考研數學證明題如何設輔助函數

Ⅰ 柯西中值定理標准證明輔助函數怎麼設

一般來說構造輔助函數是沒有一定之規的，且技巧性很強，但是也不是沒有大致規律可循的。比如拉格朗日中值定理和柯西中值定理，首先它們都是關於函數中值的問題，而這一問題有一個基礎的定理：羅爾定理，因此構造的輔助函數要盡可能滿足羅爾定理的條件。也就是要構造的函數滿足在x=a和x=b點的函數值相等，並且其導數等於0時的形式就是要證的定理中表達式的形式。以拉格朗日中值定理為例，首先畫出示意圖就可以注意到拉格朗日中值定理其實就是羅爾定理中的圖形旋轉一個角度而已，寫出過點(a,f(a)),(b,f(b))的方程：f(x)-f(a)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，可以看出如果令f(x)=f(x)-f(a)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a)，則f(a)=f(b)，且f'(x)=f'(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)，令f'(x)=0則正是拉格朗日中值定理要證的表達式。柯西中值定理也是一樣的道理。

Ⅱ 高數羅爾定理構造輔助函數

構造輔助函數時(這種情況適用於所有一階齊次微分方程的情況→即f(x)與f~(x)只差一階導時)，先把方程寫成一階齊次微分方程的形式:f~(∮)+g(∮)f(∮)=0，再把∮改成x，最後兩端同乘e~(∫g(x)dx)，即可得到輔助函數。

羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。

羅爾定理描述如下：

如果R上的函數 f(x) 滿足以下條件：

（1）在閉區間[a,b] 上連續。

（2）在開區間(a,b) 內可導。

（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

證明：

因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。

2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

Ⅲ 高數里證明題里的輔助函數是怎麼設的，根據

這個要根據要證明的部分反推，乘積，除法都可以試一下

Ⅳ 考研高數構造這個輔助函數的步驟是什麼

Ⅳ 我知道要構造一個輔助函數還要用羅爾定理，可是不懂怎麼構造，思路在哪裡。求解

解答如下：

構造輔助函數h(x)=e^(-arcsinx)·f(x)，萬能輔助函數h(x)=e^g(x)·f(x)h'(x)=e^g(x)·[f'(x)+g'(x)f(x)]。

本題，g'(x)=-1/√(1-x^2)得到，g(x)=-arcsinx，所以，構造輔助函數h(x)=e^(-arcsinx)·f(x)

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羅爾定理描述如下：

如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。


若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。

Ⅵ 考研數學 微分中值定理的題目怎麼設輔助函數呢

09年數一考的微分中值定理證明沒做出來的都認為是看課本沒看仔細，可是李永樂的復習大全裡面是很清楚的講了這一類題的證明方法的，大概思路就是令G(x)=原式左邊-右邊，然後等號左右兩邊求積分，再去證明積分後有兩點的值相等，再用羅爾定理證明就可以了

Ⅶ 考研數學中值定理證明題

構造輔助函數，F'(x)=f(x)f''(x)+(f'(x))^2，F(x)=f(x)·f'(x)

我們目的是，證明F（x）在三個不同的點是取相同的值的，
從而可用羅爾定理證F』（x）有兩個不同的零點
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點

想想這道題有過哪些特殊點，
我們通過第一題已知f（η）=0，那麼很容易想到，讓F(x)=0
F(η)=f(η)·f'(η)=0，

還有沒有點0？
這題有一個陷阱，就是f(0)=0，而不是<0。
極限存在必有限，f(x)=f(x)/x ·x ；有界×無窮小=0
（其實不難理解，f(x)必須是x的同階無窮小，哪怕找個f(x)=x驗證下也就不會錯得f(0)<0了。）
所以F(0)=f(0)·f'(0)=0

前面我們兩個F(x)=0都是用了f(x)=0，f』(x)還沒用到，一般地，題目會讓f』(x)也能得0
因為f(0)=f(η)，故有f'(ξ)=0, F(ξ)=0, 0<ξ<η
因為F(0)= F(ξ)=0,故有F』（a）=0，a∈(0,ξ)包含於（0,1）
因為F(ξ)= F(η)=0,故有F』（b）=0，b∈(ξ,η)包含於（0,1）
即f(x)f''(x)+(f'(x))^2=0有兩個零點a,b∈（0,1）

Ⅷ 高數用拉格朗日中值定理怎麼構造輔助函數

拉格朗日中值定理是微分學中最重要的定羅爾定理來證明.理之一,它是溝通函數與其導數之間的橋梁,也是微分學的理論基礎.一般高等數學教材上,大都是用羅爾定理證明拉朗日中值定理,直接給出一個輔助函數,把拉格朗日定理的證明歸結為用羅爾定理,證明的關鍵是給出—個輔助函數.怎樣構作這一輔助函數呢?給出兩種構造輔助函數的去.羅爾定理：函數滿足在[a,b止連續,在(a,b)內可導,且f(a)=f(b),則在(a,b)內至少存在一點∈,使f(∈)==o(如圖1).拉格朗日定理：若f(x)滿足在『a,b』上連續,在(a,b)內可導,則在(a,b)內至少存在_∈,使(如圖2).比較定理條件,羅爾定理中端點函數值相等,f,而拉格朗日定理對兩端點函數值不作限制,即不一定相等.我們要作的輔助函數,除其他條件外,一定要使端點函數值相等,才能歸結為:1.首先分析要證明的等式：我們令……(1)
則只要能夠證明在(a,b)內至少存在一點∈,使f(∈t就可以了.由有,f(b)-tb=f(a)-ta……(2)
分析(2)式,可以看出它的兩邊分別是f(x)=f(x)-tx在b,a觀點的值.從而,可設輔助函數f(x)=f(x)-tx.該函數f(x)滿足在{a.b{上連續,在(a,b)內可導,且f(a)=f(b).根據羅爾定理,則在(a,b)內至少存在一點∈,使f.(∈)=o.也就是f(∈)-t=o,也即f(∈)=t,代人(1)得結論
2.考慮函數
我們知道其導數為
且有f(a)=f(b)=0.作輔助函數,該函數f(x)滿足在[a,b]是連續,在(a,b)內可導,且ff.根據羅爾定理,則在(a,b)內至少存在一點∈,使f』從而有結論成立.用導數的方法是高中所學內容啊
第一個是大學的內容.第二個是高中的內容

Ⅸ 2012數學考研證明題解法

把不等式右邊的移到左邊去，即需要證明左側的函數在定義域內大於等於0.。構建輔助函數F，F等於左側函數，對其進行二次求導。。二次導數可以證明其實大於0的，就能證明一次導數在定義域遞增，可算出一次導函數的零點，則在零點左側，一次導函數小於0，F遞減；在零點右側，一次導函數大於0，F遞增。。由此可知在一次導函數去的零點的點處，F取得極小值。。算出極小值minF（算出來等於0），則帶入其中即可得到F大於等於minF=0.再把其原來右側的移過去，即得證