數學中有哪些空間

A. 數學中4維空間是什麼樣的

的確，在這里四維空間是數學概念，意思是該空間里的物體可以向四個垂直方向運動

另外，時間不是四維空間的第四維，它是一個維度，但不是空間維——因此四維空間也不是什麼動態空間，二三四樓的全錯了

其實這東西不是一天兩天能想明白的，如果有興趣的話，給點耐心

B. 四維空間指的是什麼在高等數學中有怎樣的運用

四維空間是一個時空的概念。簡單來說，任何具有四維的空間都可以被稱為「四維空間」。不過，日常生活所提及的「四維空間」，大多數都是指愛因斯坦在他的《廣義相對論》和《狹義相對論》中提及的「四維時空」概念。根據愛因斯坦的概念，我們的宇宙是由時間和空間構成。時空的關系，是在空間的架構上比普通三維空間的長、寬、高三條軸外又多了一條時間軸，而這條時間的軸是一條虛數值的軸。在高數中，無論是怎樣的一個高維空間，它內部存儲的依然是量與量之間的關系。因此我們同樣可以根據研究問題的需要，對其進行「降維」。在實際操作中，我們的做法是：取任意兩個維度，形成一個二維平面，然後進行處理。這種思想跟多維數據集（MMD）的處理思想是一致的，這樣形成的一個二維平面其實就是我們所說的視圖。

C. 在數學時間的推導上，四維空間的封閉指的是什麼

目前，在科學界中，對於在數學時間的推導上，認為四維空間指的是克萊因瓶。通常來將，克萊因瓶就是指一個平面，這個平面沒有內部和外部之分，克萊因瓶就是一個只有外沒有內的東西，任何東西都只在這個平面的外部。因為克萊因瓶是無定向性的，所以也就沒有內部外部之分的拓撲空間，克萊因瓶非常特殊。

間的物體相對於二維空間的物體。人類對於四維空間只能用人腦進行假設推理等手段去理解它。

根據愛因斯坦的相對論中的知識，可以知道，四維空間起始也就是，三維空間的全部加上時間，就等於四維空間。因為人類生活在地球上，所以人類的時間過得非常快，以至於人類感受不到四維空間。但是只要人類通過飛船等工具上太空就可以感受到達到光速的時間，通過時間快慢的對比，於是那時候人類就可以感知到四維空間了。

D. 數學中有n維空間的明確的定義嗎如果有是什麼n維的定義是猜想還是有理論的支持，或者得到了應用。

數學中確實有n維空間的定義。但n維空間有很多種，常見的是線性代數中的n維線性空間，非空集合V在數域F上定義加法和數乘，並滿足8條性質，那麼V就稱作數域F上的線性空間。如果V的極大無關組含n個向量，那麼V就是n維線性空間。
例如，R^n就是n維實坐標空間，在此基礎上定義內積就成了n維歐式空間。定義范數之後，就有了（n維）賦范線性空間 ，如果這些范數完備，那就是Banach空間。定義內積就有了內積空間，如果按內積導出的范數完備，那麼該內積空間就是Hilbert空間。當然還有其他空間，不一一列舉。
說了這么多，只要這些空間的極大無關組含n個向量，那麼它就是n維空間。
n維空間的定義來自於日常經驗中2，3維空間的推廣和抽象，但都有堅實的理論基礎，在現代科學中也都有很廣泛的應用。

補充回答：歐式空間對全球定位和航空很重要，Hilbert空間可用來研究振動的弦的諧波，以及量子力學的數學描述。

E. 4維空間是什麼 還有5維空間 6維空間......嗎

四維空間不同於三維空間，四維空間指標准歐幾里得空間，可以拓展到n維；四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。

通常所說時間為第四維即四維時空下的時間維度。四維空間的第四維指與x，y，z同一性質的空間維度。然而四維時空並不是標准歐幾里得空間，時間的本質是描述運動的快慢。

五維空間為一個包含五個維度的空間，宇宙任何事物存在的基本屬性。以物理學的角度來說，五維空間的維度比日常生活中所提到的三維空間以及相對論中的四維空間還要多。

五維空間為一種經常在數學中出現的抽象概念。在物理學和數學中，N數字的序列可以理解為表示N維歐幾里得空間中的位置。宇宙的維度是否為五維同時也是個辯論的話題。

六維空間指任何擁有六個維度的空間，六自由度，並且需要六個數據或坐標來指定該空間中的位置。

(5)數學中有哪些空間擴展閱讀

對於四維空間，人們普遍認為空間有軸對稱性，或是中心對稱。譬如，倘若一個三維空間的人進入四維空間，並且按照適當的方式「旋轉」一下再回到三維空間，那麼他會被『軸對稱』一下（這在三維空間中當然是不可能實現的，除非運用三維版本的麥比烏斯帶）。

