A. 數學教學中如何引入導數
數學作為一種文化現象歷來受到人們的重視,但數學文化作為一種特殊的文化形態,直到20 世紀下半葉才由美國著名的數學史學家倪萊因在其3本力作《西方文化中的數學》、《古今數學思想》 和《數學——確定性的喪失》中從人類文化發展史的角度進行了比較系統而深刻的闡述[1]。伽利略曾說:數學是上帝用來書寫宇宙的文字。現在也有數學家說:數學是看不見的文化。的確,數學作為一種文化,它的產生和發展伴隨著人類文明的進程,並在其中起著極其重要的推動作用,佔有舉足輕重的地位。同樣在我們的教育中,數學文化的地位也是舉足輕重的,「以提高學生素質,特別是提高民族素質為最終目的的數學教育,從根本上來說應該是數學文化教育」[2]。這就要求數學教育工作者在教育教學中,應該注重滲透數學文化的思想,體現其教育價值。因此,在高等數學課堂教學中,教師應從具體的數學概念、原理、定理的講授,數學思想、數學方法的傳授中揭示數學的文化底蘊,從多個側面多個角度向學生展現數學文化,從而用數學精神、原則、思想提升學生的文化素養。文章結合自身的教學實踐,淺談一點在導數概念引入的教學中進行數學文化教育的體會。
1揭示數學概念的歷史文化背景,感受數學的求真探索精神
數學概念來源於生活實踐,在我們生活會遇到許多問題,這些問題的解決促使了很多概念的產生,當人們遇到用現有的概念、方法不能解決的問題時就會創立新的概念、方法和理論。導數的概念,就是在解決變速直線運動的瞬時速度和曲線切線的問題時產生的,從而導致了微積分理論的創立,開創了數學史上的新紀元,因此導數概念有著十分豐富的實際背景。在引入導數概念的教學中,教師應向學生介紹其產生的歷史文化背景,介紹創立微積分的數學家——牛頓與萊布尼茨的故事與貢獻。用數學家們的求真精神、探索精神激發學生的求知慾,增強他們學習數學的興趣;用數學家的思想方法去引導學生的思考,提高學生解決實際問題的能力;從而提高學生的數學素質。
在導數概念的引入時,教師可以按如下步驟進行:
第一步教師向學生展示促使微積分產生的四大類問題,即:第一類問題是研究物體運動的時候出現的,也就是求瞬時時速度的問題,第二類問題是求曲線的切線的問題,第三類問題是求函數的最大值和最小值問題,第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力問題。
第二步教師向學生介紹這四個問題是17世紀科學家們遇到的問題,十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格;英國的巴羅、瓦里士;德國的開普勒;義大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。十七世紀下半葉,在前人工作的基礎上,英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作,從而使上述四個問題得到了解決。牛頓創立的導數當時叫流數,側重於運動學來考慮,萊布尼茨側重於幾何學來考慮。同時並用多媒體向學生介紹牛頓與萊布尼茨的貢獻。
第三步教師向學生提問:現在用我們所學的知識能解決哪幾個問題?
