伯努力對數學有哪些的貢獻

❶ 約翰的這一生在數學研究方面做出了哪些貢獻

約翰•伯努利首先使用「變數」這個詞，系統地闡述了積分學理論，論述了求曲面面積、曲線長的不同類型的微分方程的解法，徹底解決了有理分式的積分法。在求不定式O/O型的極限時，發現了一個法則，他把這個法則告訴了他的學生羅必塔，後來這個法則被錯誤地命名為羅必塔法則

。1696年約翰•伯努利提出了著名的「最速降線問題」，這個問題的解答就是一條擺線。約翰•伯努利把研究成果擴展到可以用來確定光線在各種介質中傳播的路徑。最速降線問題是「變分法」這門微積分的新的分支的開端。伯努利兄弟研究的等周問題，也對變分學的發展起了推動作用。因此他們成為了變分法的創始人。

約翰•伯努利對解析幾何也做過一些有益的工作，1715年他給出了三維空間坐標系的定義，提出曲面可以用三個坐標變數的一個方程來表達。此外約翰•伯努利還將微積分應用到物理學特別是力學和天體力學方面。

約翰•伯努利在他的科學生涯中與許多科學家建立了廣泛的聯系，交流研究成果。他與110位學者有通信聯系。進行學術討論的信件大約有2500封，這些都大大地促進了學術的發展。他還致力於教學和培養人才的工作。他培養出一批出色的數學家，其中包括18世紀數學界中心人物歐拉。

❷ 數學家的貢獻

「數學之神」——阿基米德

阿基米德公元前287年出生在義大利半島南端西西里島的敘拉古。父親是位數學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養，11歲就被送到當時希臘文化中心的亞歷山大城去學習。在這座號稱"智慧之都"的名城裡，阿基米德博閱群書，汲取了許多的知識，並且做了歐幾里得學生埃拉托塞和卡農的門生，鑽研《幾何原本》。
後來阿基米德成為兼數學家與力學家的偉大學者，並且享有"力學之父"的美稱。其原因在於他通過大量實驗發現了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多杠桿命題，給出嚴格的證明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在數學上也有著極為光輝燦爛的成就。盡管阿基米德流傳至今的著作共只有十來部，但多數是幾何著作，這對於推動數學的發展，起著決定性的作用。
《砂粒計算》，是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內的砂粒數量，他運用了很奇特的想像，建立了新的量級計數法，確定了新單位，提出了表示任何大數量的模式，這與對數運算是密切相關的。
《圓的度量》，利用圓的外切與內接96邊形，求得圓周率π為： ＜π＜ ，這是數學史上最早的，明確指出誤差限度的π值。他還證明了圓面積等於以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。
《球與圓柱》，熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等於球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等於球的大圓，高等於球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的 。在這部著作中，他還提出了著名的"阿基米德公理"。
《拋物線求積法》，研究了曲線圖形求積的問題，並用窮竭法建立了這樣的結論："任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。"他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來。
《論螺線》，是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。
《平面的平衡》，是關於力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。
《浮體》，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數學推理成功地運用於分析浮體的平衡上，並用數學公式表示浮體平衡的規律。
《論錐型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。
丹麥數學史家海伯格，於1906年發現了阿基米德給厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的傳抄本。通過研究發現，這些信件和傳抄本中，蘊含著微積分的思想，他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質卻伸展到17世紀趨於成熟的無窮小分析領域里去，預告了微積分的誕生。
正因為他的傑出貢獻，美國的E.T.貝爾在《數學人物》上是這樣評價阿基米德的：任何一張開列有史以來三個最偉大的數學家的名單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。不過以他們的宏偉業績和所處的時代背景來比較，或拿他們影響當代和後世的深邃久遠來比較，還應首推阿基米德。

祖沖之

祖沖之（公元429-500年）是我國南北朝時期，河北省淶源縣人．他從小就閱讀了許多天文、數學方面的書籍，勤奮好學，刻苦實踐，終於使他成為我國古代傑出的數學家、天文學家．
祖沖之在數學上的傑出成就，是關於圓周率的計算．秦漢以前，人們以"徑一周三"做為圓周率，這就是"古率"．後來發現古率誤差太大，圓周率應是"圓徑一而周三有餘"，不過究竟余多少，意見不一．直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術"，用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內接96邊形， 求得π=3.14，並指出，內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確．祖沖之在前人成就的基礎上，經過刻苦鑽研，反復演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．並得出了π分數形式的近似值，取為約率 ，取為密率，其中取六位小數是3.141929，它是分子分母在1000以內最接近π值的分數．祖沖之究竟用什麼方法得出這一結果，現在無從考查．若設想他按劉徽的"割圓術"方法去求的話，就要計算到圓內接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多麼巨大的勞動啊！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之計算得出的密率， 外國數學家獲得同樣結果，已是一千多年以後的事了．為了紀念祖沖之的傑出貢獻，有些外國數學史家建議把π=叫做"祖率"．
祖沖之博覽當時的名家經典，堅持實事求是，他從親自測量計算的大量資料中對比分析，發現過去歷法的嚴重誤差，並勇於改進，在他三十三歲時編製成功了《大明歷》，開辟了歷法史的新紀元．
祖沖之還與他的兒子祖暅（也是我國著名的數學家）一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算．他們當時採用的一條原理是："冪勢既同，則積不容異．"意即，位於兩平行平面之間的兩個立體，被任一平行於這兩平面的平面所截，如果兩個截面的面積恆相等，則這兩個立體的體積相等．這一原理，在西文被稱為卡瓦列利原理， 但這是在祖氏以後一千多年才由卡氏發現的．為了紀念祖氏父子發現這一原理的重大貢獻，大家也稱這原理為"祖暅原理"．

