具體圖形到抽象圖形數學思想是什麼

1. 小學數學中常見的數學思想 - 草稿

數學抽象的思想

抽象思想，分類思想，結合思想，數形結合思想，對應思想，符號思想

1.抽象思想

在教材中沒有出現這一名詞，但是教材中經常會提及到。課標將抽象，推理，模型確立為三個基本思想

概念解讀

抽象包括空間形式的抽象論證形式的抽象模擬形式的抽象數量關系的抽象，從小學數學的角度看，抽象主要包括數量與數量關系的抽象圖形與圖形關系的抽象。

教學建議

①從生活實際入手，多角度呈現逐步提高抽象能力

②通過數學直觀進行教學，為建立逐步抽象做准備

2.分類思想

分類討論是一種常用的研究方法。小學教材沒有給分類定義，但不同知識領域學習中教材安排了豐富的分類活動，在數的認識中「把這些數分類」；在圖形的認識中「你把下面圖形分類」；在運算和解決問題中「這些方法分分類，在統計知識的學習中「把數據進行分類整理」，這些都充分體現了分類方法的運用在概念建立和解決問題中的重要作用。

概念解讀

分類思想方法是建立在分類這一自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方式的基礎上的一種處理數學問題的思想科學的分類

一般遵循嚴格的邏輯原則

①變域明確原則，分類對象的集合即變域必須是明確的

②標准統一性原則，每一次分裂的標准必須是統一的

③不露原則分類必須是完整的，不出現遺漏

④不重復原則，所有的分類之間必須是互斥的。

教學建議

（1）在低年級分類的單元教學中，注重滲透分類思想和集合思想

（2）而客觀的看待分類的多樣化與優化的關系，逐步引導學生從數學的角度分類

（3）在各領域知識的學習和問題解決中進行滲透分類思想

3.集合思想

教學建議

明確集合思想在小學數學中的應用，在一年級，每個數字都有一張相應的結合圖。

正確把握集合思想教學要求，指導學生看懂集合圖會用圖計算或者解決問題。

引導學生從構造結合的角度來研究概念和概念間的關系。在數的認識，數的性質，三角形的分類，四邊形的認識，長方體和正方體的特徵等知識的學習中，教師要抓住滲透集合思想的契機

4.數形結合思想

課標在幾何直觀進行闡述時指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，這也凸顯了數形結合是幾何直觀的重要方法和手段

概念解讀

數形結合思想方法的應用，具體體現在兩個方面，一種是以形輔數，另一種是以數解形，其中以數解形，在中學數學中較多，小學數學學習中更多的是以形輔數的體現。

小學生的邏輯思維能力比較弱，他們對於抽象概念的理解，基本上藉助感性的直觀材料，因此，藉助樹形結合的思想中圖形直觀的手段特點，為學生的學習和解決問題提供較好的教學方法和解決問題的策略

教學建議

一，研讀教材，整體把握樹形結合思想方法的滲透點

二，加強型的價值體驗，增強用圖的意識和本領

4.對應思想

對應反映的是兩個結合的元素間的關系，小學數學中的對應現象隨處可見，如數和形的對應量和量的對應量和率的對應數量的變化規律都需要尋找對應的關系，利用對應的關系解決問題

教學建議

通過直觀教學，加強學生對對應關系的理解

引導學生運用對應解決問題

5.符合思想

課標指出，符號意識主要是指能夠理解，並且運用符號表示數數量關系和變化規律，知道使用符號可以進行運算和推理，得到結論具有一般性

符號是針對某具體事物對象而抽象概括出來的一種簡潔的記號或代號，四月符號是進行空間形式和數量關系表示計算推理和解決問題的工具，是人們對客觀事物運動規律的最直觀，最簡潔的表達方式，是交流與傳播數學思想的媒介。

