半弦是什麼數學

A. 吉他半弦是什麼意思

沒太看懂，標准音高是從一到六弦分別是 E B G D A E，各降半音的話就是你前面說的Eb/Bb/F#/C#/G#/Eb ，無論你同時把六根弦降多少音高，
「以第 1 空弦音為基準音.
調整第 2 弦音高.使第 2 弦第 5 品音高和第 1 弦空弦音高相同
調整第 3 弦音高.使第 3 弦第 4 品音高和第 2 弦空弦音高相同
調整第 4 弦音高.使第 4 弦第 5 品音高和第 3 弦空弦音高相同
調整第 5 弦音高.使第 5 弦第 5 品音高和第 4 弦空弦音高相同
調整第 6 弦音高.使第 6 弦第 5 品音高和第 5 弦空弦音高相同」
的方法都是行得通的。

B. 半弦，半徑，弦心距之間的關系

半徑=弦心距+拱高
弦的一半，弦心距，半徑構成直角三角形，滿足勾股定理：弦的一半^2+弦心距^2=半徑^2。
已知弦長、弦高、求弧長
設弦長=2l,弦高=h,半徑=R,圓心角=2a.
根據相交弦定理:(2R-h)h=l^2
--->R=(l^2+h^2)/(2h).
sina=l/R=2hl/(l^2+h^2)
--->a=arcsin[2hl/(l^2+h^2)]
所以,弧長=aR=a(l^2+h^2)/(2h).
現在已知一個弓形的弧長及弦長,求其矢高,注意半徑和圓周角未知
設半徑為r，圓心角為a
則弧長l=r*a，
弦長b=2*r*sin(a/2)
通過這兩個方程可以解出r和a，然後就可以求出h了
h=r-r*cos(a/2)
扇形弦長公式
半徑r，圓心角a，弦長l
弦長與兩條半徑構成一個三角形，用餘弦定理
l^2=2r^2-2r^2cosa=2r^2(1-cosa)
l=r*√[2(1-cosa)]
用半形公式可轉化為
l=2r*sin(a/2)
弓形面積
l－弧長
b－弦長
h－矢高
r－半徑
α－圓心角的度數
S＝r2/2·(πα/180-sinα)
＝r2arccos[(r-h)/r]
-
(r-h)(2rh-h2)1/2
＝παr2/360
-
b/2·[r2-(b/2)2]1/2
＝r(l-b)/2
+
bh/2
≈2bh/3

C. 【數學】sin cos tan分別是什麼意思

tan 就是正切的意思，直角三角函數中，銳角對應的邊跟另一條直角邊的比

cos 就是餘弦的意思，銳角相鄰的那條直角邊與斜邊的比

sin 就是正弦的意思，銳角對應的邊與斜邊的邊

三角學中」正弦」和」餘弦」的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

我們已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦（AC）與全弦所對弧的一半（AD）相對應，即將AC與∠AOC對應，這樣，他們造出的就不再是」全弦表」，而是」正弦表」了。

印度人稱連結弧（AB）的兩端的弦（AB）為」吉瓦（jiba）」，是弓弦的意思；稱AB的一半（AC） 為」阿爾哈吉瓦」。後來」吉瓦」這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為」彎曲」、」凹處」，阿拉伯語是 」dschaib」。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了」sinus」。

D. 圓中的半弦是指什麼

弦長公式，在這里指直線與圓錐曲線相交所得弦長d的公式。
PS：圓錐曲線， 是數學、幾何學中通過平切圓錐（嚴格為一個正圓錐面和一個平面完整相切）得到的一些曲線，如：橢圓，雙曲線，拋物線等。

E. 三角函數

三角函數 是 基本初等函數 之一 ， 是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為 自變數 ，角度對應 任意角 終邊與 單位圓 交點坐標或其比值為 因變數 的函數。也可以等價地用與 單位圓 有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和 圓 等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在 數學分析 中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是 復數 值。

常見的三角函數包括正弦函數、餘弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數、正割函數、餘割函數、正矢函數、余矢函數、 半正矢函數 、半余矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為 雙曲正弦函數 、 雙曲餘弦函數 等等。三角函數（也叫做圓函數）是角的函數；它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他應用中是很重要的。三角函數通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們擴展到任意正數和負數值，甚至是復數值。