數學之父——塞樂斯

塞樂斯生於公元前624年，是古希臘第一位聞名世界的大數學家。他原是一位很精明的商人，靠賣橄欖油積累了相當財富後，塞樂斯便專心從事科學研究和旅行。他勤奮好學，同時又不迷信古人，勇於探索，勇於創造，積極思考問題。他的家鄉離埃及不太遠，所以他常去埃及旅行。在那裡，塞樂斯認識了古埃及人在幾千年間積累的豐富數學知識。他游歷埃及時，曾用一種巧妙的方法算出了金字塔的高度，使古埃及國王阿美西斯欽羨不已。
塞樂斯的方法既巧妙又簡單：選一個天氣晴朗的日子，在金字塔邊豎立一根小木棍，然後觀察木棍陰影的長度變化，等到陰影長度恰好等於木棍長度時，趕緊測量金字塔影的長度，因為在這一時刻，金字塔的高度也恰好與塔影長度相等。也有人說，塞樂斯是利用棍影與塔影長度的比等於棍高與塔高的比算出金字塔高度的。如果是這樣的話，就要用到三角形對應邊成比例這個數學定理。塞樂斯自誇，說是他把這種方法教給了古埃及人但事實可能正好相反，應該是埃及人早就知道了類似的方法，但他們只滿足於知道怎樣去計算，卻沒有思考為什麼這樣算就能得到正確的答案。
在塞樂斯以前，人們在認識大自然時，只滿足於對各類事物提出怎麼樣的解釋，而塞樂斯的偉大之處，在於他不僅能作出怎麼樣的解釋，而且還加上了為什麼的科學問號。古代東方人民積累的數學知識，王要是一些由經驗中總結出來的計算公式。塞樂斯認為，這樣得到的計算公式，用在某個問題里可能是正確的，用在另一個問題里就不一定正確了，只有從理論上證明它們是普遍正確的以後，才能廣泛地運用它們去解決實際問題。在人類文化發展的初期，塞樂斯自覺地提出這樣的觀點，是難能可貴的。它賦予數學以特殊的科學意義，是數學發展史上一個巨大的飛躍。所以塞樂斯素有數學之父的尊稱，原因就在這里。 塞樂斯最先證明了如下的定理:
1.圓被任一直徑二等分。
2.等腰三角形的兩底角相等。
3.兩條直線相交，對頂角相等。
4.半圓的內接三角形，一定是直角三角形。
5.如果兩個三角形有一條邊以及這條邊上的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形全等。 這個定理也是塞樂斯最先發現並最先證明的，後人常稱之為塞樂斯定理。相傳塞樂斯證明這個定理後非常高興，宰了一頭公牛供奉神靈。後來，他還用這個定理算出了海上的船與陸地的距離。
塞樂斯對古希臘的哲學和天文學，也作出過開拓性的貢獻。歷史學家肯定地說，塞樂斯應當算是第一位天文學家，他經常仰卧觀察天上星座，探窺宇宙奧秘，他的女僕常戲稱，塞樂斯想知道遙遠的天空，卻忽略了眼前的美色。數學史家Herodotus層考據得知Hals戰後之時白天突然變成夜晚（其實是日蝕），而在此戰之前塞樂斯曾對Delians預言此事。

數學奇才——伽羅華

1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞爾湖附近躺著一個昏迷的年輕人，過路的農民從槍傷判斷他是決斗後受了重傷，就把這個不知名的青年抬到醫院。第二天早晨十點鍾，他就離開了人世。數學史上最年輕、最有創造性的頭腦停止了思考。人們說，他的死使數學發展推遲了好幾十年。這個青年就是死時不滿21歲的伽羅華。
伽羅華生於離巴黎不遠的一個小城鎮，父親是學校校長，還當過多年市長。家庭的影響使伽羅華一向勇往直前，無所畏懼。1823年，12歲的伽羅華離開雙親到巴黎求學，他不滿足呆板的課堂灌輸，自己去找最難的數學原著研究，一些老師也給他很大幫助。老師們對他的評價是「只宜在數學的尖端領域里工作」。
1828年，17歲的伽羅華開始研究方程論，創造了「置換群」的概念和方法，解決了幾百年來使人頭痛的方程來解決問題。伽羅華最重要的成就，是提出了「群」的概念，用群論改變了整個數學的面貌。1829年5月，伽羅華把他的成果寫成論文，遞交法國科學院，但伴隨著這篇傑作而來的是一連串的打擊和不幸。先是父親因不堪忍受教士誹謗而自殺，接著因他的答辯既簡捷又深奧令考官們不滿而未能進入著名的巴黎綜合技術學校。至於他的論文，先是被認為新概念太多又過於簡略而要求重寫；第二份推導詳盡的稿子又因審稿人病逝而下落不明；1831年1月提交的第三份論文又因評閱人不能全部看懂而被否定。
青年伽羅華一方面追求數學的真知，另一方面又獻身於追求社會正義的事業。在1831年法國的「七月革命」中，作為高等師范學校新生，伽羅華率領群眾走上街頭，抗議國王的專制統治，不幸被捕。在獄中，他染上了霍亂。即使在這樣的惡劣條件下，伽羅華仍然繼續搞他的數學研究，並且寫成了論文，准備出獄後發表。出獄不久，因為捲入一場無聊的「愛情」糾葛而決斗身亡。
他去世後16年，他留存下來的60頁手稿才得以發表，科學界才傳遍了他的名字。

歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞爾（Basel）城，13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導。 歐拉是科學史上最多產的一位傑出的 數學家歐拉
數學家，據統計他那不倦的一生，共寫下了886本書籍和論文，其中分析、代數、數論佔40%，幾何佔18%，物理和力學佔28%，天文學佔11%，彈道學、航海學、建築學等佔3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。19世紀偉大數學家高斯（Gauss，1777-1855年）曾說："研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法。" 過度的工作使他得了眼病，並且不幸右眼失明了，這時他才28歲。1741年歐拉應普魯士彼德烈大帝的邀請，到柏林擔任科學院物理數學所所長，直到1766年，後來在沙皇喀德林二世的誠懇敦聘下重回彼得堡，不料沒有多久，左眼視力衰退，最後完全失明。不幸的事情接踵而來，1771年彼得堡的大火災殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中，雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。 沉重的打擊，仍然沒有使歐拉倒下，他發誓要把損失奪回來。在他完全失明之前，還能朦朧地看見東西，他抓緊這最後的時刻，在一塊大黑板上疾書他發現的公式，然後口述其內容，由他的學生特別是大兒子A·歐拉（數學家和物理學家）筆錄。歐拉完全失明以後，仍然以驚人的毅力與黑暗搏鬥，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世，竟達17年之久。 歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復述年青時代筆記的內容，心算並不限於簡單的運算，高等數學一樣可以用心算去完成。 歐拉的風格是很高的，拉格朗從19歲起和歐拉通信，討論等周問題的一般解法，這引起變分法的誕生。等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得歐拉的熱烈贊揚，歐拉充沛的精力保持到最後一刻，1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯，那時天王星剛發現不久，歐拉寫出了計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑，喝完茶後，突然疾病發作，煙斗從手中落下，口裡喃喃地說：「我死了」。歐拉終於「停止了生命和計算」。

