1. 隨機變數的數字特徵
土工試驗或原位測試得到的土樣的物理力學參數具有很大的隨機性，土的某項指標的某個數值出現的可能性就是一類隨機事件問題。如果用數學的方法來描述這一隨機事件，那麼，土體某項指標在其整個取值變化范圍內的連續體的集合就構成了隨機事件的樣本空間，而土工試驗測得的每個具體數值就是樣本空間里的樣本點，土工試驗測得的土樣某項指標的所有數值構成了樣本空間的一個子集，與隨機試驗結果相對應的有關數值為隨機變數。隨機變數的數字特徵可以分為位置特徵參數、散度特徵參數、分布特徵參數和相關特徵參數[81]。
3.2.1.1 位置特徵參數
位置特徵參數表示隨機變數的平均位置和特定位置，通常用均值μ來描述，均值又稱數學期望。隨機變數X的數學期望E（X）（μ=E（X））為
溫州淺灘軟土工程特性及固結沉降規律研究
式中：X為隨機變數；x為隨機變數的取值；p為離散型隨機變數取值為x的概率；f（x）為連續型隨機變數的概率密度。
3.2.1.2 散度特徵參數
方差、標准差是隨機變數離散程度的特徵參數。方差Var（X）的計算公式為
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標准差（均方差）σ（X）的計算公式為
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3.2.1.3 分布特徵參數
分布特徵參數是衡量隨機變數分布對稱性的參數，常用隨機變數的矩來表示。
隨機變數X的k階（原點）矩為E（Xk）（k=1，2，…）k階中心矩為E{[X-E（X）]k}（k=1，2，…）。一般用隨機變數X的三階中心矩來描述其分布對稱性：
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如果三階中心矩為0，則分布對稱於均值；如果為正數，則隨機變數在大於均值的范圍內更加離散；否則為負數。
3.2.1.4 相關特徵參數
描述兩個相關隨機變數X，Y（如抗剪強度指標c，ϕ）之間相互關系的數字特徵是相關系數ρXY。如果記隨機變數X，Y的協方差Cov（X，Y）為
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則兩者的相關系數為
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|ρXY|∈[0，1]，當|ρXY|=1時，隨機變數X，Y之間以概率1存在線性相關性；當|ρXY|=0 時，隨機變數X，Y之間不相關；|ρXY|越大，則隨機變數X，Y之間的線性相關程度越好。
2. 隨機過程的數字特徵主要有哪些它們分別表徵隨機過程的哪些特徵
均值：表示隨機過程的n個樣本函數曲線的擺動中心。
方差：表示隨機過程在時刻t相對於均值a(t)的偏離程度。
相關函數：表示隨機過程在任意兩個時刻上獲得的隨機變數之間的關聯程度。
3. 隨機過程的基本概念
在客觀世界中有些隨機現象表示的是事物隨機變化的過程，不能用隨機變數或隨機矢量來描述，而需要用一族無限多個隨機變數來描繪，這就是隨機過程。
圖1.14
隨機變數是指在同一條件下，事件每次發生的結果是隨機的、不確定的，而隨機過程是指在同樣條件下，事物發生的某一過程是隨機的、不可准確預知的。一個過程可能是由無限多個隨機變數構成，而隨機過程是由一族過程（隨機出現的）構成的。如對某一個鑽孔的水位進行連續觀測，以 H0（t）來表示水位，在第一個水文年觀測到的水位曲線為 H1（t），…，在第 n 個水文年裡觀測到的水位為Hn（t），每個水文年裡所得到的樣本曲線都是隨機的（圖 1.14）。{H（t），t∈（0，∞）}，怎樣理解為由一族隨機變數構成的呢?我們固定某一觀測時間 t0，考察 H（t）在每年 t0時刻的水位值 H1（t0），H2（t0），…，Hn（t0），顯然H（t0）是一個隨機變數，而當 t 變化時，H（t）是一族隨機變數。因此，H（t）是一個隨機過程。
同樣的道理，一個地區大氣降水的過程，某條河流的流量或河水位變化過程都可看成是一個隨機過程。由此可見，設{X（t），t∈T}為一隨機過程，一次過程的觀測可以視為隨機過程的一個樣本函數 X1（t），第 i 次過程的觀測可視為隨機過程的第i 個樣本函數Xi（t）。n次試驗觀測的結果可得樣本函數X1（t），X2（t），…，Xn（t）。對於隨機過程 X（t），當 t 固定時，為一個隨機變數，即隨機過程在 t 時刻的狀態。隨機變數 X（t），t∈T（t 固定）的所有可能取的值構成一個實數集，稱為隨機過程的狀態空間或值域，而每一個可能取的值稱為一個狀態。