符號不僅是一種表達方式，更是與數學概念命題等具體內容相關，直接體現抽象推理和模型等基本思想的要求

①能夠理解，並且運用符號表示數數量關系和變化規律，

②知道使用符號可以進行運算和推理，得到結論的具有一般性

③使學生理解符號的使用是數學表達和數學思想的重要形式

教學建議

數學學習無時無刻不在和數學符號打交道，在小學階段滲透符號化思想，發展學生的符號意識，教師應把握以下幾點

①結合概念，命題，公式的學習理解數學符號的意義

②重視用字母表示數的教學，初步發展學生用符號表達和運算，推理的能力。

6.數形結合思想

數形結合做一種數學思想方法，是指通過數和形之間的關對應關系和相互轉化來解決問題的思想方法

課標在對幾何直觀進行闡述時指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，凸顯了數形結合是幾何直觀的重要方法和手段。

概念解讀

華羅庚先生的《談談與蜂房結構有關的數學問題》中的一首小詩形象地記錄了數與形的關系，數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數無形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離。數形結合思想方法應用，具體體現兩種方式，一是以形輔數，另一種是以數解形。

教學建議

一、研讀教材，整體把握數形結合思想方法的滲透點。

二、加強形的價值體驗，增強用圖的意識和本領。

7.類比思想

簡單共存類比

因果類比

綜合類比

教學建議

用聯系和發展的眼光理解學習內容，挖掘教學內容中的類比思想，

在概念教學和解決問題中，經歷類比的過程，掌握基本方法和步驟

8.極限思想

在圓面積公式的推導過程中，滲透了極限思想

極限思想的一般步驟可概括為對於被考察的未知量，先設法構思與一個與它有關的變數，確認這變數，通過無限逼近過程的結果就是所求的未知量，最後用極限計算來得到這結果。

教學建議

隨時滲透積累數學經驗，

抓住時機體位極限思想。

在教學循環小數的時候，也可以抓住時機，藉助數學故事滲透極限思想。

9.代換思想

等量代換，是指一個量用於它相等的量代替，是數學中的一種基本思想方法，也是代數思想方法的基礎。

概念解讀

代換思想也可以理解成為換元法，一般意義是將有一個或幾個變元構成的數學表達式中的一部分，用心的變元表示也利於問題的解決。

教學建議

等量代換是一種很抽象的數學思想，只有以學生可理解的簡單形式，將它生動有趣的呈現出來，他們才有可能感知、領悟

一、關注學生興趣，激發學習慾望

二、聯系生活經驗，引導學生探究新知，感悟等量代換的意義。

2. 什麼是數形結合思想

數形結合思想是一種數學思想方法。數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。中學數學研究的對象可分為數和形兩大部分，數與形是有聯系的，這個聯系稱之為數形結合，或形數結合。

數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性，或者藉助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是「以數解形」，而第二種情形是「以形助數」。「以數解形」就是有些圖形太過於簡單，直接觀察卻看不出什麼規律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。

基本思想是：我國著名數學家華羅庚曾說過：「數形結合百般好，隔裂分家萬事休。」「數」與「形」反映了事物兩個方面的屬性。數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過「以形助數」或「以數解形」即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。

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數形結合應用要點

1、 數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助於把握數學問題的本質；另外，由於使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

2、 所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合 。

3、縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究「以形助數」。

4、數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。

5、數形結合思想的論文：數形結合思想簡而言之就是把數學中「數」和數學中「形」結合起來解決數學問題的一種數學思想。數形結合具體地說就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過「數」與「形」之間的對應和轉換來解決數學問題。在中學數學的解題中，主要有三種類型：以「數」化「形」、以「形」變「數」和「數」「形」結合。

參考資料來源：網路-數形結合

3. 數學中什麼是抽象圖形

數學的抽象性是數學]的一個最基本特徵，無論是數學概念，還是數學方法都是抽象的。數學抽象方法是數學研究中的一種基本方法，下面我們根據某些數學家研究結果，簡要敘述一下數學抽象方法的涵義、特徵和類型。

一、 何謂數學抽象方法

數學抽象方法是一種科學抽象方法。它是從考慮的問題出發，通過對各種經驗事實的

觀察、分析、綜合和比較，在人們的思維中撇開事物現象的、外部的、偶然的東西，抽出事物本質的、內在的、必然的東西，從空間形式和數量關繫上揭示客觀對象的本質和規律，或者在已有數學知識的基礎上，抽出其某一種屬性作為新的數學對象，以此達到認識事物本質和規律的目的的一種數學研究方法。例如，幾何中的「點」的概念是從現實世界中的水點、雨點、起點、終點等具體事物中抽象出來的，它舍棄了事物的各種物理、化學等性質，不考慮其大小、僅僅保留其表示位置的性質。