高斯

高斯[1]（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月 高斯
23日），生於不倫瑞克，卒於哥廷根，德國著名數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。 高斯的成就遍及數學的各個領域，在數論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均有開創性貢獻。他十分注重數學的應用，並且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重於用數學方法進行研究。 高斯雖然幼時家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助進學校受教育。1795～1798年在哥廷根大學學習，1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文台台長直至逝世。 1792年，15歲的高斯進入Braunschweig學院。在那裡，高斯開始對高等數學作研究。獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的「二次互反律」(Law of Quadratic Reciprocity)、「質數分布定理」(prime numer theorem)、及「算術幾何平均」(arithmetic-geometric mean)。 1795年高斯進入哥廷根大學。1796年，19歲的高斯得到了一個數學史上極重要的結果，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》。5年以後，高斯又證明了形如"Fermat素數"邊數的正多邊形可以由尺規作出。 1855年2月23日清晨，高斯於睡夢中去世。

牛頓

艾薩克·牛頓（Isaac Newton）是英國偉大的數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家，其研究領域包括了物理學、數學、天文學、神學、自然哲學和煉金術。牛頓的主要貢獻有發明了微積分，發現了萬有引力定律和經典力學，設計並實際製造了第一架反射式望遠鏡等等，被譽為人類歷史上最偉大，最有影響力的科學家。為了紀念牛頓在經典力學方面的傑出成就，「牛頓」後來成為衡量力的大小的物理單位。

近代科學的始祖：笛卡爾

勒奈·笛卡爾（Rene Descartes）,1596年3月31日生於法國都蘭城。笛卡爾是偉大的哲學家、物理學家、數學家、生理學家。解析幾何的創始人。笛卡兒是歐洲近代資產階級哲學的奠基人之一，黑格爾稱他為「現代哲學之父」。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義於一爐，在哲學史上產生了深遠的影響。同時，他又是一位勇於探索的科學家，他所建立的解析幾何在數學史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱17世紀的歐洲哲學界和科學界最有影響的巨匠之一，被譽為「近代科學的始祖」。

萊布尼茨

戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨，德國最重要的自然科學家、數學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一位舉世罕見的科學天才，和牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）同為微積分的創建人。他的研究成果還遍及力學、邏輯學、化學、地理學、解剖學、動物學、植物學、氣體學、航海學、地質學、語言學、法學、哲學、歷史、外交等等，「世界上沒有兩片完全相同的樹葉」就是出自他之口，他還是最早研究中國文化和中國哲學的德國人，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。

拉格朗日
約瑟夫·拉格朗日，全名約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法國數學家、物理學家。1736年1月25日生於義大利都靈，1813年4月10日卒於巴黎。他在數學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數學方面的成就最為突出。
近百餘年來，數學領域的許多新成就都可以直接或間接地溯源於拉格朗日的工作。所以他在數學史上被認為是對分析數學的發展產生全面影響的數學家之一。被譽為「歐洲最大的數學家」。

業余數學家之王——費馬

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業余之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發明者之一；對於微積分誕生的貢獻僅次於艾薩克·牛頓、戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨，概率論的主要創始人，以及獨承17世紀數論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學天才費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家之一。

華羅庚

華羅庚（1910.11.12—1985.6.12.），世界著名數學家，中國解析數論、矩陣幾何學、典型群、自安函數論等多方面研究的創始人和開拓者。國際上以華氏命名的數學科研成果就有「華氏定理」、「懷依—華不等式」、「華氏不等式」、「普勞威爾—加當華定理」、「華氏運算元」、「華—王方法」等。

劉徽

劉徽（生於公元250年左右），是中國數學史上一個非常偉大的數學家，他的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是中國最寶貴的數學遺產劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人．劉徽的一生是為數學刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。

畢達哥拉斯

畢達哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希臘數學家、哲學家。無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學!最早悟出萬事萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。 畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島(今希臘東部小島)，自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以後因為嚮往東方的智慧，經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及（有爭議），吸收了阿拉伯文明和印度文明(公元前480年)。

泰勒斯

古希臘時期的思想家、科學家、哲學家，希臘最早的哲學學派——米利都學派（也稱愛奧尼亞學派）的創始人。希臘七賢之一，西方思想史上第一個有記載有名字留下來的思想家。「科學和哲學之祖」，泰勒斯是古希臘及西方第一個自然科學家和哲學家。泰勒斯的學生有阿那克西曼德、阿那克西米尼等。
泰勒斯在數學方面劃時代的貢獻是引入了命題證明的思想。它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論，這在數學史上是一次不尋常的飛躍。在數學中引入邏輯證明，它的重要意義在於：保證了命題的正確性；揭示各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發展打下基礎；使數學命題具有充分的說服力，令人深信不疑。他曾發現了不少平面幾何學的定理，諸如：「直徑平分圓周」、「三角形兩等邊對等角」、「兩條直線相交、對頂角相等」、「三角形兩角及其夾邊已知，此三角形完全確定」、「半圓所對的圓周角是直角」等，這些定理雖然簡單，而且古埃及、古巴比倫人也許早已知道，但是，泰勒斯把它們整理成一般性的命題，論證了它們的嚴格性，並在實踐中廣泛應用。據說他可以利用一根標桿，測量、推算出金字塔的高度。據說，一年春天，泰勒斯來到埃及，人們想試探一下他的能力，就問他是否能解決這個難題。泰勒斯很有把握地說可以，但有一個條件——法老必須在場。第二天，法老如約而至，金字塔周圍也聚集了不少圍觀的老百姓。泰勒斯來到金字塔前，陽光把他的影子投在地面上。每過一會兒，他就讓別人測量他影子的長度，當測量值與他的身高完全吻合時，他立刻將大金字塔在地面的投影處作一記號，然後在丈量金字塔底到投影尖頂的距離。這樣，他就報出了金字塔確切的高度。在法老的請求下，他向大家講解了如何從「影長等於身長」推到「塔影等於塔高」的原理。也就是今天所說的相似三角形定理。在科學上，他倡導理性，不滿足於直觀的感性的特殊的認識，崇尚抽象的理性的一般的知識。譬如，等腰三角形的兩底角相等，並不是指我們所能畫出的、個別的等腰三角形，而應該是指「所有的」等腰三角形。這就需要論證、推理，才能確保數學命題的正確性，才能使數學具有理論上的嚴密性和應用上的廣泛性。泰勒斯的積極倡導，為畢達哥拉斯創立理性的數學奠定了基礎。