隨機過程可根據參數集T和狀態空間的情況進行分類，一般地隨機過程可分為下列四類：
（1）離散參數、離散狀態隨機過程。
（2）離散參數、連續狀態隨機過程。
（3）連續參數、離散狀態隨機過程。
（4）連續參數、連續狀態隨機過程。
1.3.1 有限維分布族
隨機過程{X（t），t∈T}在每一時刻 t 的狀態是一維隨機變數，在任意兩個時刻的狀態是二維隨機變數。隨機過程的統計特徵可用其不同固定時刻的不同維隨機變數（矢量）的分布的全體來表示。
對任意固定的t∈T，
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稱為隨機過程X（t）在t時刻的一維分布函數。
對於任意兩個固定的t1，t2∈T
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稱為隨機過程X（t）的二維分布函數。
一般地，對於任意固定的t1，t2，…，tn∈T，
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稱為隨機過程X（t）的n維分布函數。
隨機過程X（t）的一維分布函數，二維分布函數，…，n維分布函數的全體稱為隨機過程的有限維分布函數族。
1.3.2 隨機過程的數字特徵
隨機過程的數字特徵是通過隨機過程的有限維分布函數的數字特徵來刻畫，由於隨機過程{X（t），t∈T}在每一個 t∈T 的狀態是一個隨機變數，有其對應的數字特徵。隨 t 的不同取值，隨機變數的數字特徵是可以不同的，它的數學期望和方差是依賴於參數 t 的函數，我們稱這一函數為隨機過程的數字特徵。設隨機過程 X（t）t∈T 的數學期望用mX（t）表示，則有：
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式中：F（x，t）——隨機過程的一維分布函數。
若F（x，t）為連續函數，則有：
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式中：f（x，t）——一維分布密度函數。
如圖1.15所示，當樣本曲線數增加到一定數量後，mX（t）基本為一條固定曲線，而樣本曲線圍繞其上下波動。
設隨機過程X（t）t∈T的方差用DX（t）表示，則有：
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而σX（t）=稱為隨機過程的標准差。
隨機過程的方差也是過程t的函數，它反映了每一個樣本曲線對均值曲線mX（t）的偏離程度。
在分析實際工程問題時，隨機過程的均方值具有物理意義，隨機過程的均方值用ΨX（t）表示，則有：
圖1.15
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從而有：
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隨機過程的均值函數和方差函數只考慮了隨機過程在任一時刻狀態的數字特徵，但對隨機過程在不同時刻狀態之間的相關關系的分析，必須有隨機過程協方差函數和相關函數的概念。
隨機過程X（t）在任意兩個時刻t1，t2∈T，X（t1）和X（t2）是兩個隨機變數，它們之間線性聯系的密切程度可用相關函數：
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描繪。
X（t1）與X（t2）的協方差稱為隨機過程X（t）的（自）協方差函數，記為CX（t1，t2），即：
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如果兩個隨機過程的方差相同，可以用協方差函數絕對值的大小比較兩個過程在時刻t1，t2狀態的線性聯系密切程度。如圖1.16（a）和（b）所示的兩個隨機過程的數學期望和方差相同，但（a）過程在不同時刻的線性聯系程度要小於（b）過程。
協方差函數還可以表示為：
