大學數學ert怎麼算

『壹』 進化的速率計算

S=R+E
物種凈增率——種形成過程中物種數目的增長是指數增長，這和生物群體的個體數目增長相似。在測定物種數目的增長時要考慮初始物種數目（基數），換句話說物種凈增率是單位時間內物種數目的相對增長。用公式表示則為：
DN/Dt=RN
公式中N代表物種數目，t代表時間，R就是物種凈增率，將上式積分則得：
N=N0eRt
公式中N0代表初始物種數目，e是自然對數的底。如果已知初始物種數N0和終末物種數N、以及時間t，則可求出R。可將上式變化，得：
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt

N/N0=ert是通過積分來的~~~積分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至於E=Ne/t，這里的E.Ne都不是相對的~~~所以應該不用微積分~~~直接算就可以了~~~
以上意見純屬個人意見，僅供參考~~~

『貳』 不可不說之泰勒公式

        在數學中，泰勒公式是一個用函數在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數足夠光滑的話，在已知函數在某一點的各階導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值做系數構建一個多項式來近似函數在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經發現了它的特例。實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用於估算這種近似的誤差。

簡介

數學中，

泰勒公式

是一個用 函數在某 點的信息描述其附近取值的 公式。如果函數足夠 光滑的話，在已知函數在某一點的各階 導數值的情況之下，泰勒公式可以用這些導數值的相應倍數作為 系數構建一個 多項式來近似函數在這一點的 鄰域中的值。帶拉格朗日余項的泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函數值之間的偏差。泰勒公式得名於 英國數學家布魯克·泰勒。他在1712年的一封信里首次敘述了這個公式，盡管1671年詹姆斯·格雷高里已經發現了它的特例。

公式定義

泰勒公式（Taylor's formula）

形式1:帶Peano余項的Taylor公式：

若f(x)在x0處有n階導數，則存在x0的一個鄰域(x0-δ，x0+δ）內任意一點x(δ>0)，成立下式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)

f(n)(x)表示f(x)的n階導數，f(n) (x0)表示f(n)(x)在x0處的取值

(可以反復使用L'Hospital法則來推導)

形式2：:帶Lagrange余項的Taylor公式：

若 函數f(x）在閉區間[a，b]上有n階連續 導數，在(a,b)上有n+1階導數。任取x0∈[a,b]是一定點，則對任意x∈[a,b]成立下式：

f(x)=f(x。)+f'(x。)(x-x。)+f''(x。)/2!*(x-x。)^2,+f'''(x。)/3!*(x-x。)^3+……+f(n)(x。)/n!*(x-x。)^n+Rn(x)，

Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x。)^(n+1), ξ在x。和x之間，是依賴於x的量。

（註：f(n)(x。)是f(x。)的n階導數，不是f(n)與x。的相乘。）

正在載入泰勒公式

）

函數的

Maclaurin

展開指上面Taylor公式中x0取0的情況，即是Taylor公式的特殊形式，反過來通過平移和換元，

Maclaurin

展開式和上面的展開式是等價的。

Taylor公式最典型的應用就是求任意函數的近似值。Taylor公式還可以求等價無窮小，證明不等式，求極限等

證明

我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根據 拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx，其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

來近似地表示函數f(x）且要寫出其誤差f(x)-P(x）的具體表達式。設函數P(x）滿足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.），……，P(n)(x.)=f(n)(x.），於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。顯然，P(x.)=A0，所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2！……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n！。至此，多項的各項系數都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.

接下來就要求誤差的具體表達式了。設Rn(x)=f(x)-P(x），於是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根據 柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（註：（x.-x.)^(n+1）=0），這里ξ1在x和x.之間；繼續使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）這里ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）！，這里ξ在x.和x之間。但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x），由於P(n)(x)=n!An,n!An是一個常數，故P(n+1）（x)=0，於是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）。綜上可得，余項Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）！?(x-x.)^(n+1）。一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x）寫為Rn。

麥克勞林展開式

函數的 Maclaurin展開指上面Taylor公式中x0取0的情況，即是Taylor公式的特殊形式.

Taylor公式的應用

：

1、展開三角函數y=sinx和y=cosx。

解：根據導數表得：f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,f⑷（x)=sinx……

f(n)(x)=sin(x+nπ/2)

於是得出了 周期規律。分別算出f(0)=0，f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,f⑷=0……

最後可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!+Rn(x)

Rn(x)=o(x^10) (Peano余項)

或Rn(x)=sin(ξ+11π/2)/11!*x^11,ξ∈(0,x)

類似地，可以展開y=cosx。

2、計算近似值e=lim x→∞ （1+1/x)^x。

解：對指數函數y=e^x運用 麥克勞林展開式並舍棄余項：

e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!

當x=1時，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

3、歐拉公式：e^ix=cosx+isinx（i為-1的開方，即一個虛數單位）

證明：這個公式把 復數寫為了冪指數形式，其實它也是由 麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。過程具體不寫了，就把思路講一下：先展開指數函數e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪 周期性，可已把系數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可導出 歐拉公式。有興趣的話可自行證明一下。

背景

e的來源和作用

e的發現始於微分，當 h 逐漸接近零時，計算 之值，其結果無限接近一定值 2.71828...，這個定值就是 e，最早發現此值的人是 瑞士著名數學家 歐拉，他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數.

計算對數函數 的導數，得，當 a=e 時，的導數為，因而有理由使用以 e 為底的對數，這叫作自然對數.

