熵用數學表達式表示什麼

1. 熵是什麼

熵，熱力學中表徵物質狀態的參量之一，用符號S表示，其物理意義是體系混亂程度的度量。

熵最初是根據熱力學第二定律引出的一個反映自發過程不可逆性的物質狀態參量。

熱力學第二定律是根據大量觀察結果總結出來的規律：

在孤立系統中，體系與環境沒有能量交換，體系總是自發地像混亂度增大的方向變化，總使整個系統的熵值增大，此即熵增原理。

(1)熵用數學表達式表示什麼擴展閱讀：

「熵」(entropy)是德國物理學家克勞修斯(Rudolf Clausius, 1822 – 1888)在1850年創造的一個術語，他用它來表示任何一種能量在空間中分布的均勻程度。能量分布得越均勻，熵就越大。如果對於我們所考慮的那個系統來說，能量完全均勻地分布，那麼，這個系統的熵就達到最大值。

參考資料來源：網路-熵

2. 熵是什麼熵的定義是什麼

熵是混沌《博弈聖經》中寫道：熵是生物親序，是行為攜靈現象。時間和空間唯獨不同的是，它總是向一個方向流動，從過去流向未來，這種不可逆的次序的邊界上，時間的彈性軟體里包裹著神秘的因果律。科學家已經發明了測量無序的量，它稱作熵，熵也是混沌度，是內部無序結構的總量，可以理解成國。未知的信息越多，熵越大，也就是國越大。 67、信息的基本作用就是消除人們對事物了解的不確定性。美國資訊理論創始人香農發現任何信息都存在冗餘，冗餘的大小與信息的每一個符號出現的概率和理想的形態有關，多數粒子組合之後，在它似像非像的形態上押上有價值的數碼，那一定是給一個博弈研究者長期迷惑的問題提供了一個負熵論據，這種單相思占優的形態以及信息熵的理解，在變換策略之後並能應用在博弈中。那些多餘的策略威脅剔除之後，變成可接受的不可置信的對抗者的狀態，則是博弈熵，也是對抗生物熵結，這時的對抗概率是高的。

3. 數學中「熵」的概念是怎麼定義的

它不是數學概念啊，它是關於物理的！《博弈聖經》中說；熵就是混沌，就是無序 科學家已經發明了測量無序的量，它稱作熵，熵也是混沌度，是內部無序結構的總量 物理意義：物質微觀熱運動時，混亂程度的標志。 熱力學中表徵物質狀態的參量之一，通常用符號S表示。在經典熱力學中，可用增量定義為dS＝(dQ/T)，式中T為物質的熱力學溫度；dQ為熵增過程中加入物質的熱量。下標「可逆」表示加熱過程所引起的變化過程是可逆的。若過程是不可逆的，則dS＞(dQ/T)不可逆。單位質量物質的熵稱為比熵，記為s。

4. 熵的一般表達式是怎麼來的

1、經典熱力學

1865年，克勞休斯將發現的新的狀態函數命名為，用增量定義為

，此式叫做克勞休斯不等式，是熱力學中第二定律最普遍的表達式。

2、統計熱力學

熵的大小與體系的微觀狀態Ω有關，即S=klnΩ，其中k為玻爾茲曼常量，k=1.3807x10-23J·K-1。體系微觀狀態Ω是大量質點的體系經統計規律而得到的熱力學概率，因此熵有統計意義，對只有幾個、幾十或幾百分子的體系就無所謂熵。

(4)熵用數學表達式表示什麼擴展閱讀：

克勞修斯(T.Clausius) 於1854年提出熵(entropie)的概念, 我國物理學家胡剛復教授於1923年根據熱溫商之意首次把entropie譯為「熵」。

A.Einstein曾把熵理論在科學中的地位概述為「熵理論對於整個科學來說是第一法則」。查爾斯·珀西·斯諾(C.P.Snow)在其《兩種文化與科學革命》一書中寫道: 「一位對熱力學一無所知的人文學者和一位對莎士比亞一無所知的科學家同樣糟糕」。

熵定律確立不久，麥克斯韋(J.C.Maxwell)就對此提出一個有名的悖論試圖證明一個隔離系統會自動由熱平衡狀態變為不平衡。

實際上該系統通過麥克斯韋妖的工作將能量和信息輸入到所謂的「隔離系統」中去了。這種系統實際是一種「自組織系統」。

5. 熵的定義

1、經典熱力學

1865年，克勞休斯將發現的新的狀態函數命名為，用增量定義為

(5)熵用數學表達式表示什麼擴展閱讀：

一、性質

1、狀態函數

熵S是狀態函數，具有加和（容量）性質，是廣度量非守恆量，因為其定義式中的熱量與物質的量成正比，但確定的狀態有確定量。其變化量ΔS只決定於體系的始終態而與過程可逆與否無關。