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相關函數可以表示為：
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隨機過程X（t）的協方差函數和相關函數的關系為：
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圖1.16
當隨機過程的mX（t）=0時，
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當t1=t2時，
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不難看出，數學期望和相關函數是隨機過程兩個最基本的數字特徵，協方差函數和方差可從它們中獲得。
在眾多類型的隨機過程中，正態（隨機）過程（高斯過程）在工程中十分常見，也十分重要和有用。
如果隨機過程{X（t），t∈T}的有限維概率分布是一維或多維正態分布：即對 n≥1，任意的 t1，t2，…，tn∈T，有：
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式中：x=（x1，x2，…，xn）T
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則稱X（t）是正態（隨機）過程或Gauss過程。
1.3.3 兩個隨機過程的聯合分布
在工程技術中，經常需要同時考慮兩個或兩個以上隨機過程的統計特性，如對於一個地下水系統而言，大氣降水的補給量P（t）是一個隨機過程，對應的地下水系統響應（如泉流量或水位動態）也是一個隨機過程。我們經常要研究地下水系統輸入隨機過程與響應（輸出）隨機過程之間的關系，從而涉及研究兩個隨機過程的情形。
設 X（t），Y（t）（t∈T）是兩個隨機過程，則稱{（X（t），Y（t）}T，t∈T}為二維隨機過程。
對於任意的m≥1，有t1，t2，…，tm∈T，t1′，t2′，…，tn′∈T，作m+n維隨機矢量（X（t1），X（t2），…，X（tm））的聯合分布函數：
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稱為二維隨機過程（X（t），Y（t））T的m+n維（聯合）分布函數。
對於隨機過程X（t），Y（t），t∈T，固定t1，t2∈T，則：
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為隨機過程X（t），Y（t）的互相關函數。
4. 平穩隨機過程的哪些數字特徵為常數：數學期望、 . 謝謝
只有這個
為確定函數 常記作a（t）
表示隨機過程的幾個樣本函數的擺動中心
5. 隨機過程的定義
隨機過程定義[1]
1. 設隨機試驗的樣本空間為 ，對於空間的每一個樣本 ，總有一個時間函數 與之對應，而對於空間的所有樣本 ，可有一組時間函數 與其對應，那麼，此時稱此組時間函數 為隨機過程 。
2. 對於某一固定時刻 ， 為時間函數在 時 的狀態，它是一個隨機變數，它的樣本空間為 。如果把該狀態樣本空間描述為狀態函數的形式，那麼我們依賴於時刻t就有一組這樣的狀態函數，我們稱此組狀態函數 為隨機過程 。
定義1與定義2本質上是一致的，後者常用於做理論分析。
討論
1. 若t和x都是變數，則隨機過程是一組樣本記錄，可用全部樣本記錄的集合描述；
2. 若t是變數，而x是固定值，則隨機過程只是一個樣本記發，它可描述為一個確定的時間函數；
3. 若t是固定值，而x是變數，則隨機過程是一個隨機變數，它只是全部樣本記錄中某個固定時刻的點集合；
4. 若t和x都是固定值，則隨機過程是確定值。
顯然，只有（1）才反映一個隨機變數的完整的隨機過程，其他都只是隨機過程的一個樣本或樣點。
隨機過程分類[1]
1. 按時間和狀態是否連續分為：連續型隨機過程、離散型隨機過程、連續隨機序列、離散隨機序列；
2. 按樣本函數形式分為：不確定隨機過程和確定隨機過程；
3. 按隨機過程分布函數的特性不同分為：平穩過程、馬爾克夫過程、獨立增量過程等；
4. 按有無平穩性分為：平穩隨機過程和非平穩隨機過程；
5. 按有無各態歷經分為：各態歷經隨機過程和非各態歷經隨機過程；
6. 按功率譜特性分為：白色過程和有色過程，寬頻過程和窄帶過程。