若將指數函數 ex 作泰勒展開，則得

以 x=1 代入上式得

此級數收斂迅速，e 近似到小數點後 40 位的數值是

將指數函數 ex 擴大它的定義域到 復數 z=x+yi 時，由

透過這個級數的計算，可得

由此，De Moivre 定理，三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說，z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,

另方面，

所以，

我們不僅可以證明 e 是無理數，而且它還是個超越數，即它不是任何一個整系數多項式的根，這個結果是 Hermite 在1873年得到的.

甲）差分.

考慮一個離散函數（即數列） R，它在 n 所取的值 u(n) 記成 un，通常我們就把這個函數書成 或 (un).數列 u 的差分 還是一個數列，它在 n 所取的值以定義為

以後我們乾脆就把 簡記為

（例）：數列 1,4,8,7,6,-2,... 的差分數列為 3,4,-1,-1,-8 ...

註：我們說「數列」是「定義在離散點上的函數」如果在高中，這樣的說法就很惡劣.但在此地，卻很恰當，因為這樣才跟連續型的函數具有完全平行的類推.

差分運算元的性質

（i) [合稱線性]

（ii) （常數） [差分方程根本定理]

（iii)

其中，而 (n(k) 叫做排列數列.

（iv) 叫做自然等比數列.

（iv)' 一般的指數數列（幾何數列）rn 之差分數列（即「導函數」）為 rn(r-1）

（乙）.和分

給一個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢 我們有下面重要的結果：

定理1 （差和分根本定理） 如果我們能夠找到一個數列 (vn），使得，則

和分也具有線性的性質：

甲）微分

給一個函數 f，若 牛頓商（或差分商） 的極限 存在，則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數，記為 f'(x0) 或 Df(x），亦即

若 f 在定義區域上每一點導數都存在，則稱 f 為可導微函數.我們稱 為 f 的導函數，而 叫做微分運算元.

微分運算元的性質：

（i) [合稱線性]

（ii) （常數） [差分方程根本定理]

（iii) Dxn=nxn-1

（iv) Dex=ex

（iv)' 一般的指數數列 ax 之導函數為

（乙）積分.

設 f 為定義在 [a,b] 上的函數，積分的問題就是要算陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割：

；其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ；再求近似和 ；最後再取極限 （讓每一小段的長度都趨近於 0).

若這個極限值存在，我們就記為 的幾何意義就是陰影的面積.

（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)

積分運算元也具有線性的性質：

定理2 若 f 為一連續函數，則 存在.（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)

定理3 ( 微積分根本定理） 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函數，我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數 g，使得 g'=f，則

註：⑴⑵兩式雖是類推，但有一點點差異，即和分的上限要很小心！

上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分，微分與積分，是兩個互逆的操作，就好像加法與減法，乘法與除法是互逆的操作一樣.

我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了，而上面定理1及定理3告訴我們，要計算 (un) 的和分及 f 的積分，只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足，g'=f （這是差分及微分的問題），那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說，我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作，這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.

甲）Taylor展開公式

這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的：給一個函數 f，我們要研究 f 的行為，但 f 本身可能很復雜而不易對付，於是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數 g，使其跟 f 很「靠近」，那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出，要使用逼近想法，我們還需要澄清

兩個問題：即如何選取簡單函數及逼近的尺度.

（一） 對於連續世界的情形，Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數作為簡單函數，並且用局部的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點，給一個直到到 n 階都可導微的函數 f，我們要找一個 n 次多項函數 g，使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」，即，答案就是

此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.

g 在 x0 點附近跟 f 很靠近，於是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數，即是所謂解析的函數時，則 f可展成 Taylor 級數，而且這個 Taylor 級數就等於 f 自身.

值得注意的是，一階 Taylor 展式的特殊情形，此時 g(x)=f(x0）+f'(x0)(x-x0) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切於 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是，我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神，是微分學的精義所在.

利用 Taylor 展式，可以幫忙我們做很多事情，比如判別函數的極大值與極小值，求積分的近似值，作函數表（如三角函數表，對數表等)，這些都是意料中事.事實上，我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.

復次我們注意到，我們選取多項函數作為逼近的簡單函數，理由很簡單：在眾多初等函數中，如三角函數，指數函數，對數函數，多項函數等，從算術的觀點來看，以多項函數最為簡單，因為要計算多項函數的值，只牽涉到加減乘除四則運算，其它函數就沒有這么簡單.

當然，從別的解析觀點來看，在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數.例如，三角多項式，再配合上某種逼近尺度，我們就得到 Fourier 級數展開，這在 應用數學上佔有舉足輕重的地位.（事實上，Fourier 級數展開是採用最小方差的逼近尺度，這在 高等數學中經常出現，而且在統計學中也有應用.)

註：取 x0=0 的特例，此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開，欲求一般的 Taylor 展式，作一下平移（或變數代換）就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.

（二） 對於離散的情形，Taylor 展開就是：

給一個數列，我們要找一個 n 次多項式數列 (gt），使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指：

答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.

乙）分部 積分公式與Abel分部和分公式的類推

（一） 分部 積分公式：

設 u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續，則

（二） Abel分部和分公式：

設（un),(v）為兩個數列，令 sn=u1+......+un，則

上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv），及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到，這兩個萊布尼慈公式，一個很對稱，另一個則不然.

（丁）復利與連續復利 （這也分別是離散與連續之間的類推）

（一） 復利的問題是這樣的：有本金 y0，年利率 r，每年復利一次，要問 n 年後的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn（1+r)

根據（丙）之（二）得知 yn=y0（1+r)n 這就是復利的公式.

（二） 若考慮每年復利 m 次，則 t 年後的本利和應為

令，就得到連續復利的概念，此時本利和為y(t)=y0ert

換句話說，連續復利時，t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是 微分方程 y'=ry 的解答.

由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述，而連續復利的問題由微分方程來描述.對於常系數線性的差分方程及微分方程，解方程式的整個要點就是疊合原理，因此求解的辦法具有完全平行的類推.