第四步教師引導學生重現問題解決的方法與過程:引入教材中的兩個引例。下面通過變速直線運動瞬時速度的求解這個例子來探討具體的課堂教學過程:
1、首先向學生提問勻速直線運動的速度怎麼求?(學生回答:速度等於路程除以時間)
2、再向學生展示變速運動示意圖,如圖(1)所示,讓學生計算從到這段時間內物體的路程Δs=s(t)-s(t0),所用時間為Δt=t-t0。
3、再向學生提問平均速度怎麼求?(學生回答)從而得到Δt=t-t0時間內的平均速度v=ΔsΔt=s(t)-s(t0)t-t0。
圖(1)
4、教師向學生提問:下面我們如何得到t0時刻的瞬時速度?教師引導學生思考:如果時刻t與時刻t0間隔越短,Δt=t-t0這段時間內的平均速度就會越接近時刻的瞬時速度。
5、引導學生分析得v(t0)=limΔt→t0ΔsΔt=limΔt→t0s(t)-s(t0)t-t0
第五步教師用同樣的方法引入曲線切線的求解過程
第六步教師問學生用該方法還可以解決哪些問題?(學生回答:角速度,加速度等)
通過以上教學活動,一方面讓學生體會數學知識對實際問題解決的巨大力量,同時也讓學生感受到數學家的探索創新精神和數學的人文精神,有利於提高學生的數學素質和人文素養。另一方面,通過例子中由平均速度變到瞬時速度,由割線斜率變到切線斜率,讓學生體會到了事物無限變化的趨勢,即從有限中認識無限,從近似中認識精確,從量變認識質變的辯證唯物主義思想。
3展現從具體到抽象歸納概括的數學方法,培養抽象邏輯思維能力
有了第一階段引例的鋪墊,教師可引導學生抽象出兩例中的共同特徵是所求問題的最終結果都是要求一個極限,即:函數增量與自變數增量的比值在自變數增量趨於零時的極限,這個極限就是所說的導數,從而得出導數的概念。
教師可以再舉一個具體確定函數的例子來進行應用,如求函數在點處的切線,反過來應用導數求解具體的問題。這樣教學過程就完成了從具體到抽象,又從抽象到具體的過程,培養學生的抽象邏輯思維能力及解決實際問題的能力。
B. 高中數學如何學好導數
首先要把幾個常用求導公式記清楚；然後在解題時先看好定義域；對函數求導，對結果通分；接下來，一般情況下，令導數=0，求出極值點；在極值點的兩邊的區間，分別判斷導數的符號，是正還是負；正的話，原來的函數則為增，負的話就為減，然後根據增減性就能大致畫出原函數的圖像，根據圖像就可以求出你想要的東西，比如最大值或最小值等。如果特殊情況，導數本身符號可以直接確定，也就是導數等於0無解時，說明在整個這一段上，原函數都是單調的。如果導數恆大於0，就增；反之，就減。無論大題，小題，應用題，都是這個套路。
C. 導數的求導方法
1、根據導數定義，用三步法求出一些簡單函數的導數。
（1）求△y。
（2）求：△y/△x 。
（3）求：f'=dy/dx 2、建立求導的四則運演算法則、復合函數求導法則和反函數求導法則，從而導出基本初等函數求導公式，
3、熟記基本函數的求導公式。可推導隱函數和對數函數的求導法。
D. 數學裡面什麼是導數怎麼理解導數
導數（Derivative）是微積分中的重要基礎概念。當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。不連續的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運演算法則來源於極限的四則運演算法則。
右上圖為函數y=(x) 的圖象，函數在x_0處的導數′(x_0) = lim{Δx→0} [(x_0 +Δx) -(x_0)] /Δx。如果函數在連續區間上可導，則函數在這個區間上存在導函數，記作′(x)或 dy/ dx。
導數定義
一、導數第一定義
設函數 y = f(x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義當自變數x 在 x0 處有增量△x ( x0 + △x 也在該鄰域內 ) 時相應地函數取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在則稱函數 y = f(x) 在點 x0 處可導並稱這個極限值為函數 y = f(x) 在點 x0 處的導數記為 f'(x0) ,即導數第一定義
二、導數第二定義
設函數 y = f(x) 在點 x0 的某個鄰域內有定義當自變數x 在 x0 處有變化 △x ( x - x0 也在該鄰域內 ) 時相應地函數變化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在則稱函數 y = f(x) 在點 x0 處可導並稱這個極限值為函數 y = f(x) 在點 x0 處的導數記為 f'(x0) ,即導數第二定義
三、導函數與導數
如果函數 y = f(x) 在開區間I內每一點都可導就稱函數f(x)在區間 I 內可導。這時函數 y = f(x) 對於區間 I 內的每一個確定的 x 值都對應著一個確定的導數這就構成一個新的函數稱這個函數為原來函數 y = f(x) 的導函數記作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。導函數簡稱導數。
折疊編輯本段導數的起源
一.早期導數概念----特殊的形式
大約在1629年法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構造了差分f(A+E)-f(A),發現的因子E就是我們所說的導數f'(A)。
