學生是如何學習數學概念的

1. 高中數學的學習，需要怎麼樣正確把握數學概念呢

高中數學是一門知識的連貫性和邏輯性都很強的學科，正確掌握我們學過的每一個概念、法則、公式、定理可以為今後的學習打下良好的基礎，如果在學習某一類內容或解某一類題時碰到了困難，那麼很有可能就是國為與其有關的、以前的一些基本知識沒有掌握好所造成的，因此要注意查缺補漏，找到問題並及時解決，努力做到發現一個問題及時解決一個問題。

一、扎實數學基礎

學數學，從不知到知，從沒有印象到有印象，而且還要「印」得正確，「印」得清楚，決不是輕而易舉的。一定要經過艱巨的勞動，通過多次反復的鑽研和練習，才能達到這樣的境界。學習數學，寧可多花一些時間，學得精一些、深一些、透一些，學到的知識也就扎實些、牢靠些，「有備無患或少患」,「以防萬一」。對學習中的困難要有足夠的估計，多做一些准備，不要貪眼前的快，學得太多、太粗。

數學復習要做到：抓住關鍵，突出重點。 復習中， 突出重點，主要是指突出教材中的知識重點，突出不易理解或尚未理解透切的知識，突出數學思想與解題方法。

數學思想與方法是數學的精髓，是聯系數學中各類知識的紐帶。高中學生要抓住教材中的重點內容， 掌握分析方法，從不同角度出發思索問題，由此探索一題多解、一題多變和一題多用之法。高中學生要培養自己正確地把日常語言轉化為代數、 幾何語言。並逐步掌握聽、說 讀 寫、譯的數學語言技能。

2. 如何引導學生學習數學概念10

我國著名教育家陶行知先生說過：「我認為好的先生不是教書，不是教學生，乃是教學生學。」教會學生學習，首先是教師的教，課堂教學是教會學生學習的最主要、最直接的途徑。結合教學實踐，我淺談幾點個人體會： 一、激發學生學習興趣，教學生學「進去」 瑞士心理學家皮亞傑認為：「所有智力方面的工作都依賴於興趣。」在教學中，我發現絕大多數學生開始學數學時，都是懷著濃厚的興趣，經過一段時間的學習，一部分學生獲得了一定的成績，使他們潛在的學習動機得到了激發，學習興趣更濃了；一部分學生因成績不理想而情緒受挫，進而使他們的學習興趣淡化，漸漸失去了學習信心。針對這些情況，教師的任務是使前者進一步明確學習目的，端正學習態度，掌握獨立學習的本領；讓後者重新點燃求知的火花，激發他們的學習興趣，讓他們真正學進去。 二、布疑設難，教學生學會「問」 古希臘哲學家亞里士多德認為：「思維自驚奇和疑問開始。」在教學中，教師創設問題情境，可以激發學生的思維興趣，誘發學生心底里的潛意識。在教學中，一些有經驗的教師常在利於突破學生思維的最佳處給學生布疑設難。在給學生布疑設難時，教師要掌握好「度」，對問題的難度、廣度、量度，布置要適當。在教學中，教師要鼓勵學生多問，不管問題多麼幼稚，絕不能搪塞或嘲諷學生，要引導學生逐漸學會問問題，把著眼點放在基本概念、基礎知識、基本方法的理解和應用上。 三、防陳求變，教學生學的「活」 心理學研究表明，學生長期接受單調、枯燥、乏味、重復的訓練會產生一種固定的機械思維模式——思維定勢。思維定勢的消極作用，無疑是讓學生進一步學習的大敵。在教學中，教師要想教會學生「活」學，就必須克服學生在學習時思維定勢的消極作用。數學教學不是讓學生單一接受某一數學結論，而是讓學生積極參與導出結論的過程。因為任何數學概念、定理、公式、法則等都可能有引入、形成、鞏固、深化的過程。教師若在教學中注意引導學生對這些基礎知識發生、發展過程以及概念的內涵、外延做一些必要的探索，就能促進學生邏輯思維能力的提高。 四、標新立異，教學生學會「闖」 現代中學生要求獨立，期望擺脫對老師的依賴，頑強地表現自己。對此，教師要善於引導學生學習，提倡在學習中的標新立異，使學生在學習上的個性得到積極發展。在教學中，我有選擇地把學生遇到的疑難問題和有爭議的問題放在課堂上，讓他們對這些問題各抒己見，徵求合理的答案，給他們提供寬松的思維空間，讓有不同見解的學生發表意見，展示自己的思維過程，鼓勵他們大膽質疑。 聰明的學生之所以聰明，在於他們善於獨立掌握科學的學習方法；高明的老師之所以高明，在於他們善於放開學生的手腳，引導學生學會學習。