當然，由於沒有人進入四維空間，所以這只是一個從二維空間類比而得的假設，無法進行驗證。但是關於時間軸的觀點以及時空錯亂瞬間的現象與這是相符的。

從二維空間的一個圖形是不能在二維空間進行對稱的，但進入三維空間，就可以通過進行翻轉回到二維空間時，就可以實現對稱，因為在二維空間是不能進行翻轉的，只能旋轉或平移。因此我們可以推測三維物體進入了四維空間，再回到三維空間可能物體會被「軸對稱」一下。

F. ★物理中的空間、時空與數學中的空間具體區別都是什麼★

數學中的空間 物理空間概念的延伸和抽象。如歐幾里得空間、雙曲空間、黎曼空間、各種函數空間和拓撲空間等等。它們反映了人們對空間結構各種屬性認識的發展。

最早的數學空間概念是歐幾里得空間。它來源於對空間的直觀，反映了空間的平直性、均勻性、各向同性、包容性、位置關系（距離）、三維性，乃至無窮延伸性、無限可分性、連續性等方面的初步認識。但在很長時期里，人們對空間的理解只局限於歐幾里得幾何學的范圍，認為它與時間無關。19世紀20年代，非歐幾何的出現突破了歐幾里得空間是唯一數學空間的傳統觀念。非歐幾里得幾何的空間概念具有更高的抽象性，它與歐幾里得空間統一成常曲率空間，而常曲率空間又是黎曼空間的特殊形式。19世紀中葉，G.F.B.黎曼還引進流形概念。這些概念不僅對物理空間的認識起了很大作用，而且也大大豐富了數學中的空間概念。

19世紀末20世紀初,人們給出了維數的拓撲定義,並對函數空間的度量性質進行深入研究，從而產生了一系列重要的數學空間概念，特別是一般的拓撲空間概念。20世紀30年代後，數學中的各種空間在數學結構的基礎上得到統一處理，人們對各種數學空間獲得較完善的認識，並隨著對物理空間認識的深入以及數學研究的發展，從代數、幾何、拓撲方面推廣各種數學上的空間觀念。在代數方面對空間概念的推廣主要來源於解析幾何的產生和發展。幾何對象（點、線等）與數組結成對應關系，使人們可以對空間進行精確的定量描述。這樣便容易把坐標三數組推廣到坐標 n數組（向量），其所對應的空間即為 n維線性空間或向量空間。這種空間從維數上對歐幾里得空間做了推廣，但抽去了歐幾里得空間中的距離概念。實數域上的線性空間通常可以推廣到一般域上，特別是有限域上的線性空間成了只有有限多個點的空間，其空間的連續性也被舍棄了。從代數和幾何方面，可以把空間推廣成仿射空間和射影空間。射影空間可通過幾何方法或坐標方法把無窮遠點和無窮遠線包括在內。另外，也可以通過數組、相空間、狀態空間等等使各種空間成為物理學乃至其他科學處理運動的直觀模型。

空間的更抽象形式是拓撲空間。由於拓撲結構反映點與點之間的親疏遠近關系，因而在拓撲空間中歐幾里得空間的距離和向量空間的向量長度這些概念都被舍棄了。

人們對各種數學空間的研究，反映了人們從局部、粗淺的直觀到更深刻地認識空間的各種屬性的過程。例如，拓撲學的發展，使人們對空間的維數、連續性、開閉性、空間的有邊和無邊以及空間的定向都有了更深入、更本質的理解。流形的研究對於空間的有限與無限、局部與整體的認識也產生了飛躍。流形概念是空間概念的重要發展。它從局部上看是歐幾里得空間，但從整體上看可以有各種形式。它可開可閉，可有邊可無邊。這種深刻的認識對於物理空間的研究有著推動作用。例如，閔可夫斯基空間是狹義相對論的數學模型，黎曼空間則成為廣義相對論的數學模型（見相對論）。

