初中數學圖像怎麼看

『壹』 怎樣學好初中數學的幾何圖形

初中的幾何圖形主要有三角形，特殊四邊形（平行四邊形，矩形，菱形，正方形，梯形），圓
其中最基礎、最重要的是三角形，最復雜的是圓，四邊形算是過度階段。
所以你要把三角形的知識學精才行，這是基礎啊。別的圖形都是在三角形的基礎上進行講解分析的。
但你要想成為高手，對圓的訓練就不能忽視，圓是初中圖形部分的終極篇，前面的圖形都可以放在圓裡面考察，它是綜合訓練。
當然這只是對初中圖形部分的分析而已，要想學好需要做很多具體工作的，你需要沉下心來，踏踏實實 應對每一天的學習和每一次考試、每一道題，注意積累經驗，學會轉換，講別人好的東西變成自己的。還有一點，就是不要過分追求難題，這是一個誤區，要側重基礎訓練。等到中考復習時，你就會明白，剩下的都是基礎的。
先說這么多，有問題再問我。

『貳』 怎麼看一次函數和二次函數的圖像有什麼基本只是的 能舉例說明一下嗎 求數學高手

必修1《2.2 一次函數和二次函數的性質與圖像》教學中例題和習題的使用及分析
北京市首都師范大學附屬中學杜君毅
必修一中的2.2一次函數與二次函數一節的設計是B版教材的一個重要特色，同時也是體現B版教材注重初高中過渡的標志性內容之一。在使用教材的教學實踐活動中，我認為在例題和習題的設計上做些改動，可能更有利於實現該內容在高中數學學習中的價值和作用。下面是我的一點不成熟思考，望與各位同仁交流探討。

1 對本小節教與學的基本認識：

1.1.教學內容的分析

1.1.1數學上的分析

一次函數、二次函數作為一種簡單而基本的初等函數,不論在初中還是高中都非常重要,也是初高中具體數學內容中聯系最密切的內容.

一方面，在現實生活中，一次函數和二次函數是一類重要的函數模型，所以在初中就學習了這兩個函數，但主要是在「看」的層面進行研究與認識。在高中階段，一次函數與解析幾何中直線方程有密切聯系，二次函數是理解映射角度下的函數概念、函數單調性、奇偶性等概念的重要函數模型；二次函數是解決具有軸對稱性的函數的具體模型示例；二次函數還是揭示函數、方程、不等式三者聯系的恰當且重要的載體（難易適中）；此外，在中學階段，利用導數工具研究函數的過程中，大量函數的導函數的符號往往與二次函數的符號有關，因此它又是利用導數工具解決有關函數單調性、最值和極值等問題的知識基礎。

由於二次函數使學生初中就已經學習的函數，在高中階段再次學習二次函數，主要突出對函數研究方法的不同，初中階段主要是在「看」的層面，從形象直觀的角度去認識，而在高中階段，突出從函數解析式的代數特徵進行抽象分析來研究了解認識函數的性質，從而更全面的認識和理解描點作圖與函數解析式分析兩種途徑，在研究函數圖象性質方面的互補性。

在分析二次函數解析式結構特徵的過程中使用的配方法，是重要的代數變形技巧，這一技巧在今後的解析幾何中還會有應用，而且從解析式代數結構特徵來分析圖像性質，也為今後解析幾何中由曲線的方程代數特徵研究分析曲線的幾何特性，在技能和思想上做了一定的鋪墊與滲透。

而就其在高中數學中的這些作用而言，在基本初等函數中，一次函數和二次函數是非常好的載體之一。

1.1.2教育分析

初中數學知識少、淺、難度容易、知識面窄。高中數學知識廣泛，是對初中的數學知識推廣和引申，也是對初中數學知識的完善和升華。在學習方法上、自學能力上、思維習慣上，都對高中學生有了較高的要求。但是高一學生昨天還是初中生，今天就是高中生；知識昨天是初中教材，比較容易、簡單，高一一開學，就是高中教材，變得抽象難懂。台階太高，缺少一個緩沖過渡，學生進入高中後，很多學生很快就表現出對於高中數學學習的不適應，二次函數就是一個很好載體讓學生體會初高中學習內容和學習方式的區別與聯系，實現初高中的銜接。