（戊）Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理（也是離散與連續之間的類推）

（一） Fubini 重和分定理：給一個兩重指標的數列 (ars），我們要從 r=1 到 m,s=1到 n，對 (ars) 作和，則這個和可以這樣求得：光對 r 作和再對 s 作和（反過來亦然）.亦即我們有

（二）Fubini 重積分定理：設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數，則

當然，變數再多幾個也都一樣.

（己）Lebesgue 積分的概念

（一） 離散的情形：給一個數列 (an），我們要估計和，Lebesgue 的想法是，不管這堆數據指標的順序，我們只按數值的大小來分堆，相同的分在一堆，再從每一堆中取一個數值，乘以該堆的個數，整個作和起來，這就得到總和.

（二）連續的情形：給一個函數 f，我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.

Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割：

函數值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊，令其為，於是 [a,b] 就相應分割成，取樣本點，作近似和

讓影域的分割加細，上述近似和的極限若存在的話，就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分.

余項

泰勒公式的余項f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + …… + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [其中f(n）是f的n階導數]

泰勒余項可以寫成以下幾種不同的形式：

⒈佩 亞諾(Peano）余項：

Rn(x) = o((x-a)^n)

⒉施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）余項：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^(n+1-p)(x-a)^(n+1）/(n!p)

[f(n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0,1）]

⒊拉格朗日（Lagrange）余項：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a))(x-a)^(n+1）/(n+1）！

[f(n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0,1）]

⒋柯西（Cauchy）余項：

Rn(x) = f(n+1）（a+θ（x-a））（1-θ）^n (x-a)^(n+1）/n!

[f(n+1）是f的n+1階導數，θ∈（0,1）]

⒌積分余項：

Rn(x) = [f(n+1）（t)(x-t)^n在a到x上的積分]/n!

[f(n+1）是f的n+1階導數]

這里諸多餘項事實上很多是等價的。

泰勒簡介

18世紀早期 英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（Brook Taylor）， 於1685 年8月18日在英格蘭 德爾塞克斯郡的 埃德蒙頓市出生。1701年，泰勒進 劍橋大學的聖約翰學院學習。1709年後移居 倫敦，獲得法學學士學位。1712年當選為 英國皇家學會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會。並於兩年後獲法學博士學位。從1714年起擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。最後在1731年1 2月29日於 倫敦逝世。

由於工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問 法國並和法國數學家蒙莫爾多次通信討論級數問題和概率論的問題。1708年，23歲的泰勒得到了「振動中心問題」的解，引起了人們的注意，在這個工作中他用了 牛頓的瞬的記號。 從1714到1719年,是泰勒在數學上多產的時期。

主要著作

他的兩本著作：《正和反的增量法》及《直線透視》都出版於1715年，它們的第二版分別出於1717和1719年。從1712到1724年，他在《哲學會報》上共發表了13篇文章，其中有些是通信和評論。文章中還包含毛細管現象、磁學及溫度計的實驗記錄。

在生命的後期，泰勒轉向宗教和哲學的寫作，他的第三本著作《哲學的沉思》在他死後由外孫W.楊於1793年出版。

泰勒以微積分學中將 函數展開成無窮 級數的定理著稱於世。這條定理大致可以敘述為：函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階 導數值組成的無窮級數表示出來。然而，在半個世紀里，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由 拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。

泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變數函數都可展成 冪級數；同時亦使 泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒於書中還討論了 微積分對一系列物理 問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程 導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。此外，此書還包括了他於 數學上之其他創造性工作，如論述常 微分方程的奇異解，曲率 問題之研究等。

1715年，他出版了另一名著《線性透 視論》，更發表了再版的《線性透視原理》（1719）。他以極嚴密之形式展開其線性透 視學體系，其中最突出之貢獻是提出和使用「沒影點」概念， 這對攝影測量制圖學之發展有 一定影響。另外，還撰有哲學遺作，發表於1793年。

展開式

泰勒公式可以用(無限或者有限)若干項連加式(-級數)來表示一個函數，這些相加的項由函數在某一點(或者加上在臨近的一個點的 次導數)的導數求得。

對於正整數n，若函數 在閉區間 上 階連續可導，且在 上 階可導。任取 是一定點，則對任意 成立下式：

其中， 表示 的n階導數，多項式稱為函數 在a處的泰勒展開式，剩餘的 是泰勒公式的余項，是 的高階無窮小。[1]

余項

泰勒公式的余項 可以寫成以下幾種不同的形式：

1、佩亞諾(Peano）余項：

這里只需要n階導數存在

2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）余項：

其中θ∈（0,1）。

3、拉格朗日（Lagrange）余項：

其中θ∈（0,1）。

4、柯西（Cauchy）余項：

其中θ∈（0,1）。

5、積分余項：

以上諸多餘項事實上很多是等價的。

2公式推廣

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麥克勞林展開

函數的麥克勞林展開指上面泰勒公式中a取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若 在x=0處n階連續可導，則下式成立：

其中 表示 的n階導數。[1]

泰勒中值定理

若 在包含 的某開區間（a，b）內具有直到n+1階的導數，則當x∈（a，b）時，有

其中 是n階泰勒公式的拉格朗日余項：

，

多元泰勒公式

對於多元函數，也有類似的泰勒公式。設B(a,r) 是歐幾里得空間RN中的開球，ƒ 是定義在B(a,r) 的閉包上的實值函數，並在每一點都存在所有的n+1 次偏導數。這時的泰勒公式為：

對所有

3驗證推導

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我們知道，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：

