同一法證明數學問題為什麼正確

『壹』 高中數學解題時都涉及到那些數學思想

一、高中數學重要數學思想
一、 函數方程思想
函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變數或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。
1.函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變數用函數關系表達出來，並研究這些量間的相互制約關系，最後解決問題，這就是函數思想；
2.應用函數思想解題，確立變數之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變數之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變數的值，這時常常列出這些變數的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；
3.函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法的支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。
二、 數形結合思想
數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一，對於所研究的代數問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對於所研究的幾何問題，可藉助於對應圖形的數量關系使問題得以解決（以數助形），這種解決問題的方法稱之為數形結合。
1.數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短。
2.恩格斯是這樣來定義數學的：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學」。這就是說：數形結合是數學的本質特徵，宇宙間萬事萬物無不是數和形的和諧的統一。因此，數學學習中突出數形結合思想正是充分把握住了數學的精髓和靈魂。
3.數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系，數量關系決定了幾何圖形的性質。
4.華羅庚先生曾指出：「數缺性時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。」數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助於形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系.
5.把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關於這個方面的考查（即用代數方法研究幾何問題）。而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現。
6.我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：
(1) 對於研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；
(2) 對於研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖象求解（函數的零點，頂點是關鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；
(3) 對於以下類型的問題需要注意： 可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點 及餘弦定理進行轉化達到解題目的。
三、 分類討論的數學思想
分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然後對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。
1.有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：
（1）涉及的數學概念是分類討論的；
（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；
（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；
（4）數學問題中含有參變數，這些參變數的不同取值導致不同的結果的；
（5）較復雜或非常規的數學問題，需要採取分類討論的解題策略來解決的。
2.分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。根據不同標准可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標准出發，做到不重復，不遺漏 ，包含各種情況，同時要有利於問題研究。
四、 化歸與轉化思想
所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時採用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變化轉化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。
立體幾何中常用的轉化手段有
1.通過輔助平面轉化為平面問題，把已知元素和未知元素聚集在一個平面內，實現點線、線線、線面、面面位置關系的轉化；
2.平移和射影，通過平移或射影達到將立體幾何問題轉化為平面問題，化未知為已知的目的；
3.等積與割補；
4.類比和聯想；
5.曲與直的轉化；
6.體積比，面積比，長度比的轉化；
7.解析幾何本身的創建過程就是「數」與「形」之間互相轉化的過程。解析幾何把數學的主要研究對象數量關系與幾何圖形聯系起來，把代數與幾何融合為一體。
二、中學數學常用解題方法
1. 配方法
配方法是指將一代數形式變形成一個或幾個代數式平方的形式.高考中常見的基本配方形式有：
（1)a^2+b^2= (a + b)^2- 2ab = (a -b)^2+ 2ab;
（2）a^2+ b^2+c^2= (a＋b + c)2- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（3）a^2+ b^2+ c^2-ab–bc–a c = [(a-b)^2+ (b-c)^2+(a-c)^2];
（配方法主要適用於與二次項有關的函數、方程、等式、不等式的討論，求解與證明及二次曲線的討論。
2.待定系數法
一 待定系數法是把具有某種確定性時的數學問題，通過引入一些待定的系數，轉化為方程組來解決。待定系數法的主要理論依據是：
（1）多項式f(x)=g(x)的充要條件是：對於任意一個值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多項式f(x) ≡g(x)的充要條件是：兩個多項式各同類項的系數對應相等；
二 運用待定系數法的步驟是：
（1）確定所給問題含待定系數的解析式（或曲線方程等）；
（2）根據恆等條件，列出一組含待定系數的方程；
（3）解方程或消去待定系數，從而使問題得到解決；
三 待定系數法主要適用於：求函數的解析式，求曲線的方程，因式分解等。
3.換元法
換元法是指引入一個或幾個新的變數代替原來的某些變數（或代數式），對新的變數求出結果之後，返回去求原變數的結果。換元法通過引入新的元素將分散的條件聯系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的問題。其理論根據是等量代換。高中數學中換元法主要有以下兩類：
（1）整體換元：以「元」換「式」； （2）三角換元 ，以「式」換「元」；
（3）此外，還有對稱換元、均值換元、萬能換元等；換元法應用比較廣泛。如解方程，解不等式，證明不等式，求函數的值域，求數列的通項與和等，另外在解析幾何中也有廣泛的應用。運用換元法解題時要注意新元的約束條件和整體置換的策略。
4.向量法
向量法是運用向量知識解決問題的一種方法，解題常用下列知識：
（1）向量的幾何表示，兩個向量共線的充要條件；（2）平面向量基本定理及其理論；
（3）利用向量的數量積處理有關長度、角度和垂直的問題；
（4）兩點間距離公式、線段的定比分點公式、平移公式；
5.分析法、綜合法
（1）分析法是從所求證的結果出發，逐步推出能使它成立的條件，直至已知的事實為止；分析法是一種「執果索因」的直接證法。
（2）綜合法是從已經證明的結論、公式出發，逐步推出所要求證的結論。綜合法是一種「由因導果」，敘述流暢的直接證法。
（3）分析法、 綜合法是證明數學問題的兩大最基本的方法。分析法「執果索因」的分析方法，思路清晰，容易找到解題路子，但書寫格式要求較高，不容易敘述清楚，所以分析法、綜合法常常交替使用。分析法、 綜合法應用很廣，幾乎所有題都可以用這兩個方法來解。
6.反證法
反證法是數學證明的一種重要方法，因為命題p與它的否定非p的真假相反，所以要證一個命題為真，只要證它的否定為假即可。這種從證明矛盾命題（即命題的否定）為假進而證明命題為真的證明方法叫做反證法。
一 反證法證明的一般步驟是：
（1）反設：假設命題的結論不成立，即假設結論的反面成立；
（2）歸謬：從命題的條件和所作的結論出發,經過正確的推理論證,得出矛盾的結果；
（3）結論：有矛盾判定假設不正確，從而肯定的結論正確；
二 反證法的適用范圍：（1）已知條件很少或由已知條件能推得的結論很少時的命題；
（2）結論的反面是比原結論更具體、更簡單的命題，特別是結論是否定形式（「不是」、「不可能」、「不可得」）等的命題；（3）涉及各種無限結論的命題；（4）以「最多（少）、若干個」為結論的命題；（5）存在性命題；（6）唯一性命題；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般關系不明確或難於直接證明的不等式等。
三 反證法的邏輯依據是「矛盾律」和「排中律」。
7.另外:還有數學歸納法、同一法、整體代換法等.