1.2教學目標的確定

1.2.1教學目標

①以一次函數、二次函數這兩個重要函數模型為載體，學習研究函數性質的一般方法。通過這兩個函數的復習與提高，溝通初高中數學內在聯系，實現平穩過渡。

②突出數形結合思想，進一步理清函數解析式的代數特徵與函數圖象形的特徵的聯系，如：一次函數參數的幾何含義，二次函數中參數對圖像的影響；進一步提升運算水平，如：二次式的配方、分解，方程組求解（待定系數求解析式）；進一步提高學生聯系的觀點看數學，如：一次函數、二次函數與一次方程、二次方程和一次不等式、二次不等式之間的聯系。

③加深對函數符號的理解，認識函數符號語言在進行數學表述方面的作用。

④在一次函數與二次函數性質的閱讀、交流學習中，獲得溫故而知新的快樂。

1.2.2重點、難點：

本小節重點是認識研究函數的一般方法，理解數與形的聯系；代數運算技能；方程、不等式、函數之間的聯系。

本小節難點是理解並運用數與形的聯系，函數符號語言的理解與運用。

1.3 對一次函數和二次函數教學的學情分析

一次函數和二次函數的圖像及性質是中考的核心重點內容，經歷初三備考的洗禮，學生從知識上來講，對一次函數和二次函數掌握是很很好的。但是從對函數概念和圖像性質的理解與認識來講，是有缺陷的。從函數解析式來分析函數性質，對於學生來講是比較困難的。一方面，以前研究圖像基本是在看圖說話的層面，另一方面，學生對配方的運算在初中訓練是不夠，代數運算變形的技能還打不到熟練的程度。學生在初中雖然對函數在坐標下的圖象有所認識，但是對函數解析式和圖像間的聯系的認識還需要逐步加深。因此，學生對一次函數和二次函數要達到高中的學習要求，並不是毫無障礙，因此這需要教師做適當的引導、啟發和講解。

1.4教學方法和教學手段的選擇

好的數學教學應該是從學習者的生活經驗和自己的知識背景出發，提供給學生充分進行數學實踐活動和交流的機會，使他們在自主探索的過程中真正理解和掌握數學知識、思想和方法，同時獲得廣泛的數學活動經驗。學生應該是學習的主人，教師的作用在於成為學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同學習研究者。

因此本節課主要採取啟發式的探究，即通過問題串的設計，實現引導、啟發學生的課下「自主」學習活動，通過課上的質疑、交流討論、釋疑等活動，逐步使學生思維走向深刻，促使學生對「二次函數圖像的性質及應用」、「研究函數的一般方法和應用」的認識和理解達到一個更高的層面.