隨機過程的統計特性
1. 隨機過程的均值函數
計算隨機過程均值的方法有兩種，一是關於總體樣本點的平均，簡稱總體平均；二是關於時間樣本點的平均，簡稱時間平均。
究竟採用上述哪種平均法，可根據隨機變數的隨機過程是否為平穩隨機過程加以確定。但不論是否為平穩過程，採用總體平均的方法總是通用的。
（1）
該均值對平穩隨機過程來說，為物理量隨機信號的平均幅值，它反映了物理量的隨機信號的直流分量。
2. 隨機過程的協方差函數
3. 隨機過程的方差函數
對於平穩隨機過程來說，它是一種定量反映物理量隨機信號脈動能量大小的一個量。
4. 隨機過程的相關函數
5. 隨機過程協方差函數與相關函數之間的關系
6. 隨機過程均值函數、方差函數之間的關系
均方值函數為方差函數與均值函數的平方之和，即對平穩隨機過程來說，隨機信號的總體能量為直流能量與脈動能量之和。
7. 單個樣本記錄的時間平均
時間平均是一種針對「各態歷經」過程的隨機信號統計特徵的平均方法。它只需要一個樣本記錄 ，並從中獲取隨機信號的統計特徵。值得一提的是，由於物理現象中大多數參變數的信號為平穩過程，並可將它們近似為各態歷經的，所以工程中對於獲取有關平穩過程隨機信號的統計特性常採用時間平均法。
對於一個平穩隨機過程來說，信號的時間平均結果應與總體平均的結果具有同樣的效果。
幾個重要的隨機過程
1. 平穩隨機過程
採用和或計算隨機過程的一階矩和二階矩時，如果其結果不隨給定時刻t而變化，那麼該隨機過程就為弱平穩過程或廣義平穩過程，工程上也稱之為平穩過程。
2. 強平穩過程
如果對於一個隨機過程來說，除了一階矩和二階矩的結果外，它的無限個高階矩和聯合矩的結果都不隨給定時刻t而變化，那麼該隨機過程就為強平穩過程。
3. 非平穩過程
在採用和或求取隨機過程的一階矩和二階聯合矩時，只要它們的結果中有一個隨給定時刻t而變化，那麼該隨機過程就為非平穩過程。
4. 各態歷經過程
對於在可能控制的相同實驗條件下所有樣本記錄來說，如果它們每一個樣本記錄都包含相同的隨機現象的特徵信息，則可稱該隨機現象的隨機過程為各態歷經的。顯然，對「各態歷經」過程的隨機信號來說，無需採用總體平均這一方法獲取信號的平均值，而只需取一個單個樣本作時間平均即可。工程上，一般可以將一個平穩的隨機過程看成是「各態歷經」的。
6. 什麼是隨機過程的數學期望和方差它們分別描述了隨機過程的什麼性質
隨機過程中，如果固定時間t,可以把方程看成一個概率方程，那麼此時，就有了期望和方差。
7. 什麼是隨機過程
一般來說，把一組隨機變數定義為隨機過程。在研究隨機過程時人們透過表面的偶然性描述出必然的內在規律並以概率的形式來描述這些規律，從偶然中悟出必然正是這一學科的魅力所在。隨機過程整個學科的理論基礎是由柯爾莫哥洛夫和杜布奠定的。這一學科最早源於對物理學的研究，如吉布斯、玻爾茲曼、龐加萊等人對統計力學的研究，及後來愛因斯坦、維納、萊維等人對布朗運動的開創性工作。1907年前後，馬爾可夫研究了一系列有特定相依性的隨機變數，後人稱之為馬爾可夫鏈。1923年維納給出布朗運動的數學定義，直到今日這一過程仍是重要的研究課題。隨機過程一般理論的研究通常認為開始於20世紀30年代。1931年，柯爾莫哥洛夫發表了《概率論的解析方法》，1934年A·辛欽發表了《平穩過程的相關理論》，這兩篇著作奠定了馬爾可夫過程與平穩過程的理論基礎。1953年，杜布出版了名著《隨機過程論》，系統且嚴格地敘述了隨機過程基本理論。
8. 寬平穩隨機過程的基本數字特徵需滿足哪兩個條件
1.寬平穩過程定只涉及與一維、二維分布有關的數字特徵，所以一個嚴平穩過程只要二階矩存在，則必定是寬平穩過程。但反過來，一般是不成立的。
2.正態過程是一個重要特例，一個寬平穩的正態過程必定是嚴平穩的。
9. 什麼是隨機過程什麼是平穩隨機過程，非平穩隨機過程
平穩隨機過程
在數學中，平穩隨機過程（stationary
random
process）或者嚴平穩隨機過程（strictly-sense
stationary
random
process），又稱狹義平穩過程，是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機過程：即隨機過程的統計特性不隨時間的推移而變化。這樣，數學期望和方差這些參數也不隨時間和位置變化。