如何證明離散數學中的自反性

① 一道離散數學證明題, 設x上的關系R,S是自反的,試證R.S ,R∩S也是自反的.

若R與S是集合A上的自反關系,
則任意x∈A,＜x,x＞∈R,
＜x,x＞∈S,
從而＜x,x＞∈R∩S,
注意x是A的任意元素,
所以R∩S也是集合A上的自反關系．

② 想問一下離散數學的自反和反自反、對稱和反對稱的判斷問題

書上的這些關系性質的定義中，一階邏輯公式的變項x,y的取值是全總個體域，所以轄域內有x∈A，y∈A的限制。實際上我們只是在集合A中考慮的，所以這些定義完全可以去掉那些x∈A，y∈A的限制。
在集合A作為個體域時，定義是
（1） 若任意x(<x,x>∈R)，則稱R在A上是自反的。
（2） 若任意x(<x,x>不屬於R)，則稱R在A上是反自反的。
（3） 若任意x任意y(<x,y>∈R→<y,x>∈R)，則稱R為A上對稱的關系。
（4） 若任意x任意y(<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，則稱R為A上的反對稱關系。
這樣，看起來就簡潔了。
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1、判斷自反、反自反時，就是看所有的<x,x>。如果所有的<x,x>都在R中，R自反。如果所有的<x,x>都不在R中，R反自反。如果只有一部分<x,x>在R中，則R既不自反也不反自反。

2、集合A上的關系R是笛卡爾積A×A的子集，只要A中的<x,y>保證x,y∈A即可，x,y不用取遍A中所有元素。
對稱、反對稱定義中的轄域是一個蘊涵式，比如對稱的定義中，蘊涵式的前件是x,y∈A∧<x,y>∈R，後件是<y,x>∈R。前件有兩部分，x,y∈A，<x,y>∈A，其中x,y∈A是肯定的，否則有什麼討論的意義呢。前件假，整個蘊涵式真。所以我們只考慮前件真時後件是真是假就行了。前件真的時候就是<x,y>∈A，我們我們考慮的是從R中任取一個<x,y>，如果<y,x>也都在R中，則R對稱。
對於反對稱也是一樣的，從R中找出<x,y>與<y,x>，看x與y是否相等。

③ 離散數學中 R1R2都是自反的 R1。R2是自反的嗎求證明

如果R1，R2是在不同集合A，B上的二元關系那就是錯的
設R1={<1,2>,<2,1>,<1,1>,<2,2>}（自反，A={1，2}）
R2={<2,3>,<3,2>,<2,2>,<3,3>}（自反，B={2，3}）
R1右合成R2={<1,2>,<1,3>,<2,2>}非自反
如果R1，R2是在同一個集合A上的二元關系那是對的
自反就是A中所有元素x都有<x,x>在R里
R1，R2自反則恆等關系IA是R1和R2的子集
即任意x屬於A，<x,x>屬於R1的同時也屬於R2
R1右合成R2自反

④ 離散數學中的自反，反自反，對稱，反對稱關系怎麼用圖示表示

自反，就是節點處畫一個自己到自己的有向環。

反自反，沒有一個自己到自己的有向環。

對稱，就是每一條關系線，都對應一個反方向的關系線。

反對稱，就是沒有一對，關系箭頭方向相反的關系線。

⑤ 關於離散數學的自反問題

設有一個關系R，集合A，如果A中的任意元素x都滿足：xRx，則關系R是自反的。
就用的例子來說，在整數集中，任意取一個數字x，都滿足：x小於等於x
所以：小於等於關系是自反的。
假設有一個集合A={1,2,3,a,b,c} B={1,2,b}
則A包含B，B包含於A
B中所有的元素都能在A中找到

⑥ 大一離散數學自反性，反自反性怎麼區分，求講。

設R是A上的二元關系：

自反：任取一個A中的元素x，如果都有<x,x>在R中，那麼就成R在A上是自反的。

反自反：任取一個A中的元素x，如果都有<x,x>不在R中，那麼就成R在A上是反自反的。

在關系矩陣上的表示：

自反：主對角線上的元素都是1。

反自反：主對角線上的元素都是0。

在關系圖上的表示：
自反：每一個頂點都有環。
反自反：每一個頂點都沒有環。

(6)如何證明離散數學中的自反性擴展閱讀：

離散數學自反性，反自反性的總結：

生活中的次序關系也就是序偶的一種現實體現。兩個元素x，y按照一定的次序組成的二元組稱為有序偶對。

由於序偶是有次序的，所以序偶的相等是對應位置上對應元素的相等。推廣序偶的思想，是定義任意n個元素的有序序列，也可以叫做n重有序組。基本的序偶定義了，因而可以在集合的層面上定義集合之間的關系。