數學上的空間
數學上，空間是指一種具有特殊性質及一些額外結構的集合，但不存在單稱為「空間」的數學對象。在初等數學或中學數學中，空間通常指三維空間。數學中常見的空間類型：
仿射空間
拓撲空間
一致空間
豪斯道夫空間
巴拿赫空間
向量空間 （或稱線性空間）
賦范向量空間 （或稱線性賦范空間）
內積空間
度量空間
完備度量空間
歐幾里得空間
希爾伯特空間
射影空間
函數空間
樣本空間
概率空間

物理學中所說的時間與空間

蔡宗儒

引言

我們生活在這浩瀚的宇宙，很自然的就有時間與空間這兩個概念。 我們看到山河大地宇宙萬物，若沒有空間，那麼山河大地宇宙萬物要如何安置呢？ 我們看到山河大地宇宙萬物，若沒有空間，那麽山河大地宇宙萬物要如何安置呢？ 萬物的變遷，事件的成、住、壞，有了過去、現在、未來之別。 萬物的變遷，事件的成、住、壞，有了過去、現在、未來之別。 所以時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。 所以時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。 在我們日常生活中，時間與空間的重要性是無法言喻的。 在我們日常生活中，時間與空間的重要性是無法言喻的。 不僅如此，當我們透過科學嘗試去描述、認識與了解大自然，時間與空間更是重要。 不僅如此，當我們透過科學嘗試去描述、認識與了解大自然，時間與空間更是重要。 在物理學中，沒有一個物理的方程式是不需要時間與空間的。 在物理學中，沒有一個物理的方程式是不需要時間與空間的。 因此本文將以物理學中所說的時間與空間來做一個簡單的介紹，內容包括牛頓的時間與空間，相對論的時間與空間。 因此本文將以物理學中所說的時間與空間來做一個簡單的介紹，內容包括牛頓的時間與空間，相對論的時間與空間。

牛頓的時間與空間

牛頓認為空間是絕對的(absolute) ，時間也是絕對的，時間與空間是各自獨立的存在著 。 在牛頓的 「自然哲學的數學原理」一書中，他給絕對的空間下定義:Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable . 「絕對的空間，本質是與外物無關的，是永久保持同樣且靜止的 。 」也就是說牛頓認為，絕對空間與物質的存在否以及存在物質的種種特性是無關的，是三維度的空間，遵循著歐氏幾何的架構 。 在物理學描述空間的物理量有長度、面積、體積等等。 因為空間是絕對的 ， 所以在相對地面靜止不動的觀察者測量空間中 A 、 B 兩點間的距離和相對地面在運動中(譬如在火車上 ，或是汽車上等 ) 的觀察者測量 相同 A 、 B 兩點間的距離是一樣的。 換言之 ，若有一根棒子靜置在地面上，相對地面靜止不動的觀察者去測量這根棒子的長度一定與在運動中的觀察者所測量同一棒子的長度是一樣的 。

牛頓也給絕對時間下定義: Absolute, true, and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external. 「絕對，真實和數學的時間，本質是穩定的流動與外物無關的 。 」如果時間是絕對的，相對地面靜止不動的觀察者去測量事件 A 和事件 B 的時距和 相對地面 運動中的觀察者所測量這兩事件的時距是一樣的 。 換言之 ，若相對地面靜止不動的觀察者測量事件 A 、 B 是同時發生的，那麼相對地面在運動中的觀察者去測量事件 A 、 B 必然也是同時發生的 。

牛頓認為的時間與空間，具備「不受任何影響」的特質，所以是絕對的 。 因為是絕對的 ，所以具有共通和一致性，也就是說宇宙只有一個時間和一個空間， 而且時間與空間彼此是完全無關的。 時間與空間與萬物無關 ，而萬物存在時空中 。