3. 中學數學概念教學的基本方式有哪些

一、情境引導,發現本質 概念是對研究對象的本質屬性的概括.而本質屬性的概括的過程是一個由感性到理性、由特殊到一般的思維過程,要使學生獲得清晰的概念,就要在概念教學中充分開展這樣一個過程.按照初中生的年齡特徵,要盡量聯系學生的實際生活經驗引入概念,讓學生在不知不覺中對概念潛移默化,而不是照本宣科,死記詞句.例如,在教學平面內點的直角坐標的概念時,實質上是建立在平面內點和有序實數對的一一對應關系基礎之上.我們可以藉助於學生們看電影時找座位等一些學生所熟悉的實例來引入課題,讓學生在無意識狀態下進入新的概念學習當中,而不是就書認書,硬背概念.當然,要注意這樣做的本身並不是目的,它只是實現教學目標的一種手段,是為了用形象的實例來探討研究對象的抽象本質屬性,因而應把精力放在如何把感性認識上升到理性認識這一過程上來.另外,生活實例並不等於數學概念,有的包括非本質屬性,而有的遺漏了某些本質屬性,因此教者在舉例時必須切實,防止學生對概念的曲解,走向另一個極端. 此外,在概念的教學過程中,要在概念的系統中形成概念,而不是突如其來地灌給學生.從原有的概念基礎上引入,既要注意從學生已有的知識的基礎上引入新概念,又要充分揭示新知識與舊概念的矛盾,使學生認識到舊概念的局限性,學習新概念的必要性.這就要求我們教者在教學前要很好地分析新概念在概念系統中的位置.例如,算術根在教材中的位置,它的前面是方根,後面是根式.它是為了便於研究根式的性質和進行根式的運算,因為正數的平方根有兩個值,它們互為相反數.因此研究二次根式的性質只要研究算術平方根的性質就可以了.算術根是為了解決實數范圍內方根運算的可行和單值而出現的,從而為研究根式鋪平了道路,它在概念系統中起到了承上啟下的作用. 二、呈現定義,促進理解 概念的定義是我們所研究對象的本質屬性的概括,措辭更是精煉,每個字詞都有其重要的作用.為了深刻領會概念的含義,教師不僅要注意對概念論述時用詞的嚴密性和准確性,同時還要及時糾正某些不當及概念認識上的錯誤,這樣有利於培養學生嚴密的邏輯思維習慣,逐步養成對定義的深入鑽研,逐字逐句加以分析,認真推敲的良好習慣. 例如,在講解等腰三角形概念時,一定要強調概念中的有兩條邊相等的「有」字,而不是只有兩條邊相等的「只有」二字.前面的有兩條邊相等包括了兩種情況：一是只有兩條邊相等的等腰三角形,即腰與底不相等的等腰三角形；二是三條邊相等的等腰三角形又叫等邊三角形,而後面的僅僅涉及到一種情況,排除了等邊三角形也是等腰三角形的這一特殊情況.又如,「a、b、c不全等於零」和「a、b、c全不等於零」,這兩條定義字詞都一樣,只是位置不同,但意義截然不同.再如,不在同一直線上的三點確定一個圓,若改寫成三點確定一個圓,得出一個新命題,它既包括了三點在同一直線上也包括了三點不在同一直線上的兩種情形,而在同一直線上的三點不可能確定一個圓,即圓上任意三點都不在同一直線上.故將不在同一直線上三點確定一個圓寫成三點確定一個圓是不成立的.因此,在講述此概念時應突出「不在同一直線上」這句話. 三、新舊聯系,正反對照 有些概念單純地講學生難以接受,難以掌握.但是把某些相關或相對的概念放在一起進行類比、對照,使學生既了解它們之間的聯系又注意到它們的區別,會使學生茅塞頓開,另闢蹊徑.兩個概念之間的關系,可分為相容和不相容兩種,相容又可分為同一、交叉和從屬三種關系.例如,正整數和自然數是同一關系,平方根和算術平方根是從屬關系,方根和根式是交叉關系,矩形和菱形是交叉關系,平行四邊形和梯形是不相容關系.又如：講「仰角」和「俯角」時,將這兩個概念進行對照比較,就不難區別誰是「仰角」,誰是「俯角」.再如,「圓心角」與「圓周角」,同學們已經知道了「圓心角」是頂點在圓心的角,由此及彼,大部分學生就可以得出「圓周角」的定義：頂點在圓上的角叫「圓周角」這又恰恰錯了.此時教師再將「圓周角」的定義敘述出來,學生就會覺得恍然大悟.這樣通過比較「圓心角」與「圓周角」的概念一目瞭然,清清楚楚. 對數學概念的深刻理解,是提高學生解題能力的基礎；反之,也只有通過解題,學生才能加深對概念的認識,才能更完整、更深刻地理解和掌握概念的內涵和外延.課本中直接運用概念解題的例子很多,教學中要充分利用.同時,對學生在理解方面易出錯誤的概念,要設計一些有針對性的題目,通過練習、講評,使學生對概念的理解更深刻、更透徹. 四、深入剖析,揭示本質 數學概念是數學思維的基礎,要使學生對數學概念有透徹清晰的理解,教師首先要深入剖析概念的實質,幫助學生弄清一個概念的內涵與外延.也就是從質和量兩個方面來明確概念所反映的對象.如,掌握垂線的概念包括三個方面：①了解引進垂線的背景：兩條相交直線構成的四個角中,有一個是直角時,其餘三個也是直角,這反映了概念的內涵.②知道兩條直線互相垂直是兩條直線相交的一個重要的特殊情形,這反映了概念的外延.③會利用兩條直線互相垂直的定義進行推理,知道定義具有判定和性質兩方面的功能.另外,要讓學生學會運用概念解決問題,加深對概念本質的理解.