二、數學抽象的基本特徵

數學抽象有三個基本特徵：

1． 在數學抽象中，舍棄了客觀對象的其他各個屬性而僅保留其量的屬性。在這里量的

概念是隨著人類實踐的發展，其包含的內容越來越豐富。古典數學中所謂的量通常是指「形」和「數」這兩個基本含義，現代數學中的量通常是指數學的關系結構系統。

2． 數學抽象是一種構造性活動，即藉助於明確的定義「構造」出了相應的數學對象，

稱之為數學對象的「邏輯建構」。只有通過這種邏輯建構，數學對象才能由內在的思維活動轉化為「外部的」獨立存在，相應的數學結論也才能擺脫思維活動所必然具有的「個體性」，並獲得作為科學知識所必須具有的「普遍性」。例如，垂直這一概念對於不同的人來說可能具有不同的心理圖像，但是在數學中所研究的則是有這一概念的定義所能推出的邏輯結論，從而這就是一種客觀知識。

3． 數學抽象有著豐富的層次性，它可以從現實世界客觀事物中抽象，又可以在已有數

學知識的基礎上進行抽象，其抽象所達到的高度遠遠超出了其他科學的一般抽象。現代數學發展的一個重要特點就在於它的研究對象已經從具有直觀意義的量的關系和形式擴展到了可能的量的關系和形式。這表明了數學抽象所達到的特殊高度。這些高度抽象的概念，與真實世界的距離如此遙遠，以致常常被稱為「思維的自由想像與創造」物。

三、數學抽象的類型

數學抽象的常用方法有理想化抽象、等價抽象、強抽象和弱抽象等，現分述如下：

1． 理想化抽象

理想化抽象是一種特殊的數學抽象，它是對客觀事物或現象從量的方面進行簡單化、完

善化的加工處理，使其實際現實中客觀事物或現象所必須固有的量的性質和關系的抽象化，並把原則上不可能屬於其現實原像的量的特徵引用於被構成概念的內涵之中。例如，幾何中點、線、面等基本概念的引進，就是進行理想化抽象的結果。

通過理想化抽象得到的數學概念未必與原型相符。例如，在現實世界重，根本找不到沒有大小的點、沒有厚度和寬度的線、沒有厚度的面。但這些點、線、面的數學概念更加深刻、正確、完全地反映了客觀事物的屬性，因此，它不是遠離事物，而是更加接近事物。由此看出，理想化抽象是主觀的抽象形式與客觀的具體內容的辯證的統一。這種方法不僅對於數學概念是十分重要的，而且對於建立數學模型也是必不可少的。 歐拉把哥尼斯堡七橋問題轉化為一筆畫問題的數學模型就是利用了理想化抽象的方法。

理想化抽象的結果在數學中表現出各種不同的結構形式，既有圖形又有解析表達式；既有具體的數學，又有一般的抽象符號系統等。

2． 等價抽象

等價抽象是藉助於等價關系給出已知集合的一個劃分，然後將其中等價的元素「同一化」

而得到一個新集合的一種方法。其具體含義是，如果集合 中的一個二元關系 滿足下述三條：

（1）自反性 對任意的 ， 和 有關系 ，即 ；

（2）對稱性 若 ，則 ，其中 ；

（3）傳遞性 若 ， ，則 ，其中 ，

則稱 為 上的一個等價關系。由此可以看出得到 的一個劃分，使得 被表成若干個「等價類」 的並。等價的元素位於同一等價類，不等價的元素位於不同的等價類之中。然後將同一等價類中的元素「同一化」，即將等價的元素在抽象意義下看作同一個東西，這樣，一個等價類形象上凝聚了一個新的抽象元素。由所有這些元素就構成了一個新集合，即 關於 的商集 。由 到 的過程便是等價抽象的過程。例如，在初等數論中，若整數 和 用 除，有相同的余數，則稱 和 是對模 同餘的，記作 。顯然，同餘關系是建立在整數系統上的等價關系。再如，有理數可以看作整數偶的等價類。