相對論的時間與空間

愛因斯坦在西元1905年提出狹義相對論，徹底的顛覆了牛頓的絕對的時間與空間的觀念 。 狹義相對論的基本假設之ㄧ是認定光在真空中走的速度大小是不變的。 也就是說 相對地面靜止不動的觀察者測量到的光速和相對地面在運動中的觀察者測量到的光速是一樣的 。 當時物理學家對光速不變的實驗結果是非常迷惑的 ， 因為這個結果是違反牛頓的絕對時間與絕對空間。 愛因斯坦接受光速不變的實驗結果 ，並把光速不變當成是一個根本假設 。 在此假設下他建立了狹義相對論。 狹義相對論告訴我們 ，所謂的兩事件 A 、 B 是「同時」發生的同時，是相對的而不是如牛頓所說的絕對的 。 也就是說 相對地面靜止不動的觀察者測量兩事件 A 、 B 是同時發生的， 相對地面 運動中的觀察者去測量相同兩事件 A 、 B 不會是同時發生的 。 狹義相對論告訴我們 ，若有兩個全同的(identical)時鍾，其中一個相對於我們是靜止的，另一個相對我們是在運動的，那運動中的時鍾會走的比靜止的時鍾慢 。 換言之 ，運動中的時鍾走的一秒比靜止時鍾走的一秒要來的長 。 換言之 ，在空中飛行的飛機上的人的一秒和地面上行走的人的一秒是不一樣的；即使在同一架飛機上，坐著的人的一秒和走動的人的一秒也不一樣 。 狹義相對論稱這個叫時間膨脹( time dilation ) 。 至此時間不再是絕對的而是相對的。 在空間方面 ，狹義相對論導出運動中的尺長度會收縮( length contraction ) 。 什麼是 運動中的尺 長度收縮呢？ 若有一根尺靜置在地面上，相對地面靜止不動的觀察者去測量這根尺的長度為 L 0 ，另一個沿著尺所指的方向運動的觀察者測量同一尺的長度為 L ，則 L 會小於 L 0 。 也就是說在運動中的尺的長度會比同一尺靜止時的長度來得短。 空間中不同兩點間的距離 ，在不同座標系統的觀察者所測到的距離是不同的， 所以空間不是絕對的而是相對的。 狹義相對論終結了牛頓的絕對時間與絕對空間。 狹義相對論對時間與空間的第二個沖擊是 ，空間與時間透過光速不變而結合起來，時間與空間不能也不是彼此無關的 。

愛因斯坦的狹義相對論之所以稱為狹義 ，是狹義相對論所研究物質運動的范疇不涉及萬有引力，不考慮加速度的情況 。 然而在大自然中 ，任何物質必然受到萬有引力的作用 。 愛因斯坦在西元1916年提出廣義相對論， 廣義相對論研究萬有引力、時間-空間與物質的運動。 廣義相對論認為 ， 時間-空間不是平坦的 ， 時間-空間會因為存在時空中的質量和能量的分布而被彎曲。 萬有引力只不過是時間-空間不是平坦的所造成的結果。 廣義相對論的時空是彎曲的 ，彎曲的程度是取決於萬有引力的大小 。 也就是說只要有萬有引力 ，四維時空就是彎曲的，萬有引力越強的地方，時空彎曲的越嚴重，且 這彎曲的空間並不遵守 歐氏幾何的架構 。 廣義相對論也告訴我們 ，萬有引力越強的地方時鍾走的越慢 。 而萬有引力是和物質的質量相關的。 所以在廣義相對論 ，四維時空和物質是息息相關的 。在廣義相對論發表以前 ，時空被認為是一個舞台，種種事件在其中發生，而這些事件並不會影響到時空 。 在廣義相對論 ， 時空必須和物質連結起來 ，物質的運動會影響著時空；反過來說時空也影響著物質的運動 。

除了相對論 ， 二十世紀物理學的另一個偉大的發展是量子力學。 量子力學告訴我們基本粒子(如電子 、誇克等)具有粒子波動二元性。 我們沒有辦法同時淮確的得到微小粒子的位置和速度 ，這稱之測不淮原理 。那麼在微小粒子的世界 ， 相對論和量子力學要怎麼整合在一起呢？ 為了解決這問題 ， 物理學家正在發展量子引力理論。

