描述周期信號的頻率結構可採用什麼數學工具

『壹』 頻域特性的頻域分析

頻域（頻率域）——自變數是頻率,即橫軸是頻率,縱軸是該頻率信號的幅度,也就是通常說的頻譜圖。頻譜圖描述了信號的頻率結構及頻率與該頻率信號幅度的關系。
對信號進行時域分析時，有時一些信號的時域參數相同，但並不能說明信號就完全相同。因為信號不僅隨時間變化，還與頻率、相位等信息有關，這就需要進一步分析信號的頻率結構，並在頻率域中對信號進行描述。動態信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數和傅立葉變換實現。周期信號靠傅立葉級數，非周期信號靠傅立葉變換。 一個頻域分析的簡例可以通過圖1：一個簡單線性過程中小孩的玩具來加以說明。該線性系統包含一個用手柄安裝的彈簧來懸掛的重物。小孩通過上下移動手柄來控制重物的位置。
任何玩過這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來移動手柄，那麼，重物也會以相同的頻率開始振盪，盡管此時重物的振盪與手柄的移動並不同步。只有在彈簧無法充分伸長的情況下，重物與彈簧會同步運動且以相對較低的頻率動作。
隨著頻率愈來愈高，重物振盪的相位可能更加超前於手柄的相位，也可能更加滯後。在過程對象的固有頻率點上，重物振盪的高度將達到最高。過程對象的固有頻率是由重物的質量及彈簧的強度系數來決定的。
當輸入頻率越來越大於過程對象的固有頻率時，重物振盪的幅度將趨於減少，相位將更加滯後（換言之，重物振盪的幅度將越來越少，而其相位滯後將越來越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動，而與手柄的運動方向恰恰相反。 所有的線性過程對象都表現出類似的特性。這些過程對象均將正弦波的輸入轉換為同頻率的正弦波的輸出，不同的是，輸出與輸入的振幅和相位有所改變。振幅和相位的變化量的大小取決於過程對象的相位滯後與增益大小。增益可以定義為「經由過程對象放大後，輸出正弦波振幅與輸入正弦波振幅之間的比例系數」，而相位滯後可以定義為「輸出正弦波與輸入正弦波相比較，輸出信號滯後的度數」。
與穩態增益K值不同的是，「過程對象的增益和相位滯後」將依據於輸入正弦波信號的頻率而改變。在上例中，彈簧－重物對象不會大幅度的改變低頻正弦波輸入信號的振幅。這就是說，該對象僅有一個低頻增益系數。當信號頻率靠近過程對象的固有頻率時，由於其輸出信號的振幅要大於輸入信號的振幅，因此，其增益系數要大於上述低頻下的系數。而當上例中的玩具被快速搖動時，由於重物幾乎無法起振，因此該過程對象的高頻增益可以認為是零。
過程對象的相位滯後是一個例外的因素。由於當手柄移動得非常慢時，重物與手柄同步振盪，所以，在以上的例子中，相位滯後從接近於零的低頻段輸入信號就開始了。在高頻輸入信號時，相位滯後為「-180度」，也就是重物與手柄以相反的方向運動（因此，我們常常用『滯後180度』來描述這類兩者反向運動的狀況）。
Bode圖譜表現出彈簧－重物對象在0.01-100弧度/秒的頻率范圍內，系統增益與相位滯後的完整頻譜圖。這是Bode圖譜的一個例子，該圖譜是由貝爾實驗室的Hendrick Bode於1940s年代發明的一種圖形化的分析工具。利用該工具可以判斷出，當以某一特定頻率的正弦波輸入信號來驅動過程對象時，其對應的輸出信號的振動幅度和相位。欲獲取輸出信號的振幅，僅僅需要將輸入信號的振幅乘以「Bode圖中該頻率對應的增益系數」。欲獲取輸出信號的相位，僅僅需要將輸入信號的相位加上「Bode圖中該頻率對應的相位滯後值」。 在過程對象的Bode圖中表現出來的增益系數和相位滯後值，反映了系統的非常確定的特徵，對於一個有豐富經驗的控制工程師而言，該圖譜將其需要知道的、有關過程對象的一切特性都准確無誤的告訴了他。由此，控制工程師運用此工具，不僅可以預測「系統未來對於正弦波的控製作用所產生的系統響應」，而且能夠知道「系統對任何控製作用所產生的系統響應」。
傅立葉定理使得以上的分析成為可能，該定理表明任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。數學家傅立葉在1822年證明了這個著名的定理，並創造了為大家熟知的、被稱之為傅立葉變換的演算法，該演算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