於是：

其中誤差α是在limΔx→0 即limx→x0的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

來近似地表示函數f(x）且要寫出其誤差f(x)-P(x）的具體表達式。設函數P(x)滿足 ：

於是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，顯然有：

，所以 ；

，所以 ；

，所以 ；

，所以 ；

至此，多項的各項系數都已求出，得：

以上就是函數 的泰勒展開式。[1]

接下來就要求誤差的具體表達式了。設 ，令 得到：

進而：

根據柯西中值定理：

其中 ；

繼續使用柯西中值定理得到：

其中 ；

連續使用n+1次後得到：

其中；

同時：

而：

進而：

綜上可得：

一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把Rn(x）寫為Rn。[1]

4發展簡史

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希臘哲學家芝諾在考慮利用無窮級數求和來得到有限結果的問題時，得出不可能的結論-芝諾悖論，這些悖論中最著名的兩個是「阿喀琉斯追烏龜」和「飛矢不動」。

後來，亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，直到德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。阿基米德應用窮舉法使得一個無窮級數能夠被逐步的細分，得到了有限的結果。[2]

14世紀，瑪達瓦發現了一些特殊函數，包括正弦、餘弦、正切、反正切等三角函數的泰勒級數。

17世紀，詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究，並且發表了若干麥克勞林級數。直到1712年，英國牛頓學派最優秀代表人物之一的數學家泰勒提出了一個通用的方法，這就是為人們所熟知的泰勒級數；愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授發現了泰勒級數的特例，稱為麥克勞林級數。

5公式應用

編輯

實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用於估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現在以下三個方面：

冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。

一個解析函數可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數，並使得復分析這種手法可行。

泰勒級數可以用來近似計算函數的值。

實例

1、展開三角函數 和 。

解：根據導數表得：

最後可得：

其中 為皮亞諾余項：

或：

其中

[3] 類似地，可以展開y=cos(x)。

2、計算近似值

解：對指數函數

運用麥克勞林展開式並舍棄余項：

當x=1時：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。[3]

3、歐拉公式：

（其中 ，即一個虛數單位）

證明：這個公式把復數寫為了冪指數形式，其實它也是由麥克勞林展開式確切地說是麥克勞林級數證明的。證明思路是先展開指數函數e^z，然後把各項中的z寫成ix。由於i的冪周期性，可已把系數中含有土i的項用乘法分配律寫在一起，剩餘的項寫在一起，剛好是cosx,sinx的展開式。然後讓sinx乘上提出的i，即可導出歐拉公式。

『叄』 進化的速率計算

S=R+E
物種凈增率--種形成過程中物種數目的增長是指數增長，這和生物群體的個體數目增長相似。在測定物種數目的增長時要考慮初始物種數目(基數)，換句話說物種凈增率是單位時間內物種數目的相對增長。用公式表示則為:
DN/Dt=RN
公式中N代表物種數目，t代表時間，R就是物種凈增率，將上式積分則得:
N=N0eRt
公式中N0代表初始物種數目，e是自然對數的底。如果已知初始物種數N0和終末物種數N、以及時間t，則可求出R。可將上式變化，得:
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt
N/N0=ert是通過積分來的~~~積分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至於E=Ne/t，這里的E.Ne都不是相對的~~~所以應該不用微積分~~~直接算就可以了~~~
以上意見純屬個人意見，僅供參考~~~

『肆』 電阻率層析（ERT）

電阻率層析（ERT）圍繞探測區域布置電極陣列，以特定組合方式通過電極陣列對探測區域充電並測量電位，根據測量結果反演探測區域的電阻率結構（Carrigan et al.，2009;Wurdemann et al.，2010;Daily et al..2004;Fabriol et al..2009;Said,2011）。

（一）數據採集

1.工作方式

目前ERT測量多採用跨孔方式，即供電和電位測量電極陣列分別位於不同的鑽孔中，測量目標是孔間區域的電阻率空間變化。

2.必要條件

二維ERT測量至少需要一對鑽至目的層位的鑽孔，三維ERT測量至少需要三個鑽至目的層位的鑽孔。

3.儀器設備

ERT測量採用儀器設備包括地面和井中兩部分，地面設備包括數據採集模塊、供電模塊、多路轉換開關、採集控制模塊、地面電極陣列以及地面和井中電極陣列連接電纜地面部分，井中設備包括井中電纜、電極、電纜固定和保護設備以及絕緣材料等。

4.電極陣列布置

井中和地面電極陣列的布置是ERT測量前期准備的一個重要組成部分，需要提前確定電極陣列的布置流程以保證電極陣列（特別是井中電極陣列）的布置實施。

ERT測量的井中電極一般採用環形不銹鋼電極，以一定的間隔固定於經絕緣處理的井下套管外壁，通過防水接頭與井下電纜相連。井下電纜通過井口接頭與地面電纜和設備相連，一般需要具備抵禦CO₂、地層鹹水和鑽井液侵蝕的能力，並具備一定的抗機械拉伸或剪切能力。井中電極陣列布置需要採用一些特殊的固定和保護裝置。

井中電極陣列的布置受到井下套管性質、鑽孔本身性質以及固井方式等因素的制約，例如，井中電極的半徑由井下套管和鑽孔半徑決定；井下套管若為非金屬材質，則無須採取套管外壁的絕緣處理；井中電極陣列布置後，一般固定不動直到儲存工程結束，固井施工要確保電極與地層的耦合，並且不能改變電極陣列的井中位置。

ERT測量的井中電極布置一般採用邊布置、邊檢測的方法，以確保井下電極陣列部署的可靠性。

5.測量參數的選擇

ERT測量需要確定地面採集控制和供電單元、地面和井中電極陣列等環節的測量參數。

地面採集控制單元的測量參數包括采樣間隔和供電－電位測量模式及組合方案等，可採用的供電電位測量模式很多，如偶極－偶極、雙極－雙極等，由於單一的供電－電位測量模式探測能力有限，一般採用多種供電電位測量模式組合的方法開展測量。