2教學過程的設計

2.1 教學活動的設計

1.課前安排：

課前自己閱讀本節內容，並嘗試思考回答自學提綱上的問題，對不能解答和閱讀中產生的疑問，進行標記或記錄。

2.課上的交流與討論：

教師要求學生按照閱讀提綱上的問題順序匯報自己的思考結果，其他學生給予評價，教師做適當點評和補充（以激勵和表揚為主）。

3.課堂練習：

在處理完自學提綱上的問題後，讓學生進行實踐練習，檢驗、鞏固、補救所學知識、方法和所悟思想。

2.2課前准備（閱讀學習問題串的設計）

2.2.1問題選擇和設計的原則

1.有助於學生在溫習初中二次函數的同時,能夠對二次函數的認識和理解有所延伸和提高；

2.有助於學生以具體二次函數解析式和函數圖象為載體認識理解運用抽象函數符號語言進行表述；

3.有助於學生從實踐操作過程中認識、領悟研究函數的一般思想和方法；

4.有利於學生在問題的思考與探索中感受數學思維的神奇力量和價值；

5.能滿足優秀學生學習探索的慾望。

2.2.2自學提綱上問題設計及意圖

問題1：請依據一次函數解析式，指出一次函數圖像的基本性質（定義域、值域、單調性、奇偶性），並說明參數對一次函數圖象基本性質的影響。

【設計意圖】

問題2：一次函數的圖像為什麼是一條直線？如何理解「傾斜程度」一詞？斜率的變化是怎樣反映直線的傾斜程度的？

【設計意圖】

問題3：(練習A-5)下列函數在什麼范圍內取值時，？

（1） （2）

【設計意圖】

問題4：閱讀課本例1，思考如下問題：

1.例題的分析過程中第（1）步配方獲得頂點與第（2）步解方程獲得圖像與軸交點對第（3）步取值列表是多此一舉還是意義深遠？請比較分析「由函數解析式的抽象分析獲得圖像的認識」與「由列表、描點作圖獲得對函數圖象的直觀認識」兩種途徑，嘗試闡述兩種途徑對研究函數圖像性質的各自作用和意義。

2.例1的第（3）步列表、描點、作圖的依據是什麼？即，為什麼這樣取值得到的點就是函數圖像上的點？

3.如何理解例1的第（4）步證明圖像關於對稱的過程？該過程中所取的不限制是否可以？反之，如果一個函數對於定義域內任意都滿足滿足，函數的圖象具有怎樣的性質？如何給予解釋？由上述證明的符號語言表述，以及前面所學的函數單調性和奇偶性概念的描述，你認為在高中數學中引入函數符號的意義何在？

4.例1的第(5)步是觀察圖像獲得函數單調區間，如果沒有列表畫圖，從函數解析式的分析可否獲得單調區間？你怎樣闡述你的單調性結論是對的？

【設計意圖】引導學生的思考走向深刻，①使學生逐步發現高中研究函數的方法開始關注對函數解析式的代數特徵的抽象分析，由此獲得對圖像性質的初步認識與把握。②促進學生對函數圖象和函數解析式的關系的認識和理解。③使學生初步感受高中階段引入更多的數學符號語言的必要性。一個等式代替了函數圖象對稱性冗長的中文表述，將自變數、函數值以及運動變化的關系簡潔明了的展現出來。

【說明】例2和例1本質上沒有區別，僅在二次函數二次項的正負上做了改變，顯得有些多餘，因此，本問題僅以例1的閱讀為基礎提出思考問題。

若選取學生又將重復例1中的做法，不如將例1從具體二次函數抽象到一般的二次函數，用字母系數代替常值系數，並針對二次項系數的正負進行必要的討論，建議歸納總結如下。

問題5：完成2.2.1練習A-5和2.2.2練習A-3，並思考函數、方程、不等式之間有何聯系？函數在求解不等式中有何作用？

【設計意圖】促使學生發現函數、方程、不等式三者的內在聯系。

問題6：你對可本中「一般地，對於任何二次函數都可以通過配方化為

，其中，

從而歸結出二次函數的性質。」這段話有何理解？你認為它給你解決二次函數的相關問題提供了什麼？方法or結論or其它？

【設計意圖】促使學生學會在閱讀中關注什麼？該問題的回答可以反映出學生認知策略的不同，這為課上的交流埋下伏筆。在課堂交流中學生關注點的交流，會有助於學生對自己認知策略的反省，從而改善學生的學習方式和策略。

（註：澳大利亞教育學者比格斯（1987）定義了三種認知策略。第一種是淺層次的取向。通常是機械學習的方式，學習集中於表面看來重要的標題和要素並試圖記憶，他們相信對細節的記憶是最好的學習方法；第二種是深層次取向。往往集中於尋求意義並伴隨好奇心，把學習內容和個人意義的情景及已有的知識結合起來。第三種是成就取向。目的上類似於淺層次取向，集中於產物，表現為跟隨教師教學為主的策略。）