❸ 約翰·伯努利的主要貢獻

約翰首先使用「變數」這個詞，並且使函數概念公式化．1698年他從解析的角度提出了函數的概念：「由變數x和常數所構成的式子叫做x的函數」，記作X或ξ，1718年他又改用φx表示x的函數．記號f(x）是歐拉於1734年才引進的．約翰對一些具體函數進行過研究，除一般的代數函數外，他還引入了超越函數，即三角函數、對數函數、指數函數、變數的無理數次冪函數及某些用積分表達的函數．指出對數函數是指數函數的反函數．
約翰對微積分的貢獻主要是對積分法的發展．他曾採用變數替換來求某些函數的積分，在1699年的《教師學報》上給出了用變數替換計算積分
約翰還提出了現在微積分中的一個著名定理——洛比達定理（或法則），它是用導數求一個分式當分子和分母都趨於零（或無窮大）時的極限的．這個定理是由他的學生洛比達在1696年編寫的一本非常有影響的微積分教材《無窮小分析》（Analyse des infi－niment petits）中引入的，後稱為洛比達法則．這個法則實際上是1694年約翰給洛比達的信中告訴洛比達的．
1742年約翰出版了他的著作《積分學教程》（Lections mathe－maties de method integralium），在這本書中約翰匯集了他在微積分方面的研究成果，他不僅給出了各種不同的積分方法的例子，還給出了曲面的求積，曲線的求長和不同類型的微分方程的解法，使微積分更加系統化．這部著作成為微積分學發展中的一本重要著作，在當時對於推動微積分的發展和普及微積分的知識都起了積極的作用． 微積分的迅速發展和應用，必然導致了微分方程這門新學科的誕生．其實微分方程的發展是與微積分的發展交織在一起的．約翰在這方面也是一位開拓者．
1691年6月約翰在《教師學報》上發表文章，解決了他哥哥雅格布提出的「懸鏈線」問題，即「一根柔軟而不能伸長的繩子自由懸掛於兩固定點，求這繩所形成的曲線」．約翰設法列出了該問題的微分方程
其中s是由B點到任一點A之間的弧長，而a是A點處繩的張力在水平方向的分量與單位繩長重力的比值．通過解此方程就得到懸鏈線的方程
在此基礎上，約翰與雅格布還在1691—1692年間解決了懸掛著的變密度非彈性軟繩、等厚度的彈性繩、以及在每一點上的作用力都指向一個固定中心的細繩所形成的形狀的問題．
約翰和萊布尼茲在1694年引進了找等交曲線族的問題，即找一曲線或曲線族，使得與已知曲線族相交成給定的角．約翰稱等交曲線為軌線．他將這個問題作為向雅格布的一個挑戰．雅格布只解決了一些特殊的實例，約翰導出了一特殊曲線族的正交軌線的微分方程，並在1698年找到了它的解．這個問題後來由萊布尼茲與雅格布的學生J．赫曼（Jacob Hermann）得到較完美的解決．
在求解1695年雅格布給出的「伯努利方程」
y′+P(x)y+Q(x)yn=0
1727年，約翰在一篇論文中研究了弦振動問題，考慮一根無重量的彈性弦，在弦上等間隔地放置著n個等質量的質點，當放置6個質點時，從而證明了在任何時刻弦的形狀必定是正弦曲線．這一事實也出現在約翰給他的兒子丹尼爾的信中．約翰後來還解決了一個拋射體在阻力正比於速度的任何次冪的介質中運動的問題。 變分法的產生和發展，最初來自三大問題：最速降線問題，等周問題和測地線問題．約翰在這些問題的研究中都做出了貢獻．
約翰在1696年6月號的《教師學報》上提出了一個作為向雅格布和歐洲數學家挑戰的題目：設不在同一鉛直線上的兩點A與B，使一質點只在重力的影響下從A點滑向B點，求所需時間最短的途徑（摩擦和空氣阻力不計）．這就是最速降線問題．對這個問題，牛頓、萊布尼茲、洛比達、雅格布·伯努利和約翰·伯努利都得到了正確的解答．最速降線是一條聯結A，B兩點的上凹的旋輪線（又稱圓滾線或擺線）．他們的答案相同，而解法各異．除雅格布的解法外，其他人的解法都發表在1697年5月號的《教師學報》上．後來歐拉和J．L．拉格朗日（Lagrange）給出了這類問題的一般解法．在這個問題的解決過程中，顯示了約翰的才能，他是通過機靈的直覺解決這個問題的．他將這一機械問題，通過已有的費馬最小時間原理的分析轉化為光學問題，從光的折射定律推出了旋輪線的微分方程．雅格布從另一個角度給出了一個較麻煩但更一般的解法．伯努利兄弟對旋輪線是最速降線問題的解感到驚奇和振奮，約翰說：「我們之所以欽佩惠更斯，是因為他首先發現了在一個旋輪線上的大量質點下落，它們總是同時到達，與質點的起始位置無關緊要．然後，當你聽到我肯定說旋輪線就是惠更斯的等時曲線的時候，可能驚訝得簡直發呆．等時曲線是最速降線我們看得很清楚．」
在1697年5月號的《教師學報》上，雅格布·伯努利提出了一個含幾種情形的相當復雜的等周問題（即在給定周長的所有封閉曲線中求一條曲線，使得它所圍的面積最大），作為向約翰的挑戰．約翰開始過低地估計了這個問題的復雜性，沒有弄清這個變數問題的特性，所以在1697年和1701年兩次給出的解答都沒有得到成功，這受到了雅格布無情的批評．1700年5月雅格布在《教師學報》上發表了關於等周問題的解，指出這條曲線是一個圓．1718年，約翰繼續研究了等周問題，他沿著雅格布的思路，改進了雅格布的解法，在《科學院論文集》（Memoires de l』Académie dessciences）中約翰的論文給出了一個精確的、形式上漂亮的等周問題的解法．這篇論文包含了關於變分法的現代方法的核心，提出了變分法的一些概念，奠定了變分法的基礎．
約翰與他的哥哥雅格布還對測地線問題進行了研究．測地線是指曲面上兩點間長度最短的路徑．1697年，約翰在《博學雜志》（Journal des scavans）中，提出了在凸曲面上求兩點間的最短弧問題，1698年8月26日，他還寫信給萊布尼茲，談到他覺察到的測地線的特有的性質．1698年，雅格布解決了錐面和旋轉面上的測地線問題，1728年約翰又用雅格布的方法取得了一些進展，並且求得了另外幾類曲面的測地線．由於在最速降線問題、等周問題及測地線問題的研究中約翰的出色工作，使之成為變分法的先驅者之一．
此外，約翰在數學的其他領域，如解析幾何等學科中，也做過一些有益的工作．1715年約翰在給萊布尼茲的信中引進了現在通用的用三個坐標平面建立空間坐標系的方法，提出了用三個坐標變數的方程表示曲面的方法． 約翰不僅在純數學方面做了大量的工作，而且他在把微積分應用到物理學特別是力學和天體力學方面所作的著述，也有很高的價值．
約翰對一些力學上的概念作出了准確的解釋．1714年，他發表了《軍艦操作技術原理》（Theorie de la manoeuvre des vaisse-aux），在這本書中，他澄清了笛卡兒理論中關於力與「能量」（當時稱為vis viva）的混亂．1715年，他又提出了所謂虛擬（virtual）速度原理。
727年，他發表了論文「論運動的交換規律」（Discourssur leslois de la communication mouvement），在這篇論文中，討論了行星的橢圓軌道和行星軌道的傾斜度．但是在引力理論方面，由於他的偏見，不支持牛頓的理論，而且為笛卡兒的旋渦理論辯護，推遲了牛頓力學在歐洲大陸的傳播．
在實驗物理方面，他研究了光學現象，提出了焦散面理論．在1692年的《教師學報》中，他得到了某些焦散面方程，例如當一束平行光線投射到球面鏡上時，從球面上反射出來的光線的焦散面方程．他還把最速降線問題的研究擴展到了可以確定光線在各種不同密度的介質中所通過的路徑．他還研究了弦振動問題及水力學等問題，提出過二階甚至三階的方程．
約翰·伯努利是17—18世紀在歐洲有影響的數學家．約翰在他的科學生涯中，採用通信等方式與其他科學家建立了廣泛的聯系，交流學術成果，討論和辯論一些問題，這是他學術活動的一大特點．他與110位學者有通信聯系，進行學術討論的信件大約有2500封，這大大促進了學術的發展．約翰一生另一特點是致力於教學和培養人才的工作，他培養出一批出色的數學家，其中包括18世紀數學界中心人物歐拉，這不能不說是約翰·伯努利的功績之一．