地面供電單元的測量參數包括採用電源類型、供電信號類型、供電量級和供電頻率等。

地面和井中電極陣列測量參數包括地面和井中電極陣列的電極距和布置方式等，電極陣列的電極距取決於監測區段的規模、井下設備的現有條件以及監測解析度需求，地面和井中電極陣列的布置方式需要通過試驗確定。

（二）數據處理與解釋

1.數據預處理

數據預處理包括數據採集參數的整理和視電阻率的計算。數據採集參數的整理包括地面和井中電極陣列的電極距和空間位置、觀測模式，供電電流、測量電位差等相關數據的編輯和校對。

2.電阻率反演

電阻率反演實現觀測視電阻率到反演電阻率模型的轉化，即完成兩者間的函數關系建立。首先，根據預處理提供的相關資料給定初始電阻率模型，然後根據對應電流場方程開展正演計算，並得出其對應的理論視電阻率；然後根據觀測值與理論值的差異，求解初始電阻率模型的修正量，修正初始電阻率模型；重復上述過程直至觀測視電阻率與對應的目標函數達到反演要求。

電阻率反演主要涉及電流場正演和電阻率模型修正量方程求解計算兩個部分，電流場正演計算一般多採用有限元方法，便於處理地形起伏情形（白登海等，1995；董清華，1997;Günther et al,2006;Hatanaka et al.，2005）。

3.資料解釋

根據電阻率反演獲得的電阻率成像剖面，結合地震、鑽孔－測井資料以及地質背景資料，研究井間電阻率空間變化規律與地層岩性空間變化的關系以及井間地層結構、構造形態變化，主要解釋手段包括地層對比、構造解釋、儲蓋層屬性預測等。

『伍』 數學題ERT

首先先提取一個4x。再利用完全平方公式。
Y=4x（x²——6x+9）
=4x（x-3)²

就OK啦……………………

請採納，呵呵，我是第一個呢！！

『陸』 進化的速率計算

S=R+E
物種凈增率——種形成過程中物種數目的增長是指數增長，這和生物群體的個體數目增長相似。在測定物種數目的增長時要考慮初始物種數目（基數），換句話說物種凈增率是單位時間內物種數目的相對增長。用公式表示則為：
DN/Dt=RN
公式中N代表物種數目，t代表時間，R就是物種凈增率，將上式積分則得：
N=N0eRt
公式中N0代表初始物種數目，e是自然對數的底。如果已知初始物種數N0和終末物種數N、以及時間t，則可求出R。可將上式變化，得：
lnN=lnN0eRt
lnN=lnN0+lneRt
lnN=lnN0+Rt
N/N0=ert是通過積分來的~~~積分我忘了~~~你自己算算吧~~~
至於E=Ne/t，這里的E.Ne都不是相對的~~~所以應該不用微積分~~~直接算就可以了~~~
以上意見純屬個人意見，僅供參考~~~

『柒』 ERT系統是什麼概念

兩相流(或多相流)是一種廣泛存在的混合流動模式。隨著工業生產水平的不斷提高，對兩相流參數進行測量的需要也越來越迫切，有關的研究受到國內外專家的普遍重視。近年來發展起來的過程層析成象(Process Tomography,簡稱PT)技術是一種非常有潛力的兩相流/或多相流檢測手段[1,2].既可以利用它可視化測量的優勢進行在線監測，觀察流型，計算相含率，也有可能從它的直接測量信號中提取流型、相含率等信息。
電阻層析成象(Electrical Resistance Tomography,簡稱ERT)技術是PT技術中的一種，ERT適用於兩相流中的液相連續相的生產過程，如液－氣泡混合過程、液固混合過程、旋渦分離過程以及化學反應過程等，對這些過程的分析研究或者在線定性/定量監測與控制等，ERT技術提供了一種高效、低成本的多維測量手段，是一種先進的高新檢測技術，具有廣闊的開發和應用前景。

1 ERT技術的基本原理
ERT的所有理論都建立在似穩場假設的基礎上。在電磁場理論中，似穩場滿足麥克斯韋微分方程組[3].似穩場遵循靜態場的規律，即矢位A和電位分別滿足Poisson方程和Laplace方程。ERT系統敏感場滿足第三類的穩場條件，可以用靜態場的理論來描述和求解。
ERT的實質就是運用一個物理可實現系統完成對被測物場特性分布f(r,)的雷登變換與雷登逆變換。系統的工作過程就是根據特殊設計的敏感器陣列獲得的物場信息(邊界測量電壓)，去求取物場內部的電壓分布——投影數據，再採用定性/定量的圖象重建演算法求出被測物場的圖象(電導分布信息)，進而從重建圖象信息中提取物場的特徵參數，為過程檢測和控制提供依據。

2 ERT的系統構成
由於不同媒質具有不同的電導率(電阻率的倒數)，求出敏感場的電導率分布便可獲得物場的媒質分布信息。因此其工作方式採用電流激勵、電壓測量。當場內電導率分布變化時，電流場的分布會隨之變化，導致場內電勢分布變化，從而場域邊界上的測量電壓也要發生變化。利用邊界上的測量電壓，通過一定的成象演算法，可以重建出場內的電導率分布或反映電導率分布情況的灰度分布，實現可視化測量。
典型的ERT系統包括用於激勵測量的電極陣列、數據採集與處理單元、圖象分析單元。如圖1所示。

