就是研究【儲空形狀】的科目。而既然自然萬物都只是不同的儲空而已，那麼數學當然也就可以通用於所有的科目之中了！
擴展信息：

1.更多的證據

因為一個除真空外的儲空都是有【儲隔】（儲空隔膜）的，於是人們在其它科目中使用數字就必須用【單位】來區分各種不同的儲空，如：個、頭、條、小時、牛、焦耳、歐姆、安培等等，可以說離開了單位，數字幾乎毫無意義。
並且各種名詞的【定義】也是相關儲空的儲隔，就是區別於其他事物的地方。

2.新數學等式和計算模型

異儲空計算模型
異儲空等式【異儲空等式】比如：1個人 異等於 5個蘋果 ，就是說：一個人可以得到5個蘋果，或一個人和5個蘋果相聯系（任何聯系都可以）；異等號就是等號=下面加個o（儲空標志）；這樣就可以簡單的描述很多日常生活中碰到的計算。而且您還可以通過右圖的【異儲空計算模型】（最簡單的模型），來計算一些事物。

3.其他幾何領域

當然有，其實一直都有兩個巨大的幾何領域被人們長期的忽視，那就是【文字幾何】與【功能幾何】。
（1）文字幾何：當一些有特定含義的文字按照特殊的組合和形狀排列下來就會出現各種特殊的功能和特性。就像我們最常見的「化學元素周期表」、「文字圖表」、「數學計算模型」等等。
（2）功能幾何：各種形狀都是擁有各種不同的功能的！如球形可以做大容量的容納物質，交叉有利於物質傳播等等。所以我們應該仔細研究和探討各種形狀的各種特殊功能！
使用全集然文明邏輯：如果自然萬物有共同的本質和規律，那麼它們必然可以用來推導各個科目的本質和規律，並推理出該科目內的新內容。於是我們發現了數學就是研究「儲空」的一個科目，並推理出了各種新領域。
註：（等式、四則運算、解方程式的本質都可以用【儲空】內部規律推理出來）
[編輯本段]數學研究的各領域
數學主要的學科首要產生於商業上計算的需要、了解數字間的關系、測量土地及預測天文事件。這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化(即算術、代數、幾何及分析)等數學上廣泛的子領域相關連著。除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至邏輯、至集合論(基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、及較近代的至不確定性的嚴格學習。
數量
數量的學習起於數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質被研究於數論中，此一理論包括了如費馬最後定理之著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：孿生素數猜想及哥德巴赫猜想。
當數系更進一步發展時，整數被承認為有理數的子集，而有理數則包含於實數中，連續的數量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成復數。數的進一步廣義化可以持續至包含四元數及八元數。自然數的考慮亦可導致超限數，它公式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為其大小，這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念：艾禮富數，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
結構
許多如數及函數的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於群、環、體及其他本身即為此物件的抽象系統中。此為抽象代數的領域。在此有一個很重要的概念，即向量，且廣義化至向量空間，並研究於線性代數中。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。向量分析則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。
空間
空間的研究源自於幾何－尤其是歐式幾何。三角學則結合了空間及數，且包含有著名的勾股定理。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何(其在廣義相對論中扮演著核心的角色)及拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計算等概念。在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著拓撲群的研究，結合了結構與空間。李群被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在久遠的龐加萊猜想及有爭議的四色定理，其只被電腦證明，而從來沒有由人力來驗證過。
基礎與哲學
為了搞清楚數學基礎，數學邏輯和集合論等領域被發展了出來。康托（Georg Cantor，1845-1918）首創集合論，大膽地向「無窮大」進軍，為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎，而它本身的內容也是相當豐富的，提出了實無窮的存在，為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。Cantor的工作給數學發展帶來了一場革命。由於他的理論超越直觀，所以曾受到當時一些大數學家的反對，就連被譽為「博大精深，富於創舉」的數學家Pioncare也把集合論比作有趣的「病理情形」，甚至他的老師Kronecker還擊Cantor是「神經質」，「走進了超越數的地獄」.對於這些非難和指責，Cantor仍充滿信心，他說：「我的理論猶如磐石一般堅固，任何反對它的人都將搬起石頭砸自己的腳.」他還指出：「數學的本質在於它的自由性，不必受傳統觀念束縛。」這種爭辯持續了十年之久。Cantor由於經常處於精神壓抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最後死於精神病院。
然而，歷史終究公平地評價了他的創造，集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支，成為了分析理論，測度論，拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初世界上最偉大的數學家Hilbert在德國傳播了Cantor的思想，把他稱為「數學家的樂園」和「數學思想最驚人的產物」。英國哲學家Russell把Cantor的工作譽為「這個時代所能誇耀的最巨大的工作」。
數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上，並研究此一架構的成果。就其本身而言，其為哥德爾第二不完備定理的產地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明的真實定理。現代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計算機科學有著密切的關連性。
恩格斯說：「數學是研究現定世界的數量關系與空間形式的科學。」
[編輯本段]數學的分類
離散數學
模糊數學