❹ 雅格布·伯努利是誰有何作為

世界著名的大數學家歐拉與伯努利家族關系很好。伯努利家族在世界家族史上創了一項紀錄：數學世家。
在數學與物理數學領域中，伯努利隨處可見，比如說伯努利數列、伯努利—萊布尼茨詭論、伯努利方程。
數學史上，有一個歷經2000多年才被解決的難題，此題形式簡單：求自然數1，2，3，一直到幾的任意次方(自然數次方)之和。寫成公式就是求Sk1k+2k+3k+……+nk，K為自然數。
當K=1時，公元前6世紀的畢達哥拉斯學派求出了答案，即S1=1+2+3+……+n，可得S\-1=1/2(n+1)。後來，公元前200多年的阿基米德求出S2=2/6(n+1)(2n+1)。公元1世紀的尼扣馬克求出了S3，但S4直到1000年後才由公元11世紀時的阿拉伯數學家解出。
對於任意自然數K，徹底解決了這個問題的是17世紀的雅格布·伯努利。
雅格布·伯努利1655年出生，是伯努利家族的後裔。這個家族近一半人天資聰明，他們幾乎都是傑出的學者、教授、政治家和藝術家等等。這個家族在發展微積分理論上，起著突出的作用。他們為近代數學的發展做出了家族貢獻。
伯努利家族祖居荷蘭，他們信奉新教。因此受到天主教會的迫害。1583年，為了逃避天主教徒的大屠殺和殘酷迫害，伯努利家族遷居到瑞士，在著名的巴塞爾城住下來。剛搬到巴塞爾，便與當地一位富商聯上姻親，始祖尼古拉·伯努利與富商的女兒結了婚，後來便成了統治整個巴塞爾緘商人貴族集團的重要成員之一。
雅格布·伯努利是遷至巴塞爾的家族第二代人。他的兩個弟弟是尼古拉第一和約翰第一。他們三人在微積分上貢獻非凡，享有盛譽。
17世紀末，雅格布·伯努利發展了萊布尼茨的微積分學，創立了變分法，提出並解決了部分等周問題和切線問題。
據不完全統計，伯努利家族祖孫四、五代12人中，至少有10名數學家。
雅格布·伯努利還提出中等數學中有名的題目，若一個等差數列前兩項為正月，互不相同，而這兩項與一個等比數列的前兩項相同，則這個等差數列所有以後各項都小於相應的等比數列的各項。
雅格布·伯努利又叫雅格布第一。他自幼聰明勤奮，自學了笛卡爾的著作，後來結識了萊布尼茨、惠更斯等著名數學家。
伯努利家族的數學家從雅格布開始，大都擔任巴塞爾大學的數學教授。
1686年，雅格布成為伯努利家族第一位巴塞爾大學教授。他詳細徹底地研究了懸鏈線問題。
雅格布·伯努利證明，給定長度的繩子，如果兩頭懸掛它，懸鏈線的重心最低。現在的懸橋和高壓輸電線應用原理由此而來。
雅格布第一的墓誌銘上鐫刻著一反一正兩條對數螺線，這是他晚年的發現。對數螺線無論是放大還是縮小，只要它的位置有所改變，其形狀不會改變。所以碑文上被刻上了「盡管改變，我仍將要實現」的字樣。
雅格布·伯努利的弟弟尼古拉和約翰都是數學家。尼古拉後來在聖彼得堡從事數學研究。他去世時，葉卡傑琳娜女皇為他舉行了國葬。約翰於1705年接任兄長的巴塞爾大學數學教授的職務。歐拉就是受約翰的指導和教育而成長起來的。
約翰是微積分學上有著重要地位的數學家。牛頓晚年解答的那道著名的題就出自約翰之手。有關「最速降線」的解答，約翰、雅格布、萊布尼茨、洛比塔、牛頓等人做出了努力，成為早期變分學的研究者。
伯努利家族的幾位數學家均是先開始學習醫學或法學、哲學，都取得最高的學位，而後轉向自己興趣愛好之所在數學，他們家族是一個典型的自然科學學者型家族。
約翰的兒子是丹尼爾，他出生在荷蘭的格羅寧根。
1695年，萊布尼茨指出，力要區分「死力」和「活力」，「死力」是指靜力學的力，「活力」是指動力學的力。萊布尼茨的觀點有很大影響，丹尼爾·伯努利於1738年出版了《流體動力學》。書中將微積分的方法運用於流傳動力學和氣體動力學的研究之中，建立了一個理論性的體系，就是伯努利方程，也稱伯努利原理。
丹尼爾是數學物理方法的開拓者和奠基人。
丹尼爾的弟弟約翰第二及幾位堂兄弟，也是數學家。
伯努利家族是瑞典乃至歐洲的一個著名望族。後來，他們在彼得堡科學院工作過，也推薦了歐拉。
虛功原理就是約翰第二與丹尼爾討論中提出的，記載於父子倆的信件中。

