高中數學怎麼證明三線共點

㈠ 高中數學三點共線證明方法

共線向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示為a∥b，任意一組平行向量都可移到同一直線上佰，所以稱為共線向量。

共線向量基本定理為如果 a≠0，那麼向量b與a共線的充要條件是：存在唯一實數λ，使得 b=λa。

證明過度程如下：

設A、B、C三點共線，O是平面內任一點。

因為A、B、C共線，所以存在非零實數k，使AB=kAC。

即 OB-OA=k(OC-OA)。

所以 OB=kOC+(1-k)OA。

[註：兩個系數和 k+1-k=1]。

反之，若存在實數x，y 滿足 x+y=1，且OA=xOB+yOC。

則 OA=xOB+(1-x)OC。

OA-OC=x(OB-OC)。

所以 CA=xCB。

因此，向量CA與CB共線。

又由於 CA、CB有公共點C。

所以，A、B、C三點共線。

三點共線的證明方法：

方法一：取兩點確立一條直線，計算該直線的解析式.代入第三點坐標 看是否滿足該解析式 （直線與方程）。

方法二：設三點為A、B、C .利用向量證明：λAB=AC（其中λ為非零實數）。

方法三：利用點差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三點共線。

方法四：用梅涅勞斯定理。

方法五：利用幾何中的公理「如果兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線」，可知：如果三點同屬於兩個相交的平面則三點共線。

方法六：運用公（定）理 「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行（垂直）」.其實就是同一法。

方法七：證明其夾角為180°。

方法八：設A B C ，證明△ABC面積為0。

㈡ 高中幾何中一般怎麼證明三線共點，三點

1.
證明三線共點的方法：求出兩條直線的交點，把這個交點代入第三條直線方程，如果使方程成立，則這個交點也在第三條直線上，那就得到三線共點；
2.
證明三點共線的方法：假設要證明ABC三點共線，可以用如下方法：
1）如果斜率存在，可以去證明kAC=kAB；
2）可以用向量花線的充要條件證明向量AC//向量AB；
3）可以求出其中兩點所在所在直線方程，證明第三個點滿足這條直線方程。

㈢ 高中幾何中一般怎麼證明三線共點，三點

1. 證明三線共點的方法：求出兩條直線的交點，把這個交點代入第三條直線方程，如果使方程成立，則這個交點也在第三條直線上，那就得到三線共點；

2. 證明三點共線的方法：假設要證明ABC三點共線，可以用如下方法：

   1）如果斜率存在，可以去證明kAC=kAB；

   2）可以用向量花線的充要條件證明向量AC//向量AB；

   3）可以求出其中兩點所在所在直線方程，證明第三個點滿足這條直線方程。

㈣ 高中數學必修一到必修四 所有證明三點共線的方法

1、利用梅涅勞斯定理的逆定理
例1、如圖1，圓內接ΔABC為不等邊三角形，過點A、B、C分別作圓的切線依次交直線BC、CA、AB於 、 、 ，求證： 、 、 三點共線。
解：記 ，易知
又易證 .則 .

同理 .故 .
由梅涅勞斯定理的逆定理，知 、 、 三點共線。
2、利用四點共圓（在圓內，主要由角相等或互補得到共線）
例2 、如圖，以銳角ΔABC的一邊BC為直徑作⊙O，過點A作⊙O的兩條切線，切點為M、N，點H是ΔABC的垂心.求證：M、H、N三點共線。(96中國奧數)
證明：射線AH交BC於D，顯然AD為高。
記AB與⊙O的交點為E，易知C、H、E三點共線。
聯結OM、ON、DM、DN、MH、NH，
易知 ，
∴A、M、O、D、N五點共圓，更有A、M、D、N四點共圓，
此時，
因為 （B、D、H、E四點共圓），
即 ；又 ，所以 ，故
同理， 。
因為 ，所以，M、H、N三點共線。
3、利用面積法
如果 ，點E、F位於直線MN的異側，則直線MN平分線段EF，即M、N與EF的中點三點共線。
例3 、如圖，延長凸四邊形ABCD的邊AB、DC交於點E，延長邊AD、BC交於點F，又
M、N、L分別是AC、BD、EF的中點，求證：M、N、L三點共線。
證明：設BC的中點為O，輔助線如圖所示，
由 可知，
點O必在 內，此時，