等價抽象方法是建立在新的數學系統的常用手段之一，在數學研究中有著廣泛的應用，數學中很多重要概念的出現都是由此而導致的，這種方法在解題中往往亦可發揮其效力。

3． 強抽象

強抽象亦稱為強化結構式抽象。它是指通過引入新特徵強化原結構來完成抽象，從而所

獲得的新結構為原結構的特例。也就是說，強抽象是通過擴大原概念的內涵，來建立新概念的抽象方法。例如，由任意三角形概念出發，若加強對「邊」的屬性限制，要求二邊相等或三邊相等，這樣就獲得等腰三角形或等邊三角形的兩個新概念；若加強對「角」的屬性的限制、，比如，要求一個角為直角，通過這樣的強抽象，就可以獲得]直角三角形的概念。再如，在函數概念中引進連續性概念，就構成連續函數概念。

4． 弱抽象

若抽象亦稱概念的擴張式抽象。它是指從原型中選取某一特徵，並減弱這一特徵的限制

加以抽象，從而獲得比原結構更廣泛的結構過程。原型是其弱抽象的特例。弱抽象是通過縮小原概念的內涵，來建立新概念的數學抽象方法。例如，全等形具有面積相等，形狀相似的性質，如果從這一概念出發，減弱對「面積相等」的限制，保留「形狀相似」的屬性，利用弱抽象法，就可以獲得相似形的概念。

一般地，最先被人們認識的一些較具體、較直觀的事物對象，如果其內容結構非常豐富，這時就可以採用弱抽象方法，引入新概念。

一般地說，如果人們認識的事物對象其內容結構形式非常貧乏，、或不夠豐富，這時可採用強抽象方法引入新概念。當然，還可以根據與弱抽象思維方式完全相反的特點，用來分析數學概念的層次結構，理解數學知識間的相互關系。例如，在四邊形中，增加「兩組對便分別平行」這個條件，通過強抽象可得平行四邊形的概念；從平行四邊形的概念去掉「兩組對邊分別平行」的限制，有弱抽象便可得到四邊形的概念。可見，初等幾何中平行四邊形的概念在各種四邊形的概念中佔有中特別重要的地位：它既是對任意四邊形、梯形等強抽象的結果，又是另外一些概念如矩形，菱形、正方形等強抽象的出發點。同時，它還是梯形、四邊形等弱抽象的出發點。

4. 你認為什麼是數形結合的數學思想 百字答案

答:所謂數形結合是將數學中抽象的數學語言、數量關系與具體直觀的圖像結合起來，利用抽象思維與形象思維的有機結合，藉助形的具體明確來反映數量之間的關系，藉助數來具體描述形的本質內涵。它的實質是把抽象的數學語言、數量關系和直觀的圖形結合起來，它包括「以形助數」和「以數輔形」兩個方面。用這種思想來解決數學問題往往可以使復雜的問題簡單化、抽象問題具體化。數形結合思想既能發揮代數的優勢，又可以充分利用圖形的直觀性，從多個角度探索問題，對思維能力的提升大有益處。