圖1 典型ERT系統的構成

ERT系統的電極陣列由特殊設計的電極等間隔排布，控制單元(計算機)向數據採集單元發出指令，給某一對電極施加激勵電流，在過程對象內部建立起敏感場。測量邊界上的電壓信號，將得到的測量數據送圖象重建單元，以適當的演算法重建出對象內部的電導率分布，從而得到媒質分布圖象(二維或三維)。最後送圖象分析單元，對圖象的物理意義加以解釋，提取有關的特徵參數，為過程式控制制或實驗研究提供必要的依據。

3 ERT技術特點
同其它PT技術相比，ERT技術具有以下特點：
(1)被檢測物場的連續相必須具有一定的導電性，一般必須是含有水的生產過程。
(2)敏感陣列為非侵入式，由一系列等間隔排布的電極構成。敏感陣列的設計對於敏感場的性能有直接的影響。電極的設計、排布以及電極的性能是整個系統至關重要的一部分。
(3)敏感場的激勵信號為低頻的交流恆流源。激勵信號的頻率范圍一般選用千到幾數萬赫茲。頻率過低容易引起電極的電化學反應，尤其對電解質溶液、腐蝕性溶液等等。頻率過高，電磁場感應及分布阻抗等會帶來很強的測量雜訊。
(4)檢測信號為弱的交流電壓信號或其微小變化，要求測量電路必須具有高的靈敏度和信噪比。
(5)敏感場存在軟場(soft-field)效應。敏感場分布要受到場內媒質(物場)分布的影響，敏感場與物場的相互作用為非線形，導致圖象重建和圖象分析的困難。
(6)設計敏感電極陣列時，必須考慮電極陣列所形成的空間敏感場的非均勻性的影響，應盡可能使其靈敏度均勻性好。

4 ERT技術的研究現狀
作為PT技術的一個重要分支，目前ERT技術的研究主要集中在以下幾個方面：敏感電極陣列的優化設計，硬體電路性能的提高，圖象重建演算法的改進，應用性的開發等等。世界上從事過程ERT研究的以英國UMIST的PT小組較為領先，已經在攪拌器和旋流器[4]等實驗裝置上進行了應用研究，並開發出應用於金屬容器的ERT系統[5].美國的Rensselaer Polytechnic Institute的Jones等人也在從事ERT技術應用於多相流檢測的研究。美國University of Arizona的D.J.LaBrecque等人將ERT應用於環境監測與整治的研究。美國Lancaster University的Andrew Binley等人用ERT方法分析土壤和岩石的成分。中國的天津大學徐苓安教授領導的PT小組著手開發的ERT技術為核心的在線監測系統，應用於精餾塔的實時觀測。浙江工學院開發出應用於土壤環境監測的大范圍ERT系統；北京航空航天大學、東北大學也相繼著手於成象演算法、應用性的ERT系統的研究方面作了一些工作。
當前國際上ERT技術在硬體電路方面已達到很高的指標，英國UMIST的ERT系統靈敏度可達4.88μV,共模抑制比為-70dB[6].成象演算法方面也從定性研究進入到定量的MNR(牛頓-拉夫遜)演算法，但這一演算法需要高精度的場模型及高精度的測量數據，尚未實際應用。目前還沒有關於ERT敏感場空間分布的定量認識。

5 ERT技術必須解決的問題及ERT技術展望
為實現定量測量並達到一定的精度，要求ERT系統能夠提供高精度的重建圖象，並能對重建圖象的物理意義予以准確解釋，如獲得各種媒質准確的大小、形狀、位置等詳細的信息，以為過程式控制制提供依據，要求ERT技術的研究應在以下幾個方面作出努力：①為ERT系統提供被測對象信息的硬體系統必須准確可靠，這就要求感測器材料的選擇、加工的精度、數據採集系統的穩定性、精度等盡可能滿足要求；②敏感場分布特性的認識和改進，盡可能改善敏感場靈敏度分布的均勻性。實際上ERT系統的敏感場是三維非均勻分布的，簡單地用二維場近似的分析實際的三維場勢必要引起誤差。改進敏感電極陣列的設計使其靈敏度均勻性好，以改善敏感場的空間分布，使其具有二維場的分布特性；或是基於三維場描述敏感場特性研究媒質分布、重建圖象演算法及對圖象的解釋等等。③高質量的圖象重建演算法及圖象物理意義解釋演算法的開發也很重要。圖象重建演算法主要是演算法收斂性的改進和實時性的提高等方面

