什麼環不含單位元數學

㈠ 數學中，群、環、域、集分別是什麼它們的范圍不同嗎

群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。

環(Ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究對象。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。

域：定義域，值域，數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。

集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是「確定的一堆東西」，集合里的「東西」則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。

范圍：

群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為系數的多項式（可以驗證也是環），當然R也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：整數，有理數，實數，復數。

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。

另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。 例整數集上加法和乘法，單位元0,1。

(1)什麼環不含單位元數學擴展閱讀

群、環、域代數結構：

群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關系的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學對象的多樣性，有不同的類型的集。

如群表示的集為G×G.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為F×F→F，F×V→V，V×V→V，向量空間涉及域F中的運算，域F中的元對V中元的運算，V中元的運算.引入基本概念——「合成」(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的「合成」有F中的元對V中元的作用乘法，V中元的加法運算)，並且，要求「合成」適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。

事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關系來定義，即用集合及關系的語言來表述。

做為基本概念，若僅僅著眼於「合成」(即「運算」)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。

㈡ 請用通俗的語言解釋一下數學中群，環，域的概念

群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質
群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元）
例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數，
正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數
環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫
例整數集上加法和乘法
域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元
例整數集上加法和乘法，單位元0,1

㈢ 一個環未必有一個單位元怎麼解釋

環的單位元的定義是：一個環R的一個元素e 叫做一個單位元，假如對於R的任意元素a都有ea=ae=a

因為環的乘法不一定滿足交換律，所以可能會出現僅滿足ea=a或僅滿足ae=a的情況，這種情況下就沒有單位元。

㈣ 抽象代數：域F上的一元多項式環F［x］是有單位元的環嗎為什麼

在Z[x]中x生成的理想(x)就是所有形如xf(x)的多項式 (f(x) ∈ Z[x]),
可進一步描述為常數項為0的整系數多項式.
考慮環同態φ: Z[x] → Z, φ(f(x)) = f(0), 易見φ是一個滿同態, 即im(φ) = Z.
又可知ker(φ) = (x), 由同態基本定理即得Z[x]/(x)與Z同構.

㈤ 設R為交換環（不一定有乘法單位元）,若R有零因子但只有有限個零因子,證明:R是一個有限環

用反證法, 假設R是無限環, 但存在並只有有限個零因子.
設a是R中一個零因子, 則有a ≠ 0, 並存在b ≠ 0使ab = 0.
考慮映射φ: R → R, φ(x) = xa, 可知φ是R作為加法群到自身的同態.
易見, ker(φ)中的非零元都是零因子, 因此ker(φ)是有限群.
而R是無限群, 由同態基本定理, im(φ)同構於R/ker(φ)是無限集.
即當x取遍R中的元素, xa有無限種不同的取值.
但(xa)b = x(ab) = 0, 可知xa的非零取值都是R中的零因子.
於是R中有無限個零因子, 矛盾.
因此題目所述的環只能為有限環.

㈥ 數學上的群、域、環等有什麼區別和聯系

1、群(group)是兩個元素作二元運算得到的一個新元素，需要滿足群公理(group axioms)，即：

①封閉性：a ∗ b is another element in the set

②結合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

③單位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a

④逆 元：加法的逆元為-a，乘法的逆元為倒數1/a，… (對於所有元素)

⑤如整數集合，二次元運算為加法就是一個群(封閉性是顯然的，加法滿足結合律，單位元為0，逆元取相反數-a)。

2、環(ring)在阿貝爾群(也叫交換群)的基礎上，添加一種二元運算·(雖叫乘法，但不同於初等代數的乘法)。一個代數結構是環(R, +, ·)，需要滿足環公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。環公理如下：

①(R, +)是交換群

封閉性：a + b is another element in the set

結合律：(a + b) + c = a + (b + c)

單位元：加法的單位元為0，a + 0 = a and 0 + a = a

逆 元：加法的逆元為-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (對於所有元素)

交換律：a + b = b + a

②(R, ·)是幺半群

結合律：(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

單位元：乘法的單位元為1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a

③乘法對加法滿足分配律Multiplication distributes over addition

3、域(Field)在交換環的基礎上，還增加了二元運算除法，要求元素(除零以外)可以作除法運算，即每個非零的元素都要有乘法逆元。

由此可見，域是一種可以進行加減乘除(除0以外)的代數結構，是數域與四則運算的推廣。整數集合，不存在乘法逆元(1/3不是整數)，所以整數集合不是域。有理數、實數、復數可以形成域，分別叫有理數域、實數域、復數域。

㈦ 什麼是數學裡面的環

環的定義
一個環是由一個集合R和兩種二元運算 + 和 · 組成，這兩種運算可稱為加法和乘法。一個環必須遵守以下規律：

(R, +)形成一個可交換群，其單位元稱作零元素，記作『0』。即：
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 滿足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)遵守：
1·a = a·1 = a （僅限於含幺環）
(a·b)·c = a·(b·c)
乘法關於加法滿足分配律：
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注意乘法中的·常常被省略，所以 a·b 可簡寫為 ab。 此外，乘法是比加法優先的運算，所以 a + bc 其實是 a + (b·c)。