數學分支

1.算數
2.初等代數
3.高等代數
4. 數論
5.歐式幾何
6.非歐式幾何
7.解析幾何
8.微分幾何
9.代數幾何
10.射影幾何學
11.拓撲幾何學
12.拓撲學
13.分形幾何
14.微積分學
15. 實變函數論
16.概率和數量統計
17.復變函數論
18.泛函分析
19.偏微分方程
20.常微分方程
21.數理邏輯
22.模糊數學
23.運籌學
24.計算數學
25.突變理論
26.數學物理學
詳細請見詞條：數學分支

廣義的數學分類

從縱向劃分：
1、初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。
2、變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。
3、近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。
4、現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。
註：希爾伯特的23個問題——
在1900年巴黎國際數學家代表大會上，希爾伯特發表了題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，後來成為許多數學家力圖攻克的難關，對現代數學的研究和發展產生了深刻的影響，並起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發的想信每個數學問題都可以解決的信念，對於數學工作者是一種巨大的鼓舞。
希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。 現在只列出一張清單：
（1）康托的連續統基數問題。
（2）算術公理系統的無矛盾性。
（3）只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。
（4）兩點間以直線為距離最短線問題。
（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。
（6）對數學起重要作用的物理學的公理化。
（7）某些數的超越性的證明。
（8）素數分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。
（9）一般互反律在任意數域中的證明。
（10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數解？
（11）一般代數數域內的二次型論。
（12）類域的構成問題。
（13）一般七次代數方程以二變數連續函數之組合求解的不可能性。
（14）某些完備函數系的有限的證明。
（15）建立代數幾何學的基礎。
（16）代數曲線和曲面的拓撲研究。
（17）半正定形式的平方和表示。
（18）用全等多面體構造空間。
（19）正則變分問題的解是否總是解析函數？
（20）研究一般邊值問題。
（21）具有給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。
（22）用自守函數將解析函數單值化。
（23）發展變分學方法的研究。
從橫向劃分：
1、基礎數學（英文：Pure Mathematics）。又稱為理論數學或純粹數學，是數學的核心部分，包含代數、幾何、分析三大分支，分別研究數、形和數形關系。
2、應用數學。簡單地說，也即數學的應用。
3 、計算數學。研究諸如計算方法（數值分析）、數理邏輯、符號數學、計算復雜性、程序設計等方面的問題。該學科與計算機密切相關。
4、概率統計。分概率論與數理統計兩大塊。
5、運籌學與控制論。運籌學是利用數學方法，在建立模型的基礎上，解決有關人力、物資、金錢等的復雜系統的運行、組織、管理等方面所出現的問題的一門學科。
[編輯本段]符號、語言與嚴謹
在現代的符號中，簡單的表示式可能描繪出復雜的概念。此一圖像即是由一簡單方程所產生的。
我們現今所使用的大部份數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的。在此之前，數學被文字書寫出來，這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於專家而言更容易去控作，但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮：少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般，現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。
數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有著比日常用語更精確的意思。亦困惱著初學者，如開放和域等字在數學里有著特別的意思。數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的：數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為「嚴謹」。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部份。數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去。這是為了避免錯誤的「定理」，依著不可靠的直觀，而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同：希臘人期許著仔細的論點，但在牛頓的時代，所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所做的定義到了十九世紀才重新以小心的分析及正式的證明來處理。今日，數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計量難以被驗證時，其證明亦很難說是有效地嚴謹。
[編輯本段]數學的發展史

世界數學發展史

奇普，印加帝國時所使用的計數工具。數學，起源於人類早期的生產活動，為中國古代六藝之一，亦被古希臘學者視為哲學之起點。數學的希臘語μαθηματικός（mathematikós）意思是「學問的基礎」，源於μάθημα（máthema）（「科學，知識，學問」）。
數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展，或是題材的延展。第一個被抽象化的概念大概是數字，其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破。 除了認知到如何去數實際物質的數量，史前的人類亦了解了如何去數抽象物質的數量，如時間－日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。古代的石碑亦證實了當時已有幾何的知識。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統，如符木或於印加帝國內用來儲存數據的奇普。歷史上曾有過許多且分歧的記數系統。
從歷史時代的一開始，數學內的主要原理是為了做稅務和貿易等相關計算，為了了解數字間的關系，為了測量土地，以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
到了16世紀，算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備。17世紀變數概念的產生使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換。在研究經典力學的過程中，微積分的方法被發明。隨著自然科學和技術的進一步發展，為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等也開始慢慢發展。
數學從古至今便一直不斷地延展，且與科學有豐富的相互作用，並使兩者都得到好處。數學在歷史上有著許多的發現，並且直至今日都還不斷地發現中。依據Mikhail B. Sevryuk於美國數學會通報2006年1月的期刊中所說，「存在於數學評論資料庫中論文和書籍的數量自1940年(數學評論的創刊年份)現已超過了一百九十萬份，而且每年還增加超過七萬五千份的細目。此一學海的絕大部份為新的數學定理及其證明。」