❺ 雅格布伯努利在數學方面提出了什麼原理

世界著名的大數學家歐拉與伯努利家族關系很好。伯努利家族在世界家族史上創了一項紀錄：數學世家。

在數學與物理數學領域中，伯努利隨處可見，比如說伯努利數列、伯努利—萊布尼茨詭論、伯努利方程。

數學史上，有一個歷經2000多年才被解決的難題，此題形式簡單：求自然數1，2，3，一直到幾的任意次方（自然數次方）之和。寫成公式就是求Sk1k+2k+3k+……+nk，K為自然數。

當K=1時，公元前6世紀的畢達哥拉斯學派求出了答案，即S1=1+2+3+……+n，可得S1=1/2（n+1）。後來，公元前200多年的阿基米德求出S2=2/6（n+1）（2n+1）。公元1世紀的尼扣馬克求出了S3，但S4直到1000年後才由公元11世紀時的阿拉伯數學家解出。

對於任意自然數K，徹底解決了這個問題的是17世紀的雅格布?伯努利。

雅格布?伯努利1655年出生，是伯努利家族的後裔。這個家族近一半人天資聰明，他們幾乎都是傑出的學者、教授、政治家和藝術家等等。這個家族在發展微積分理論上，起著突出的作用。他們為近代數學的發展做出了家族貢獻。

伯努利家族祖居荷蘭，他們信奉新教。因此受到天主教會的迫害。1583年，為了逃避天主教徒的大屠殺和殘酷迫害，伯努利家族遷居到瑞士，在著名的巴塞爾城住下來。剛搬到巴塞爾，便與當地一位富商聯上姻親，始祖尼古拉?伯努利與富商的女兒結了婚，後來便成了統治整個巴塞爾緘商人貴族集團的重要成員之一。

雅格布?伯努利是遷至巴塞爾的家族第二代人。他的兩個弟弟是尼古拉第一和約翰第一。他們三人在微積分上貢獻非凡，享有盛譽。

17世紀末，雅格布?伯努利發展了萊布尼茨的微積分學，創立了變分法，提出並解決了部分等周問題和切線問題。

據不完全統計，伯努利家族祖孫四、五代12人中，至少有10名數學家。

雅格布?伯努利還提出中等數學中有名的題目，若一個等差數列前兩項為正月，互不相同，而這兩項與一個等比數列的前兩項相同，則這個等差數列所有以後各項都小於相應的等比數列的各項。

雅格布?伯努利又叫雅格布第一。他自幼聰明勤奮，自學了笛卡爾的著作，後來結識了萊布尼茨、惠更斯等著名數學家。

伯努利家族的數學家從雅格布開始，大都擔任巴塞爾大學的數學教授。

1686年，雅格布成為伯努利家族第一位巴塞爾大學教授。他詳細徹底地研究了懸鏈線問題。

雅格布?伯努利證明，給定長度的繩子，如果兩頭懸掛它，懸鏈線的重心最低。現在的懸橋和高壓輸電線應用原理由此而來。

雅格布第一的墓誌銘上鐫刻著一反一正兩條對數螺線，這是他晚年的發現。對數螺線無論是放大還是縮小，只要它的位置有所改變，其形狀不會改變。所以碑文上被刻上了「盡管改變，我仍將要實現」的字樣。

雅格布?伯努利的弟弟尼古拉和約翰都是數學家。尼古拉後來在聖彼得堡從事數學研究。他去世時，葉卡傑琳娜女皇為他舉行了國葬。約翰於1705年接任兄長的巴塞爾大學數學教授的職務。歐拉就是受約翰的指導和教育而成長起來的。

約翰是微積分學上有著重要地位的數學家。牛頓晚年解答的那道著名的題就出自約翰之手。有關「最速降線」的解答，約翰、雅格布、萊布尼茨、洛比塔、牛頓等人做出了努力，成為早期變分學的研究者。

伯努利家族的幾位數學家均是先開始學習醫學或法學、哲學，都取得最高的學位，而後轉向自己興趣愛好之所在數學，他們家族是一個典型的自然科學學者型家族。

約翰的兒子是丹尼爾，他出生在荷蘭的格羅寧根。

1695年，萊布尼茨指出，力要區分「死力」和「活力」，「死力」是指靜力學的力，「活力」是指動力學的力。萊布尼茨的觀點有很大影響，丹尼爾?伯努利於1738年出版了《流體動力學》。書中將微積分的方法運用於流傳動力學和氣體動力學的研究之中，建立了一個理論性的體系，就是伯努利方程，也稱伯努利原理。

丹尼爾是數學物理方法的開拓者和奠基人。

丹尼爾的弟弟約翰第二及幾位堂兄弟，也是數學家。

伯努利家族是瑞典乃至歐洲的一個著名望族。後來，他們在彼得堡科學院工作過，也推薦了歐拉。

虛功原理就是約翰第二與丹尼爾討論中提出的，記載於父子倆的信件中。

❻ 歐拉對數學的貢獻有哪些﹖

1．數論
歐拉的一系列成奠定作為數學中一個獨立分支的數論的基礎。歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關。歐拉在數論中最重要的發現是二次反律。
2．代數
歐拉《代數學入門》一書，是16世紀中期開始發展的代數學的一個系統總結。
3．無窮級數
歐拉的《微分學原理》（Introctio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部論著，他第一個引進差分運算元。歐拉在大量地應用冪級數時，還引進了新的極其重要的傅里葉三角級數類。1777年，為了把一個給定函數展成在（0，「180」）區間上的餘弦級數，歐拉又推出了傅里葉系數公式。歐拉還把函數展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在後來的解析函數一般理論中佔有重要的地位。他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義。他還提出了兩種求和法。這些豐富的思想，對19世紀末，20世紀初發散級數理論中的兩個主題，即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響。
4．函數概念

歐拉寫的數學名著《無窮分析引論》
18世紀中葉，分析學領域有許多新的發現，其中不少是歐拉自已的工作。它們系統地概括在歐拉的《無窮分析引論》、《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中。這三部書是分析學發展的里程碑四式的著作。
5．初等函數
《無窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函數論。其中，第八章研究圓函數，第一次闡述了三角函數的解析理論，並且給出了棣莫弗（de Moivre）公式的一個推導。歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數函數和對數函數，他給出著名的表達式——歐拉恆等式（表達式中用

表示趨向無窮大的數；1777年後，歐拉用

表示虛數單位 ），但僅考慮了正自變數的對數函數。1751年，歐拉發表了完備的復數理論。
6．單復變函數
通過對初等函數的研究，達朗貝爾和歐拉在1747－1751年間先後得到了（用現代數語表達的）復數域關於代數運算和超越運算封閉的結論。他們兩人還在分析函數的一般理論方面取得了最初的進展。