4. 如何加強小學數學的概念教學

在小學數學課中,根據教學內容可以劃分為概念課、計算課、解決問題課與空間圖形課,而幾乎在每一個新知識的起始課,學生最先接觸到的必然是數學概念。
數學概念是數學知識的「細胞」，是進行邏輯思維的第一要素。一切數學規則的研究、表達與應用都離不開數學概念。概念是構成小學數學基礎知識的重要內容,它們是互相聯系著的,也是學習其他數學知識的基礎,因此上好概念課對小學生的後續學習以及數學素質發展的培養都具有很重要的意義。
一、概念引入的教學策略
兒童學習數學概念有一個學習准備的過程，這個過程就稱為「概念的引入」。良好有效的概念引入有助於學生積極主動地去理解和掌握概念。
概念引入的基本策略有：
1、生活實例引入
數學源於生活。結合生活實例引入概念是數學概念教學的一個有效途徑。它可以使數學由「陌生」變為「熟悉」，由」嚴肅」變為「親切」，從而使學生願意接近數學。例如：「直線和線段」的教學。可呈現四組鏡頭讓學生觀察。鏡頭一：媽媽織毛衣的場景，突出散亂在地上的繞來繞去的毛線。鏡頭二：斜拉橋上一根根斜拉的鋼索。鏡頭三：一個女孩打電話，用手指繞著彎彎曲曲的電話線。鏡頭四：建築工地上用繩子拴住重物往上拉的畫面，突出筆直的鋼絲繩。然後提問：「剛才你在屏幕上看到了什麼？你能給這些線分分類嗎？你有什麼辦法使這些線變直？」這些熟悉的生活現象不僅喚起了學生對生活的回憶，更激起了學生探索慾望，為學生提供了「做數學」的機會。
2、從直觀操作引入
組織學生動手操作，可使學生藉助動作思維，獲得鮮明的感知。如：教學「平均分」的概念，可先引導學生動手操作，把8個桃子分給2隻猴子，看看有幾種不同的分法。然後進行比較，說說你認為哪種分法最公平。從而使學生認識到：眾多的分法中有一種分法是與眾不同的，那就是每人分的同樣多，從而形成「平均分」的表象。
3、從舊知遷移引入
數學概念之間的聯系十分緊密，到了中高年級，許多概念可以通過聯系相關的舊概念直接引入。例如：「質數與和數」的教學。由於質數、和數是通過約數的個數來劃分的，所以在教學時，可以從復習約數的概念入手，然學生找出1、2、6、7、8、11、12、15的所有約數。在引導學生觀察比較，他們各有幾個約數？你能給出一個分類標准，把這些數分分類嗎？從而為引出質數、和數做好鋪墊。又如：「乘法」的概念可從「加法」來引入，「整除」的概念可從除法中的「除盡」來引入。
4、從情景設疑引入
豐富的情景不僅能激發學生的學習慾望，而且有利於學生主動觀察和積極思考，還有利於培養學生通過觀察發現並提出問題的能力。例如：關於「體積」概念的教學，可以先將兩個同樣的玻璃容器盛滿水，然後拿出兩個大小明顯不等的石塊，分別放進兩個玻璃容器中，讓學生觀察，出現了什麼現象，並想一想，為什麼石塊放進容器後，水要往外溢？為什麼放進較大石塊的容器，流出的水較多？從而讓學生獲得石塊佔有空間的感性認識，為引出「體積」做好了准備。
5、從動手計算引入
有些數學概念很難讓學生觀察或操作，但可以組織學生進行計算，使學生獲得感性認識。例如：「循環小數」概念的教學。可先讓學生進行小數除法計算，10/3，58.6/11。在計算過程中，學生會發現他們都除不盡，並且注意到當余數不斷重復出現時，商也不斷跟著重復出現，從而感知循環小數。
引進數學概念的方法較多，有時需要配合使用幾種方法才能收到良好的教學效果。
二、概念建立的教學策略
概念建立是概念教學的中心環節。小學生建立數學概念有兩種基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。由於小學生的思維特點處於由形象思維像抽象邏輯思維過度的階段，因此，小學生學習數學概念大多以「概念形成」的形式為主。數學概念的形成，一般要經過直觀感知---建立表象---解釋本質屬性三個過程。
1、強化感知
感知是人們認識事物的開始，沒有感知就不可能認識事物的本質和規律。因此在概念教學中，首先根據教學內容有目的、有計劃地向學生提供豐富的感性材料，引導學生觀察，並結合學生自己的動手操作，豐富感性認識，為概念形成做好准備。在組織學生進行感知活動時，要有意識地把感知的對象從背景中凸現出來，以便學生清晰地感知。同時，變靜止的為活動的，給學生留下清晰而深刻的印象。
2、重視表象
表象是人腦對客觀事物感知後留下的形象，是多層次感知的結果。表象接近感知，具有一定的具體性，同時又接近於概念，具有一定的抽象性，它起著從感知到概念的橋梁作用。建立表象，可以使學生逐步擺脫對直觀材料的依賴，克服感知中的局限性，為揭示概念的本質屬性奠定基礎。因此，在演示或操作結束後，不要急於進行概括，可以讓學生脫離直觀事例，默默地回想一下，喚起頭腦中的表象，並通過教師的引導，是表象有模糊到清晰，由分散到集中，進而過渡到抽象概括。如：在直觀感知黑板面、課桌面、課本面是長方形的基礎上，抽象出幾何圖形。
3、揭示本質屬性
在學生充分感知並形成表象後，教師要不失時機地引導學生進行分析、比較、綜合，概括出事物的本質屬性，並把這些本質屬性推廣到同類事物的全體，從而形成概念。
如：「三角形的認識」教學。首先讓學生說出日常生活中常見的三角形實物；接著在屏幕上出示三角旗、紅領巾、三角板等實物圖，提問這些物體都是什麼形狀？然後教師去掉圖中的顏色，只留下三個物體的外框，讓學生說說這三個圖形的相同點和不同點。舍棄這三種物體的顏色、大小、材料等非本質的東西，抽象出三角形的本著特徵：都是有三條線段組成的。接著教師出示三條線段，在屏幕上慢慢「圍成」一個三角形，形象地突出了「圍成」這一特徵，是學生准確理解：「由三條線段圍成的圖形叫三角形」。
4、深入理解概念的內涵和外延
當用定義把概念的本質屬性揭示出來時，學生對概念的理解還是膚淺的。因此，教師要採取一切手段幫助學生逐步理解概念的內涵和外延，以便學生在理解的基礎上掌握概念。一般可採取以下方法。
（1）析概念的關鍵性詞語。如在概括出分數的概念後，可進一步剖析：①單位「1」表示什麼意思？②「1」為什麼加引號？③「平均分」表示什麼意思？④「表示這樣的一份或幾份」是什麼意思？只有把這些觀念詞語的意思弄清楚了，才能對分數的概念有深刻的理解。
（2）利用概念的肯定例證和否定例證。肯定例證有利於概念的概括，否定例證有利於概念的辨別。因此教師不僅要充分運用肯定例證幫助學生正面理解概念的內涵，同時還及時運用否定例證促進學生對概念的辨析。如：學習了「循環小數」的概念後，可舉若干肯定例證和否定例證。
（3）運用變式突出概念的內涵與外延。「變式」是指本質屬性不變而非本質屬性發生變化。例如教學「三角形的高」時，當學生在標准圖形做出高之後，可出示變式圖形，然學生根據概念做出高。這樣即使「三角形的高」的內涵到強化，又使外延到充分揭示。如果只提供標准圖形，學生只會在標准圖形上做高，而不會再變式圖形上做高，這樣就會縮小「三角形的高」這一概念的外延。
三、概念鞏固的教學策略
學生對概念的掌握不是一次就能完成的，要由具體到抽象，再由抽象到具體多次往復。當學生初步建立概念後還需要運用多種方法，促進概念在學生認知結構中的保持，並通過不斷運用加深對概念的理解和記憶，使新建立的概念得以鞏固。
1、促進記憶
為了鞏固所獲得的新概念，首先需要記憶。教學中，我們必須遵循記憶的規律，指導學生對概念進行記憶。記憶有機械記憶、理解記憶。概念的機械記憶就是按概念在課本上的表述進行記憶。小學生機械記憶的能力一般比較強，但這種記憶如不及時上升到理解記憶，就很容易被遺忘，即使記住了也很難運用。概念的理解記憶是在明確了概念的內涵和外延，並使新概念和學生原有的知識經驗建立聯系後進行的記憶。
2、自舉實例
自舉實例就是讓學生把已獲得的概念簡單地運用於實際，通過實例來說明概念，來加深對概念的理解。有經驗的教師根據小學生通常帶有具體性的特點，在學生通過分析、綜合、抽象概括出概念以後，總是讓他們自舉例證，並把概念具體化。如在學生學習乘法的初步認識後，然學生找找生活中哪些問題可以用乘法解決。
3、強化應用
學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在於能否說出概念的名稱和定義，還在於能否正確地應用。通過應用可以家生理解，增強記憶，提高數學的應用意識。
概念的應用可以從概念的內涵和外延兩方面進行。概念的內涵的應用有：①復述定義或根據定義填空；②根據定義判斷是非；③根據定義推理；④根據定義計算。概念外延的應用有：①舉例；②辨認肯定例證或否定例證，並說明理由；③按指定條件從概念的外延種選擇事例；④將概念按不同的標准分類。
4、注意辨析
隨著學習的深入，學生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念的內涵相近，學生容易混淆，如質數與互質數、整除與除盡、和數與偶數等。因此在概念的鞏固階段，要注意引導學生運用對比的方法，弄清易混淆概念的聯系與區別，以促使概念的精確分化。
總之,小學數學概念教學是小學數學教學的重要組成部分,教師在上概念課的時候一定要根據針對學生的認知規律以及概念的具體特點,採取科學的教學策略來開展教學工作,以保證數學概念教學的質量。在小學數學教學中，幫助學生逐步形成正確的數學概念，是課堂教學的一個重要任務。