5. 數學中什麼是抽象圖形

數學中抽象圖形是對點、線、面與圖像構成知識的綜合表達。

6. 哪些數學定義中類似的從具體到抽象定義特徵

數學抽象定義的特點：
關於數學所具有的特點，可以把數學和其他學科相比較，這種特點就十分明顯了。
同其他學科相比，數學是比較抽象的。數學的抽象性表現在哪裡呢?那就是暫時撇開事物的具體內容，僅僅從抽象的數方面去進行研究。比如在簡單的計算中，2+3既可以理解成兩棵樹加三棵樹，也可以理解成兩部機床加三台機床。在數學里，我們撇開樹、機床的具體內容，而只是研究2+3的運算規律，掌握了這個規律，那就不論是樹、機床，還是汽車或者別的什麼事物都可以按加法的運算規律進行計算。乘法、除法等運算也都是研究抽象的數，而撇開了具體的內容。
數學中的許多概念都是從現實世界抽象出來的。比如幾何學中的「直線」這一概念，並不是指現實世界中的拉緊的線，而是把現實的線的質量、彈性、粗細等性質都撇開了，只留下了「向兩方無限伸長」這一屬性，但是現實世界中是沒有向兩方無限伸長的線的。幾何圖形的概念、函數概念都是比較抽象的。但是，抽象並不是數學獨有的屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性。只是數學的抽象性有它不同於其他學科抽象的特徵罷了。
數學的抽象性具有下列三個特徵：第一，它保留了數量關系或者空間形式。第二，數學的抽象是經過一系列的階段形成的，它達到的抽象程度大大超過了自然科學中的一般抽象。從最原始的概念一直到像函數、復數、微分、積分、泛函、n維甚至無限維空間等抽象的概念都是從簡單到復雜、從具體到抽象這樣不斷深化的過程。當然，形式是抽象的，但是內容卻是非常現實的。正如列寧所說的那樣：「一切科學的(正確的、鄭重的、不是荒唐的)抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然。」(《黑格爾〈邏輯學〉一書摘要》，《列寧全集》第38卷第181頁)第三，不僅數學的概念是抽象的，而數學方法本身也是抽象的。物理或化學家為了證明自己的理論，總是通過實驗的方法；而數學家證明一個定理卻不能用實驗的方法，必須用推理和計算。比如雖然我們千百次地精確測量等腰三角形的兩底角都是相等的，但是還不能說已經證明了等腰三角形的底角相等，而必須用邏輯推理的方法嚴格地給予證明。在數學里證明一個定理，必須利用已經學過或者已經證過的概念、定理用推理的方法導出這個新定理來。我們都知道數學歸納法，它就是一種比較抽象的數學證明方法。它的原理是把研究的元素排成一個序列，某種性質對於這個序列的首項是成立的，假設當第k項成立，如果能證明第k+1項也能成立，那麼這一性質對這序列的任何一項都是成立的，即使這一序列是無窮序列。
數學的第二個特點是准確性，或者說邏輯的嚴密性，結論的確定性。
數學的推理和它的結論是無可爭辯、毋容置疑的。數學證明的精確性、確定性從中學課本中就充分顯示出來了。
歐幾里得的幾何經典著作《幾何原本》可以作為邏輯的嚴密性的一個很好的例子。它從少數定義、公理出發，利用邏輯推理的方法，推演出整個幾何體系，把豐富而零散的幾何材料整理成了系統嚴明的整體，成為人類歷史上的科學傑作之一，一直被後世推崇。兩千多年來，所有初等幾何教科書以及19世紀以前一切有關初等幾何的論著都以《幾何原本》作為根據。「歐幾里得」成為幾何學的代名詞，人們並且把這種體系的幾何學叫做歐幾里得幾何學。
但是數學的嚴密性不是絕對的，數學的原則也不是一成不變的，它也在發展著。比如，前面已經講過《幾何原本》也有不完美的地方，某些概念定義得不明確，採用了本身應該定義的概念，基本命題中還缺乏嚴密的邏輯根據。因此，後來又逐步建立了更嚴密的希爾伯特公理體系。
第三個特點是應用的廣泛性。
我們幾乎每時每刻都要在生產和日常生活中用到數學，丈量土地、計算產量、制訂計劃、設計建築都離不開數學。沒有數學，現代科學技術的進步也是不可能的，從簡單的技術革新到復雜的人造衛星的發射都離不開數學。