物理學家想要發展一種能描述整個宇宙的理論 。 物理學家所採取的方式是將整個宇宙的問題分成許多小部份(界定研究范疇) ，並且在這些研究范疇內發明理論 。 每一理論描述和預測都有其范圍限制。這好像是瞎子摸象般 ，要把部分所得的理論重組起來 。 更甚的是假如宇宙中的每一事件彼此都是相關 ，不可分割的，那麼物理學家所採取的方法可能是錯誤的 。 讓我們回到物理學的時間 與 空間。 我們要注意的是物理學所使用的物理量(例如長度、質量、時間等等)都是操作型定義 ，也就是說要經由種種條件(操作)後才定義出這些量 。若問物理學家時空的本質是什麼？ 物理學家更有興趣的問題是光速為何是不變的呢？ 物理學家以 時間與空間是用來安置或排序一切的萬事萬物。 時間與空間都是相對的，沒有一個絕對的時間也沒有一個絕對的空間 。 時間與空間彼此不是獨立的 ， 而是相關的 ，所以就稱為時空 。時空是相對的不是絕對的 ，就表示時空有無限多，每個物體都有其各自的時空 。此外時空 與物質是緊密相關的，離開物質而談時空是沒有意義的 。

從零維空間到四維空間
——淺談幾何中的純概念研究
（馬利進 隴東學院數學系 甘肅慶陽 745000）
【摘要】
幾何不一定是真實現象的描述，幾何空間和自然空間並不能完全等同看待，純概念的研究幾何的發展是數學界的一個里程碑。從零維空間到三維空間，尤其是從三維空間到四維空間的發展更是幾何學的的一次革命。
【關鍵詞】
零維；一維；二維；三維；四維；n維；幾何元素；點；直線；平面。
【正文】
n維空間概念，在18世紀隨著分析力學的發展而有所前進。在達朗貝爾.歐拉和拉格朗日的著作中無關緊要的出現第四維的概念，達朗貝爾在《網路全書》關於維數的條目中提議把時間想像為第四維。在19世紀高於三維的幾何學還是被拒絕的。麥比烏斯（karl august mobius 1790-1868）在其《重心的計算》中指出，在三維空間中兩個互為鏡像的圖形是不能重疊的，而在四維空間中卻能疊合起來。但後來他又說：這樣的四維空間難於想像，所以疊合是不可能的。這種情況的出現是由於人們把幾何空間與自然空間完全等同看待的結果。以至直到1860年，庫摩爾（ernst eard kummer 1810-1893）還嘲弄四維幾何學。但是，隨著數學家逐漸引進一些沒有或很少有直接物理意義的概念，例如虛數，數學家們才學會了擺脫「數學是真實現象的描述」的觀念，逐漸走上純觀念的研究方式。虛數曾今是很令人費解的，因為它在自然界中沒有實在性。把虛數作為直線上的一個定向距離，把復數當作平面上的一個點或向量，這種解釋為後來的四元素，非歐幾里得幾何學，幾何學中的復元素，n維幾何學以及各種稀奇古怪的函數，超限數等的引進開了先河，擺脫直接為物理學服務這一觀念迎來了n維幾何學。
1844年格拉斯曼在四元數的啟發下，作了更大的推廣，發表《線性擴張》，1862年又將其修訂為《擴張論》。他第一次涉及一般的n維幾何的概念，他在1848年的一篇文章中說：
我的擴張的演算建立了空間理論的抽象基礎，即它脫離了一切空間的直觀，成為一個純粹的數學的科學，只是在對（物理）空間作特殊應用時才構成幾何學。
然而擴張演算中的定理並不單單是把幾何結果翻譯成抽象的語言，它們有非常一般的重要性，因為普通幾何受（物理）空間的限制。格拉斯曼強調，幾何學可以物理應用發展純智力的研究。幾何學從此開始割斷了與物理學的聯系而獨自向前發展。
經過眾多的學者的研究，遂於1850年以後，n維幾何學逐漸被數學界接受。
以上是n維幾何發展的曲折歷程，以下是n維幾何發展的一些具體過程。
首先，我們將點看作零維空間，直線看作一維空間，平面看作二維空間，並觀察以下公設：
屬於一條直線的兩個點確定這條直線。 1.1
屬於一條直線的兩個平面確定這一條直線。（比較這個公設和公設1.1）。 1.2
屬於同一個點的兩條直線也屬於同一個平面。（公設1.2的推論） 1.3
屬於同一個平面的兩條直線，也屬於同一個點。 1.4
可以推斷出：
1. 具有相同維數的兩個空間，在某些條件下，確定另一個高一維的空間。例如：兩個點（我們將它們看作兩個零維空間）確定一條直線（一維空間）。屬於同一個點（規定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）也屬於同一個平面（二維空間）。