5. 怎樣幫助學生有效地掌握數學概念

長期以來，由於受應試教育的影響，很多教師重解題輕概念，重習題課輕概念課，造成數學概念與解題的嚴重脫節，學生對概念模糊不清，一知半解，不能很好的理解和運用概念，數學課堂變成了教師進行學生解題技能培訓的場所，而學生成了解題的機器。這種情形極大地影響了教學質量，學生也深陷題海，學習效率很低；更為嚴重的是這必將阻礙學生思維的發展和能力的提高，與新課程大力倡導的培養學生探究能力與創新精神已背道而馳。
1、新課標對數學概念教學的要求
《高中數學新課程標准》明確指出：讓學生獲得必要的數學基礎知識和基本技能，理解基本的數學概念、數學本質。高中數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，了解它們產生的背景、應用和在後繼學習中的作用，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解，體會其中的數學思想和方法。由於數學高度抽象的特點，應注重體現基本概念的來龍去脈，探究重點和核心概念的內涵和外延，在教學中要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，在初步運用中逐步理解概念的本質。
2、新課標下數學概念教學所要求的教師定位
數學概念是數學大廈的基石，數學就是由許多彼此聯系的概念經過邏輯推論構成的理論體系。概念教學作為數學教學的重要組成部分，也應順應教育改革的潮流，不斷創新。
新課標下教師要更新教學理念，重視概念課教學，更應該在具體教學過程中讓學生體會到概念的普遍性以及概念中滲透的數學思想，同時激發起學生對數學學習的興趣，提高學生思考、歸納和應用概念解決問題的能力。數學概念的教學不在於教師把概念講的如何透徹，更不是把概念硬塞給學生，而是根據概念本身的背景和學生已掌握的知識去啟發、指導以及鼓勵學生主動去探索問題，在探究活動中學習和建構數學概念。因此，新課程下的數學概念課教學要求教師能夠合理定位，實現角色的更新與升級。
在傳統的數學概念教學中，教師往往只注重對概念的傳授，忽視概念的背景介紹與對學生認知結構的分析，不能使學生從多個側面、多個角度去理解概念，也就不能正確分析數學概念的本質屬性與非本質屬性。這樣的教學只會使學生在頭腦中形成一些孤立的知識塊，不利於學生綜合運用知識去分析和解決問題，違背了建構主義的學習理論。如果把數學概念課教學看著是一種電影文化活動，那麼教師不僅僅只是概念這一劇本的投資推銷者，更應扮演概念形成過程前的編劇、概念形成過程中的導演以及概念形成過程後的影評家。
3、基於課堂過程設計的概念課教學的思考
回歸概念課的課堂，其過程不外乎三個階段：概念引入階段、概念探究階段、概念應用階段。如何提高數學概念課的有效性？筆者基於課堂過程的三個階段加以了思考。
（1）概念引入階段：問題的提出應具有實際意義，能引起學生的較大興趣，觸動學生的觀察神經，直逼主題。通過矛盾、生活實際或者圖形的直觀感覺，給學生適當的感性認識，為突破難點做好鋪墊，從而自然導入概念。
中學數學教學中引入新概念的途徑有：一、用實際事例或實物、模型進行介紹，使學生對研究對象的認識由感性到理性，逐步認識它的本質屬性，建立起新的概念。尤其在解析幾何和立體幾何概念教學中，例如在教學「柱體、錐體、台體」的概念時，先讓學生觀察有關的實物、圖示、模型，在具有充分的感性認識的基礎上再引入概念。二、從數學內在的發展需要引入概念也是一種有效的方法。例如「虛數」、「二面角」等概念的引入。三、由舊概念的引申或變形引導出新概念。如「向量的模」、「兩點間的距離公式」、「直線的傾斜角」等一些關聯概念。
（2）概念探究階段：對概念進行探究，層層深入，發動學生，分組討論，積極思考，在巡視過程中，啟發引導學生，及時掌握學生的動向，協助學生記憶理解並形成概念。
數學新概念教學必須對概念進行仔細探究，講清數學概念之內涵和外延，溝通知識的內在聯系。概念中有哪些規定和條件？與其他概念比較有無容易混淆的地方？它們與過去學過的知識有什麼聯系？這些規定和條件的確切含義是什麼？應當如何理解這些區別？這些概念能否加以引申和變形？這都是教師要重點思考的。
教師要及時地運用各種手段使學生加深對概念的理解。例如，可以讓學生復述概念，也可以舉一些相關的例子使學生掌握概念的內涵和外延，還可以同一些相關概念進行比較，以找出它們之間的聯系與區別。如排列與組合、指數與對數、三角函數與反三角函數等概念教學時，用對比法可收到好的效果。也可用一些三字訣、四字訣等習慣術語幫助記憶，如三角函數的誘導公式，「奇變偶不變，符號看象限」等等。
（3）概念應用階段：學生認識和形成概念，理解和掌握之後，鞏固概念是一個不可缺少的環節。用精選實例、設計巧題、加強練習等方法鞏固和運用概念，使學生通過概念的掌握與運用，最終掌握數學思想方法。
鞏固的主要手段是多練習、多運用，只有這樣才能溝通概念、定理、法則、性質、公式之間的內存聯系。如學習了「橢圓的第一定義及第二定義」概念之後可舉例練習，通過解題鞏固原有概念。這些練習可以分兩步走：先是從基本練習出發，幫助學生熟悉、掌握好新概念，新知識，在基本內容掌握好以後，再根據班級學生實際情況，設計一些小轉彎、小變化和小綜合的題目，以便學生靈活運用知識去解決問題。

6. 怎樣熟練掌握小學數學概念、公式和定理

對於那些成績較差的小學生來說,學習小學數學都有很大的難度,其實小學數學屬於基礎類的知識比較多,只要掌握一定的技巧還是比較容易掌握的.在小學,是一個需要養成良好習慣的時期,注重培養孩子的習慣和學習能力是重要的一方面,那小學數學有哪些技巧?

一、重視課內聽講,課後及時進行復習.
新知識的接受和數學能力的培養主要是在課堂上進行的,所以我們必須特別注意課堂學習的效率,尋找正確的學習方法.在課堂上,我們必須遵循教師的思想,積極制定以下步驟,思考和預測解決問題的思想與教師之間的差異.特別是,我們必須了解基本知識和基本學習技能,並及時審查它們以避免疑慮.首先,在進行各種練習之前,我們必須記住教師的知識點,正確理解各種公式的推理過程,並試著記住而不是採用"不確定的書籍閱讀".勤於思考,對於一些問題試著用大腦去思考,認真分析問題,嘗試自己解決問題.
二、多做習題,養成解決問題的好習慣.
如果你想學好數學,你需要提出更多問題,熟悉各種問題的解決問題的想法.首先,我們先從課本的題目為標准,反復練習基本知識,然後找一些課外活動,幫助開拓思路練習,提高自己的分析和掌握解決的規律.對於一些易於查找的問題,您可以准備一個用於收集的錯題本,編寫自己的想法來解決問題,在日常養成解決問題的好習慣.學會讓自己高度集中精力,使大腦興奮,快速思考,進入最佳狀態並在考試中自由使用.
三、調整心態並正確對待考試.
首先,主要的重點應放在基礎、基本技能、基本方法,因為大多數測試出於基本問題,較難的題目也是出自於基本.所以只有調整學習的心態,盡量讓自己用一個清楚的頭腦去解決問題,就沒有太難的題目.考試前要多對習題進行演練,開闊思路,在保證真確的前提下提高做題的速度.對於簡單的基礎題目要拿出二十分的把握去做;難得題目要盡量去做對,使自己的水平能正常或者超常發揮.