問題7：你認為課本P59對二次函數的性質的歸結是否滿意？你人還可以補充進哪些性質？請重新歸結梳理一個你最滿意的性質條目。

【設計意圖】使學生認識到函數性質的研究應該關注的哪些方面。定義域、值域、單調性、奇偶性、圖像的對稱性、圖像與軸的交點情況等。

問題8：什麼情況下可以用待定系數法求函數解析式？

【設計意圖】提示學生要關注課本上一些文字的理解

問題9：完成課本例1；練習A-5；練習B-1後，思考待定系數求二次函數解析式時，如何設二次函數解析式會更方便計算？

【設計意圖】認識一個函數解析式不同表達形式的價值和意義。

2.3課堂練習的設計選取及意圖

練習1：嘗試完成下列一組問題（依課本例2函數改編），並完成題後反思。

（1）已知函數，不計算試比較值的大小。

【設計意圖】加深學生對函數單調性的分析和認識。

（2）已知函數，試比較值的大小。

（3）已知函數，試比較值的大小。

【設計意圖】（2）（3）這是第（1）問的變式，使學生認識參數對函數性質的影響。（5）加強了對分類思想的運用。

（4）已知開口向下的二次函數滿足，試比較值的大小。

【設計意圖】加深學生對抽象函數的認識，增強對符號語言的理解。

（5）已知函數在單調遞減，且滿足，試比較值的大小。

【設計意圖】這是第（4）問的拓展，去掉二次函數這個具體函數的背景，難度增大，加深學生對函數對稱性的符號語言表述的理解。

反思：請指出以上5各小題的區別與聯系，並抽象概括比較二次函數值的通法。

【設計意圖】鍛煉學生的歸納總結和抽象概括能力，抓住問題本質，只要開口方向和對稱軸不變，相對大小是不會變的，此外，二次函數圖像是研究具有軸對稱性的函數的一個重要示意圖。

練習2：

（1）練習B—3：用配方法求下列函數的定義域和值域：

① ②。

【選取意圖】此題咋一看不是二次函數，但是若觀察到根式下是二次函數就可以依據二次函數圖像解一元二次不等式來求定義域，突出了函數與方程和不等式的內在聯系。將根號下的二次函數在定義域內的值域開方就得到函數的值域，思維量較大，要求對一元二次函數的圖像和性質很熟練，體現配方法這一通性通法的作用，學生為難在根號，難點在於未抓住根式下的主要矛盾，第（2）題答案也比較有趣，定義域和值域都只有一個元素，這又可以讓學生加深對函數概念的理解。

（2）求函數的值域，並說出它在哪個區間上是增函數?在哪個區間上是減函數？繪制函數的圖像。

【設計意圖】對二次函數限定自變數取值後，該函數就不再是二次函數了，它僅是二次函數圖像的一個部分，在整體中觀察局部性質。該題加強了對函數是兩個數集間的映射的概念的理解，突出了研究函數要關註定義域。

（3）用配方法求下列函數的定義域和值域：

（1）； （2）

【設計意圖】使學生加深對能轉化成一元二次函數問題的認識，還可以讓學生認識到配方法在解決問題中的作用。此外，認識到研究二次函數在限定的取值范圍內討論其性質的必要性，從而可以使學生對高中階段從集合之間的對應角度定義函數的必要性。

2.4課下探索與研究

以課本P61的探索與研究為題材，寫一篇圖像平移變換的小論文，要求闡述函數解析式的代數變化與圖像的平移變化的聯系（可否從外在的一種對應關系找到內在的坐標上的解釋），為了發現函數圖像間的平移關系，經常需對函數解析式做怎樣的變形處理？

【修改】把課本探索與研究中的4.改成如下問題：

探究函數與；與；與的圖像關系。

【設計意圖】引導學生去探究揭示數學現象背後的原因。對4的修改更有利於學生去發現抽象其中的內在規律，獲得圖像平移變換的經驗。

（此文選自高中數學B版第六次試驗工作研討會論文集.）

『叄』 初中高中數學所有函數的性質 圖像

1.一次函數(包括正比例函數)
最簡單最常見的函數，在平面直角坐標繫上的圖象為直線。
定義域（下面沒有說明的話，都是在無特殊要求情況下的定義域）：R
值域：R
奇偶性：無
周期性：無
平面直角坐標系解析式(下簡稱解析式):
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數b=0）
③y-y1=k(x-x1)[點斜式]
（k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的一個點）
④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式]
（（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點）
⑤x/a-y/b=0[截距式]
（a、b分別為直線在x、y軸上的截距）
解析式表達局限性：
①所需條件較多（3個）；
②、③不能表達沒有斜率的直線（平行於x軸的直線）；
④參數較多，計算過於煩瑣；
⑤不能表達平行於坐標軸的直線和過圓點的直線。
傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設一直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)。