從理論上說，傅立葉變換和Bode圖可以結合在一起使用，用以預測當線性過程對象受到控製作用的時序影響時產生的反應。詳見以下：
1） 利用傅立葉變換這一數學方法，把提供給過程對象的控製作用，從理論上分解為不同的正弦波的信號組成或者頻譜。
2） 利用Bode圖可以判斷出，每種正弦波信號在經由過程對象時發生了那些變化。換言之，在該圖上可以找到正弦波在每種頻率下的振幅和相位的改變。
3） 反之，利用反傅立葉變換這一方法，又可以將每個單獨改變的正弦波信號轉換成一個信號。
既然反傅立葉變換從本質上說，也是一種累加處理，那麼過程對象的線性特徵將會確保－「在第一步中計算得到的各種理論正弦波」所產生單獨作用的集合，應該等效於「各不同正弦波的累加集合」共同產生的作用。因此，在第三步計算得到的總信號，將可以代表「當所提供的控製作用輸入到過程對象時，過程對象的實際值」。
請注意，在以上這些步驟中，沒有哪個點不是由畫在圖上的控制器產生的單獨正弦波構成。所有這些頻域方面的分析技術都是概念性的。這是一種方便的數學方法，運用傅立葉變換（或者緊密相關的拉普拉斯變換），將時域信號轉換為頻域信號，然後再用Bode圖或其他一些頻域分析工具來解決手頭的一些問題，最後再用反傅立葉變換將頻域信號轉換為時域信號。
絕大多數可用此方法解決的控制設計問題，也可以在時域內通過直接的操控來解決，但是對於計算而言，利用頻域的方法通常更簡單一些。在上例中，就是用乘法和減法來計算過程實際值的頻譜，而該過程實際值是通過對給定的控製作用進行傅立葉變換，爾後又對照Bode圖分析而得到的。
將所有的正弦波進行正確的累加，就會產生如傅立葉變換所預示的那類形狀的信號。當有時這一現象並不直觀，舉個例子可能有助於理解。
請再次想想上面那個例子中小孩的重物－彈簧玩具，操場上的蹺蹺板，以及位於外部海洋上的船。設想這艘船以頻率為w和幅度為A的正弦波形式在海面上起起落落，我們同時再假設蹺蹺板也以頻率為3w和幅度為A/3的正弦波形式在振盪，並且小孩以頻率為5w和幅度為A/5的正弦波形式在搖動玩具。『三張單獨的正弦波波形圖』已經顯示出，如果我們將三個不同的正弦波運動進行分別觀察的話，每個正弦波運動將會體現出的形式。
現在假設小孩坐在蹺蹺板上，而蹺蹺板又依次固定在輪船的甲板上。如果這三者單獨的正弦波運動又恰巧排列正確的話，那麼，玩具所表現出的總體運動就大約是一個方波－如圖4：三者合成的正弦波顯示的那樣。
以上並非一個非常確切的實際例子，但是卻明白無誤的說明：基本頻率正弦波、振幅為三分之一的三倍頻率諧波、以及振幅為五分之一的五倍頻率諧波，它們波形的相加總和大約等於頻率為w、振幅為A的方波。甚至如果再加上振幅為七分之一的七倍頻率諧波、以及振幅為九分之一的九倍頻率諧波時，總波形會更像方波。其實，傅立葉定理早已說明，當不同頻率的正弦波以無窮級數的方式無限累加時，那麼由此產生的總疊加信號就是一個嚴格意義上的、幅度為A的方波。傅立葉定理也可以用來將非周期信號分解成正弦波信號的無限疊加。
通過求解微分方程分析時域性能是十分有用的，但對於比較復雜的系統這種辦法就比較麻煩。因為微分方程的求解計算工作量將隨著微分方程階數的增加而增大。另外，當方程已經求解而系統的響應不能滿足技術要求時，也不容易確定應該如何調整系統來獲得預期結果。從工程角度來看，希望找出一種方法，使之不必求解微分方程就可以預示出系統的性能。同時，又能指出如何調整系統性能技術指標。頻域分析法具有上述特點,是研究控制系統的一種經典方法,是在頻域內應用圖解分析法評價系統性能的一種工程方法。該方法是以輸入信號的頻率為變數，對系統的性能在頻率域內進行研究的一種方法。頻率特性可以由微分方程或傳遞函數求得,還可以用實驗方法測定.頻域分析法不必直接求解系統的微分方程,而是間接地揭示系統的時域性能,它能方便的顯示出系統參數對系統性能的影響,並可以進一步指明如何設計校正.這種分析法有利於系統設計，能夠估計到影響系統性能的頻率范圍。特別地，當系統中存在難以用數學模型描述的某些元部件時，可用實驗方法求出系統的頻率特性，從而對系統和元件進行准確而有效的分析。