『捌』 無理數e是怎麼來的

e
e的發現始於微分,當 h 逐漸接近零時,計算 之值,其結果無限接近一定值 2.71828...,這個定值就是 e,最早發現此值的人是瑞士著名數學家歐拉,他以自己姓名的字頭小寫 e 來命名此無理數.
計算對數函數 的導數,得 ,當 a=e 時, 的導數為 ,因而有理由使用以 e 為底的對數,這叫作自然對數.
若將指數函數 ex 作泰勒展開,則得
以 x=1 代入上式得
此級數收斂迅速,e 近似到小數點後 40 位的數值是
將指數函數 ex 擴大它的定義域到復數 z=x+yi 時,由
透過這個級數的計算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函數的和差角公式等等都可以輕易地導出.譬如說,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
另方面,
所以,
我們不僅可以證明 e 是無理數,而且它還是個超越數,即它不是任何一個整系數多項式的根,這個結果是 Hermite 在1873年得到的.
甲)差分.
考慮一個離散函數(即數列) R,它在 n 所取的值 u(n) 記成 un,通常我們就把這個函數書成 或 (un).數列 u 的差分 還是一個數列,它在 n 所取的值以定義為
以後我們乾脆就把 簡記為
(例):數列 1, 4, 8, 7, 6, -2, ... 的差分數列為 3, 4, -1, -1, -8 ...
注:我們說「數列」是「定義在離散點上的函數」如果在高中,這樣的說法就很惡劣.但在此地,卻很恰當,因為這樣才跟連續型的函數具有完全平行的類推.
差分運算元的性質
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列數列.
(iv) 叫做自然等比數列.
(iv)' 一般的指數數列(幾何數列)rn 之差分數列(即「導函數」)為 rn(r-1)
(乙).和分
給一個數列 (un).和分的問題就是要算和 . 怎麼算呢 我們有下面重要的結果:
定理1 (差和分根本定理) 如果我們能夠找到一個數列 (vn),使得 ,則
和分也具有線性的性質:
甲)微分
給一個函數 f,若牛頓商(或差分商) 的極限 存在,則我們就稱此極限值為 f 為點 x0 的導數,記為 f'(x0) 或 Df(x),亦即
若 f 在定義區域上每一點導數都存在,則稱 f 為可導微函數.我們稱 為 f 的導函數,而 叫做微分運算元.
微分運算元的性質:
(i) [合稱線性]
(ii) (常數) [差分方程根本定理]
(iii) Dxn=nxn-1
(iv) Dex=ex
(iv)' 一般的指數數列 ax 之導函數為
(乙)積分.
設 f 為定義在 [a,b] 上的函數,積分的問題就是要算圖甲陰影的面積.我們的辦法是對 [a,b] 作分割:
;其次對每一小段 [xi-1,xi] 取一個樣本點 ;再求近似和 (見圖乙);最後再取極限 (讓每一小段的長度都趨近於 0).
若這個極限值存在,我們就記為 的幾何意義就是圖甲陰影的面積.
(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
圖甲
圖乙
積分運算元也具有線性的性質:
定理2 若 f 為一連續函數,則 存在.(事實上,連續性也「差不多」是積分存在的必要條件.)
定理3 (微積分根本定理) 設 f 為定義在閉區間 [a,b] 上的連續函數,我們欲求積分 如果我們可以找到另一個函數 g,使得 g'=f,則
注:(1)(2)兩式雖是類推,但有一點點差異,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述著差分與和分,微分與積分,是兩個互逆的操作,就好像加法與減法,乘法與除法是互逆的操作一樣.
我們都知道差分與微分的操作比和分與積分簡單多了,而上面定理1及定理3告訴我們,要計算 (un) 的和分及 f 的積分,只要去找另一個 (vn) 及 g 滿足 , g'=f (這是差分及微分的問題),那麼對 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.換句話說,我們可以用較簡單的差分及微分操作來掌握較難的和分及積分操作,這就是"以簡御繁"的精神.牛頓與萊布尼慈對微積分最大的貢獻就在此.
甲)Taylor展開公式
這分別有離散與連續的類推.它是數學中「逼近」這個重要想法的一個特例.逼近想法的意思是這樣的:給一個函數 f,我們要研究 f 的行為,但 f 本身可能很復雜而不易對付,於是我們就想法子去找一個較「簡單」的函數 g,使其跟 f 很「靠近」,那麼我們就用 g 來取代 f.這又是以簡御繁的精神表現.由上述我們看出,要使用逼近想法,我們還需要澄清
兩個問題:即如何選取簡單函數及逼近的尺度.
(一) 對於連續世界的情形,Taylor 展式的逼近想法是選取多項函數作為簡單函數,並且用局部的「切近」作為逼近尺度.說得更明白一點,給一個直到到 n 階都可導微的函數 f,我們要找一個 n 次多項函數 g,使其跟 f 在點 x0 具有 n 階的「切近」,即 ,答案就是
此式就叫做 f 在點 x0 的 n 階 Taylor 展式.
g 在 x0 點附近跟 f 很靠近,於是我們就用 g 局部地來取代 f.從而用 g 來求得 f 的一些局部的定性行為.因此 Taylor 展式只是局部的逼近.當f是足夠好的一個函數,即是所謂解析的函數時,則 f可展成 Taylor 級數,而且這個 Taylor 級數就等於 f 自身.
值得注意的是,一階 Taylor 展式的特殊情形,此時 g(x)=f(x0+f'(x0)(x-x0)) 的圖形正好是一條通過點 (x0,f(x0)) 而且切於 f 的圖形之直線.因此 f 在點 x0 的一階 Taylor 展式的意義就是,我們用過點 (x0,f(x0)) 的切線局部地來取代原來 f 曲線.這種局部化「用平直取代彎曲」的精神,是微分學的精義所在.
利用 Talor 展式,可以幫忙我們做很多事情,比如判別函數的極大值與極小值,求積分的近似值,作函數表(如三角函數表,對數表等),這些都是意料中事.事實上,我們可以用逼近的想法將微積分「一以貫之」.
復次我們注意到,我們選取多項函數作為逼近的簡單函數,理由很簡單:在眾多初等函數中,如三角函數,指數函數,對數函數,多項函數等,從算術的觀點來看,以多項函數最為簡單,因為要計算多項函數的值,只牽涉到加減乘除四則運算,其它函數就沒有這麼簡單.
當然,從別的解析觀點來看,在某些情形下還另有更有用更重要的簡單函數.例如,三角多項式,再配合上某種逼近尺度,我們就得到 Fourier 級數展開,這在應用數學上佔有舉足輕重的地位.(事實上,Fourier 級數展開是採用最小方差的逼近尺度,這在高等數學中經常出現,而且在統計學中也有應用.)
注:取 x0=0 的特例,此時 Taylor 展式又叫做 Maclaurin 展式.不過只要會做特例的展開,欲求一般的 Taylor 展式,作一下平移(或變數代換)就好了.因此我們大可從頭就只對 x=0 點作 Taylor 展式.
(二) 對於離散的情形,Taylor 展開就是:
給一個數列 ,我們要找一個 n 次多項式數列 (gt),使得 gt 與 ft 在 t=0 點具有 n 階的「差近」.所謂在 0 點具有 n 階差近是指:
答案是 此式就是離散情形的 Maclaurin 公式.
乙)分部積分公式與Abel分部和分公式的類推
(一) 分部積分公式:
設 u(x),v(x) 在 [a,b] 上連續,則
(二) Abel分部和分公式:
設(un),(v)為兩個數列,令 sn=u1+......+un,則
上面兩個公式分別是萊布尼慈導微公式 D(uv)=(Du)v+u(Dv),及萊布尼慈差分公式 的結論.注意到,這兩個萊布尼慈公式,一個很對稱,另一個則不然.
(丁)復利與連續復利 (這也分別是離散與連續之間的類推)
(一) 復利的問題是這樣的:有本金 y0,年利率 r,每年復利一次,要問 n 年後的本利和 yn= 顯然這個數列滿足差分方程 yn+1=yn(1+r)
根據(丙)之(二)得知 yn=y0(1+r)n 這就是復利的公式.
(二) 若考慮每年復利 m 次,則 t 年後的本利和應為
令 ,就得到連續復利的概念,此時本利和為y(t)=y0ert
換句話說,連續復利時,t 時刻的本利和 y(t)=y0ert 就是微分方程 y'=ry 的解答.
由上述我們看出離散復利問題由差分方程來描述,而連續復利的問題由微分方程來描述.對於常系數線性的差分方程及微分方程,解方程式的整個要點就是疊合原理,因此求解的辦法具有完全平行的類推.
(戊)Fubini 重和分定理與 Fubini 重積分定理(也是離散與連續之間的類推)
(一) Fubini 重和分定理:給一個兩重指標的數列 (ars),我們要從 r=1 到 m,s=1到 n, 對 (ars) 作和 ,則這個和可以這樣求得:光對 r 作和再對 s 作和(反過來亦然).亦即我們有
(二)Fubini 重積分定理:設 f(x,y) 為定義在 上之可積分函數,則
當然,變數再多幾個也都一樣.
(己)Lebesgue 積分的概念
(一) 離散的情形:給一個數列 (an),我們要估計和 ,Lebesgue 的想法是,不管這堆數據指標的順序,我們只按數值的大小來分堆,相同的分在一堆,再從每一堆中取一個數值,乘以該堆的個數,整個作和起來,這就得到總和.
(二)連續的情形:給一個函數 f,我們要定義曲線 y=f(x) 跟 X 軸從 a 到 b 所圍出來的面積.(見下圖)
Lebesgue 的想法是對 f 的影域 作分割:
函數值介 yi-1 到 yi 之間的 x 收集在一齊,令其為 , 於是 [a,b] 就相應分割成 ,取樣本點 ,作近似和
讓影域的分割加細,上述近似和的極限若存在的話,就叫做 f 在 [a,b] 上的 Lebesgue 積分.