同理， 。
因此 。此時，直線MN平分EF，即M、N、L三點共線。
註：利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。
4、利用同一法
盡管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4後，你會感到，同一法在證明三點共線問題時，也有其用武之地。
例4 、如圖4(a)，凸四邊形ABCD的四邊皆與⊙O相切，切點分別為P、M、Q、N，設PQ與
MN交於S，證明：A、S、C三點共線。
證明：如圖4(b)，令PQ與AC交於 ，
易證 互補。
而 ，則
，
故 。再令MN與AC交於 。同理可得
但 ，所以 。利用合比性質得， 。
因此， ，可斷定 與 必重合於點S，故A、S、C三點共線。
註：觀察本題圖形,顯然還可證得B、S、D三點共線；換言之，AC、BD、PQ、MN四線共點。
5、利用位似形的性質
如果 與 是兩個位似三角形，點O為位似中心，那麼不僅A、 、O；B、 、O；C、 、O分別三點共線，而且 、 的兩個對應點與位似中心O也三點共線，位似形的這種性質，對於證明三點共線，頗為有用。
例5、如圖, 內部的三個等圓⊙ 、⊙ 、⊙ 兩兩相交且都經過點P，其中每兩個圓都與 的一邊相切,已知O、I分別是 的外心、內心，證明：I、P、O三點共線。
證明：聯結 、 、 。由已知得
、 、 。
可斷定 與 是一對位似三角形，
且易知 的內心I是兩者的位似中心。
因為⊙ 、⊙ 、⊙ 為等圓，
即 ,
所以點P是 的外心。又點O是 的外心，故P、O兩點是兩個位似三角形的對應點，利用位似形的性質，即得I、P、O三點共線。
6、 利用反證法
有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達到預期目的。
例6、如圖，梯形ABCD中、DC//AB，對形內的三點 、 、 ，如果到四邊距離之和皆相等，那麼， 、 、 三點共線，試證之。
證明：先看 兩點，
設直線 分別交AD、BC於M 、N，
於 ， 於 ，
於 ， 於 。
因為DC//AB，則點 到AB、CD的距離之和等於點 到AB、CD的距離之和。由已知可得 。過點 作AD的平行線、過點 作BC的平行線得交點P（由於AD與BC不平行）。記 交 於G， 交 於H。
觀察上式有 。所以， 。
因為 有兩條高 ，所以， 是等腰三角形，則 。
故 。
再用反證法證明點 一定在 上：假設點 不在 上，聯結 並延長分別交AD、BC於 ，易知點 在MN的異側；因為點 到AD、BC的距離之和等於點 到AD、BC的距離之和，由上述證明過程知必有 。
事實上，觀察圖形只能得到 ，矛盾，這說明點 必在 上，即MN上，因此 、 、 三點共線。
7、 用塞瓦定量的逆定理
變三點共線為三線共點，利用塞瓦定理的逆定理，在圓內接凸六邊形ABCDEF中，若
，則AD、BE、CF三線共點；反之亦然，利用這個結果來證明某些三點共線問題，可立竿見影。
例7、如圖7，凸四邊形ABCD內接於圓，延長AD、BC交於點P，作PE、PF切圓於E、F，又AC與BD交於K，證明：E、K、F三點共線。
解：聯結AE、ED、CF、FB得凸六邊形ABFCDE。
欲證E、K、F三點共線，即AC、BD、EF三線共點，
只須證 。
注意到 。
則 。又PE=PF，
則 。
故 。
因此，AC、BD、EF三線共點，即E、K、F三點共線。

㈤ 如何證明三線共點，用立體幾何方法

證明三線共點的步驟就是，先說明兩線交於一點，再證明此在另一線上，把三線共點的證明轉化為三點共線的證明，而證明三點共線只需要證明三點均在兩個相交的平面上，也就是在兩個半面的交線上。

三點共線與三線共點的理論：若一條直線上的兩點在一個平面內，那麼這條直線在此半面內。

例如，在四面體ABCD中作圖PQR，PQ、CB的延長線交於M，RQ、DB延長線交於N，RP、DC的延長線交於K，求證M、N、K三點共線。

解答：由題意可知，M、N、K分別在直線PQ，RQ，RP上，根據公理1可知M、N、K在半面PQR上,同理,M、N、K分別在直線CB、DB、DC上,可知M、N、K在半面PQR與半面BCD的公共直線上,所以M、N、K三點共線。

(5)高中數學怎麼證明三線共點擴展閱讀：

其他證明三線共點是理論：

1、公理1：過不在一條直線的三點,有且只有一個平面。

2、推論1：經過一條直線和直線外的一點有且只有一個半面。

3、推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面。

4、推論3：經過兩條平行直線有且只有一個半面。

5、公理2：若兩個不重合的平面有一個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線。

㈥ 高二數學三點共線如何證明 要方法

方法一：取兩點確立一條直線
計算該直線的解析式
代入第三點坐標 看是否滿足該解析式
方法二：設三點為A、B、C
利用向量證明：a倍AB向量=AC向量（其中a為非零實數）
方法三：利用點差法求出AB斜率和AC斜率
相等即三點共線

㈦ 高中數學必修二三點共線的證明怎麼做

1，藉助解析幾何的點連線斜率相等且有共點
2，同樣的運用解析幾何，根據線段的數量關系，如若AB+BC=AC，則A,B,C三點共線（或者求兩向量的夾角）
3，運用向量（必修4）
4，一般幾何方法（如面積不存在，夾角為平角，幾何定理，如梅涅勞斯定理等）
詳細方法可以去網路一下

㈧ 高中幾何中一般怎麼證明三線共點、三點共線和四點共面之類的問題麻煩詳細解釋一下，配上例子更好。

三線共點：證明三線有一共同交點
三點共線：兩點確定一條直線，證明第三點也在這條直線上就可以了
四點共面：三點確定一個面，只要證明第四點也在這個面上就可以