2. 具有相同維數的兩個空間，在某些條件下，也可以確定一個低一維的空間。例如：兩個平面（兩個二維空間）確定一條屬於它們的直線（一維空間）。屬於同一平面（限定的條件）的兩條直線（兩個一維空間）確定一個點（零維空間）。
3. 結論2沒有包括這一事實，即兩個平面可以確定一個高一維的空間。它只假定它們確定一條直線，這是比平面低一維的空間。這就留下了一個把我們的思想引申到高維空間的缺口。這個缺口的消除可在推論1.3「屬於同一個點的兩條直線也屬於同一個平面」中，用幾何元素直線、平面和三維空間依次的代替幾何元素點、直線和平面來達到。
下面的推論是替換的結果。屬於同一條直線的兩個平面也屬於同一個三維空間。
有了這個新的推論，我們就把與其他幾何元素直接對應的幾何元素——三維空間也包括了。
下一步是把對偶原理應用於這一推理，並從這些新引申的推論中得到一些固有的結論。在對偶原理將通過幾何元素——平面和空間的位置交換而被應用。這時我們得到下述推論：
屬於同一條直線的兩個三維空間也屬於同一個平面。 1.5
從推論1.5我們可以得到下述公設：
屬於一個平面的兩個共存的三維空間確定這一個平面。 1.6
在上述1.5和1.6的基礎上，可以提出下面的看法：
1. 四維空間的幾何條件是很明顯的，因為維數相同的兩個已知空間，只能共存於比它們高一維的空間里。例如：兩條不同的共存直線（一維）位於一個平面內（二維）；兩個不同的共存平面(二維)（沿一直線共存）位於一個三維空間里；兩個不同的共存三維空間（沿一個平面共存）位於一個四維空間里。
2. 在幾何上被看作是不屬於同一直線而相交於一點的兩個平面，屬於不同的各別的三維空間。
四維空間的概念也可以通過解析幾何的手段來研究。在那裡我們可以利用代數方程來表示幾何概念。為了利用這個手段進行觀察以導致對四維空間的理解，我們來研究三維空間體系中的三個幾何元素——點、直線和平面的方程。利用笛卡爾系統表示，我們可以寫出：
點的方程：ax + b = 0 （坐標系：直線上的一個點）。
直線的方程：ax + by + c = 0 （坐標系：平面上的兩條正交直線）。
平面的方程：ax + by + cz + d = 0 (坐標系：三維空間的三個互相垂直的平面)。
從上面的研究我們可以看出：
所表示的每一個幾何元素（或空間）的方程中的變數數目，等於這個空間的維數加1。
坐標系中的幾何元素與被表示的幾何空間的幾何元素的維數相同。
在這個坐標系中，幾何元素的數目等於被表示的空間的維數加1。在坐標系中，幾何元素的這個數目是最低要求。
用來表示幾何元素的坐標系，位於比它所含有的幾何元素高一維的空間里。
根據上述觀察，我們可以寫出三維空間的下述方程。應當注意：這個方程有四個變數（x、y、z、u）。
ax + by + cz + + e = 0
現在我們可以斷定：
1. 這個坐標系的幾何元素有三維，即它們是三維空間。
2. 在這個坐標系中有四個三維空間。
3. 這個坐標系位於一個四維空間里。
我們對於四維空間乃至更高空間的研究，不是通過實驗總結的方式，在現實中我們很難發現並推導出它們的一般規律，對於這些問題，我們可以採取一種新的研究方式。即：純概念的研究。通過這種方式，我們可以容易的推導出這些很重要但在現實中不易想像的新內容。

G. 什麼是歐幾里得空間

歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡稱為歐氏空間，在數學中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對於距離、以及相關的概念長度和角度，轉換成任意數維的坐標系。 這是有限維、實和內積空間的「標准」例子。

歐氏空間是一個的特別的度量空間，它使得我們能夠對其的拓撲性質，例如緊性加以調查。內積空間是對歐氏空間的一般化。內積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。

歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。一個定義距離函數的數學動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導入機動性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質。