由於體系熵的變化值等於可逆過程熱溫商δQ/T之和，所以只能通過可逆過程求的體系的熵變。孤立體系的可逆變化或絕熱可逆變化過程ΔS=0。

2、宏觀量

熵是宏觀量，是構成體系的大量微觀離子集體表現出來的性質。它包括分子的平動、振動、轉動、電子運動及核自旋運動所貢獻的熵，談論個別微觀粒子的熵無意義。

3、絕對值

熵的絕對值不能由熱力學第二定律確定。可根據量熱數據由第三定律確定熵的絕對值，叫規定熵或量熱法。還可由分子的微觀結構數據用統計熱力學的方法計算出熵的絕對值，叫統計熵或光譜熵。

二、應用

熵最初是根據熱力學第二定律引出的一個反映自發過程不可逆性的物質狀態參量。

熱力學第二定律是根據大量觀察結果總結出來的規律：在孤立系統中，體系與環境沒有能量交換，體系總是自發地像混亂度增大的方向變化，總使整個系統的熵值增大，此即熵增原理。

摩擦使一部分機械能不可逆地轉變為熱，使熵增加，所以說整個宇宙可以看作一個孤立系統，是朝著熵增加的方向演變的。

從一個自發進行的過程來考察：熱量Q 由高溫(T1)物體傳至低溫(T2)物體，高溫物體的熵減少dS1=dQ/T1，低溫物體的熵增加dS2=dQ/T2，把兩個物體合起來當成一個系統來看，熵的變化是dS=dS2－dS1>0，即熵是增加的。

6. 什麼是熵

①常規解答：
熵（entropy）指的是體系的混亂的程度，它在控制論、概率論、數論、天體物理、生命科學等領域都有重要應用，在不同的學科中也有引申出的更為具體的定義，是各領域十分重要的參量。熵由魯道夫·克勞修斯（Rudolf Clausius）提出，並應用在熱力學中。後來在，克勞德·艾爾伍德·香農（Claude Elwood Shannon）第一次將熵的概念引入到資訊理論中來。

②自然解答：
熵可以描述任何帶有順序-無序屬性的事物。事物越不混亂，體現的確定性信息越多，熵越小。

比如有兩種篩子，一種是6點的，一種是12點的，在罐子里滾動後各讓你猜是幾點，這時候，6點的篩子相對於你包含的信息較之12點的篩子包含的信息要少，因為你更容易猜對6點篩子的結果。

而比如有人問你「你媽媽是男的還是女的？」

這個問題包含的熵為0，因為你肯定知道你媽是女的，確定性為100%，熵值（代表混亂程度、不確定程度），所以這句話不包含熵。

熵在數學上有明確公式級度量，具體請參考《資訊理論》。

7. 熵的物理意義是_____________，用數學式表示，可寫成。

熵的物理意義是系統紊亂度的度量，用數學式表示，可寫成S=klnΩ

8. 什麼是熵順便詳細解釋一下熵增原理

湯甦野

在熵概念誕生已經150多年以後，討論「熵是什麼?」確實是一個很奇怪的問題。不過這看來確有必要，因為1854年由克勞修斯給出的熵定義dS=dQ/T至今仍然不能對熵的物理意義做出解釋，而物理學家們並沒有能夠說明這是為什麼？

物理學家們今天通常用玻耳茲曼1872-1875年藉助於某些假設而導出的熵定理S=klnW來解釋熵，式中k是玻耳茲曼常數，W為熱力學幾率。熵定理的假設主要有兩個方面：1、等幾率假設，玻耳茲曼用來導出熵定理的模型是氣體分子模型，等幾率假設包括了分子速度分布和分子的區域分布兩種含義。2、對於分子體系來說，熵單調增大而分子分布的熱力學幾率也是「單調增大」，因而兩者之間存在聯系。根據S=klnW，最常見的解釋有：熵是熱力學可能性，概率、混亂或無序程度的量度等。

統計解釋並沒有圓滿解決問題，因為熱力學熵和第二定律不需要考慮等幾率假設，在存在相互作用情況下，等幾率假設不是普遍成立的理論前提，統計解釋不能普遍適用，而例外則是一種普遍情況。同時它也不能說明為什麼熱力學解釋不了熵概念。本文所討論的重點是如何在熱力學范圍內解釋熵的物理意義，對統計觀點所存在問題的討論在《熵：一個世紀之謎的解析》第2版中有詳細的展開說明。

