高等數學極限題如何掌握

1. 高數中關於函數極限的法則

極限是高等數學的基礎，要學清楚。
設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函數，a∈R.如果對於任意給定的ε>0，存在正數X，使得對於適合不等式x>X的一切x，所對應的函數值f(x)都滿足不等式. │f(x)-A│<ε , 則稱數A為函數f(x)當x→+∞時的極限，記作 f(x)→A(x→+∞). 例y=1/x，x→+∞時極限為y=0 函數極限是高等數學最基本的概念之一，導數等概念都是在函數極限的定義上完成的。 極限符號可記為lim。
函數極限可以分成x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，而運用ε-δ定義更多的見諸於已知極限值的證明題中。掌握這類證明對初學者深刻理解運用極限定義大有裨益。以x→Xo 的極限為例，f(x) 在點Xo 以A為極限的定義是： 對於任意給定的正數ε（無論它多麼小），總存在正數δ ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對應的函數值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε ，那麼常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。 問題的關鍵在於找到符合定義要求的 ，在這一過程中會用到一些不等式技巧，例如放縮法等。1999年的研究生考試試題中，更是直接考察了考生對定義的掌握情況。詳見附例1。 函數極限性質的合理運用。常用的函數極限的性質有函數極限的唯一性、局部有界性、保序性以及函數極限的運演算法則和復合函數的極限等等。如函數極限的唯一性（若極限 存在，則在該點的極限是唯一的）
有些函數的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。 1.夾逼定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立 （2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A 不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。 2.單調有界准則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。 在運用以上兩條去求函數的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函數 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函數 的極限值。 3.柯西准則 數列收斂的充分必要條件是任給ε>0,存在N(ε),使得當n>N,m>N時，都有|am-an|<ε成立。

2. 大一高等數學，數列極限怎麼求啊

結果是3/5。

計算過程如下：

(3n+2)/(5n+1)

=(3+2/n)/(5+1/n)

當n→∞時，2/n→0，1/n→0

那麼

lim(n→∞)(3+2/n)/(5+1/n)

=(3+0)/(5+0)=3/5

等價無窮小的轉化， （只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用 但是前提是必須證明拆分後極限依然存在） e的X次方-1 或者 （1+x）的a次方-1等價於Ax 等等，（x趨近無窮的時候還原成無窮小）。

(2)高等數學極限題如何掌握擴展閱讀：

等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。

求極限時，使用等價無窮小的條件：

被代換的量，在取極限的時候極限值為0；

被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。

3. 高數極限問題

極限的十四種方法, 1：利用兩個准則求極限, 2:利用極限的四則運算性質求極限, 3:利用兩個重要極限公式求極限, 4：利用單側極限求極限，5：利用函數的連續性求極限, 6：利用無窮小量的性質求極限, 7：利用等價無窮小量代換求極限, 8：利用導數的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達法則求極限, 11：利用定積分求和式的極限,12：利用級數收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。
關鍵詞: 夾逼准則, 單調有界准則, 無窮小量的性質, 洛必達法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式, 級數收斂的必要條件.
極限是數學分析的基礎，數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數y＝f(x)在處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。
1：利用兩個准則求極限。
(1)夾逼准則：若一正整數 N,當n>N時，有且則有 .
利用夾逼准則求極限關鍵在於從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和 ，使得。
例[1]
求的極限
解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項
則
又因為
（2）：單調有界准則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。
利用單調有界准則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然後根據數列的通項遞推公式求極限。
例：[1] 證明下列數列的極限存在，並求極限。
證明：從這個數列構造來看 顯然是單調增加的。用歸納法可證。
又因為
所以得. 因為前面證明是單調增加的。
兩端除以 得
因為則, 從而
即 是有界的。根據定理有極限，而且極限唯一。
令 則
則. 因為 解方程得
所以
高等數學中極限問題的解法詳析 
2018-06-30
6頁
4.46分
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數學分析中極限的求法 
摘要:本文主要歸納了數學分析中求極限的十四種方法, 1：利用兩個准則求極限, 2:利用極限的四則運算性質求極限, 3:利用兩個重要極限公式求極限, 4：利用單側極限求極限，5：利用函數的連續性求極限, 6：利用無窮小量的性質求極限, 7：利用等價無窮小量代換求極限, 8：利用導數的定義求極限, 9：利用中值定理求極限, 10：利用洛必達法則求極限, 11：利用定積分求和式的極限,12：利用級數收斂的必要條件求極限, 13：利用泰勒展開式求極限, 14：利用換元法求極限。
關鍵詞: 夾逼准則, 單調有界准則, 無窮小量的性質, 洛必達法則, 中值定理, 定積分, 泰勒展開式, 級數收斂的必要條件.
極限是數學分析的基礎，數學分析中的基本概念來表述，都可以用極限來描述。如函數y＝f(x)在處導數的定義，定積分的定義，偏導數的定義，二重積分，三重積分的定義，無窮級數收斂的定義，都是用極限來定義的。極限是研究數學分析的基本公具。極限是貫穿數學分析的一條主線。學好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數是否存在極限。2：若函數否存在極限，則考慮如何計算此極限。本文主要是對第二個問題即在極限存在的條件下，如何去求極限進行綜述。
1：利用兩個准則求極限。
(1)夾逼准則：若一正整數 N,當n>N時，有且則有  .     
利用夾逼准則求極限關鍵在於從的表達式中，通常通過放大或縮小的方法找出兩個有相同極限值的數列和 ，使得。
例[1]                                 
求的極限
解：因為單調遞減，所以存在最大項和最小項
則
又因為
（2）：單調有界准則：單調有界數列必有極限，而且極限唯一。
利用單調有界准則求極限，關鍵先要證明數列的存在，然後根據數列的通項遞推公式求極限。
例：[1]  證明下列數列的極限存在，並求極限。       證明：從這個數列構造來看  顯然是單調增加的。用歸納法可證。 
又因為
所以得. 因為前面證明是單調增加的。
兩端除以 得 
因為則, 從而 