❽ 數學的定義是什麼

數學的定義
定義1：
還是一百多年前,恩格斯給數學下的定義是「研究客觀世界的數量關系和空間形式的科學」,空間形式就是指的幾何學
源自: 高師幾何教學改革的設想 《楚雄師專學報》 2001年 陳萍
來源文章摘要：本文在反思師專幾何教學現狀的基礎上 ,提出改革幾何教學的一些建議
定義2：
數學定義是對數學發展的概括和總結.必然具有其階段性與局限性,不存在適合任何時期亘古不變的數學定義.3.現代數學時期(19世紀末以來)現代數學時期是以1873年康托爾(G·Cantor)建立集合論為起點
源自: 從「數學是什麼」談數學及數學教育 《零陵學院學報》 2004年 肖家洪
來源文章摘要： 數學是什麼?這是一個公認的難於回答的問題.1941年,美國數學家R·柯朗與H·羅賓斯合作寫了一本書,題目就是《數學是什麼》.該書緣何不以「什麼是數學」為題,我想二者是否有所區別,「數學是什麼」,
定義3：
恩格斯在《反杜林論》中,將數學定義為:「純數學的研究對象是客觀世界的空間形式與數量關系」.這在客觀上完整地概括了這一時期數學的對象和本質,因而被譽為「經典定義」
源自: 從「數學是什麼」談數學及數學教育 《零陵學院學報》 2004年 肖家洪
來源文章摘要： 數學是什麼?這是一個公認的難於回答的問題.1941年,美國數學家R·柯朗與H·羅賓斯合作寫了一本書,題目就是《數學是什麼》.該書緣何不以「什麼是數學」為題,我想二者是否有所區別,「數學是什麼」,
定義4：
他說,數學的定義是『』研究數量關系和空間形式的學科」.首先,它的表達形式簡潔、嚴謹,毫無紙漏和瑕疵.其次,數學的分支豐富多樣,為不同興趣的科學家提供了無限寬廣的可能性,具有廣裹之美
源自: 沉浸在奧妙王國的中國數學家 《瞭望》 2002年 浦樹柔
來源文章摘要：有些木訥,有些內向,總皺著眉頭思考玄奧晦澀的數學問題,走路沒准還會撞在電線桿上,這也許是許多人心中給「數學家」描繪的一幅「漫畫像」.數學真的離我們那麼遠嗎?數學家都那麼古怪可笑嗎?8月下旬在北京召開的國際數學家大會,將迎來4000多位來自世界各地的數學家,屆時人們可以一睹其群體風采.
定義5：
過去說的數學的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來的他說數學是研究客觀世界的數量關系和空間形式的.恩格斯這個定義是19世紀提出來的隨著20世紀數學的發展很多東西用這個定義概括不了
源自: 數學的力量 《安徽科技》 2002年 丁石孫
定義6：
在邵雍看來先天之學是以「數」為其根本的所以他的學說又直稱為「數學」.與邵雍同時的道學家程領曾經風趣地說：「堯夫（邵雍）欲傳數學與某兄弟某兄弟那得功夫要學須是二十年功夫
源自: 道教燈儀與易學關系考論 《周易研究》 2000年 詹石窗
來源文章摘要：燈儀是道教儀式之中的重要品類.它的形成具有深遠的民俗學淵源和思想基礎.就理論角度來說,道教之燈似乃以傳統易學為結構框架.本文選擇了道教燈儀中的幾種要代表性的形式進行考察.作者通過文本的解讀與歷史追索,認為此類燈儀不僅貫穿著易學的象數法門,而且蘊含著深刻的易學義理觀念.

❾ 數學分類是什麼啊

數學的廣義分類：

從縱向劃分：

1、初等數學和古代數學：這是指17世紀以前的數學。主要是古希臘時期建立的歐幾里得幾何學，古代中國、古印度和古巴比倫時期建立的算術，歐洲文藝復興時期發展起來的代數方程等。

2、變數數學：是指17--19世紀初建立與發展起來的數學。從17世紀上半葉開始的變數數學時期，可以分為兩個階段：17世紀的創建階段（英雄時代）與18世紀的發展階段（創造時代）。

3、近代數學：是指19世紀的數學。近代數學時期的19世紀是數學的全面發展與成熟階段，數學的面貌發生了深刻的變化，數學的絕大部分分支在這一時期都已經形成，整個數學呈現現出全面繁榮的景象。

4、現代數學：是指20世紀的數學。1900年德國著名數學家希爾伯特（D. Hilbert）在世界數學家大會上發表了一個著名演講，提出了23個預測和知道今後數學發展的數學問題（見下），拉開了20世紀現代數學的序幕。

發展歷史

數學（漢語拼音：shù xué；希臘語：μαθηματικ；英語：mathematics或maths），其英語源自於古希臘語的μθημα（máthēma），有學習、學問、科學之意。古希臘學者視其為哲學之起點，「學問的基礎」。另外，還有個較狹隘且技術性的意義——「數學研究」。即使在其語源內，其形容詞意義凡與學習有關的，亦被用來指數學。

其在英語的復數形式，及在法語中的復數形式加－es，成mathématiques，可溯至拉丁文的中性復數（mathematica），由西塞羅譯自希臘文復數ταμαθηματικά（ta mathēmatiká）。