『貳』 如何利用示波器測量一個信號的頻率

周期性的方法：

1、對於任何周期信號，利用上述的時間間隔測量方法可以測量出每個周期的時間T，那麼頻率f：f＝1／T的計算公式如下：

2、例如，在示波器上顯示的測量波形的周期為8div。「T /div」開關設置在「1 s」位置，「微調」位置設置在「校準」位置。然後計算其周期和頻率:T=1us/div&TImes, 8div=8us, f=1/8us=125kHz，則測量波形的頻率為125kHz。

測量頻率用李沙玉圖示法：

1、在X－y工作模式設置示波器時，被測信號是輸入軸，和標准頻率信號輸入外部連接「X」，和標准頻率正在慢慢改變了兩個信號頻率成整數倍，如外匯：＝1：2，財政年度將形成穩定的李余沙圖在熒光屏上。

2、李沙玉圖的形狀不僅與兩種偏轉電壓的相位有關，而且與兩種偏轉電壓的頻率有關。通過跟蹤方法，我們可以繪制出用戶體驗和用戶界面的不同頻率比和不同相位差。

3、利用李沙玉的圖與頻率的關系，可以進行准確的頻率比較，確定被測信號的頻率。方法是將水平線和垂直線分別引過李沙玉的圖，而垂直線不應穿過或相切於圖。如果橫線與圖相交的點數為m，垂線與圖相交的點數為n，則FY／fx＝m／n

4、已知標准頻率FX時，可由上式計算被測信號的頻率fy。顯然，在實際的試驗工作中，為了使試驗簡單、正確，在條件允許的情況下，應盡量調整已知頻率信號的頻率，使熒光屏上顯示的圖形為圓形或橢圓形。被測信號的頻率等於已知信號的頻率。

5、由於應用於示波器的兩個電壓具有不同的相位，熒光屏上的圖形會有不同的形狀，但這並不影響未知頻率的確定。圖示法測頻精度高，但操作時間長。它只適用於低頻信號的測量。

(2)描述周期信號的頻率結構可採用什麼數學工具擴展閱讀：

示波器的分類：

模擬示波器使用模擬電路（示波器管，其基礎是電子槍）。電子槍向屏幕發射電子，發射的電子被聚焦形成電子束，撞擊屏幕。屏幕的內表面塗有熒光材料，這樣電子束的點就會發光。

數字示波器是通過數據採集、A／D轉換和軟體編程等一系列技術而產生的高性能示波器。數字示波器的工作原理是通過模擬轉換器（ADC）將測量的電壓轉換成數字信息。

數字示波器採集波形的一系列采樣值，並存儲采樣值。存儲極限是確定積累的采樣值是否能描述出波形，然後用數字示波器重建波形。數字示波器可分為數字存儲示波器（DSO）、數字熒光示波器（DPO）和采樣示波器。

為了提高模擬示波器的帶寬，需要使用示波器、垂直放大和水平掃描。為了提高帶寬，數字示波器只需要提高前端A／D轉換器的性能，對示波器和掃描電路沒有特殊要求。

加上數字尺度管，可以充分利用存儲器、存儲和處理，以及各種觸發和預觸發能力。20世紀80年代，數字示波器以眾多的成果嶄露頭角，有全面取代模擬示波器的潛力。

『叄』 知識補充

(1) 傅立葉級數：法國數學家 傅里葉 發現，任何周期函數都可以用 正弦函數 和 餘弦函數 構成的無窮級數來表示（選擇正弦函數與餘弦函數作為基函數是因為它們是正交的），後世稱傅里葉級數為一種特殊的三角級數，根據 歐拉公式 ，三角函數又能化成指數形式，也稱傅立葉級數為一種指數級數。傅里葉級數，在時域是一個周期且連續的函數，而在頻域是一個非周期離散的函數。