而且，幾乎所有的精密科學、力學、天文學、物理學甚至化學通常都是以一些數學公式來表達自己的定律的，並且在發展自己的理論的時候，廣泛地應用數學這一工具。當然，力學、天文學和物理學對數學的需要也促進了數學本身的發展，比如力學的研究就促使了微積分的建立和發展。
數學的抽象性往往和應用的廣泛性緊密相連，某一個數量關系，往往代表一切具有這樣數量關系的實際問題。比如，一個力學系統的振動和一個電路的振盪等用同一個微分方程來描述。撇開具體的物理現象中的意義來研究這一公式，所得的結果又可用於類似的物理現象中，這樣，我們掌握了一種方法就能解決許多類似的問題。對於不同性質的現象具有相同的數學形式，就是相同的數量關系，是反映了物質世界的統一性，因為量的關系不只是存在於某一種特定的物質形態或者它的特定的運動形式中，而是普遍存在於各種物質形態和各種運動形式中，所以數學的應用是很廣泛的。
正因為數學來自現實世界，正確地反映了客觀世界聯系形式的一部分，所以它才能被應用，才能指導實踐，才表現出數學的預見性。比如，在火箭、導彈發射之前，可以通過精密的計算，預測它的飛行軌道和著陸地點；在天體中的未知行星未被直接觀察到以前，就從天文計算上預測它的存在。同樣的道理也才使得數學成為工程技術中的重要工具。
下面舉幾個應用數學的光輝例子。
第一，海王星的發現。太陽系中的行星之一的海王星是在1846年在數學計算的基礎上發現的。1781年發現了天王星以後，觀察它的運行軌道總是和預測的結果有相當程度的差異，是萬有引力定律不正確呢，還是有其他的原因?有人懷疑在它周圍有另一顆行星存在，影響了它的運行軌道。1844年英國的亞當斯(1819—1892)利用引力定律和對天王星的觀察資料，推算這顆未知行星的軌道，花了很長的時間計算出這顆未知行星的位置，以及它出現在天空中的方位。亞當斯於1845年9～10月把結果分別寄給了劍橋大學天文台台長查理士和英國格林尼治天文台台長艾里，但是查理士和艾里迷信權威，把它束之高閣，不予理睬。
1845年，法國一個年輕的天文學家、數學家勒維烈(1811—1877)經過一年多的計算，於1846年9月寫了一封信給德國柏林天文台助理員加勒(1812—1910)，信中說：「請你把望遠鏡對准黃道上的寶瓶星座，就是經度326°的地方，那時你將在那個地方1°之內，見到一顆九等亮度的星。」加勒按勒維烈所指出的方位進行觀察，果然在離所指出的位置相差不到1°的地方找到了一顆在星圖上沒有的星——海王星。海王星的發現不僅是力學和天文學特別是哥白尼日心學說的偉大勝利，而且也是數學計算的偉大勝利。
第二，穀神星的發現。1801年元旦，義大利天文學家皮亞齊(1746—1826)發現了一顆新的小行星——穀神星。不過它很快又躲藏起來，皮亞齊只記下了這顆小行星是沿著9°的弧運動的，對於它的整個軌道，皮亞齊和其他天文學家都沒有辦法求得。德國的24歲的高斯根據觀察的結果進行了計算，求得了這顆小行星的軌道。天文學家們在這一年的12月7日在高斯預先指出的方位又重新發現了穀神星。
第三，電磁波的發現。英國物理學家麥克斯韋(1831—1879)概括了由實驗建立起來的電磁現象，呈現為二階微分方程的形式。他用純數學的觀點，從這些方程推導出存在著電磁波，這種波以光速傳播著。根據這一點，他提出了光的電磁理論，這理論後來被全面發展和論證了。麥克斯韋的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波，比如由振動放電所發射的電磁波。這樣的電磁波後來果然被德國物理學家赫茲(1857—1894)發現了。這就是現代無線電技術的起源。
第四，1930年，英國理論物理學家狄拉克(1902—1984)利用數學演繹法和計算預言了正電子的存在。1932年，美國物理學家安德遜在宇宙射線實驗中發現了正電子。類似的例子不勝枚舉。總之，在天體力學中，在聲學中，在流體力學中，在材料力學中，在光學中，在電磁學中，在工程科學中，數學都作出了異常准確的預言。