4. 高等數學求極限題目 具體都有哪些做法 或者拿到一個極限題目首先要怎麼入手呢

1. 代入法, 分母極限不為零時使用.先考察分母的極限,分母極限是不為零的常數時即用此法.
【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)
=(3-3)/(9+3+1)=0
【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx
=(lg1+e^0)/arccos0
=(0+1)/1
=1
2. 倒數法,分母極限為零,分子極限為不等於零的常數時使用.
【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)
∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞
以後凡遇分母極限為零,分子極限為不等於零的常數時,可直接將其極限寫作∞.
3. 消去零因子（分解因式）法,分母極限為零,分子極限也為零,且可分解因式時使用.
【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)
=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)
=lim[x-->1](x-1)/x
=0
【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)
= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]
= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)
=-2/5
【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)
= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]
= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)
=∞
【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h
lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h
= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h
= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]
=2x^2
這實際上是為將來的求導數做准備.
4. 消去零因子（有理化）法,分母極限為零,分子極限也為零,不可分解,但可有理化時使用.可利用平方差、立方差、立方和進行有理化.
【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x
= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝
= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]
=0
【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))
=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]
÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}
=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]
=-2
5. 零因子替換法.利用第一個重要極限：lim[x-->0]sinx/x=1,分母極限為零,分子極限也為零,不可分解,不可有理化,但出現或可化為sinx/x時使用.常配合利用三角函數公式.
【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx
lim[x-->0]sinax/sinbx
= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)
=1*1*a/b=a/b
【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx
lim[x-->0]sinax/tanbx
= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx
=a/b
6. 無窮轉換法,分母、分子出現無窮大時使用,常常借用無窮大和無窮小的性質.
【例12】lim[x-->∞]sinx/x
∵x-->∞ ∴1/x是無窮小量
∵|sinx|∞]sinx/x=0
【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)
= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)
=1/2
【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)
=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)
=1/4
【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50
= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30
= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30
=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50

5. 怎樣才能學好高數的極限問題

1.在極限四則運算中有...但是為什麼在無窮小量的差、和計算的時候不能分別代入等價無情小再據上面的公式計算？
【因為沒有這個性質】
乘積項（分子或分母）中的都一樣，因為根據
極限的四則運演算法則
的
乘積法則，把分子分母同乘上
等價無窮小量
，很明顯就有了【等價無窮小代換】的性質了；
但
加減
不同，因為還有
高階無窮小
；學過
泰勒定理
就很清楚了；如：
lim（x->0)
[x-sinx]/x^3
=1/6
實際
分子
x
-
sinx
是
x^3
的同階無窮小；【sinx=x-x^3/6
+o(x^3)】
你一替換它不僅消去了消去
一階無窮小，同時也把
三階無窮小量
-x^3/6
也消去了；
2.羅必塔法則是用在極限上的還是求導上的？
【羅必塔法則】是藉助
導數
幫助我們求
極限
的；
極明白又常用的定理，用它把書上的例子都做了就啥都懂了，不用資料；
3.僅就圖片上的問題；
【極限的四則運演算法則】只不過他把兩條性質
簡寫
處理了,他是默認這個大家都應該明白：
lim
f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)
lim
f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)