(2) 傅立葉變換：將一個時域非周期的連續信號，轉換為一個在頻域非周期的連續信號。

(3) 頻域，時域與相位之間的關系：

(4) 歐拉公式：

http://blog.jobbole.com/70549/

(1) 傅里葉變換的 不足

即我們知道傅里葉變化可以分析信號的頻譜，那麼為什麼還要提出小波變換？答案就是 方沁園 所說的，「對 非平穩 過程，傅里葉變換有局限性」。

如下圖：

做完FFT（快速傅里葉變換）後，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號包含四個頻率成分。

一切沒有問題。但是，如果是 頻率隨著時間變化的非平穩信號 呢？

如上圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩信號。而下邊兩個則是頻率隨著時間改變的非平穩信號，它們同樣包含和最上信號相同頻率的四個成分。

做FFT後，我們發現這三個時域上有巨大差異的信號，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個非平穩信號，我們從頻譜上無法區分它們，因為它們包含的四個頻率的信號的成分確實是一樣的，只是出現的先後順序不同。

可見，傅里葉變換處理非平穩信號有天生缺陷。它只能獲取 一段信號總體上包含哪些頻率的成分 ，但是 對各成分出現的時刻並無所知 。因此時域相差很大的兩個信號，可能頻譜圖一樣。

然而平穩信號大多是人為製造出來的，自然界的大量信號幾乎都是非平穩的，所以在比如生物醫學信號分析等領域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣naive的方法。

(2) 短時傅里葉變換（Short-time Fourier Transform, STFT）

一個簡單可行的方法就是—— 加窗 。我又要套用 方沁園 同學的描述了，「把整個時域過程分解成無數個等長的小過程，每個小過程近似平穩，再傅里葉變換，就知道在哪個時間點上出現了什麼頻率了。」這就是短時傅里葉變換。

時域上分成一段一段做FFT，不就知道頻率成分隨著時間的變化情況了嗎！

用這樣的方法，可以得到一個信號的時頻圖了：

圖上既能看到10Hz, 25 Hz, 50 Hz, 100 Hz四個頻域成分，還能看到出現的時間。兩排峰是對稱的，所以大家只用看一排就行了。

是不是棒棒的？時頻分析結果到手。但是STFT依然有缺陷。

使用STFT存在一個問題，我們應該用多寬的窗函數？

窗太寬太窄都有問題：

窗太窄，窗內的信號太短，會導致頻率分析不夠精準，頻率解析度差。窗太寬，時域上又不夠精細，時間解析度低。

（這里插一句，這個道理可以用海森堡不確定性原理來解釋。類似於我們不能同時獲取一個粒子的動量和位置，我們也不能同時獲取信號絕對精準的時刻和頻率。這也是一對不可兼得的矛盾體。我們不知道在某個瞬間哪個頻率分量存在，我們知道的只能是在一個時間段內某個頻帶的分量存在。 所以絕對意義的瞬時頻率是不存在的。）

所以 窄窗口時間解析度高、頻率解析度低 ， 寬窗口時間解析度低、頻率解析度高 。對於時變的非穩態信號， 高頻適合小窗口，低頻適合大窗口 。然而 STFT的窗口是固定的 ，在一次STFT中寬度不會變化，所以STFT還是無法滿足非穩態信號變化的頻率的需求。

(3) 小波變換

那麼你可能會想到，讓窗口大小變起來，多做幾次STFT不就可以了嗎？！沒錯，小波變換就有著這樣的思路。

但事實上小波並不是這么做的（關於這一點， 方沁園 同學的表述「小波變換就是根據演算法，加不等長的窗，對每一小部分進行傅里葉變換」就不準確了。小波變換並沒有採用窗的思想，更沒有做傅里葉變換。）

至於為什麼不採用可變窗的STFT呢，我認為是因為這樣做冗餘會太嚴重， STFT做不到正交化 ，這也是它的一大缺陷。

於是小波變換的出發點和STFT還是不同的。 STFT是給信號加窗，分段做FFT ；而小波直接把傅里葉變換的基給換了——將 無限長的三角函數基 換成了 有限長的會衰減的小波基 。這樣 不僅能夠獲取頻率 ，還可以 定位到時間 了~