『貳』 怎樣證明一個初中數學問題已知線段成比例，證明分這兩條線段成比例的線段平行

解：用同一法證明，具體步驟如下：
過D作DM//BC交AC於M
由平行線分線段成比例，得AD/AB=AM/AC
又有AD/AB=AE/AC
則E、M重合
所以DE//BC

『叄』 數學歸納法為什麼是對的如何證明其正確性

從嚴格的數學角度來說，數學歸納法是一個嚴格的數學定理，注意不是公理。它是可以在集合論的一系列公理下被證明的。證明如下：

數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中：

第一步：驗證n取第一個自然數時成立。

第二步：假設n=k時成立，然後以驗證的條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。

最後一步總結表述。

需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

證明1：所有的馬都是一種顏色。

首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

第二步，假設這個命題對n成立，即假設任何n匹馬都是一種顏色。那麼當我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

1, 2, 3……n, n+1。

對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設可以得到，它們都是同一種顏色。

對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色。

由於這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

這個證明的錯誤來於推理的第二步：當n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那麼分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數學歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數都成立。

而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

合理性

數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。數學歸納法原理可以由下面的良序性質（最小自然數原理）公理可以推出：

自然數集是良序的。（每個非空的正整數集合都有一個最小的元素）。

比如{1, 2, 3 , 4, 5}這個正整數集合中有最小的數——1。

下面我們將通過這個性質來證明數學歸納法：

對於一個已經完成上述兩步證明的數學命題，我們假設它並不是對於所有的正整數都成立。

對於那些不成立的數所構成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬於集合S的，所以k>1）。

k已經是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬於S，這意味著k-1對於命題而言是成立的——既然對於k-1成立，那麼也對k也應該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。

