如何求正態分布的數學期望

1. 正態分布的期望是什麼

正態分布的期望是：Eξ。

正態分布的期望用數學符號表示ξ，所以正態分布的期望的公式是：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn，而方差用數學符號表示s，所以正態分布的方差的公式是：s=1/n[(x1-x)+(x2-x)+……+(xn-x)]，另外x上有「-」。

正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鍾形，因此人們又經常稱之為鍾形曲線。

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

方差：

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數為樣本方差；樣本方差的算術平方根為樣本標准差。樣本方差和樣本標准差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標准差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標准差為測算離散趨勢最重要、最常用的指標，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標准差為方差的算術平方根，用S表示。

2. 求正態分布的數學期望和方差的推導過程

不用二重積分的，可以有簡單的辦法的。
設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其實就是均值是u，方差是t^2，網路不太好打公式，你將就看一下。
於是:
∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t。。。。。。(*)
積分區域是從負無窮到正無窮，下面出現的積分也都是這個區域，所以略去不寫了。
(1)求均值
對(*)式兩邊對u求導:
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得:
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆開，再移項:
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是
∫x*f(x)dx=u*1=u
這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。
(2)方差
過程和求均值是差不多的，我就稍微略寫一點了。
對(*)式兩邊對t求導:
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移項:
∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是
∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好湊出了方差的定義式，從而結論得證。

3. 正態分布的期望值和方差是什麼

在概率論和統計學中，數學期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）為試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。它反映隨機變數平均取值的大小。

(3)如何求正態分布的數學期望擴展閱讀

當數據分布比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分布比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小。

樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數為樣本方差；樣本方差的算術平方根為樣本標准差。樣本方差和樣本標准差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標准差越大，樣本數據的波動就越大。

方差和標准差為測算離散趨勢最重要、最常用的指標，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標准差為方差的算術平方根，用S表示。

4. 正態分布期望如何算

這個計算有些麻煩的，不過只要熟悉了反常積分的解題技巧巧妙地構造二重積分(或用我們熟知的貝塔函數)就很容易解出來了

要計算正態分布的期望就要遇到解決積分：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx
由函數的奇偶性知：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx
記A=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx，
我們先來計算：A^2=∫[(0，+∞)，e^(-x^2)]dx∫[(0，+∞)，e^(-y^2)]dy
=∫[(0，+∞)]dx∫[(0，+∞)，e^(-x^2-y^2)dy
作變數替換：x=rcosθ，y=rsinθ，在上式可化為
A^2=∫[(0，π/2)]dθ∫[(0,+∞)，re^(-r^2)]dr=π/4
那麼A=(√π)/2
所以：∫[(-∞，+∞)，e^(-x^2)]dx=2A==√π

那麼：E(X)=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，xe^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
=1/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，(x-µ)e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
+ µ/[σ√（2π）]∫[(-∞，+∞)，e^{[-(x-µ)^2)]/(2σ^2)}dx
第一個積分算得0，第二個積分根據上面的結論得 µ，
所以E(X)= µ

還可以用根據第一類歐拉積分與第二類歐拉積分的關系來求解

5. 請問概率論中正態分布的數學期望如何求出其中有一步不太懂。。。希望大神指點

標准正態分布期望不是0嘛→_→
首先被積函數是個奇函數，積分區間又是對稱的，所以應該是0而不是其他的

6. 正態分布的期望和方差怎麼求

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2。

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

積分區域是從負無窮到正無窮，下面出現的積分也都是這個區域。

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是

∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

(2)方差

過程和求均值是差不多的，我就稍微略寫一點了。

對(*)式兩邊對t求導：

∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：

∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是

∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

正好湊出了方差的定義式，從而結論得證。

(6)如何求正態分布的數學期望擴展閱讀：

若隨機變數X服從一個數學期望為μ、方差為σ^2的正態分布，記為N(μ，σ^2)。其概率密度函數為正態分布的期望值μ決定了其位置，其標准差σ決定了分布的幅度。當μ = 0,σ = 1時的正態分布是標准正態分布。

在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

對於連續型隨機變數X，若其定義域為（a，b），概率密度函數為f（x），連續型隨機變數X方差計算公式：D（X）=（x-μ）^2 f（x） dx

方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標准差、方差越大，離散程度越大）

若X的取值比較集中，則方差D（X）較小，若X的取值比較分散，則方差D（X）較大。

因此，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。

7. 正態分布的期望和方差公式是什麼

在概率論和統計學中，數學期望(mean)（或均值，亦簡稱期望）為試驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。它反映隨機變數平均取值的大小。

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2。

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t（*）

(7)如何求正態分布的數學期望擴展閱讀：

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）

μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分布。多元正態分布有很好的性質，例如，多元正態分布的邊緣分布仍為正態分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分布，特別它的線性組合為一元正態分布。

8. 正態分布的數學期望推導過程！希望拍照啊！

設正態分布概率密度函數是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]

其實就是均值是u，方差是t^2

於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）

（1）求均值

對（*）式兩邊對u求導：

∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0

約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：

∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0

把(u-x)拆開，再移項：

∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx

也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u

這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。

（2）方差

對(*)式兩邊對t求導：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π

移項：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2

也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2

(8)如何求正態分布的數學期望擴展閱讀：

由於一般的正態總體其圖像不一定關於y軸對稱，對於任一正態總體，其取值小於x的概率。只要會用它求正態總體在某個特定區間的概率即可。

為了便於描述和應用，常將正態變數作數據轉換。將一般正態分布轉化成標准正態分布。

服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。（標准正態分布表：標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X（當前值）范圍內的面積比例。）