2.二次函數
題目中常見的函數，在平面直角坐標繫上的圖象是一條對稱軸與y軸平行的拋物線。
定義域：R
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：偶函數
周期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ＞0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，圖象與x軸無交點；
②y=a(x-h)^2+t[配方式]
此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函數
在平面直角坐標繫上的圖象為雙曲線。
定義域：（負無窮，0）∪（0，正無窮）
值域：（負無窮，0）∪（0，正無窮）
奇偶性：奇函數
周期性：無
解析式：y=1/x

4.冪函數
y=x^a
①y=x^3
定義域：R
值域：R
奇偶性：奇函數
周期性：無
圖象類似於將一個過圓點的二次函數的第四區間部分關於x軸作軸對稱
後得到的圖象（類比，這個方法不能得到三次函數圖象）
②y=x^(1/2)
定義域：[0，正無窮）
值域：[0，正無窮）
奇偶性：無（即非奇非偶）
周期性：無
圖象類似於將一個過圓點的二次函數以原點為旋轉中心，順時針旋轉
90°，再去掉y軸下方部分得到的圖象（類比，這個方法不能得到三次
函數圖象）

5.指數函數
在平面直角坐標繫上的圖象（太難描述了，說一下性質吧……）
恆過點（0，1）。聯系解析式，若a＞1則函數在定義域上單調增；若0＜a＜1 則函數在定義域上單調減。
定義域：R
值域：（0，正無窮）
奇偶性：無
周期性：無
解析式：y=a^x
a＞0
性質：與對數函數y=log(a)x互為反函數。
*對數表達：log(a)x表示以a為底的x的對數。

6.對數函數
在定義域上的圖象與對應的指數函數（該對數函數的反函數）的圖象關於直線y=x軸對稱。
恆過定點（1，0）。聯系解析式，若a＞1則函數在定義域上單調增；若0＜a＜1 則函數在定義域上單調減。
定義域：（0，正無窮）
值域：R
奇偶性：無
周期性：無
解析式：y=log(a)x
a＞0
性質：與對數函數y=a^x互為反函數。

7.三角函數
⑴正弦函數：y=sinx
圖象為正弦曲線（一種波浪線，是所有曲線的基礎）
定義域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：奇函數
周期性：最小正周期為2π
對稱軸：直線x=kπ/2 (k∈Z）
中心對稱點：與x軸的交點：（kπ，0）(k∈Z）

⑵餘弦函數：y=cosx
圖象為正弦曲線，由正弦函數的圖象向左平移π/2個單位（最小平移量）所得。
定義域：R
值域：[-1，1]
奇偶性：偶函數
周期性：最小正周期為2π
對稱軸：直線x=kπ (k∈Z）
中心對稱點：與x軸的交點：（π/2+kπ，0）(k∈Z）

⑶正切函數：y=tg x
圖象的每個周期單位很像是三次函數，很多個，均勻分布在x軸上。
定義域：{x│x≠π/2+kπ}
值域：R
奇偶性：奇函數
周期性：最小正周期為π
對稱軸：無
中心對稱點：與x軸的交點：（kπ，0）(k∈Z）。

*三角函數的性質略了，太多，光公式就不止千個。另外，三角函數的圖象平移、拉伸變化，在圖象平移內容中說得很清楚（不在這里，在教材里）我就不多說了。

大功告成！希望對你的學習有所幫助。

『肆』 三次函數的圖像怎麼畫，負無窮，正無窮怎麼看

初中就學過函數的畫法啊，雖然不知道你是幾年級，根據你提問，最少是高三了吧。
畫坐標軸，找特殊點，連線就可以啊。
特殊點怎麼找，求函數單調性，求函數極值和極值點坐標。因為高中的函數都是基本初等函數，所以不用考慮函數連續性問題。有了這些，基本上任何一個函數大致長什麼樣子就畫出來了。在分析題目的時候，也只需要知道函數圖像是個什麼樣子就可以進行分析了。
以正無窮做例子，正無窮不是一個數，符號是∞
一般會說一個函數或者表達式趨於無窮大。可以理解為：如果對於任意給定的正數M（無論它多麼大），總存在正數δ，只要x適合不等式0<|x-x0|<δ,即x趨於無窮，對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M，則稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
負無窮同理。 這個概念是高等數學最基本也是最核心的知識。可能很多人都沒真正理解。