7. 淺談幾種常見的數學思想方法

摘要：數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓。文章主要介紹四種常見的數學思想方法：函數與方程思想、分類與整合的思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想。在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生數學素養。

1對數學思想方法的認識

在數學教學和數學教育領域，數學知識、數學方法、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系，共同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料；數學方法是解決問題的手段和途徑，是數學思想發展的前提；數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容（概念、命題、定理）和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和想法，是數學方法的靈魂，是解決問題的指導思想，對數學活動具有指導意義。數學思想和數學方法是緊密聯系的，數學思想方法通常從「數學思想」和「數學方法」兩個角度進行闡述。

數學中常用的數學思想方法，概括起來可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分析與綜合、分類討論、類比、化歸、歸納與演繹思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如集合與對應、數學建模、數形結合、函數與方程、極限、概率統計的思想方法等。

2教學中主要的數學思想方法

數學思想方法的學習和領悟能幫助學生構建知識體系，使學生所學的知識不再是零散的知識點，能提高學生數學思維能力，提高學習效果。因此，在教學過程中必須重視數學思想方法的教學。

數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓，它支撐和統率著數學知識。教師在講授概念、性質、定理的過程中應不斷滲透與之相關的數學思想方法，讓學生在掌握知識的`同時，又能領悟到數學思想，從而提升學生思維能力。在教學過程中，要引導學生主動參與結論的探索、發現及推導過程，搞清知識點間的聯系及其因果關系，讓學生親身體驗蘊含在知識中的數學思想和方法。

2.1 分類與整合的思想分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異點，然後根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個重要的數學方法，又一個重要的數學思想，在解題時，它能避免思維的片面性，保證不遺不漏。

整合就是考慮數學問題時把注意力和重點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從整體上認識問題的實質，把中間相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法。

解題時，我們常常遇到這種情況，解到某一步時，被研究的問題包含了多種情況，我們不能再按照統一標准進行下去，這就需要把條件所給出的總區域劃分成若干個子區域，然後分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題後，再把它們整合在一起，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分後合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質屬性。

這就需要我們在學習中認識到以下幾點：什麼樣的問題需要分類研究；為什麼要分類；如何分類；分類後如何研究與最後如何整合等。例如：等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數函數的單調性就分為a>1，0 2.2 數形結合的思想數學研究的對象是數量關系和空間形式，即「數」與「形」兩個方面。「數」與「形」之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究，這種解決數學問題過程中「數」與「形」相互轉化的思維策略，即是數形結合的思想。

數形結合的思想，既是一個重要的數學思想，也是一種常用的數學方法，為解決問題提供了方便，是解決問題的一個捷徑。數形結合思想一方面，能使數量關系的抽象概念和解析式通過圖形變得直觀形象；另一方面，能使一些圖形的屬性通過對數量關系的研究，更精準、更深刻地得出圖形的性質。這種「數」與「形」的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大拓寬我們的解題思路。華羅庚先生曾作過精闢的論述：「數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫離」。它的運用，往往展現出「柳暗花明又一村」般的數形和諧完美結合的境地。

數形結合在數學解題時應用也比較廣泛。例如：不連續函數討論增減性問題，函數求最值問題；根的分布問題及數形結合在不等式中、在數列中、在解析幾何中的應用等。這些都是數形結合的思想方法的體現。

2.3 化歸與轉化的思想化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想方法。化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。

化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，大部分數學問題的解決都是通過轉化實現的。從某種意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。要想熟練運用化歸與轉化思想，就要積極主動地去挖掘問題之間的聯系，要有豐富的聯想、機敏細微的觀察，要熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法。在學習中我們要對公式、定理、法則有深刻理解，並對典型例題和習題進行總結和提煉。人們常說：「抓基礎，重轉化」是學好數學的金鑰匙，學習中一定要用好這把金鑰匙。運用化歸與轉化思想的例子比比皆是，如：未知向已知的轉化，復雜問題向簡單問題的轉化，新知識向舊知識的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，命題之間的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，函數與方程的轉化等都是轉化思想的體現。

2.4 函數與方程的思想函數的思想是用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數量關系，通過函數形式把這種數量關系刻劃出來並加以研究，從而解決問題的方法。

方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略。

函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，，是對知識在更高層次上的抽象、概括與提煉，是研究變數與函數之間的內在聯系，並從函數與方程各部分的內在聯系出發來考慮問題，研究問題和解決問題的數學思想。

著名數學家克萊因說：「一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變數和函數來思考」。一個學生僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動地去思考一些問題。

在解題時，要學會思考這些問題：①是不是需要把字母看作變數？②是不是需要把代數式看作函數？如果是函數它具有哪些性質？③是不是需要構造一個函數，把表面上不是函數的問題化歸為函數問題？④能否把一個等式轉化為一個方程？等等。我們常見的運用函數思想的例子有：數列問題藉助於函數思想，用函數方法來解決；遇到變數時構造函數關系式來解題；有關的最大、最值問題，可利用函數觀點加以分析；實際應用問題，轉化成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數相關性質來解決等。

參考文獻：

[1]錢佩玲.數學思想方法與中學數學（第2版）.北京師范大學出版社，2008.