數學中最美的公式——歐拉公式[8]
7．微積分學
歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方法作了最詳盡、最有系統的解說，他以其眾多的發現豐富可無窮小分析的這兩個分支。
8．微分方程
《積分原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏方程理論方面的眾多發現。他和其他數學家在解決力學、物理問題的過程中創立了微分方程這門學科。
在常微分方程方面，歐拉在1743年發表的論文中，用代換給出了任意階常系數線性齊次方程的古典解法，最早引人了「通解」和「特解」的名詞。1753年，他又發表了常系數非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數逐次降低。
歐拉在18世紀30年代就開始了對偏微分程的研究。他在這方面最重要的工作，是關於二階線性方程的。
9．變分法
1734年，他推廣了最速降線問題。然後，著手尋找關於這種問題的更一般方法。1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》一書出版。這是變分學史上的里程碑，它標志著變分法作為一個新的數學分析的誕生。
10．幾何學

歐拉解決了哥尼斯堡七橋問題，開創了圖論
坐標幾何方面，歐拉的主要貢獻是第一次在相應的變換里應用歐拉角，徹底地研究了二次曲面的一般方程。
微分幾何方面，歐拉於1736年首先引進了平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何研究。1760年，歐拉在《關於曲面上曲線的研究》中建立了曲面的理論。這本著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，是微分幾何發展史上的里程碑。
歐拉對拓撲學的研究也是具有第一流的水平。1735年，歐拉用簡化（或理想化）的表示法解決了著名的歌尼斯堡七橋游戲問題，得到了具有拓撲意義的河－橋圖的判斷法則，即現今網路論中的歐拉定理。[9]
其他貢獻
歐拉的一生，是為數學發展而奮斗的一生，他那傑出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學道德，永遠是值得我們學習的．歐拉還創設了許多數學符號，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．[1]

歐拉線
歐拉和丹尼爾·伯努利一起，建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長桿上的力矩正比於物質的彈性和通過質心軸和垂直於兩者的截面的慣性動量。
他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學里的歐拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究沖擊波。
他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人，這些計演算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。
在數論里他引入了歐拉函數。
自然數的歐拉函數被定義為小於並且與互質的自然數的個數。例如φ（8）=4，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。

歐拉圓
在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼演算法也正是以歐拉函數為基礎的。
在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。
他在1735年由於解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲。
歐拉將虛數的冪定義為歐拉公式，它成為指數函數的中心。
在初等分析中，從本質上來說，要麼是指數函數的變種，要麼是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為「最卓越的數學公式'」的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恆等式）。
在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數。他是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效。
在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部"為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的"著作。
在經濟學方面，歐拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在規模報酬不變的情形下，總收入和產出將完全耗盡。

歐拉的發明——數獨
在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單聯通多面體的邊、頂點和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之間存在的關系。
在1736年，歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法 》，對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。
數獨是歐拉發明的拉丁方塊的概念，在當時並不流行，直到20世紀由平凡日本上班族鍛治真起，帶起流行。[7]
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❼ 雅格布·伯努利在數學上的成就是什麼

世界著名的大數學家歐拉與伯努利家族關系很好。伯努利家族在世界家族史上創了一項紀錄：數學世家。

在數學與物理數學領域中，伯努利隨處可見，比如說伯努利數列、伯努利—萊布尼茨詭論、伯努利方程。

數學史上，有一個歷經2000多年才被解決的難題，此題形式簡單：求自然數1，2，3，一直到幾的任意次方(自然數次方)之和。寫成公式就是求Sk1k+2k+3k+……+nk，K為自然數。

當K=1時，公元前6世紀的畢達哥拉斯學派求出了答案，即S1=1+2+3+……+n，可得S-1=1/2(n+1)。後來，公元前200多年的阿基米德求出S2=2/6(n+1)(2n+1)。公元1世紀的尼扣馬克求出了S3，但S4直到1000年後才由公元11世紀時的阿拉伯數學家解出。

對於任意自然數K，徹底解決了這個問題的是17世紀的雅格布·伯努利。

雅格布·伯努利1655年出生，是伯努利家族的後裔。這個家族近一半人天資聰明，他們幾乎都是傑出的學者、教授、政治家和藝術家等等。這個家族在發展微積分理論上，起著突出的作用。他們為近代數學的發展做出了家族貢獻。

伯努利家族祖居荷蘭，他們信奉新教。因此受到天主教會的迫害。1583年，為了逃避天主教徒的大屠殺和殘酷迫害，伯努利家族遷居到瑞士，在著名的巴塞爾城住下來。剛搬到巴塞爾，便與當地一位富商聯上姻親，始祖尼古拉·伯努利與富商的女兒結了婚，後來便成了統治整個巴塞爾緘商人貴族集團的重要成員之一。

雅格布·伯努利是遷至巴塞爾的家族第二代人。他的兩個弟弟是尼古拉第一和約翰第一。他們三人在微積分上貢獻非凡，享有盛譽。17世紀末，雅格布·伯努利發展了萊布尼茨的微積分學，創立了變分法，提出並解決了部分等周問題和切線問題。

據不完全統計，伯努利家族祖孫四、五代12人中，至少有10名數學家。

雅格布·伯努利還提出中等數學中有名的題目，若一個等差數列前兩項為正月。互不相同，而這兩項與一個等比數列的前兩項相同，則這個等差數列所有以後各項都小於相應的等比數列的各項。

雅格布·伯努利又叫雅格布第一。他自幼聰明勤奮，自學了笛卡爾的著作，後來結識了萊布尼茨、惠更斯等著名數學家。

伯努利家族的數學家從雅格布開始，大都擔任巴塞爾大學的數學教授。1686年，雅格布成為伯努利家族第一位巴塞爾大學教授。他詳細徹底地研究了懸鏈線問題。雅格布·伯努利證明，給定長度的繩子，如果兩頭懸掛它，懸鏈線的重心最低。現在的懸橋和高壓輸電線應用原理由此而來。

雅格布第一的墓誌銘上鐫刻著一反一正兩條對數螺線，這是他晚年的發現。對數螺線無論是放大還是縮小，只要它的位置有所改變，其形狀不會改變。所以碑文上被刻上了「盡管改變，我仍將要實現」的字樣。

雅格布·伯努利的弟弟尼古拉和約翰都是數學家。尼古拉後來在聖彼得堡從事數學研究。他去世時，葉卡傑琳娜女皇為他舉行了國葬。約翰於1705年接任兄長的巴塞爾大學數學教授的職務。歐拉就是受約翰的指導和教育而成長起來的。

約翰是微積分學上有著重要地位的數學家。牛頓晚年解答的那道著名的題就出自約翰之手。有關「最速降線」的解答，約翰、雅格布、萊布尼茨、洛比塔、牛頓等人做出了努力，成為早期變分學的研究者。