6. 高等數學中幾種求極限的方法

極限是微積分中的一條主線，是學好微積分的重要前提條件。而此問題一般來說比較困難，要根據具體情況進行具體分析和處理，方法很多比較凌亂。以下是我搜索整理的高等數學中幾種求極限的方法，供參考借鑒！

一、由定義求極限

極限的本質――既是無限的過程，又有確定的結果。一方面可從函數的變化過程的趨勢抽象得出結論，另一方面又可從數學本身的邏輯體系下驗證其結果。

然而並不是每一道求極限的題我們都能通過直觀觀察總結出極限值，因此由定義法求極限就有一定的局限性，不適合比較復雜的題。

二、利用函數的連續性求極限

此方法簡單易行但不適合於f(x)在其定義區間內是不連續的函數，及f(x)在x0處無定義的情況。

三、利用極限的四則運演算法則和簡單技巧求極限

極限四則運演算法則的條件是充分而非必要的，因此，利用極限四則運演算法則求函數極限時，必須對所給的函數逐一進行驗證它是否滿足極限四則運演算法則條件。滿足條件者，方能利用極限四則運演算法則進行求之，不滿足條件者，不能直接利用極限四則運演算法則求之。但是，並非不滿足極限四則運演算法則條件的函數就沒有極限，而是需將函數進行恆等變形，使其符合條件後，再利用極限四則運演算法則求之。而對函數進行恆等變形時，通常運用一些簡單技巧如拆項，分子分母同乘某一因子，變數替換，分子分母有理化等等。

四、利用兩邊夾定理求極限

定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，則limZ=A

兩邊夾定理應用的關鍵：適當選取兩邊的函數(或數列)，並且使其極限為同一值。

注意：在運用兩邊夾定理求極限時要保證所求函數(或數列)通過放縮後所得的.兩邊的函數(或數列)的極限是同一值，否則不能用此方法求極限。

五、利用單調有界原理求極限

單調有界准則即單調有界數列必定存在極限。使用單調有界准則時需證明兩個問題：一是數列的單調性，二是數列的有界性;求極限時，在等式的兩邊同時取極限，通過解方程求出合理的極限值。

利用單調有界原理求極限有兩個難點：一是證明數列的單調性，二是證明數列的有界性，在證明數列的單調性和數列的有界性時，我們通常都採用數學歸納法。

六、利用等價無窮小代換求極限

在實際計算過程中利用等價無窮小代換法或與其它方法相結合，不失為一種行之有效的方法，但並非計算過程中所有的無窮小量都能用其等價的無窮小量來進行計算。用等價無窮小代換時，只能代換分子、分母中的乘積因子，而不能代換其中的加減法因子。於是用等價無窮小代換的問題便集中到對於分子、分母中的加減法因子如何進行x的等價無窮小代換這一點上，在利用等價無窮小代換的方法求極限時必須把分子(或分母)看作一個整體，用整個分子(或分母)的等價無窮小去代換。

七、利用泰勒展式求極限

運用等價無窮小代換方法求某些極限，往往可以減少計算量，使問題得以簡化。但一般說來，這種方法僅限於求兩個無窮小量是乘或除的極限，而對兩個無窮小量非乘或非除的極限，對於一些未能確定函數極限形態的關系式，不能用洛必達法則及等價無窮小代換方法，須用泰勒公式去求極限。

八、利用級數收斂的必要條件求極限

求極限的方法有很多種，在解題時，這些方法並不是孤立的，常常一個問題需要用到幾種方法。根據題目給出的條件，選擇適當的方法結合使用，能使運算更簡捷，起到事半功倍的效果。同時又能加強對微積分知識整體上的深層次認識，對學好微積分是大有裨益的。

分數求極限的方法

1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；

2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化，然後運用(1)中的方法；

3、運用兩個特別極限；

4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函數。它不是所向無敵，不可以代替其他所有方法，一樓言過其實。

5、用Mclaurin(麥克勞琳)級數展開，而國內普遍誤譯為Taylor(泰勒)展開。

6、等階無窮小代換，這種方法在國內甚囂塵上，國外比較冷靜。因為一要死背，不是值得推廣的教學法；二是經常會出錯，要特別小心。

7、夾擠法。這不是普遍方法，因為不可能放大、縮小後的結果都一樣。

8、特殊情況下，化為積分計算。

9、其他極為特殊而不能普遍使用的方法。

7. 如何學好高等數學中的 極限

主要要求你能掌握方法，極限中有很多中求法。比如無窮小乘以有界量還是無窮小，重要極限,羅畢達法則等等。多做習題當然不是亂作，在做題中總結規律和方法，都寫在一張紙上。等你做的差不多的時候你會發現你總結的方法就可以解決你所有的題目了。