這就是為什麼它叫「小波」，因為是很小的一個波嘛~

從公式可以看出，不同於傅里葉變換，變數只有頻率ω，小波變換有兩個變數：尺度a（scale）和平移量 τ（translation）。 尺度 a控制小波函數的 伸縮 ， 平移量 τ控制小波函數的 平移 。 尺度 就對應於 頻率 （反比）， 平移量 τ就對應於 時間 。

當伸縮、平移到這么一種重合情況時，也會相乘得到一個大的值。這時候和傅里葉變換不同的是，這 不僅可以知道信號有這樣頻率的成分，而且知道它在時域上存在的具體位置。

而當我們在每個尺度下都平移著和信號乘過一遍後，我們就知道信號 在每個位置都包含哪些頻率成分 。

看到了嗎？有了小波，我們從此再也不害怕非穩定信號啦！從此可以做時頻分析啦！

做傅里葉變換只能得到一個 頻譜 ，做小波變換卻可以得到一個 時頻譜 ！

小波還有一些好處，比如，我們知道對於突變信號，傅里葉變換存在 吉布斯效應 ，我們用無限長的三角函數怎麼也擬合不好突變信號。

鏈接：https://www.hu.com/question/22864189/answer/40772083

(1) PSNR(峰值信噪比)

PSNR: Peak Signal to Noise Ratio,一種全參考的圖像質量評價指標。 

其中，MSE表示當前圖像X和參考圖像Y的均方誤差（Mean Square Error），H、W分別為圖像的高度和寬度；n為每像素的比特數，一般取8，即像素灰階數為256. PSNR的單位是dB，數值越大表示失真越小。

PSNR是最普遍和使用最為廣泛的一種圖像客觀評價指標，然而它是基於對應像素點間的誤差，即基於誤差敏感的圖像質量評價。由於並未考慮到人眼的視覺特性（人眼對空間頻率較低的對比差異敏感度較高，人眼對亮度對比差異的敏感度較色度高，人眼對一個區域的感知結果會受到其周圍鄰近區域的影響等），因而經常出現評價結果與人的主觀感覺不一致的情況。

(2) SSIM(結構相似性)