二.17世紀----廣泛使用的「流數術」
17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展在前人創造性研究的基礎上大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為「流數術」；他稱變數為流量，稱變數的變化率為流數，相當於我們所說的導數。牛頓的有關「流數術」的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計演算法》和《流數術和無窮級數》流數理論的實質概括為他的重點在於一個變數的函數而不在於多變數的方程在於自變數的變化與函數的變化的比的構成最在於決定這個比當變化趨於零時的極限。
三.19世紀導數----逐漸成熟的理論
1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《網路全書》第五版寫的「微分」條目中提出了關於導數的一種觀點可以用現代符號簡單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導數如果函數y=f(x)在變數x的兩個給定的界限之間保持連續並且我們為這樣的變數指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那麼是使變數得到一個無窮小增量。19世紀60年代以後魏爾斯特拉斯創造了ε-δ語言對微積分中出現的各種類型的極限重加表達導數的定義也就獲得了今天常見的形式。
四.實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能 微積分學理論基礎大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態上的過程比如無限接近。
就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年後來極限論就是現在所使用的。
光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題後來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
折疊編輯本段導函數
一般地假設一元函數 y=f(x )在 點x0的某個鄰域N(x0δ)內有定義當自變數取的增量Δx=x-x0時函數相應增量為 △y=f(x0+△x)-f(x0)。若函數增量△y與自變數增量△x之比當△x→0時的極限存在且有限就說函數f(x)在x0點可導並將這個極限稱之為f在x0點的導數或變化率。
「點動成線」若函數f在區間I 的每一點都可導便得到一個以I為定義域的新函數記作 f'(x) 或y'稱之為f的導函數不能簡稱為導數.
折疊編輯本段幾何意義
函數y=fx在x0點的導數f'x0的幾何意義表示函數曲線在P0[x導數的幾何意義0fx0] 點的切線斜率
導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率.
折疊編輯本段科學應用
導數與物理幾何代數關系密切.在幾何中可求切線在代數中可求瞬時變化率在物理中可求速度加速度.
導數亦名紀數、微商微分中的概念是由速度變化問題和曲線的切線問題矢量速度的方向而抽象出來的數學概念.又稱變化率.
如一輛汽車在10小時內走了 600千米它的平均速度是60千米/小時.但在實際行駛過程中是有快慢變化的不都是60千米/小時.為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況可以縮短時間間隔設汽車所在位置s與時間t的關系為： s=ft
那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是：
[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]
當 t1與t0無限趨近於零時汽車行駛的快慢變化就不會很大瞬時速度就近似等於平均速度 .
自然就把當t1→t0時的極限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度這就是通常所說的速度.這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的過程 如我們駕駛時的限「速」 指瞬時速度
E. 數學里的導數怎麼學
首先明確導數是求一條曲線或者一個變化的東西的
變化率的
然後高中的我們剛學完
分為很多種-有常數函數-一次的-二次的還有對數的-指數的-==
再課本上有公式的--可以先把公式記住
明確的說吧--以後求導數的題目一定很多--（有一些不常用-老師會指出的）
如果公式記不住-那你一道題目也不要做--很簡單的--
再這里也沒辦法給你說--
怎麼說呢--比如y=3X^4+2x^3+X^2
的導數就是Y~=12x^3+6X^2+2X
能看的懂嗎？
F. 作業2高中數學教材中,「導數」概念是如何建立的
「導數」的概念
實際上就是建立在極限的基礎上的
基本概念就是
增量Δy與自變數增量Δx的比值
在Δx趨於0時的極限a如果存在
a即為在x0處的導數