中文名

三角函數

外文名

trigonometric

function

提出者

印度數學家

提出時間

公元五世紀

適用領域

函數及圖像

應用學科

數學

目錄

[if !supportLists].         [endif]1  發展歷史

[if !supportLists].         [endif]▪ 起源

[if !supportLists].         [endif]▪ 古希臘歷史

[if !supportLists].         [endif]▪ 阿拉伯歷史

[if !supportLists].         [endif]▪ 弦表的發明

[if !supportLists].         [endif]▪ 傳入中國

[if !supportLists].         [endif]2  定義

[if !supportLists].         [endif]▪ 直角三角形三角函數定義

[if !supportLists].         [endif]▪ 基本三角函數關系的速記方法

[if !supportLists].         [endif]▪ 變化規律

[if !supportLists].         [endif]▪ 任意角三角函數定義

[if !supportLists].         [endif]▪ 單位圓定義

[if !supportLists].         [endif]▪ 級數定義

[if !supportLists].         [endif]3  三角學

[if !supportLists].         [endif]4  特殊角

[if !supportLists].         [endif]5  幾何性質

[if !supportLists].         [endif]▪ 函數圖象

[if !supportLists].         [endif]▪ 最小正周期

[if !supportLists].         [endif]6  誘導公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 公式內容

[if !supportLists].         [endif]▪ 推導方法

[if !supportLists].         [endif]7  關於三角恆等式

[if !supportLists].         [endif]▪ 兩角和與差

[if !supportLists].         [endif]▪ 和差化積

[if !supportLists].         [endif]▪ 積化和差

[if !supportLists].         [endif]▪ 二倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 三倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ n倍角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 半形公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 輔助角公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 萬能公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 降冪公式

[if !supportLists].         [endif]▪ 三角和

[if !supportLists].         [endif]▪ 冪級數

[if !supportLists].         [endif]▪ 泰勒展開式

[if !supportLists].         [endif]▪ 傅里葉級數

[if !supportLists].         [endif]8  概念

[if !supportLists].         [endif]9  推廣

[if !supportLists].         [endif]10  復數性質

[if !supportLists].         [endif]11  相關定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 解釋

[if !supportLists].         [endif]▪ 正弦定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 餘弦定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 正切定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 廣義射影定理

[if !supportLists].         [endif]▪ 三角恆等式

[if !supportLists].         [endif]12  函數介紹

[if !supportLists].         [endif]▪ 正弦函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 餘弦函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 正切函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 餘切函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 正割函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 餘割函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 正矢函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 余矢函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 半正矢函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 半余矢函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 外正割函數

[if !supportLists].         [endif]▪ 外餘割函數

[if !supportLists].         [endif]13  記憶口訣

發展歷史

編輯

起源

公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個 計算工具 ，是一個附屬品，但是 三角學 的內容卻由於印度數學家的努力而大大的豐富了。

三角學中」 正弦 」和」 餘弦 」的概念就是由印度數學家首先引進的，他們還造出了比 托勒密 更精確的正弦表。

我們已知道，托勒密和 希帕克 造出的弦表是 圓 的全 弦 表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同，他們把半弦（ AC ）與全弦所對弧的一半（ AD ）相對應，即將 AC 與 ∠AOC 對應，這樣，他們造出的就不再是」全弦表」，而是」正弦表」了。

印度人 稱連結 弧 （ AB ）的兩端的弦（ AB ）為」吉瓦（jiba）」，是弓弦的意思；稱AB的一半（ AC ） 為」阿爾哈吉瓦」。後來」吉瓦」這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為」彎曲」、」凹處」，阿拉伯語是 」dschaib」。十二世紀， 阿拉伯文 被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了」sinus」。 [1]

古希臘歷史

早期對於三角函數的研究可以追溯到古代。 古希臘 三角術的奠基人是公元前2世紀的 喜帕恰斯 。他按照 古巴比倫 人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現代的 弧度制 不同）。對於給定的弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這個記法和現代的正弦函數是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。 梅涅勞斯 在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的 梅涅勞斯定理 。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的 托勒密 時代達到了高峰，托勒密在《 數學匯編 》（ Syntaxis Mathematica ）中計算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半形公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。

古希臘文化傳播到 古印度 後，古印度人對三角術進行了進一步的研究。公元5世紀末的數學家 阿耶波多 提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦，這個做法被後來的古印度數學家使用，和現代的正弦定義一致了。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數值表。然而古印度的數學與當時的中國一樣，停留在計算方面，缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學是直接繼承於古希臘。阿拉伯天文學家引入了 正切 和 餘切 、 正割 和 餘割 的概念，並計算了間隔10分（10′ ） 的正弦和正切數值表。到了公元14世紀，阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化（古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式）的努力為後來三角學從天文學中獨立出來，成為了有更廣泛應用的學科奠定了基礎。

阿拉伯歷史

進入15世紀後， 阿拉伯數學 文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業的興盛，航行、歷法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始製作更詳細精確的 三角函數值 表。 哥白尼 的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯製作了間隔10秒（10″ ） 的正弦表，有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應的弦長是正弦，瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後，數學家開始將 古希臘 有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。 弗朗索瓦·韋達 給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