『玖』 ERT系統的含義是什麼,有什麼特點

ERT系統主要用於電學成像，主要應用領域有醫學和石油工業，不過目前國內僅處於醫學研究實驗階段，以天津大學為領先

『拾』 金融專業都學什麼

金融專業本科的學習課程如下

1、馬克思主義基本原理概論，學分4，考試類型，必考

2、概率論與數理統計（經管類），學分5，考試類型，必考

3、線性代數（經管類），學分4 ，考試類型，必考

4、管理系統中計算機應用，學分3，考試類型，必考

5、銀行會計學，學分5，考試類型，必考

6、保險學原理，學分5，考試類型，必考

7、對外經濟管理概論，學分5，考試類型，必考

8、金融市場學，學分5，考試類型，必考

9、管理學原理，學分6，考試類型，必考

10、市場營銷學，學分5，考試類型，必考

11、國際金融學，學分6，考試類型，必考

12、財務管理學，學分6，考試類型，必考

13、英語（二），學分14，考試類型，選考

14、法學概論，學分6，考試類型，選考

15、電子商務概論，學分4，考試類型，選考

16、金融法，學分4，考試類型，選考

17、財政學，學分6，考試類型，選考

18、貨幣銀行學，學分4，考試類型，加考

19、銀行信貸管理學，學分6，考試類型，加考

20、政治經濟學(財經類) ，學分6，考試類型，加考

21、基礎會計學，學分5，考試類型，加考

22、國際經濟法概論，學分6，考試類型，加考

(10)大學數學ert怎麼算擴展閱讀

金融專業是以融通貨幣和貨幣資金的經濟活動為研究對象，具體研究個人、機構、政府如何獲取、支出以及管理資金以及其他金融資產的學科專業，是從經濟學中分化出來的。

中國所說的金融學是指兩部分內容。第一部分指的是貨幣銀行學（money and banking）。它在計劃經濟時期就有，是當時的金融學的主要內容。比如人民銀行說他們是搞金融的，意思是搞貨幣銀行；第二部分指的是國際金融(international finance)，研究的是國際收支、匯率等問題。這兩部分合起來是國內所指的金融。

中國金融專業本科課程設置似乎更偏向於經濟而不是正統的金融學，它的核心學科是宏觀經濟學，貨幣銀行學和國際金融，主要學習貨幣銀行學、國際金融等方面的基本理論和基本知識，而它們都是屬於經濟學大類的，貨幣銀行學屬於貨幣經濟學而國際金融屬於國際經濟學。因此中國金融本科教育是一種經濟與金融的交叉學科。

參考資料

網路-金融專業