由此可見小學數學的技巧就是多做練習題,掌握基本知識.另外就是心態,不能見考試就膽怯,調整心態很重要.所以大家可以遵循這些技巧,來提高自己的能力,使自己進入到數學的海洋中去.

7. 如何進行數學概念教學

數學概念比較抽象，特別是低年級小學生，由於年齡、知識和生活的局限，其思維處在具體形象思維為主的階段。認識一個事物、理解一個數學道理，主要是憑借事物的具體形象。因此，教師在數學概念教學的過程中，一定要做到細心、耐心，盡量從學生日常生活中所熟悉的事物開始引入。這樣，學生學起來就有興趣，思考的積極性就會高。如在教平均數應用題時，利用鉛筆做教具，重溫「平均分」的概念。用9個同樣大的小木塊擺出三堆，第一堆1塊，第二堆2塊，第三堆6塊，問：「每堆一樣多嗎？哪堆多？哪堆少？」學生都能正確回答。這時，又把這三堆木塊混到一起，重新平均分三份，每份都是3塊，告訴學生「3」這個新得到的數，是這三堆木塊的「平均數」。再演示一遍，要求學生仔細看，用心想：「平均數」是怎樣得到的。學生看把原來的三堆合並起來，變成一堆，再把這堆木塊分做3份，每堆正好3塊。這個演示過程，既揭示了「平均數」的概念，又有意識地滲透「總數量÷總份數=平均數」的計算方法。然後，又把木塊按原來的樣子1塊，2塊、6塊地擺好，讓學生觀察，平均數「3」與原來的數比較大小。學生說，平均數3比原來大的數小，比原來小的數大，這樣，學生就形象地理解了「求平均數」這一概念的本質特徵。
2.運用舊知識引出新概念
數學中的有些概念，往往難以直觀表述。如比例尺、循環小數等，但它們與舊知識都有內在聯系。就充分運用舊知識來引出新概念。在備課時要分析這個新概念有哪些舊知識與它有內在的聯系。利用學生已掌握的舊知識講授新概念，學生是容易接受的。蘇霍姆林斯基說：「教給學生能藉助已有的知識去獲取知識，這是最高的教學技巧之所在。」從心理學來分析，無恐懼心理，學生容易活躍；無畏難情緒，易於啟發思維；舊知識記憶好，容易受鼓舞；所以運用舊知識引出新概念教學效果好。例如從求出幾個數各自的「倍數」從而引出「公倍數」、「最小公倍數」等概念。總之，把已有的知識作為學習新知識的基礎，以舊帶新，再化新為舊，如此循環往復，既促使學生明確了概念，又掌握了新舊概念間的聯系。
3.通過實踐認識事物本質、形成概念
常言說，實踐出真知，手是腦的老師。學生通過演示學具，可以理解一些難以講解的概念。如一年級小學生初學數的大小比較。是用小雞小鴨學具，一一對比。如一隻小雞對一隻小鴨，第二隻小雞對第二隻小鴨，……直到第六隻小雞沒有小鴨對比了，就叫小雞比小鴨多1隻。又如二年級小學生學習「同樣多」這個概念也是用學具紅花和黃花，學生先擺5朵紅花、再擺和紅花一樣多的5朵黃花，這樣就把「同樣多」這個數學概念，通過演示（手），思維（腦），形成概念，符合實踐、認識，再實踐、再認識的規律。這比老師演示、學生看，老師講解、學生聽效果好，印象深、記憶牢。
4、從具體到抽象，揭示概念的本質
在教學中既要注意適應學生以形象思維為主的特點，也要注意培養他們的抽象思維能力。在概念教學中，要善於為學生創造條件，引導他們通過觀察、思考、探求概念的含義，沿著由感性認識到理性認識的認知過程去掌握概念。這樣，可以培養學生的邏輯思維能力。如圓周率這個概念比較抽象。一般教師都是讓學生通過動手操作認識圓的周長與直徑的關系，學生通過觀察、思考，分析，很快就發現不管圓的大小如何，每個圓的周長都是直徑的3倍多一點。教師指出：「這個倍數是個固定的數，數學上叫做「圓周率」。這樣，引導學生把大量感性材料，加以分析綜合，抽象概括拋棄事物非本質東西（如圓的大小，紙板的顏色，測量用的單位等）抓住事物的本質特徵（不論圓的大小，周長總是直徑的3倍多一點）。形成了概念。
5、用「變式」引導學生理解概念的本質
在學生初步掌握了概念之後，經常變換概念的敘述方法，讓學生從各個側面來理解概念。概念的表述方式可以是多種多樣的。如質數，可以說是「一個自然數除了1和它本身，不再有別的因數，這個數叫做質數。」有時也說成「僅僅是1和它本身兩個因數的倍數的數」。學生對各種不同的敘述都能理解，就說明他們對概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死背硬記的。有時可以變概念的非本質特徵，讓學生來辨析，加深他們對本質特徵的理解。
6、對近似的概念加以對比
在小學數學中，有些概念的含義接近，但本質屬性有區別。例如：數位與位數、體積與容積，減少與減少到等等相對應概念，存在許多共同點與內在聯系。對這類概念，學生常常容易混淆，必須把它們加以比較，避免互相干擾。比較，主要是找出它們的相同點和不同點，這就要對進行比較的兩個概念加以分析，看各有哪些本質特點。然後把它們的共同點和不同點分別找出來，使學生既看到進行比較對象的內在聯系，又看到它們的區別。這樣，學的概念就會更加明確。對近似的概念經常引導學生進行比較和區分，既能培養學生對易混概念自覺地進行比較的習慣，也能提高學生理解概念的能力。多年來教學實踐的體會：重視培養學生的比較思想有幾點好處：（1）有利於培養學生思維的邏輯性。（2）有利於提高學生的分析問題的能力。（3）有利於培養學生系統化的思維方式。
5、教師要幫助學生總結歸納出概念的含義
教學中學生的主體地位是必要的，但教師在教學的全過程中的主導地位也不能忽視。教師應發揮好主導作用。教師與學生的主、客體地位是相互依存，在一定條件下又相互轉化。在概念教學中，教師要善於為學生創造條件，讓學生沿著觀察、思維、理解、表達的過程，由感性到理性的過程，由具體到抽象的過程去掌握概念。這樣極易調動學生的積極性、主動性，也可以教會學生去發現真理。