18世紀開始，隨著解析幾何等分析學工具的引進，數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函數的 無窮級數 表示。Collins將牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高里，後者進一步給出了正切等三角函數的無窮級數。 萊布尼茲 在1673年左右也獨立得到了這一結果。 歐拉 的《無窮小量分析引論》（ Introctio in Analysin Infinitorum ，1748年）對建立三角函數的分析處理做了最主要的貢獻，他定義三角函數為無窮級數，並表述了 歐拉公式 ，還有使用接近現代的簡寫 sin. 、 cos. 、 tang. 、 cot. 、 sec. 和 cosec. 。

弦表的發明

根據認識，弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發，去作一系列 直角三角形 ，然後一一量出AC，A』C』，A』』C』』…之間的距離。然而，第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 （Hipparchus，約前180~前125）不是這樣作，他採用的是在同一個固定的 圓 內，去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來製表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，我們所知關於希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創造。

據托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們採用了巴比倫人的60進位法。把 圓周 360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後，羅馬人把它們分別取名為」partes minutae primae」和」partes minutae

secundae」；後來，這兩個名字演變為」minute」和」second」，成為角和時間的度量上」 分 」和」 秒 」這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以後， 希帕克 和 托勒密 先著手計算一些特殊 圓弧 所對應的弦長。比如 60°弧（1/6圓 周長 ）所對的弦長，正好是內接 正六邊形 的邊長，它與半徑相等，因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位（半徑長的1/60為一個單位）；用同樣的方法，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用所稱的」 托勒密定理 」，來推算兩條已知所對弦長的弧的」和」與」差」所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。

傳入中國

三角學 輸入中國，開始於明 崇禎 4年（1631年），這一年， 鄧玉函 、 湯若望 和 徐光啟 合編《 大測 》，作為 歷書 的一部份呈獻給朝廷，這是我國第一部編譯的三角學。在《大 測 》中，首先將sine譯為」正半弦」，簡稱」 正弦 」，這就成了「正弦」 一詞 的由來。 [2]

定義

編輯

直角三角形三角函數定義

在直角三角形中，當平面上的三點A、B、C的連線，AB、AC、BC，構成一個 直角三角形 ，其中∠ACB為 直角 。對∠BAC而言， 對邊 （opposite）a=BC、 斜邊 （hypotenuse）c=AB、 鄰邊 （adjacent）b=AC，則存在以下關系：

基本函數 英文 縮寫 表達式 語言描述 [if !vml][endif] 三角形

正弦函數 sine sin a/c ∠A 的對邊比斜邊

餘弦函數 cosine cos b/c ∠A 的鄰邊比斜邊

正切函數 tangent tan a/b ∠A 的對邊比鄰邊

餘切函數 cotangent cot b/a ∠A 的鄰邊比對邊

正割函數 secant sec c/b ∠A 的斜邊比鄰邊

餘割函數 cosecant csc c/a ∠A 的斜邊比對邊

註：正切函數、餘切函數曾被寫作 tg 、 ctg ， 現已不用這種寫法 。

基本三角函數關系的速記方法

[if !vml][endif] 六邊形

如右圖，六邊形的六個角分別代表六種三角函數，存在如下關系：

1）對角相乘乘積為1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六邊形任意相鄰的三個頂點代表的三角函數，處於中間位置的函數值等於與它相鄰兩個函數值的乘積，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）陰影部分的三角形，處於上方兩個頂點的平方之和等於下頂點的平方值，如：

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 ；

[if !vml]

[endif]

 。

變化規律

正弦 值在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而增大（減小），在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而減小（增大）；

餘弦值在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而增大（減小），在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而減小（增大）；

正切 值在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而增大（減小）；

餘切值在

[if !vml]

[endif]

 隨角度增大（減小）而減小（增大）。

註：以上其他情況可類推，參考第五項：幾何性質。

除了上述六個常見的函數，還有一些不常見的三角函數：

函數名 與常見函數轉化關系  

正矢函數 [if !vml]

[endif]

[if !vml][endif] versin

[if !vml]

[endif]

余矢函數 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

半正矢函數 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

半余矢函數 [if !vml]

[endif]

[if !vml]

[endif]

外正割函數 [if !vml]

[endif]

外餘割函數 [if !vml]

[endif]

任意角三角函數定義

在 平面直角坐標系 xOy中設∠β的始邊為x軸的正半軸，設點P（x，y）為∠β的終邊上不與原點O重合的任意一點，設r=OP，令∠β=∠α，則：

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 ，

[if !vml]

[endif]

 。

單位圓定義

[if !vml][endif] 三角函數

六個三角函數也可以依據 半徑 為1中心為原點的 單位圓 來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值；實際上對多數角它都依賴於 直角三角形 。但是 單位圓 定義的確允許三角函數對所有 正數 和 負數 輻角都有定義，而不只是對於在 0  和 π/2 弧度 之間的角。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數都 包含 了。根據 勾股定理 ，單位圓的 方程 是：對於圓上的任意點（ x,y ）， x²+y²=1 。