伯努利家族的幾位數學家均是先開始學習醫學或法學、哲學，都取得最高的學位，而後轉向自己興趣愛好之所在數學，他們家族是一個典型的自然科學學者型家族。

約翰的兒子是丹尼爾，他出生在荷蘭的格羅寧根。

1695年，萊布尼茨指出，力要區分「死力」和「活力」，「死力」是指靜力學的力，「活力」是指動力學的力。萊布尼茨的觀點有很大影響，丹尼爾·伯努利於1738年出版了《流體動力學》。書中將微積分的方法運用於流傳動力學和氣體動力學的研究之中，建立了一個理論性的體系，就是伯努利方程，也稱伯努利原理。

丹尼爾是數學物理方法的開拓者和奠基人。

丹尼爾的弟弟約翰第二及幾位堂兄弟，也是數學家。

伯努利家族是瑞典乃至歐洲的一個著名望族。後來，他們在彼得堡科學院工作過，也推薦了歐拉。

虛功原理就是約翰第二與丹尼爾討論中提出的，記載於父子倆的信件中。

❽ 艾薩克•牛頓對數學分析有哪些貢獻

艾薩克·牛頓（1643年1月4日—1727年3月31日）爵士，英國皇家學會會長，英國著名的物理學家，網路全書式的「全才」，著有《自然哲學的數學原理》、《光學》。

他在1687年發表的論文《自然定律》里，對萬有引力和三大運動定律進行了描述。這些描述奠定了此後三個世紀里物理世界的科學觀點，並成為了現代工程學的基礎。他通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，並推動了科學革命。

在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恆的原理，提出牛頓運動定律。在光學上，他發明了反射望遠鏡，並基於對三棱鏡將白光發散成可見光譜的觀察，發展出了顏色理論。他還系統地表述了冷卻定律，並研究了音速。

在數學上，牛頓與戈特弗里德·威廉·萊布尼茨分享了發展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了「牛頓法」以趨近函數的零點，並為冪級數的研究做出了貢獻。

在經濟學上，牛頓提出金本位制度。

❾ 雅各布·伯努利的主要成就

雅各布 · 貝努利在數學上的貢獻涉及微積分、微分方程、無窮級數求和、解析幾何、概率論以及變分法等領域。 雅各布 · 伯努利對數學的最突出的貢獻是在概率論和變分法這兩個領域中。 他在概率論方面的工作成果包含在他的論文《推測的藝術》之中。在這篇著作里，他對概率論作出了若乾重要的貢獻，其中包括現今稱為大數定律的發現。該論文也記載了雅各布 · 伯努利論述排列組合的工作。貝努利家族中的人總是喜歡在學術問題上爭執抗衡。在尋找最速降線，即在重力的單獨作用下一質點通過兩定點的最短路徑的問題上，雅各布 · 伯努利和他的弟弟約翰 · 伯努利就曾有過激烈的爭論。而這一場嚴肅辯論的結果就誕生了變分法。除此之外，雅各布 · 伯努利在懸鏈線的研究中也作出過重要貢獻，他還把這方面的成果用到了橋梁的設計之中。1694年他首次給出直角坐標和極坐標下的曲率半徑公式，這也是系統地使用極坐標的開始。雅各布 · 伯努利和他弟弟約翰 · 伯努利在發展和傳播當時剛由牛頓(Newton)和萊布尼茨(Leibniz)發明的微積分學中起了重要的作用，對微積分的創建都有重要貢獻。雅各布 · 伯努利對微積分學的特殊貢獻在於，他指明了應當怎樣把這一技術運用到應用數學的廣闊領域中去， 「積分」一詞也是1690年他首先使用的。雅各布 · 伯努利一生最有創造力的著作就是 1713年出版的《猜度術》，是組合數學及概率論史的一件大事，他在這部著作中給出的伯努利數有很多應用.。提出了概率論中的「伯努利定理」，這是大數定律的最早形式. 由於伯努利兄弟在科學問題上的過於激烈的爭論，致使雙方的家庭也被捲入，以至於雅各布 · 伯努利死後，他的《猜度術》手稿被他的遺孀和兒子在外藏匿多年，直到1713年才得以出版，幾乎使這部經典著作的價值受到損害.。由於「大數定律」的極端重要性，1913年12月彼得堡科學院曾舉行慶祝大會，紀念「大數定律」誕生200周年。

❿ 伯努利怎樣成為數學家的

伯努利，D.
伯努利，Daniel Bernoulli (1700～1782)瑞士物理學家、數學家、醫學家。1700年2月8日生於荷蘭格羅寧根。著名的伯努利家族中最傑出的一位。他是數學家J.伯努利的次子，和他的父輩一樣，違背家長要他經商的願望,堅持學醫,曾是一位外科名醫。由於自幼受父叔兄弟學術思想的熏陶，最後還是轉向研究數學和力學。他和L.歐拉曾在聖彼得堡科學院共事，是親密的朋友，也是競爭的對手。他們都曾以25年中獲得10次法蘭西科學院獎而聞名於世。伯努利在25歲時(1725)就應聘為聖彼得堡科學院的數學院士。8年後回到瑞士的巴塞爾，先任解剖學教授，後任動力學教授，最後任物理學教授。他離開聖彼得堡（今列寧格勒）之後，就開始了與歐拉之間最受人稱頌的科學通信。他向歐拉提供最重要的科學信息，歐拉運用傑出的分析才能和豐富的工作經驗，給予最迅速的回助。他們先後通信40年，最重要的通信是在1734～1750年。他們的通信錄是了解伯努利的重要資料。
伯努利的貢獻涉及到醫學、力學、數學，而以流體動力學為最著。流體動力學這個學科就是由他命名的。他著有13章的《流體動力學》。他用流體的壓強、密度和流速作為描寫流體運動的基本物理量，寫出了流體動力學的基本方程，後人稱之為伯努利方程；提出了「流速增加、壓強降低」的伯努利原理，他還提出把氣壓看成氣體分子對容器壁表面撞擊而生的效應，建立了分子運動論和熱學的基本概念，並指出了壓強和分子運動隨溫度增高而加強的事實。從1728年起，他和歐拉還共同研究柔韌而有彈性鏈和梁的力學問題，包括這些物體的平衡曲線，還研究了弦和空氣柱的振動。他曾因天文測量、地球引力、潮汐、磁學、洋流、船體航行的穩定、土星和木星的不規則運動和振動理論等成果而獲獎。他在概率論方面也做了大量而重要的工作。他幾乎對當時一切科學的第一線問題特別是航海中的問題都有重要貢獻。他的父親曾和他合作，分享有關行星軌道研究的獎勵。1782年3月17日在巴塞爾逝世。