8. 兒童怎樣學習數學概念的

兒童的思維發展，可以分為四個階段：第一階段是感覺運動階段，從初生到二歲間的兒童處於這一階段。第二階段是前運算階段，從二歲到七歲之間的 小孩屬於這一階段。兒童開始了解到簡單的符號象徵真實世界的事物。第三階段是具體運算階段，這個階段的兒童大約從七歲到十二三歲左右。兒童在這一階段的思 維一般不能離開具體事物的支持。第四階段是形式運算階段，這一階段發生在十歲或十二歲以後。這一階段學生可以在一定程度上進行形式思維，根據假設進行邏輯 推演的思維等。 在學習過程方面，要重視數學概念知識的作用，數學學習是一種概念及概念之間關系的學習，教師應鼓勵兒童理解數學概念及其分類，要驗學生獨立思考的 機會和發現數學知識的樂趣。對數概念的理解必須由兒童自己獲得，教師的責任是提供一個良好的教學環境，提供適當的問題來引導兒童學習。打破傳統課堂的呆板模式和嚴肅的氣氛，給兒童更多的活動與交流的自 由。 兒童的理解能力發展分為三個階段：第一，動作階段。第二，表象階段。第三，符號階段。他認為，動作表象--符號是兒童認知發 展的程序，也是學生學習過程的認知序列。應該按照學生理解能力發展的程度來組織數學課堂學習，盡量舉例以便解析復雜的數學概念。如：加法結合律可 以經過三步。第一步，可以用小棒、積木來演示；第二步，以數字來表示如（1＋4）＋5=1＋（4＋5）；第三步，用符號來表示。 學生的數學學習可以概括為經驗、語言、圖象和符號四個基本環節。經驗就是學生自己的活動或者他們接觸客觀事物的體驗。語言就是 學生自己對經驗的概括，學生用一定的語言對經驗進行刻畫。圖像指學生在頭腦中形成表象，這些圖像能引起和幫助他們理解數學概念，為進一步概括提供基礎。符 號指學生認識和寫出代表概念的符號，掌握的數學概念的概括程度進一步提高，有助於數學知識的遷移。學生的數學學習中存在下面幾個差異：學習速度，學習情緒 體驗，理解能力。 小學生思考的方法和能力雖然各有不同，但是他們都會因年齡和經驗的差異而必然經過幾個學習階段。小學生學習數學概念的速度比我們想像的慢，他們要通過實際活動才能夠掌握具體概念，進而學習抽象概念。學生的實際體驗具有重要作用，因此教師應善於用學習兒童根據本身的經驗支分析事物的 關系，然後在適當時候引入數學語言。兒童掌握概念後，必須有適量的練習，才能夠鞏固所學的數學知識。 小學生的數學語言大致可分為三大類：第一類是專有名詞。第二類是表示計算過程的名詞。第三類是有助於理解題意的一般詞。 小學生如何學數學 ，從宏觀來看，教師的工作在很大程度上不是去教會學生什麼，而是創設良好課堂環境，引導學生參與課堂教學活動，讓學生在自己的活動中學到知識，獲得發展。從 微觀來看，指學生如何理解和探索數學知識、如何發展重要數量觀念和邏輯思維能力等問題。一個成功的小學數學教師，既要關心學生在課堂中的主體參與，又要關 注學生在具體領域的數學理解的發展。

9. 淺談如何讓學生准確把握數學概念的本質

數學概念是用數學語言反映客觀事物的空間形式與數量關系方面的本質屬性，包括概念的名稱（符號）、定義、屬性、例子四個方面。例如：概念「方程」，「方程」是概念的名稱，「含有未知數的等式叫做方程」是概念的定義，「未知數」、「等式」是概念的屬性，符合定義特徵的等式都是概念的例子，如2x+3=4x稱為一元一次方程，否則，叫做反例，如2x+3≥4x不是方程，稱為一元一次不等式。數學概念是數學知識的基礎，也可以說概念是數學內容的骨架，形成數學內容的體系。在初中階段涉及到的數學概念非常多，在教學中，應根據學生的思維特徵，從學生能夠了解的事例或者已有的知識出發，積極引導學生進行歸納、演繹、分析、綜合、抽象、概括，使學生獲得數學概念。那麼在初中數學教學中，如何讓學生准確把握概念的本質呢？
一、體驗
以《中心對稱》中概念中心對稱圖形學習為例：硬紙條――線段AB的中點O用圖釘釘在小黑板上，讓學生演示線段AB繞著它的中點O旋轉多少最少的角度後的線段和原線段重合，即點A的位置轉到點B的位置， 點B的位置轉到點A的位置；再演示硬紙製作的平行四邊形ABCD，把平行四邊形ABCD硬紙繞其對角線交點O旋轉多少最少的角度後的平行四邊形和原平行四邊形重合，即點A的位置轉到點C的位置， 點C的位置轉到點A的位置，同樣點B的位置轉到點D的位置， 點D的位置轉到點B的位置，類似地，矩形、正方形、菱形等都具有這種性質，即圖形繞著某點旋轉180°後的圖形與原圖形重合，而等腰三角形、正三角形沒有這種性質，從而引出中心對稱圖形的定義。
二、辨析
在對概念有初步理解之後，可以適當舉一些概念判斷題讓學生辨認比較，有利於澄清學生的錯誤認識，使學生在實踐中自我檢驗所學概念的掌握程度和運用能力，有利於對概念的准確理解。負數概念是用描述性語言給出的，如，等，在數（除零外）前面放有負號的數叫做負數，所以學生容易被表面現象「-」所迷惑，這時在引進了字母表示數以後，我們可以舉些反例，如a是負數嗎？3a一定小於4a嗎？2+a一定大於2-a嗎？等來加深對負數概念的理解。又如在學習了最簡二次根式的概念後，讓學生辨析下列各式：，，等，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什麼？通過這樣的練習，培養學生運用概念作簡單判斷的能力，而每做一次判斷，概念的本質屬性就在學生的思想里重復一次，達到再進一步理解新概念的目的。
三、比較
有比較才有鑒別。對於容易混淆或難以理解的概念，只有經過多次的對比分析和練習，才能達到正確理解的目的，運用比較的方法有助於學生抓住概念的本質，正確把握概念的本質。例如：等式與方程、方程的解與解方程、因式分解與整式乘法、平方和與和的平方等，學生常常分辨不清。教學時可引導學生找出它們的異同點，加深對概念的理解。等式和方程是既有聯系又有區別的兩個概念，等式是表示相等關系的式子，它包含兩種：一種是恆等式，如2+3=5，a+b=b+a不論a、b取何值等式總能成立；另一種是條件等式，如3+x=7，只有當x=4時，等式才能成立，否則不成立。像這種含有未知數的等式就是方程。這說明方程必須同時滿足條件：①含有未知數、②等式。又如平方和與和的平方可比較它們的運算順序：平方和是先平方再求和，即a2+b2；和的平方是先求和再平方，即（a+b）2。因式分解與整式的乘法可以比較運算結果：因式分解是把多項式分解成幾個因式的乘法，如x2-y2=（x+y）（x-y）；整式的乘法是把幾個因式的乘法化成多項式，如（x+y）（x-y）=x2-y2。有些難以理解的概念，還可通過比較化難為易，揭示本質，例如：比較兩個代數式12a2b2c和8a3xy的共同點；比較正方形和正五邊形的異同點；等等。
四、類比
有時，通過概念的類比，可以更好地理解概念。如：分式與分數、不等式與方程、相似三角形與全等三角形等類比，這樣類比之後，溫故知新、互相裨補，加深概念理解的效果。例如：學生是以直接定義的方式學習梯形的概念，可以與自己認知結構中的有關概念平行、四邊形、四邊形的對邊聯系起來思考，認識到梯形是原有四邊形特殊的一類，從而明確它的內涵與外延，通過討論梯形的各種特例，如直角梯形、等腰梯形等，進一步突出梯形的本質屬性，與原有的一些概念（如平行四邊形）區別開來，並相互貫通組成一個整體，納入原有概念（四邊形）體系中，再學習例題、解答習題，特別是通過讓學生辨認肯定例證及否定例證（其中包括一些變式圖形），加深對梯形概念的理解，使它在認知結構中進一步得到鞏固。
五、變式
在數學概念的非本質屬性方面進行變化，目的是為了使學生有機會親自經歷概念的概括過程，使學生所掌握的概念更加精確、穩定和易於遷移，避免把非本質屬性當成本質屬性，使學生更好地理解概念的本質。在學習三角形的高這一概念時，為學生提供一些在形狀（銳角、直角、鈍角三角形）、位置等方面有變化的不同三角形的例證，讓學生通過對這幾種典型變式的思維加工，抽象概括出「三角形的高」的定義。因此，學生明白了①三角形一邊上的高就是從不在該邊上的一個頂點向其所在的直線作垂線，所得的垂線段就是該邊上的高；②高既可在三角形內又可在三角形外，只要是從一個頂點向對邊所在的直線所作的線段是垂直於對邊的即可。
總之，學生學習數學概念，應從自己的情況出發，理解概念產生的背景、基本事實，不能把概念形成與概念同化孤立使用，更不能把概念的獲得與概念的剖析截然分開，否則，只能認識概念的表象特徵，學習到的只是概念的表層知識，不能很好地領悟概念的形成條件（內涵）、適用范圍（外延）以及蘊藏在概念中的數學思想方法。因此，在概念理解階段，要幫助學生剖析概念的內涵和外延，從質和量兩個方面理解概念，再對概念本身逐層剖析，還要從相近、相關、相反等方向分析、挖掘概念固有的本質。