如果你還是比較迷茫，我可以給你一個當時我使用的的方法參考。

從一本參考書中找到極限部分的習題，當然了題目都很全面各種類型的都包括了！但是題目很簡單不難！（一共50道題）准備一張白紙，做一道題就把它使用的方法寫在紙上，下一道題你會發現同上一題方法一樣沒關系在剛才寫的方法後邊寫正字，不會做的問老師或同學。等你都做完了你會發現就那麼十幾種，把他們看看清楚你就會記住了！
當然了很多題目需要你採用老方法。80%~90%的極限題目幾乎你都可以用羅畢達法則來做，那樣就失去意義了，盡量採用兩種方法會更好。

其實到最後你會發現真的極限題目只會使用上邊說的三中方法。類似重要極限二的題目會遇到這樣一種。
lim(分式但可化為1+無窮小量的形式)^任意次方=lim（1+無窮小量）^無窮小量的倒數*無窮小量*任意次方

比如lim{(x+1)/x}^3x x趨於無窮
=lim{1+1/x}^[x*(1/x)*3x]
=`````````````*(1/x)*3x]```````````部分組成重要極限二
=e^[lim(1/x) * 3x]
=e^3

多總結沒有壞處！！！

8. 大學高數極限應該怎麼學

你可以先自己預習課本，學會總結，如果又不懂的問題，帶著問題去聽課這樣效果最好。
高數極限是高數中最為基礎的一章節。要多做並熟練掌握極限運算的典型方法。它包括重要極限公式2個、羅布塔法則、無窮小等價代換、非零極限因式邊做邊代換、無窮小與有界函數任是無窮小、分段函數的極限方法、抽象函數求極限等。自己總結會更加的印象深刻。
加油！

9. 高數中求極限的方法總結

1、極限分為一般極限，還有個數列極限

區別在於數列極限是發散的，是一般極限的一種。

2、解決極限的方法如下

（1）等價無窮小的轉化(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分後極限依然存在)，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價於Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。

（2）洛必達法則（大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)首先它的使用有嚴格的使用前提，必須是X趨近而不是N趨近(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限，當然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件。還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的不可能是負無窮)。必須是函數的導數要存在(假如告訴你g(x),沒告訴你是否可導，直接用無疑是死路一條)。必須是0比0，無窮大比無窮大!當然還要注意分母不能為0。

3、泰勒公式

(含有e^x的時候，尤其是含有正余旋的加減的時候要特變注意)e^x展開，sinx展開，cos展開，ln(1+x)展開對題目簡化有很好幫助。

4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母，看上去復雜處理很簡單。

5、無窮小與有界函數的處理辦法

面對復雜函數時候，尤其是正餘弦的復雜函數與其他函數相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復雜的函數可能只需要知道它的范圍結果就出來了。

6、夾逼定理

(主要對付的是數列極限)這個主要是看見極限中的函數是方程相除的形式，放縮和擴大。

7、等比等差數列公式應用

對付數列極限，q絕對值符號要小於1。

8、各項的拆分相加

來消掉中間的大多數，對付的還是數列極限，可以使用待定系數法來拆分化簡函數。

9、求左右求極限的方式

(對付數列極限)例如知道Xn與Xn+1的關系，已知Xn的極限存在的情況下，Xn的極限與Xn+1的極限是一樣的，應為極限去掉有限項目極限值不變化。

10. 「微積分」如何理解極限定義四道題輕松掌握極限定義理解與應用

在這一微積分解題系列中，一些基礎的知識點不會在此文呈現出來，而是要你用大腦去回憶與題目相關的知識點。本系列僅僅是通過一些代表性的題目來夯實高等數學即微積分當中的基本概念、基本定理、基本公式、基本技能等。所以不會像其他書上那樣講定義等知識點。

本期主要內容：

正確理解極限定義；

利用極限定義證明某數為一函數或一數列的極限；

證明極限的性質。

1.正確理解極限定義；

例1，

2.利用極限定義證明某數為一函數或一數列的極限；

例2.

例3.

3.證明極限的性質。

例4.試證明下述命題

下面是例題的簡要提示或解答。

例1.（1）與上述定義等價，數列極限的定義中自然數N不唯一，對於任意的n>N與對於任意的n>=N是等價的。epsilon>0具有任意性，故epsilon>0與

100epsilon>0等價。 （2）epsilon>1不能保證任意小。 （3）存在epsilon>0這樣的表述不能保證Xn與a無限接近。 （4）數列極限定義中N是依賴於epsilon確定的，而不是（4）所表述的：存在N使得對任意epsilon>0.......。

例2.

例3.

例4.

同步自原作者頭條號：航小北愛解題