序偶和集合聯系在一起可以得到笛卡爾積的概念。集合A X B的元素是序偶，序偶中的第一元素取自A，第二元素取自B，同時集合A與B的笛卡爾積仍然是一個集合。笛卡爾積不滿足交換律。涉及到笛卡爾積的證明題就有集合方面的證明。

和第一章涉及到的集合的證明題類似。將題目過程分解，一般是先確定序偶第一元素所屬的集合以及第二元素所屬的集合，然後根據並運算以及交運算的定義確定邏輯語言上的從屬關系，轉化出等效表達，然後再根據定義轉化回數學語言，最後完成證明。

關鍵是利用笛卡爾積的定義確定從屬集合情況。還有利用第二章的幾個計數定理確定集合的數目以及必然存在性。

這里開始研究關系的定義。A X B的任意子集就是就是從集合A到集合B的一個二元關系，簡稱關系。

R為空集的時候就是空關系，當R自反時為恆等關系，當這個子集等於原集合時為全關系。A為關系R的前域，B為關系R的後域，同時對於C和D有C為定義域D為值域，兩個集合的並集為域。

會考察關系的定義域值域以及域，確定好每個關系的第一元素和第二元素就可以解決問題。

由以上的討論可知道關系的表示可以枚舉表示。同時還可以用有向圖以及布爾矩陣表示出關系。由於關系可以用布爾矩陣表示，因而也可以相應地對布爾矩陣使用並運算交運算以及布爾積。

同時這些運算還涉及到交換律、結合律以及分配律。關系是以序偶為元素的特殊集合，因而可以對它用集合的所有運算。交並差與第一章相同，注意補運算是相關於原本的集合笛卡爾積的。在此基礎上關系可以進行復合運算。

復合運算的本質是合成，通過中間元素確定前域以及後域。基於關系圖的處理要注意搭建中間橋梁，基於關系矩陣時可以直接進行布爾積運算，然後根據結果矩陣寫出答案。

這里相關的證明題和之前證明的思路類似，只需引入一個復合運算需要的中間變數完成綜合分析即可。同時這里還要能夠舉出反例完成題目的說明。

相應的關系也會有逆運算。逆運算就是交換前域後域，對於關系圖的轉化是改變有向圖的指向方向，對於關系矩陣就是將其轉置。相關的證明延續之前的思路。關系的冪運算基於復合運算的原理，冪集的基數會單調不增。

關系還有一些特殊的性質。自反性與反自反性，對稱性與反對稱性，還有傳遞性。自反反自反以及對稱反對稱都是不是非黑即白的，存在既不屬於這個也不屬於那個的情況。

判斷自反看關系圖的自環情況以及關系矩陣的對角線，對稱性與反對稱性要看節點之間的連線情況，存在既是對稱也是反對稱的情況。

傳遞關系的關系圖和矩陣判斷可能相對不會太好看，主要是要確定存不存在中間連接。對於抽象的關繫上述的方法不太方便，於是要用到集合關繫上的判定定理。幾個公式以及相關的判斷定理要記住並理解。

關系還有閉包運算。閉包運算的重點是確定是否添加最少的元素以及是否具備對應的性質。閉包也有相關的定理公式，這里要注意的是定義證明以及數學歸納法的使用。

⑦ 設X上的關系R和S是自反的,試證明 R和S的復合是自反的

證明如下：

若R與S是集合A上的自反關系，則任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,

復合關系的定義是:設R為X到Y的關系，S為從Y到Z的關系。

則RoS稱為R和S的復合關系，表示為 RoS＝{|x∈X∧z∈Z∧(彐y)(y∈Y∧∈R∧∈S)}

從而＜x,x＞∈RoS,注意x是A的任意元素，所以RoS也是集合A上的自反關系．

⑧ 離散數學裡面的自反還是反自反怎麼判斷

如果主對角線全是1 就是自反
主對角線全是0，就是反自反
矩陣判斷最簡單

⑨ 離散數學中，對於空關系的性質，自反與反自反怎麼理解

關系是一個集合，空關系對應空集。
集合論中，為了集合運算構成代數系統，規定：空集是任何集合的子集。
注意是規定。而關系的研究手段是藉助於集合，因此空關系這個集合是自反關系集合以及反自反關系集合的子集。
所以，從邏輯上來說，或本質上說，空關系是自反與反自反的是一種規定。