數學如何證明函數單調性

A. 如何證明函數的單調性

用導數的正負來說明函數在一區間內的單調增或減，或通過函數單調性定義進行證明。設定義域內任意x1
x2滿足x1<x2，通過不等式證明（可能要用到放縮的方法），推出f(x1)<f(x2)，則函數為增函數，反之，為減函數。

B. 怎麼證明函數單調性

在高等數學中，證明函數的單調性一般利用一階導數的符號，如果一階導數大於零，函數單增，如果一階導數小於點，函數單減。

C. 如何證明函數的單調性

根據定義來證明，
在（-∞，0）任取x1和x2,並設x1<x2
f(x1)=x1^2+1,f(x2)=x2^2+1
f(x1)-f(x2)=x1^2-x2^2
=(x1-x2)(x1+x2)
因為x1<x2<0
所以x1+x2<0
x1-x2<0
所以(x1-x2)(x1+x2)>0
所以f(x1)<f(x2)
即在（-∞，0）上，函數值隨x的增大而減小，所以函數在（-∞，0）上單調遞減。
當然也可以用導數證明。不過我猜你還沒學？那就用定義。定義法證明常常作差或做商比較大小，再根據單調性定義判斷

D. 利用定義判斷或證明函數單調性的步驟。

利用定義判斷函數單調性的方法，步驟如下：

1、在區間D上，任取x₁，x₂，令x₁<x₂；

2、作差求：f(x₁)-f(x₂);

3、對f(x₁)-f(x₂)的結果進行變形處理；

4、確定f(x₁)-f(x₂)符號的正負；

5、下結論，根據「同增異減」原則，指出函數在區間上的單調性。

(4)數學如何證明函數單調性擴展閱讀：

其他判斷方法有：

1、等價定義法

設函數f(x)的定義域為D，在定義域內任取x₁，x₂,且x₁不等於x₂，若[f(x₁)-f(x₂)]/(x₁-x₂)>0,則函數單調遞增；若有 <0，則函數單調遞減，以上是函數單調性的第二定義。

2、求導法

導數與函數單調性密切相關。它是研究函數的另一種方法，為其開辟了許多新途徑。特別是對於具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易於掌握，利用導數求解函數單調性，要求熟練掌握基本求導公式。

如果函數y=f(x)在區間D內可導(可微)，若x∈D時恆有f'(x)>0，則函數y=f(x)在區間D內單調增加；反之，若x∈D時，f'(x)<0,則稱函數y=f(x)在區間D內單調減少。

參考資料來源：網路-單調性

E. 證明函數的單調性

1.
對於單調性的定義的理解，要注意以下三點：
（1）函數的單調性是對於函數定義域內的某個子集而言的，一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性。
（2）單調性是函數在某一區間上的「整體」性質，因此定義中的
有兩個特徵：一是同屬一個單調區間；二是任意性，證明單調性時不能隨意以兩個特殊值替換；三是有大小，通常規定
。三者缺一不可。
（3）由於定義都是充要性命題，因此由
是增（減）函數且
可推出
（
），這說明單調性使得自變數間的不等關系和函數值之間的不等關系可以「互逆互推」。
2.
證明函數單調性的步驟：
①取值：即設x
1
,x
2
是指定區間內的任意兩個值，且
，則
；
②作差變形：即作差
，並通過因式分解、配方、有理化、通分等方法將差式向有利於判斷差的符號的方向變形；
③確定符號：確定差
的符號。若符號不確定，要分區域討論。
④判斷：根據定義作出結論。
3.
函數的單調性是函數的一個重要性質，注意增函數、減函數定義的如下兩種等價形式：

設
I，（1）
在I上是增函數；
在I上是減函數；
（2）
在I上是增函數；
在I上是減函數。