『伍』 關於數學一次函數圖像我一點都不懂，到底怎麼通過圖像看坐標 以及直角坐標系

直線經過1、3象限是y隨x的增大而增大；經過2、4象限是y隨x的減小而減小。

比如這個，這個函數就是y=x+2

y=kx+b（k≠0） 當你看到圖像的時候，與y軸的交點便是b，例如：函數與y軸的交點是（0，4），那麼y=kx+4 函數與x軸的交點是（5，0），意思是說當x=5時，y=0，所以，0=5k+4 解出來x=-4/5 於是y=-4/5x+4 函數就這樣解出來了

我想「b」比較容易理解，但是k不太好理解，你就記住函數與x軸的交點為（z，0）（z為任意數）就是當x=z時，y=0，便可以得出一元一次方程，便可以解出x的值了

【建議你去附近的書店買一本「初中數學基礎知識及重難點講解」的書，比較好讓你懂，裡面都有例題講解的】

『陸』 初中數學幾何圖形判定及性質（懂的來）

1過兩點有且只有一條直線
2 兩點之間線段最短
3 同角或等角的補角相等
4 同角或等角的餘角相等
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短
7 平行公理 經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行
9 同位角相等，兩直線平行
10 內錯角相等，兩直線平行
11 同旁內角互補，兩直線平行
12兩直線平行，同位角相等
13 兩直線平行，內錯角相等
14 兩直線平行，同旁內角互補
15 定理 三角形兩邊的和大於第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小於第三邊
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等於180°
18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19 推論2 三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和
20 推論3 三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角
21 全等三角形的對應邊、對應角相等
22邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23 角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
24 推論 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
25 邊邊邊公理 有三邊對應相等的兩個三角形全等
26 斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等
31 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合
33 推論3 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°
34 等腰三角形的判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）
35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
36 推論 2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中，如果一個銳角等於30°那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42 定理1 關於某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43 定理 2 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44定理3 兩個圖形關於某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
45逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那麼這兩個圖形關於這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等於斜邊c的平方，即a+b=c
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a+b=c，那麼這個三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內角和等於360°
49四邊形的外角和等於360°
50多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等於（n-2）×180°
51推論 任意多邊的外角和等於360°
52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等
53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角
61矩形性質定理2 矩形的對角線相等
62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
64菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
66菱形面積=對角線乘積的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
71定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等的
72定理2 關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分
73逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱
74等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段 相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰
80 推論2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊，並且等於它的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那麼ad=bc。如果ad=bc,那麼a:b=c:d
84 (2)合比性質 如果a／b=c／d,那麼(a±b)／b=(c±d)／d
85 (3)等比性質 如果a／b=c／d=…=m／n(其中，b+d+…+n≠0),那麼(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例
87 推論 平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊
89 平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
90 定理 平行於三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）
94 判定定理3 三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）
95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那麼這兩個直角三角形相似
96 性質定理1 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比
97 性質定理2 相似三角形周長的比等於相似比
98 性質定理3 相似三角形面積的比等於相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等於它的餘角的餘弦值，任意銳角的餘弦值等於它的餘角的正弦值
100任意銳角的正切值等於它的餘角的餘切值，任意銳角的餘切值等於它的餘角的正切值
101圓是定點的距離等於定長的點的集合
102圓的內部可以看作是圓心的距離小於半徑的點的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大於半徑的點的集合
104同圓或等圓的半徑相等
105到定點的距離等於定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓
106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線
107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線
109定理 不在同一直線上的三個點確定一條直線
110垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦並且平分弦所對的兩條弧
111推論1
①平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
118推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑
119推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
120定理 圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角
121
①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
122切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
123切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點的半徑
124推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點
125推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
126切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
127圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等
128弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
129推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等
130相交弦定理 圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等
131推論 如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
132切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項
133推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等
134如果兩個圓相切，那麼切點一定在連心線上
135
①兩圓外離 d＞R+r
②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內切 d=R-r(R＞r)
⑤兩圓內含d＜R-r(R＞r)
136定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
137定理 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形
⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形
138定理 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓
139正n邊形的每個內角都等於（n-2）×180°／n
140定理 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形
141如果在一個頂點周圍有k個正n邊形的角，由於這些角的和應為360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
142內公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r)
143面積公式:①S正Δ=- -×(邊長)2.-②S平行四邊形=底×高.③S菱形=底×高=- -×(對角線的積) -④S圓=πR2.⑤C圓周長=2πR.⑥弧長L=- -.-⑦S扇形=- -=- -LR.⑧S圓柱側=底面周長×高.-⑨S圓錐側=- -×底面周長×母線=πrR,並且-2πr-=- -