我們首先要討論的問題是：為什麼克勞修斯熵定義dS=dQ/T不能對熵的物理意義做出解釋？這要從克勞修斯熵概念在數學（和物理）性質兩個方面的不完備性說起。

熵是一個根據數學性質定義的狀態函數，但它的數學（物理）性質卻並不完備，卡諾循環設計了一種閉路可逆循環，而在數學上確定一個態函數A通常藉助於這樣一個關系式：∮dA=0(任意路徑)，克勞修斯正是根據∮dQ/T=0（可逆路徑）提出了熵的定義。

dS=dQ/T只是一個數學上的定義，即藉助於∮dQ/T=0(可逆而不是任意路徑)證明在數學上存在一個態函數，這個態函數是什麼？克勞修斯沒有說清楚，因為在這樣的定義形式下無法解釋清楚，原因是定義的數學性質不完備。它也不像內能這樣的物理量，在被證明為態函數之前就有了明確的物理意義。在某些教科書上你可以看到這樣的說明：「我們強調dQ存在積分因子不是一個數學結論而是根據熱力學第二定律得到的物理結論。」但是並沒有發現存在某一條定律赦免了熵定義數學性質的完備性要求。

問題出在dS=dQ/T實際上不是一個全微分，這個定義令人困惑不解，定義態函數卻用了Q這樣的非態變數。根據態函數全微分的數學性質我們可以確定必定存在∮dS=0(任意路徑) ，但是克勞修斯的結果卻是∮dQ/T≤0(任意路徑) ，這個結果說明dS=dQ/T不能滿足態函數全微分的數學條件。而第二定律的導出就更讓人感到奇怪了：熵的定義是dS=dQ/T，第二定律卻來源於dS≥dQ/T，在非平衡態熱力學中，我們有這樣一個表達式dS=diS+deS，容易看出平衡態熱力學的dQ/T只是deS（熵流）項的一種類型，說明在普遍情況下dS=dQ/T不一定成立。這是熵概念無法解釋、同時也是第二定律不等式dS≥0沒有全微分表達式的原因。

∮dS=0(任意路徑)是必須被滿足的充分必要條件，否則熵就不能成為態函數。比較熵的定義式dS=dQ/T（可逆）和熱力學第二定律的導出關系式dS≥dQ/T（可逆），不難判定dQ/T（可逆）不可能成為量S的全微分。於是問題可以歸結為為：熱力學需要確定熵的全微分表達式，需要一個滿足∮dS=0(任意路徑)的函數形式來定義熵。

有一個問題回答起來並不困難，熵概念的定義不是一個全微分而150多年來熱力學的定量分析卻沒有發現錯誤的原因是：存在一個巧合，熵概念的全微分表達式已經被實際應用。

現在我們考慮怎樣去確定熱力學熵的全微分定義式。

在熱力學中，內能U可以分為兩個基本類型：1、對溫度產生貢獻的類型，微分式用nCvdT表示，式中n為分子摩爾數，Cv為恆容熱容，T為溫度；2、與廣義距離有關的能量，對溫度不產生貢獻，微分式用Ydx表示，式中Y為廣義力，dx為廣義位移。例如對於一根拉緊的橡皮筋，Y是橡皮筋的張力，dx是長度的改變。分子的化學能也可以看作是Ydx一種類型，在熱力學中，Ydx對應於「自由能」。

在熱的輸運過程中，dQ/T可以被看作已經確定的結果，即如果熱力學體系對外交換能量dQ，那麼熵增dS=dQ/T。

而對於做功過程，情況則有所不同，由於摩擦、阻尼等耗散因素的存在，做功過程通常也存在損耗。在可逆情況下，例如拉長一根橡皮筋，所做的功dW=Ydx，即所做的功能夠以「自由能」的形式完全儲存。而當存在摩擦、阻尼時，所做的功將會產生損耗，有一部份能量將轉化為熱，這時將有dW＞Ydx，兩者的差即為轉化為熱的損耗dQ=dW-Ydx。熵增加為（dW-Ydx）/T。與熱輸運合並考慮得到

dS=dQ/T+（dW-Ydx）/T=（dU-Ydx）/T

上式是熱力學中熵的一個主要表達式，但來源與經典方式不同，在大多數情況下，這個式子似乎可以用dQ/T來說明，但存在例外。對於理想氣體：

dS=（dU+pdV）/T=nCvdT/T+ pdV/T= nCvdT/T+nRdlnV

內能全部為對溫度產生貢獻的類型，其熵包含了兩項：第一項解釋為∫nCvdT對溫度T分布的平均程度，第二項解釋為空間分散程度（的量度），兩種解釋都來源於函數形式的數學意義。