10. 如何引導低年級學生學習數學概念

如何引導低年級學生學習數學概念
數學課堂教學中，我們教師經常會遇到這樣的情況：當教師要求學生描述概念的定義時，他們往往能夠給予流利而圓滿的回答，但卻經常不能正確地運用它們解決有關問題。筆者在教學實踐中，也遇到了類似的情況，比如在學習二次函數的時候能准確說出解析式的幾種形式，但在具體的題目中卻不能靈活使用哪一種解析式解題，不會用數形結合的方法畫草圖分析。學生正確而流利的回答恰恰掩蓋了他們並不理解的本質，這種現象在中學數學教學實踐中比比皆是，我們稱之為膚淺理解。究其原因，筆者認為，大多數學生是因為對數學概念、定理、法則等的本質內涵根本不理解或理解不深刻，一味地死記硬背、套題型做習題。這與教師在教學過程中過多注重「舉一反一」「高密度訓練」，忽視學生對數學知識的深刻理解有一定的關系。本文針對上述所列問題，進行深人分析，談談促進初中生數學認知理解的幾條措施。
一、運用多種方式,為學生提供豐富的感性材料
數學概念、性質、定理等具有高度的抽象性和概括性，如果讓初中生直接理解，肯定會存在很大困難，所以在數學教學中，教師應該為學生提供一些實物、模型、教具、教學軟體等豐富的數學學習材料，讓學生有充分的時間對具體事物進行操作，使他們獲得學習新知識所需要的具體經驗，通過自己的思維活動來形成對概念的理解，而不是通過機械的重復，記住教師所講述的那些關於概念的現成解釋，這樣學生所獲得的知識才是全面的、清晰的、牢固的。在教學過程中，可以採取以下措施：
1、讓學生動手操作
例如，在講授判定三角形全等的邊角邊公理時，就可以先讓每個學生利用直尺和量角器在白紙上作一個△abc,使 =60,ab=5cm,bc=3cm,並用剪刀剪下此三角形，然後與其他同學所作三角形進行對照，看看能否重合，這時學生們會發現是能夠重合的，接下來讓學生改變角度和長度大小再剪三角形，並進行再對照，這樣學生自然會發現每次所作三角形都能夠完全重合。此時，教師再啟發學生，總結出：如果兩個三角形兩邊及其夾角分別相等，則這兩個三角形全等，即邊角邊定理。這種教學方式，既活躍了課堂氣氛，激發了學生的學習興趣，又使抽象的數學知識蘊於簡單實驗之中，使學生易於接受新知識。
2、圖文並茂
例如，解一元一次不等式組是中學數學中的一個難點，在教學過程中，教師可設計圖1圖4的復合幻燈片，教師結合圖片，逐一進行分析、概括，這樣學生對一元一次不等式組的解就會有一個清晰的認識.