角的平分線
性質定理 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
幾何語言：
∵OC是∠AOB的角平分線（或者∠AOC＝∠BOC）
PE⊥OA，PF⊥OB
點P在OC上
∴PE＝PF（角平分線性質定理）
判定定理 到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上
幾何語言：
∵PE⊥OA，PF⊥OB
PE＝PF
∴點P在∠AOB的角平分線上（角平分線判定定理）
等腰三角形的性質
等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩底角相等
幾何語言：
∵AB＝AC
∴∠B＝∠C（等邊對等角）
推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊並且垂直於底邊
幾何語言：
（1）∵AB＝AC，BD＝DC
∴∠1＝∠2，AD⊥BC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
（2）∵AB＝AC，∠1＝∠2
∴AD⊥BC，BD＝DC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
（3）∵AB＝AC，AD⊥BC
∴∠1＝∠2，BD＝DC（等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊）
推論2 等邊三角形的各角都相等，並且每一個角等於60°
幾何語言：
∵AB＝AC＝BC
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°（等邊三角形的各角都相等，並且每一個角都等於60°）
等腰三角形的判定
判定定理 如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等
幾何語言：
∵∠B＝∠C
∴AB＝AC（等角對等邊）
推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵∠A＝∠B＝∠C
∴AB＝AC＝BC（三個角都相等的三角形是等邊三角形）
推論2 有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形
幾何語言：
∵AB＝AC，∠A＝60°（∠B＝60°或者∠C＝60°）
∴AB＝AC＝BC（有一個角等於60°的等腰三角形是等邊三角形）
推論3 在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
幾何語言：
∵∠C＝90°，∠B＝30°
∴BC＝ AB或者AB＝2BC（在直角三角形中，如果一個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半）
線段的垂直平分線
定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
幾何語言：
∵MN⊥AB於C，AB＝BC，（MN垂直平分AB）
點P為MN上任一點
∴PA＝PB（線段垂直平分線性質）
逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上
幾何語言：
∵PA＝PB
∴點P在線段AB的垂直平分線上（線段垂直平分線判定）
軸對稱和軸對稱圖形
定理1 關於某條之間對稱的兩個圖形是全等形
定理2 如果兩個圖形關於某直線對稱，那麼對稱軸是對應點連線的垂直平分線
定理3 兩個圖形關於某直線對稱，若它們的對應線段或延長線相交，那麼交點在對稱軸上
逆定理 若兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那這兩個圖形關於這條直線對稱
勾股定理
勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等於斜邊c的平方，即
a2 ＋ b2 ＝ c2
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系，那麼這個三角形是直角三角形
四邊形
定理 任意四邊形的內角和等於360°
多邊形內角和
定理 多邊形內角和定理n邊形的內角的和等於（n － 2）·180°
推論 任意多邊形的外角和等於360°
平行四邊形及其性質
性質定理1 平行四邊形的對角相等
性質定理2 平行四邊形的對邊相等
推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
幾何語言：
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AD‖BC，AB‖CD（平行四邊形的對角相等）
∠A＝∠C，∠B＝∠D（平行四邊形的對邊相等）
AO＝CO，BO＝DO（平行四邊形的對角線互相平分）
平行四邊形的判定
判定定理1 兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AB‖CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）
判定定理2 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵∠A＝∠C，∠B＝∠D
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）
判定定理3 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD＝BC，AB＝CD
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）
判定定理4 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AO＝CO，BO＝DO
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
判定定理5 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
幾何語言：
∵AD‖BC，AD＝BC
∴四邊形ABCD是平行四邊形
（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）
矩形
性質定理1 矩形的四個角都是直角
性質定理2 矩形的對角線相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是矩形
∴AC＝BD（矩形的對角線相等）
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°（矩形的四個角都是直角）
推論 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
幾何語言：
∵△ABC為直角三角形，AO＝OC
∴BO＝ AC（直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半）
判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
幾何語言：
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°
∴四邊形ABCD是矩形（有三個角是直角的四邊形是矩形）
判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
幾何語言：
∵AC＝BD
∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）
菱形
性質定理1 菱形的四條邊都相等
性質定理2 菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD（菱形的四條邊都相等）
AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC
（菱形的對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角）
判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
幾何語言：
∵AB＝BC＝CD＝AD
∴四邊形ABCD是菱形（四邊都相等的四邊形是菱形）
判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
幾何語言：
∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO
∴四邊形ABCD是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）
正方形
性質定理1 正方形的四個角都是直角，四條邊都相等
性質定理2 正方形的兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
中心對稱和中心對稱圖形
定理1 關於中心對稱的兩個圖形是全等形
定理2 關於中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，並且被對稱中心平分
逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，並且被這一點平分，那麼這兩個圖形關於這一點對稱
梯形
等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
幾何語言：
∵四邊形ABCD是等腰梯形
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D（等腰梯形在同一底上的兩個角相等）
等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
幾何語言：
∵∠A＝∠B，∠C＝∠D
∴四邊形ABCD是等腰梯形（在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形）
三角形、梯形中位線
三角形中位線定理 三角形的中位線平行與第三邊，並且等於它的一半
幾何語言：
∵EF是三角形的中位線
∴EF＝ AB（三角形中位線定理）
梯形中位線定理 梯形的中位線平行與兩底，並且等於兩底和的一半
幾何語言：
∵EF是梯形的中位線
∴EF＝ (AB＋CD)（梯形中位線定理）
比例線段
1、 比例的基本性質
如果a∶b＝c∶d，那麼ad＝bc
2、 合比性質
3、 等比性質
平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例
幾何語言：
∵l‖p‖a
（三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例）
推論 平行與三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例
定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那麼這條直線平行與三角形的第三邊
垂直於弦的直徑
垂徑定理 垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，OC過圓心
（垂徑定理）
推論1
（1） 平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直徑
（平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧）
（2） 弦的垂直平分線過圓心，並且平分弦所對的兩條弧
幾何語言：
∵AC＝BC，OC過圓心
（弦的垂直平分線過圓心，並且平分弦所對的兩條弧）
（3） 平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧
幾何語言：
（平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧）
推論2 圓的兩條平分弦所夾的弧相等
幾何語言：∵AB‖CD
圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系
定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距也相等
推論 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等
圓周角
定理 一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半
推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直角
推論3 如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形
圓的內接四邊形
定理 圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角
幾何語言：
∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形
∴∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠ADB＝180°，∠B＝∠ADE
切線的判定和性質
切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線
幾何語言：∵l ⊥OA，點A在⊙O上
∴直線l是⊙O的切線（切線判定定理）
切線的性質定理 圓的切線垂直於經過切點半徑
幾何語言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O於點A
∴l ⊥OA（切線性質定理）
推論1 經過圓心且垂直於切線的直徑必經過切點
推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心
切線長定理
定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角
幾何語言：∵弦PB、PD切⊙O於A、C兩點
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切線長定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角
幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠A所對的是
∴∠BCN=∠A
推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等
幾何語言：∵∠BCN所夾的是 ，∠ACM所對的是 ， =
∴∠BCN=∠ACM
和圓有關的比例線段
相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被焦點分成的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵弦AB、CD交於點P
∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
幾何語言：∵AB是直徑，CD⊥AB於點P
∴PC2=PA·PB（相交弦定理推論）
切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項
幾何語言：∵PT切⊙O於點T，PBA是⊙O的割線
∴PT2=PA·PB（切割線定理）
推論 從圓外一點因圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的焦點的兩條線段長的積相等
幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線
∴PT2=PA·PB（切割線定理推論）