圖像中給出了用 弧度 度量的一些常見的角:逆時針方向的度量是 正角 ，而順時針的度量是 負角 。設一個過 原點 的線，同 x 軸正半部分得到一個角 θ ，並與單位圓相交。這個交點的 x 和 y 坐標分別等於 cosθ 和 sinθ 。圖像中的三角形確保了這個公式；半徑等於斜邊且長度為1，所以有 sinθ = y /1和 cosθ = x /1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度，但保持斜邊等於 1的一種查看無限個三角形的方式。

對於大於 2π 或小於等於 2π  的角度，可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下，正弦和餘弦變成了周期為 2π 的 周期函數 ：對於任何角度 θ 和任何 整數 k 。

周期函數的 最小正周期 叫做這個函數的「 基本周期 」。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是全圓，也就是 2π弧度或 360°；正切或餘切的基本周期是半圓，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和餘弦是直接使用單位圓定義的，其他四個三角函數的定義如圖所示。

在 正切函數 的圖像中，在角 k π 附近變化緩慢，而在接近角 （ k + 1/2）π 的時候變化迅速。正切函數的圖像在 θ = （ k + 1/2）π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 （ k + 1/2）π 的時候函數接近 正無窮 ，而從右側接近 （ k + 1/2）π 的時候函數接近負無窮。

[if !vml][endif] 三角函數

另一方面，所有基本三角函數都可依據中心為 O 的單位圓來定義，類似於歷史上使用的幾何定義。特別 是，對於這個圓的 弦 AB ，這里的 θ 是對向角的一半，sin θ 是 AC （半弦），這是印度的 阿耶波多 介入的定義。cos θ 是水平距離 OC ，versin θ =1-cos θ 是 CD 。tan θ 是通過 A 的 切線 的 線段 AE 的長度，所以這個函數才叫 正切 。cot θ 是另一個切線段 AF 。sec θ = OE 和csc θ = OF 是割線（與圓相交於兩點）的線段，所以可以看作 OA 沿著 A 的切線分別向水平和垂直軸的投影。 DE 是exsec θ =sec θ -1（正割在圓外的部分）。通過這些構造，容易看出 正割 和正切函數在 θ 接近 π/2的時候發散，而餘割和餘切在 θ接近零的時候發散。

依據單位圓定義，可以做三個 有向線段 （ 向量 ）來表示正弦、餘弦、正切的值。如圖所示，圓O是一個單位圓，P是 α 的 終邊 與單位圓上的交點，M點是 P 在 x 軸的投影， A （1,0）是圓O與x軸 正半軸 的交點，過A點做過圓O的 切線 。

那麼向量 MP 對應的就是 α 的 正

F. 拋物線中半弦長公式，是什麼啊，我說的半弦長是我圖中的m和n，能看懂嗎

這叫做焦半徑,不是半弦長
連接拋物線上一點與焦點的線段叫做焦半徑,若拋物線為y²=2px,p>0,則焦半徑r=x0+p/2,x0是拋物線上點的橫坐標

G. 半弦長公式

是的,很容易可以推出來~
x0=(x1+x2)/2
那麼|x1-x0|=|x1-(x1+x2)/2|=|(x1-x2)/2|=|x1-x2|/2
所以AC=弦長/2=[(根號1+k²)×|x1-x2|]/2=(根號1+k²)×|x1-x0|

H. 數學符號中的sh,ch表示什麼意思哦

sh表示雙曲正弦函數，一般記作sinh，也可簡寫成sh。

ch表示雙曲餘弦函數，一般記作cosh，也可簡寫為ch。

雙曲正弦函數和雙曲餘弦函數是雙曲函數中最基本的兩種，由這兩個函數可推導出雙曲正切函數等。

雙曲正弦函數的定義式為：sinh=(eˣ-e⁻ˣ)/2。當x的絕對值很大時，雙曲正弦函數的圖形在第一象限內接近於曲線y=eˣ/2，在第三象限內接近於曲線y=-e⁻ˣ/2。當x=0時，sinhx=sinh0=0。

雙曲餘弦函數的定義式為：cosh=(eˣ+e⁻ˣ)/2。當x=0時，cosh0=1是該函數的最小值。

(8)半弦是什麼數學擴展閱讀

雙曲函數與三角函數的關系

奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴展到了雙曲線，威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來參數化單位雙曲線。

給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角α得到三角函數。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函數與三角函數有如下的關系：

（1）正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。

（2）餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。

（3）正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。

（4）餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。

（5）正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。

（6）餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離。