[2]張順燕.數學的思想、方法和應用.北京大學出版社，2009.

8. 數學四大思想八大方法是什麼

數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為數學思想方法。數學四大思想八大方法是代數思想、數形結合、轉化思想、對應思想方法、假設思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、極限思想方法。

數學思想方法

數形結合是一個數學思想方法，包含以形助數和以數輔形兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形，或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質。

或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。

9. 四大數學思想是什麼

1、數形結合思想
數形結合思想，其「數」與「形」結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合. 應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決. 運用這一數學思想，要熟練掌握一 些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特徵.

應用數形結合的思想，應注意以下數與形的轉化：（1）集合的運算及韋恩圖；（2）函數及其圖像；（3）數列通項及求和公式的函數特徵及函數圖像；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線。
以形助數常用的有：藉助數軸；藉助函數圖像；藉助單位圓；藉助數式的結構特徵；藉助於解析幾何方法. 以數助形常用的有：藉助於幾何軌跡所遵循的數量關系；藉助於運算結果與幾何定理的結合.

2、分類討論思想

分類討論思想就是根據所研究對象的性質差異，分各種不同的情況予以分析解決. 分類討論題覆蓋知識點較多，利於考查學生的知識面、分類思想和技巧；同時方式多樣，具有較高的邏輯性及很強的綜 合性，樹立分類討論思想，應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到「確定對象的全體，明確分類的 標准，分層別類不重復、不遺漏的分析討論」.

應用分類討論思想方法解決數學問題的關鍵是如何正確分類，即正確選擇一個分類標准，確保分類的科學，既不重復，又不遺漏. 如何實施正確分類，解題時需要我們首先明確討論對象和需要分類的全體，然後確定分 類標准與分類方法，再逐項進行討論，最後進行歸納小結.

常見的分類情形有：按數分類；按字母的取值范圍分類；按事件的可能情況分類；按圖形的位置特徵分類等. 分類討論思想方法依據一定的標准，對問題分類、求解，要特別注意 分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.

3、函數與方程思想

函數與方程思想是最重要的一種數學思想，綜合知識多、題型多、應 用技巧多. 函數思想簡單，即將所研究的問題藉助建立函數關系式亦或構造中間函數，結合初等函數的圖像與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數量關系運用數學語言轉化為方程模型加以解決. 運用函數與方程的思想時，要注意函數，方程與不等式之間的相互聯系和轉化，應做到：（1）深刻理解函數 f(x)的性質（單調性、奇偶性、周期性、最值和圖像變換），熟練掌握基本初等函數的 性質，這是應用函數思想解題的基礎.（2）掌握二次函數基本性質，二次方程實根分布條件，二次不等式的轉化。
4、轉化與化歸思想

化歸與轉化的思想，就是在研究和解決數學問題時採用某種方式，藉助某種函數性質、圖像、公式或已知條件將，問題通過變換加以轉化，進而達到解決問題的思想.

轉化是將數學命題由一種形式向另一種形式的變換過程，化歸是把待解決的問題通過某種轉化過程歸結為一類已經解決或比較容易解決的問題. 轉化與化歸思想是中學數學最基本的思想方法，堪稱數學思想的精髓，它滲透到了數學教學內容的各個領域和解 題過程的各個環節中. 轉化有等價轉化與不等價轉化. 等價轉化後的新問題與原問題實質是一樣的. 不等價轉 化則部分地改變了原對象的實質，需對所得結論進行必要的修正. 應用轉化與化歸思想解題的原則應是化難為易、化生為熟、化繁為簡，盡量是等價轉化.

常見的轉化有： 正與反的轉化、數與形的轉化、相等與不等的轉化、整體與局部的轉化、空間與平面相互轉化、復數與實數相互轉化、常量與變數的轉化、數學語言的轉化.