對於內能兩個不同類型的能量形式而言，對溫度產生貢獻的「熱能」 ∫nCvdT是已經產生耗散的能量類型，熵則是這種耗散的量度，自由能∫Ydx（不包含-pdV）則可解釋為未經耗散的能量類型，其熵值為零。

在Ydx中，-pdV與∫nCvdT相聯系而不是一種獨立能量類型，這可以由「熱能」的兩種輸運方式得到解釋：第一種是熱的輸運，如熱從高溫流向低溫，輸運的能量已存在自發變化能力的部份耗散；第二種是熱功轉換，相當於從能量∫nCvdT中提純出未經耗散的能量（自由能），而將相應的耗散量pdV保留在原有體系中，在可逆情況下，這個保留的耗散量與輸出的自由能正好相等，不可逆過程則意味著產生了新的耗散。與其他類型的自由能耗散的區別在於：-pdV與dW之差對能量∫nCvdT不產生貢獻，而Ydx與dW之差則對應於相應的增量nCvdT，即轉化為與溫度有關的能量類型。

熱力學熵可以重新定義為：

dS =（dU-Ydx）/T
或：
dS= nCvdT/T+nRdlnV

這一結果說明熱力學熵是一個能量分布函數。上述兩個表達式都滿足∮dS=0(任意路徑)，即滿足全微分的數學條件，與過程無關。同時不改變現有理論的定量分析結果，因為熱力學理論已經在應用，除了定義之外，在經典熱力學中，dQ/T在上兩個表達式中實際上更多的是作為「偏微分」來處理。

現在我們可以給出熵概念的熱力學解釋：
熱力學熵是能量（「熱能」）∫nCvdT的能級布平均程度和(粒子)空間分布離散度的量度，其數值表達了熱力學體系自發變化能力的耗散量；
第二定律表述為：
自發過程朝著「熱能」的能級分布趨向平均或/和（粒子）分布離散度增大、或（和）相互作用自由能減少的方向進行；熱力學自發過程內能「自發變化」能力的耗散量單調增大。

9. 熵是什麼意思

熵（shāng），熱力學中表徵物質狀態的參量之一，用符號S表示，其物理意義是體系混亂程度的度量。

克勞修斯(T.Clausius) 於1854年提出熵(entropie)的概念，我國物理學家胡剛復教授於1923年根據熱溫商之意首次把entropie譯為「熵」。A.Einstein曾把熵理論在科學中的地位概述為「熵理論對於整個科學來說是第一法則」。

查爾斯·珀西·斯諾(C.P.Snow)在其《兩種文化與科學革命》一書中寫道: 「一位對熱力學一無所知的人文學者和一位對莎士比亞一無所知的科學家同樣糟糕」.熵定律確立不久，麥克斯韋(J.C.Maxwell)就對此提出一個有名的悖論試圖證明一個隔離系統會自動由熱平衡狀態變為不平衡。

實際上該系統通過麥克斯韋妖的工作將能量和信息輸入到所謂的「隔離系統」中去了。這種系統實際是一種「自組織系統」。

以熵原理為核心的熱力學第二定律，歷史上曾被視為墮落的淵藪。美國歷史學家亞當斯H.Adams(1850-1901)說:「這條原理只意味著廢墟的體積不斷增大」。

有人甚至認為這條定律表明人種將從壞變得更壞，最終都要滅絕。熱力學第二定律是當時社會聲謄最壞的定律。社會實質上不同於熱力學上的隔離系統，而應是一種「自組織系統」。

熵的歷史

熱力學第一定律闡述的是「能量」以及「能量守恆」的概念，但是第一定律無法定量解釋摩擦和耗散的影響

法國數學家拉扎爾·卡諾的分析和貢獻最終導致了「熵」這個概念的誕生。

1803年，拉扎爾·卡諾發表了一篇文章「運動和平衡的基本原理」，提出在任何一個機器的運動部分的加速和沖擊意味著動量（momentum）的損失，換句話說，在任何自然過程中，總是存在著「有用」的能量逐漸耗散這一固有的趨勢。