SSIM: structural similarity index, 是一種衡量兩幅圖像相似度的指標。它分別從亮度、對比度、結構三方面度量圖像相似性。

結構相似性的范圍為-1到1。當兩張圖像一模一樣時，SSIM的值等於1。

其他指標：http://blog.csdn.net/smallstones/article/details/42198049

『肆』 頻域的頻域分析

頻域（頻率域）——自變數是頻率，即橫軸是頻率，縱軸是該頻率信號的幅度，也就是通常說的頻譜圖。頻譜圖描述了信號的頻率結構及頻率與該頻率信號幅度的關系。
對信號進行時域分析時，有時一些信號的時域參數相同，但並不能說明信號就完全相同。因為信號不僅隨時間變化，還與頻率、相位等信息有關，這就需要進一步分析信號的頻率結構，並在頻率域中對信號進行描述。動態信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數和傅立葉變換實現。周期信號靠傅立葉級數，非周期信號靠傅立葉變換。 一個頻域分析的簡例可以通過圖1：一個簡單線性過程中小孩的玩具來加以說明。該線性系統包含一個用手柄安裝的彈簧來懸掛的重物。小孩通過上下移動手柄來控制重物的位置。
任何玩過這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來移動手柄，那麼，重物也會以相同的頻率開始振盪，盡管此時重物的振盪與手柄的移動並不同步。只有在彈簧無法充分伸長的情況下，重物與彈簧會同步運動且以相對較低的頻率動作。
隨著頻率愈來愈高，重物振盪的相位可能更加超前於手柄的相位，也可能更加滯後。在過程對象的固有頻率點上，重物振盪的高度將達到最高。過程對象的固有頻率是由重物的質量及彈簧的強度系數來決定的。
當輸入頻率越來越大於過程對象的固有頻率時，重物振盪的幅度將趨於減少，相位將更加滯後（換言之，重物振盪的幅度將越來越少，而其相位滯後將越來越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動，而與手柄的運動方向恰恰相反。 所有的線性過程對象都表現出類似的特性。這些過程對象均將正弦波的輸入轉換為同頻率的正弦波的輸出，不同的是，輸出與輸入的振幅和相位有所改變。振幅和相位的變化量的大小取決於過程對象的相位滯後與增益大小。增益可以定義為「經由過程對象放大後，輸出正弦波振幅與輸入正弦波振幅之間的比例系數」，而相位滯後可以定義為「輸出正弦波與輸入正弦波相比較，輸出信號滯後的度數」。
與穩態增益K值不同的是，「過程對象的增益和相位滯後」將依據於輸入正弦波信號的頻率而改變。在上例中，彈簧－重物對象不會大幅度的改變低頻正弦波輸入信號的振幅。這就是說，該對象僅有一個低頻增益系數。當信號頻率靠近過程對象的固有頻率時，由於其輸出信號的振幅要大於輸入信號的振幅，因此，其增益系數要大於上述低頻下的系數。而當上例中的玩具被快速搖動時，由於重物幾乎無法起振，因此該過程對象的高頻增益可以認為是零。
過程對象的相位滯後是一個例外的因素。由於當手柄移動得非常慢時，重物與手柄同步振盪，所以，在以上的例子中，相位滯後從接近於零的低頻段輸入信號就開始了。在高頻輸入信號時，相位滯後為「-180度」，也就是重物與手柄以相反的方向運動（因此，我們常常用『滯後180度』來描述這類兩者反向運動的狀況）。
Bode圖譜表現出彈簧－重物對象在0.01-100弧度/秒的頻率范圍內，系統增益與相位滯後的完整頻譜圖。這是Bode圖譜的一個例子，該圖譜是由貝爾實驗室的Hendrick Bode於1940s年代發明的一種圖形化的分析工具。利用該工具可以判斷出，當以某一特定頻率的正弦波輸入信號來驅動過程對象時，其對應的輸出信號的振動幅度和相位。欲獲取輸出信號的振幅，僅僅需要將輸入信號的振幅乘以「Bode圖中該頻率對應的增益系數」。欲獲取輸出信號的相位，僅僅需要將輸入信號的相位加上「Bode圖中該頻率對應的相位滯後值」。

『伍』 周期半波餘弦信號傅里葉級數求解~ 要過程 謝謝 越細越好

頻域分析法即傅里葉分析法，是變換域分析法的基石。其中，傅里葉級數是變換域分析法的理論基礎，傅里葉變換作為頻域分析法的重要數學工具，具有明確的物理意義，在不同的領域得到廣泛的應用

連續時間周期信號的分解：以高等數學的知識，任何周期為T的周期函數，在滿足狄里赫利條件時，則該周期信號可以展開成傅里葉級數。傅里葉級數有三角形式和指數形式兩種。

根據歐拉公式並考慮和奇偶性可將改寫為指數形式的傅里葉級數：即周期信號可分解為一系列不同頻率的虛指數信號之和。

(5)描述周期信號的頻率結構可採用什麼數學工具擴展閱讀：

注意事項：

如果對一個系統輸入復指數信號，輸出必定也是復指數信號，根據復數相等實部實部相等、虛部虛部相等的原則，那麼輸出的實部與輸入的實部：cos（wt）相對應，輸出的虛部與輸入的虛部：sin(wt)相對應。

輸入一個復指數函數就同時解決了系統輸出的振幅和相位的問題：因為輸出的振幅等於響應實部的平方與虛部的平方和的開方，而輸出的相位等於響應虛部與實部的比值的反正切。對於線性控制系統輸入是正弦的輸出也是正弦的，且周期不變。

『陸』 2. 在頻域中描述周期信號的數學方法是什麼

頻域分析法
藉助傅里葉級數,將非正弦周期性電壓(電流)分解為一系列不同頻率的正弦量之和,按照正弦交流電路計算方法對不同頻率的正弦量分別求解,再根據線性電路疊加定理進行疊加即為所求的解,這是分析非正弦周期性電路的基本方法,這種方法叫頻域分析法,也稱為頻譜分析法.
不好意思，我也搜索到的

『柒』 既然傅里葉級數系數能夠描述信號的頻率特性,為什麼還要傅里葉變換

傅里葉級數系數能夠描述【周期信號】的頻率特性。

傅里葉變換，能夠描述【非周期信號】的頻率特性。