注意到有些其它的公理確實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更確切地說，兩者是等價的。

以上內容參考網路-數學歸納法

『肆』 一道數學證明題！誰會啊~！

利用四點共圓（在圓內，主要由角相等或互補得到共線）
例2
、如圖，以銳角ΔABC的一邊BC為直徑作⊙O，過點A作⊙O的兩條切線，切點為M、N，點H是ΔABC的垂心.求證：M、H、N三點共線。(96中國奧數)
證明：射線AH交BC於D，顯然AD為高。
記AB與⊙O的交點為E，易知C、H、E三點共線。
聯結OM、ON、DM、DN、MH、NH，
易知
，
∴A、M、O、D、N五點共圓，更有A、M、D、N四點共圓，
此時，
因為
（B、D、H、E四點共圓），
即
；又
，所以
，故
同理，
。
因為
，所以，M、H、N三點共線。
3、利用面積法
如果
，點E、F位於直線MN的異側，則直線MN平分線段EF，即M、N與EF的中點三點共線。
例3
、如圖，延長凸四邊形ABCD的邊AB、DC交於點E，延長邊AD、BC交於點F，又
M、N、L分別是AC、BD、EF的中點，求證：M、N、L三點共線。
證明：設BC的中點為O，輔助線如圖所示，
由
可知，
點O必在
內，此時，
同理，
。
因此
。此時，直線MN平分EF，即M、N、L三點共線。
註：利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。
4、利用同一法
盡管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4後，你會感到，同一法在證明三點共線問題時，也有其用武之地。
例4
、如圖4(a)，凸四邊形ABCD的四邊皆與⊙O相切，切點分別為P、M、Q、N，設PQ與
MN交於S，證明：A、S、C三點共線。
證明：如圖4(b)，令PQ與AC交於
，
易證
互補。
而
，則
，
故
。再令MN與AC交於
。同理可得
但
，所以
。利用合比性質得，
。
因此，
，可斷定
與
必重合於點S，故A、S、C三點共線。
註：觀察本題圖形,顯然還可證得B、S、D三點共線；換言之，AC、BD、PQ、MN四線共點。
5、利用位似形的性質
如果
與
是兩個位似三角形，點O為位似中心，那麼不僅A、
、O；B、
、O；C、
、O分別三點共線，而且
、
的兩個對應點與位似中心O也三點共線，位似形的這種性質，對於證明三點共線，頗為有用。
例5、如圖,
內部的三個等圓⊙
、⊙
、⊙
兩兩相交且都經過點P，其中每兩個圓都與
的一邊相切,已知O、I分別是
的外心、內心，證明：I、P、O三點共線。
證明：聯結
、
、
。由已知得
、
、
。
可斷定
與
是一對位似三角形，
且易知
的內心I是兩者的位似中心。
因為⊙
、⊙
、⊙
為等圓，
即
,
所以點P是
的外心。又點O是
的外心，故P、O兩點是兩個位似三角形的對應點，利用位似形的性質，即得I、P、O三點共線。
6、
利用反證法
有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達到預期目的。
例6、如圖，梯形ABCD中、DC//AB，對形內的三點
、
、
，如果到四邊距離之和皆相等，那麼，
、
、
三點共線，試證之。
證明：先看
兩點，
設直線
分別交AD、BC於M
、N，
於
，
於
，
於
，
於
。
因為DC//AB，則點
到AB、CD的距離之和等於點
到AB、CD的距離之和。由已知可得
。過點
作AD的平行線、過點
作BC的平行線得交點P（由於AD與BC不平行）。記
交
於G，
交
於H。
觀察上式有
。所以，
。
因為
有兩條高
，所以，
是等腰三角形，則
。
故
。
再用反證法證明點
一定在
上：假設點
不在
上，聯結
並延長分別交AD、BC於
，易知點
在MN的異側；因為點
到AD、BC的距離之和等於點
到AD、BC的距離之和，由上述證明過程知必有
。
事實上，觀察圖形只能得到
，矛盾，這說明點
必在
上，即MN上，因此
、
、
三點共線。

『伍』 求證明。數學題目怎麼證明

可以用同一法。
直觀上有AF=AE=AS（後一個是待證明的）。假如如果該式成立，則有△ASE相似於△CED（雖然這用的是不合法的『SSA』，但在AE=AS的條件下，兩個三角形都是銳角三角形，因此必須是相似的。）
證明AE=AS可以用同一法（因為在△ABC被確定後整個圖形是唯一確定的。我們反過來給定S，證明D是內接圓的切點。）過A點作直線l平行於BC。l上取點S'，使AS』=AE且S』與F在AC的異側。作射線S』E交BC於點D'。由AS平行於BC知∠SAE=∠ECD；又由∠AES=∠CED，知△ASE』相似於△CD』E。故CE=CD』，因此D』是內切圓的切點。進而命題成立。

不知解答思路如何？謝謝你的問題，它幫助我找回了對幾何的興趣。

『陸』 數學方法 同一法

在符合同一法則的前提下,代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法.同一法是間接證法的一種。當要證明某種圖形具有某種特性而不易直接證明時，使用此法往往可以克服這個困難。
用同一法證明的一般步驟是:
(1)不從已知條件入手,而是作出符合結論特性的圖形;
(2)證明所作的圖形符合已知條件;
(3)推證出所作圖形與已知.

可以將求證與任意一題設交換證明，即已知逆命題的求解

『柒』 高中數學的數學歸納法證明為什麼是正確的我對此抱有質疑態度。讓n=1然後確實成立了，這時假設n=k

假設n=k成立，n=k就是條件，無條件成立，假設什麼成立不需要條件。