幾類特殊的環
含單位元環：
在環的定義中，對於乘法單位(1)的存在並沒有做明確的要求。如果一個環R對於乘法有單位元存在(稱幺元素或幺元或單位元，記作『1』)，則這個環稱為含幺環或含單位元環。
交換環：
雖然環的定義要求加法具有交換律，但並沒有要求乘法也具有交換律。如果我們上面定義的乘法具有交換性：ab=ba，那麼這個環就稱為交換環。
除環：
主條目：除環
如果含單位元環R去掉關於加法的單位元0後，對於乘法形成一個群（一般來說環R對乘法形成半群），那麼這個環就稱為除環。除環不一定是交換環，比如四元數環。交換的除環就是域。
無零因子環：
一般來說環R對乘法形成半群，但R\{0}對乘法不一定形成半群。因為如果有兩個非零元素的乘積是零，R\{0}對乘法就不是封閉的。如果R\{0}對乘法仍然形成半群，那麼這個環就稱為無零因子環。
這個定義實際上等價於任意兩個非零元素的乘積非零。
整環：
主條目：整環
整環是含單位元的無零因子的交換環。例如多項式環和整數環。
主理想環：
主條目：主理想環
每一個理想都是主理想的整環稱為主理想環。
唯一分解環：
主條目：唯一分解環
如果一個整環R中每一個非零非可逆元素都能唯一分解，稱R是唯一分解環.
商環：
主條目：商環
素環：
主條目：素環
例子：
整數環是一個典型的交換且含單位環。
有理數環，實數域，復數域都是交換的含單位元環。
所有項的系數構成一個環A的多項式全體A[X]是一個環。稱為A上的多項式環。
n為正整數，所有n×n的實數矩陣構成一個環。
環的理想
主條目：理想
右理想： 令R是環， 那麼環R與其加法 + 構成阿貝爾群。令I是R的子集。那麼I稱為R的右理想 如果以下條件成立：

(I, +) 構成 (R, +) 的子群。
對於任意 和 有 。
左理想： 類似地，I稱為R的左理想如果以下條件成立：

(I, +) 構成 (R, +) 的子群。
對於任意 和 有 。
如果I既是右理想，也是左理想，那麼I就叫做雙邊理想，簡稱理想。

例子：

整數環的理想：整數環Z只有形如的nZ理想。

除環的理想：除環中的(左或右)理想只有平凡(左或右)理想。
一般性質：

定理1 在環中，(左或右)理想的和仍然是(左或右)理想。

定理2 在環中，(左或右)理想的交仍然是(左或右)理想。
對於R的兩個理想A，B，記。按定義不難證明下面的基本性質：

(1) 如果A是R的左理想，則AB是R的左理想；
(2) 如果B是R的右理想，則AB是R的右理想；
(3) 如果A是R的左理想，B是R的右理想，則AB是R的雙邊理想。
如果A環R的一個非空子集，令<A>=RA+AR+RAR+ZA，則<A>是環R的理想，這個理想稱為R中由A生成的理想, A稱為生成元集。同群的生成子群類似，<A>是R中所有包含A的理想的交,因此是R中包含A的最小理想。下面是生成理想的幾種特殊情況：
(1) 當是交換環時，<A>=RA+ZA
(2) 當是有單位元1的環時，<A>=RAR
(3) 當是有單位元交換環時，<A>=RA
主理想：如果是個n元集合，則記，稱是有限生成理想.特別當是單元素集時，稱為環R的主理想。注意作為生成元一般不是唯一的，如。的一般形式是：

性質：
幾類特殊環中的主理想：
(1) 如果是交換環，則
(2) 如果是有單位元的環，則
(3) 如果是有單位元的交換環，則
真理想： 如果I是R的真子集，I就叫做R的真理想。
極大理想： 一個真理想I被稱為R的極大理想，如果沒有其他真理想J,使得I是J的真子集。
極大左理想：設 I 是環R的左理想，如果並且在 I 與R之間不存在真的左理想，則稱 I 是環R的一個極大左理想。極大左理想與極大理想之間有如下關系：
(1)如果 I 是極大左理想，又是雙邊理想，則 I 是極大理想。
(2)極大理想未必是極大左理想。
除環的零理想是極大理想。在有單位元的環中，如果零理想是其極大理想,稱這種環是單環。除環是單環，域也是單環。反之則不對，即存在不是除環的單環。
定理1 在整數環Z中，由p生成的主理想是極大理想的充分必要條件是：p是素數。
定理2 設R是有單位元1的交換環。理想 I 是R的極大理想的充分且必要條件是：商環R / I是域。
定理3 設 I 是環R的左理想，則 I 是R的極大左理想的充分必要條件是對R的任意一個不含在 I 中的左理想J都有I + J = R。
素理想：真理想I被稱為R的素理想，如果對於R的任意理想A，B， 可推出 或 。
素環：如果環R的零理想是素理想，則稱R是素環(或質環)。無零因子環是素環。在交換環R中，真理想 I 是素理想的充分且必要條件是：R / I是素環.
半素理想：設 I 是環R的理想，並且。如果對任意理想P，由，可得，則稱 I 是環R的半素理想。
顯然，半素理想是一類比素理想相對較弱條件的理想，因為素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。