3、利用現代化多媒體技術
例如，在講「圖形的相似」一節時，可以運用計算機輔助教學，製作兩幅比例尺寸不同中國地圖，從中找出長沙，武漢，上海這三個地方，連接這三個點構造三角形，再通過比例尺計算對應邊的長度來發現相似圖形的性質。學生感到很容易理解。通過這種方式，使得抽象的數學概念成為看得見、摸得著的東西，從而內化到學生的知識結構中，從而取得較好的教學實效。
應用現代化教學手段，可以使教學中「死」的圖形「動」起來，把「死」的書本知識「活」起來，它可以為學生提供生動、直觀的材料，從而開闊了視野，拓展了知識結構。
二、巧設問題情境
在設置問題情境時，可以從以下幾個方面人手：
1、讓學生知道自己將要學到什麼
它是使學生自覺參與學習的最好「誘惑」。例如，對於運用公式法分解因式的第一節課—平方差公式，教師可以這樣來創設問題情境 師：在一次智力競賽中，主持人提供了1道題「2009 -2008 =」主持人話音剛落，就立刻有一個學生刷地站起來搶答說：「等於4017，」該學生回答的速度之快，給人以不假思索之感。同學們，你們知道他是如何計一算的嗎？
這時，學生們開始沉默，思考這個問題，但始終沒有得出什麼結論……
師：今天，學了平方差公式，我們就可以揭開這個謎底，這樣創設問題情境，就使學生產生了「我也要成為他那樣的快速搶答者」的渴望，從而積極投入到學習中去。
2、構造認知沖突
當新的學習與學生 原有的知識水平之間產生認知沖突時，這種沖突就會成為誘發和促進學生思維發展的動力，使他們產生彌補「心理缺口」的願望。例如，在「線段的垂直平分線」的教學中，教師可以這樣創設問題情境：
如圖5所示，有a，b, c3個村莊。現在要為它們開鑿一口井p ，使得p 到a，b, c的距離都相等。那麼p應該設在哪裡呢？
然後教師用3條橡皮筋一端系在一起作為p 點，另一端分別固定在a，b, c3點。教師一邊移動點p，一邊向：「pa，pb,pc的長度相等嗎？」幾次嘗試之後，學生們會認為，單靠觀察是不準確的，用測量的方法也不可行。這時，教師再指出：「只要我們掌握了線段的垂直平分線的知識，這個問題易如反掌。」這時，學生已產生了心理缺口-----—如何准確地確定點p的位置呢？這樣，學生就會積極地投人到新知識的學習中去。
3、問題情境是學生熟悉的
在設置問題情境時，最好是從學生熟悉的生活情境和生產實際的角度出發，這樣才能保證學生有相關的觀念來理解問題，也才有可能使學生主動積極地建構他們的數學認知結構。例如，數學教師在講合並同類項時，可以這樣引人新課：某個體飼養員要賣一批雞、鴨、鵝，其中a是雞的價格，b是肉的價格，c是魚的價格，他在賬本上記下了一隻雞3.5千克、一塊肉4千克、一條魚5.5千克，又記下一隻雞3千克、一塊肉1. 8干克、一條魚2.8千克……賣得的總錢數是3. 5a+4b+5.5c+3a +1.8b+2.8c，請問怎樣算最簡便？通過這一實際問題的解決，很自然地就導出了合並同類項的原理。這樣講課不僅生動形象，易於理解，而且也會讓學生感受到課堂上所學的數學知識很貼近現實生活，從而提高了知識的價值感。
三、注重變式的應用
1、通過非標准變式，突出概念的本質屬性
在概念的對象集合中，盡管從邏輯的角度看，每個對象都是等價的，但實際上，它們在學生的概念系統中的地位並不相同。這是因為，其中一些對象由於其擁有「標準的」形式、或者受到學生感性經驗的影響等而成為所謂的標准形。標准形雖然有利於學生對概念的准確把握，但也容易限制學生的思維，從而人為地縮小概念的外延，使得學生不能透徹地理解概念。解決這個問題的方法之一就是充分利用非標准形：通過變換概念的非本質屬性，突出其本質屬性。
在幾何教學中，許多教師往往用最常見、學生最熟悉的圖形進行教學，有的學生理解了，可以以不變應萬變，但有的學生卻受到這種「標准圖形」的制約而產生理解困難，因此，在幾何教學中，注重圖形的多樣化，即：圖形的形狀、放置方式有多種變化，可以讓學生較快的形成正確的表象，拓寬學生的視野，不會局限於一種「標准形」。例如，在講解垂直、三角形的高和平行四邊形時，可以採用標准形與非標准形的比較，來幫助學生理解。
2、通過概念變式與非概念變式的比較，明確概念的外延
數學概念通常都不是孤立的，而是存在於一個由多種概念組成的概念體系之中，因此，要明確概念的外延就必須分清概念與其相關概念之間的關系，這是理解概念的前提。我們可以利用所謂的「非概念變式」，如，平面幾何中的非概念圖形，通過非概念變式與概念變式的比較，來幫助學生理解概念的本質屬性。
非概念變式的形式有很多種，其中常用的有「反例變式」，也就是我們平時所說的概念的反例，由於反例具有鮮明的直觀特徵，容易引起學生的注意，也易於為學生所接受，因此，反例教學是促進學生深刻理解的有效方法之一。例如，在學習菱形時，對角線互相垂直是其重要性質，但很多學生會錯誤地認為，對角線互相垂直的四邊形就是菱形，這時教師就可以利用圖6的反例圖形來幫助學生澄清錯誤觀念，透徹地理解菱形的性質。
四、引導學生對所學知識進行總結
學習數學不能將知識孤立起來、割裂開來，應注意數學知識之間的「橫向」和「縱向」的聯系。在數學教學中，教師要引導學生對所學知識進行歸納總結。
1、縱向總結
在學完每單元、每章知識之後，引導學生歸納整理所學知識間的內在聯系、邏輯順序、主從地位及解題技能、技巧方面的結構；在復習時要注意對所學數學思想、方法進行歸納、概括，讓學生試寫這方面的學習體會或寫出一章的小節。當然對知識進行歸納、整理，並不是羅列所學過的定義、定理、法則等，而是建立知識間的內在聯系與區別。通過繪制知識結構框圖，知識之間的關系從圖中一目瞭然，這樣可以幫助學生形成良好的認知結構。
2、橫向總結
橫向總結就是要把分散在各個單元的知識內容，但又是解決同一類問題的各種知識與方法系統地貫通、串聯起來，這樣可以為解決同一類問題提供多種方法。例如，證明兩條直線垂直，可利用以下方法：垂直定義，等腰三角形三線合一定理，直角三角形的判定和性質定理，正方形、矩形、菱形的有關性質（正方形、矩形的四個角都是直角，正方形、菱形的對角線互相垂直），三角形的垂心性質等。教師在教學過程中，要善於利用時機有意識地鍛煉學生，使他們的認知結構逐步完善。
五、注重數學交流，提高學生的數學語言表達能力
1、加強圖形,符號和文字之間互譯的訓練
數學概念、定理、公式、法則等往往是只用某一種數學語言表述的，而學生要真正理解、掌握和運用它們，則必須能靈活運用三種數學語言（文字語言、圖形語言、符號語言）進行表述。例如，幾何中的定理均是用文字語言表述的，但證題時的論證需藉助於符號語言表達，而其間圖形語言作為文字語言和符號語言的補充，為數學思維提供了直觀模型。所以，應在幾何教學中做好三種語言的溝通和互譯。
2、開展小組合作學習
在課堂上，教師要適當地改變教學組織形式，開展小組合作學習，為學生提供一個寬松自由的學習環境，使他們在學習過程中有充分的獨立空間。小組內交流要為每一個學生提供一個平等參與的機會，使學生在獨立思考的基礎上與他人合作，彼此交流、傾聽、解釋，思考他人的觀點以及自己進行反思，經過這一過程使原來模糊的認識得到澄清。在小組學習中，教師要充分發揮其引導作用，這就要求教師做到以下幾點：首先，要設計出學生感興趣的問題，學生在求解問題時，要動手、動腦，要全身心的投人，要與其他同學合作，否則無法完成；其次，教師要積極巡視和掌握學生討論的動向，對學生的各種不同意見作進一步的比較與評價，引導學生發現各種解答可能存在的邏輯關系；第三，教師還要啟發鼓勵那些不善於講話、成績落後的學生大膽開口講話，發表自己的見解。
學生對數學概念理解與消化與否，在於教師的課堂教學中慢慢滲透，非一朝一夕之功，只有使用多種方法，多種形式，多種手段，多管齊下，充分調動學生的積極性，才能取得最佳教學效果的。