基於上述研究，1824年拉扎爾·卡諾的兒子尼科拉斯·萊奧納德·薩迪·卡諾發表了「關於火的原動力」，提出所有的熱機的工作都需要存在溫度差，當熱量從熱機熱的部分向熱機冷的部分轉移時，熱機獲得了原動力。這是對熱力學第二定律的最初洞見。

卡諾提出的可逆熱機只存在於理想情況。19世紀50年代和60年代，德國物理學家克勞修斯在對實際熱機的研究中進一步指出，任何熱機都不是可逆的，不可能毫無「改變」，並進一步對這個「改變」進行了定量研究。

克勞修斯認為，實際熱機在使用過程中會產生「無法使用」的熱量（比如熱機的活塞和熱機壁摩擦產生的熱量。在此基礎上，克勞修斯提出了熵的概念，將熵描述為能量的耗散。

以上內容參考網路-熵

10. 什麼是熵

熵的定義如下。
假設在不改變宏觀物質的表現的情況下，微觀分子的可能排列的總數為W
則熵S=lgW
譬如，一個很亂的書架，共有3層，上面隨機放著十本書。那麼，
W=10^3,S=lgW=3
實際上熵是一個表明系統混沌程度的 狀態 量.
系統經絕熱過程由一狀態達到另一狀態熵值不減少——熵增原理（the principle of the increase of entropy）

對絕熱過程，ΔQ = 0 ，有ΔS（絕熱）>= 0（大於時候不可逆，等於時候可逆） 或 dS（絕熱）>= 0 (>0不可逆；=0可逆)

熵增原理表明，在絕熱條件下，只可能發生dS>=0 的過程，其中dS = 0 表示可逆過程；dS> 0表示不可逆過程,dS<0 過程是不可能發生的。但可逆過程畢竟是一個理想過程。因此，在絕熱條件下，一切可能發生的實際過程都使系統的熵增大，直到達到平衡態。

（參照：多媒體CAI物理化學第四版：大連理工大學出版社）

熵增原理是一條與能量守恆有同等地位的物理學原理。

熵增原理是適合熱力學孤立體系的，能量守恆定律是描述自然界普遍適用的定律。 熵增定律僅適合於孤立體系，這是問題的關鍵。實際上，絕對的聯系和相對的孤立的綜合，才是事物運動的本質。雖然從處理方法上講，假定自然界存在孤立過程是可以的。但是從本質上講，把某一事物從自然界中孤立出來是帶有主觀色彩的。當系統不再人為地被孤立的時候，它就不再是只有熵增，而是既有熵增，又有熵減了。於是可以看到能量守恆定律仍然有效。

熵總是聯系著大量子系統，而人類社會正是這樣一個復雜的體系。在人類社會中不僅有熵增，而且有熵減，這就使關於人類的科學與整個自然科學產生分歧，出現自然科學與人文科學的矛盾。

我們知道，在科學中有三個基本定律，即質量守恆定律，能量守恆定律和熵增定律。質量、能量守恆定律在微觀領域又被推廣為質、能相關定律。質量守恆定律，能量守恆定律和質能相關定律在數學上表示為等式。而熵增定律則是不等式 , 即在孤立系中 , 熵增總是大於或等於零 ( △ S ≥ 0) 。在這種等式與不等式的差別中，隱含著深刻的意義。

從系統三象性的基點來看，問題是這樣的：任何系統狀態 ( 點 ) 上物質性、能量性、信息性不可分離地共存著，但物質 ( 質量 ) 和能量是守恆的，而信息卻 ( 信息是負熵 ) 不守恆。

由於在孤立系中熵總是增加的，而熵是混亂度。那麼，系統在孤立情況下總是自動地趨向於混亂與無序，這就與生物的有序化發展產生矛盾，出現克勞胥斯與達爾文的分裂。

由於熵總是增加的，因而過程就出現單一的時間之矢，從而是不可逆的，這就與牛頓力學的可逆時間產生矛盾，出現牛頓、愛因斯坦與普里戈金、哈肯的分裂。

熵總是聯系著大量子系統，而人類社會正是這樣一個復雜的體系。在人類社會中不僅有熵增，而且有熵減，這就使關於人類的科學與整個自然科學產生分歧，出現自然科學與人文科學的矛盾。

質量守恆定律和能量守恆定律是自然界的普適定律，而熵增定律則適合於熱力學孤立體系。任一質點或任一質點系都適合於質量守恆定律和能量守恆定律，但一個質點就談不上熵增，非孤立體系的熵也不一定增加。