初四數學概率怎麼講

A. 概率的定義是什麼，求解

概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的度量。表示一個事件發生的可能性大小的數，叫做該事件的概率。它是隨機事件出現的可能性的量度，同時也是概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發生該事件，而是指此事件發生的頻率接近於1/n這個數值。
1、概率的嚴格定義

設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(·)是一個集合函數，P(·)要滿足下列條件：
（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0;
（2）規范性：對於必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
隨機事件的發生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發生的可能性還是有大小之別的，是可以度量的。實際上在生活、生產和經濟活動中，人們常關心一個隨機事件發生的可能性大小。
例如：
（1）拋一枚均勻的硬幣，出現正面與方面的可能性各為1/2。
（2）購買彩票的中獎機會有多少呢？
上述正面出現的機會，以及彩票中獎的機會或者命中率都是用來度量隨機事件發生可能性大小。一個隨機事件A發生可能性的大小稱為這個事件的概率，並用P（A）表示。
概率是一個介於0到1之間的數。概率越大，事件發生可能性就越大；概率越小，事件發生的可能性也就就越小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:
P(Φ)=0，p（Ω）=1
2、 概率的古典定義
如果一個試驗滿足兩條：
（1）試驗只有有限個基本結果
（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。
這樣的試驗，成為古典試驗。
對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為：
P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。
3、概率的統計定義
在一定條件下，重復做n次試驗，nA為n次試驗中事件A發生的次數，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近，則數值p稱為事件A在該條件下發生的概率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統計定義。
在歷史上，第一個對「當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其概率p上」這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最重要的學者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，公元1654年～1705年）。
從概率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標。
由於頻率nA/n總是介於0和1之間，從概率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。

B. 概率計算公式

12粒圍棋子從中任取3粒的總數是C(12,3)

取到3粒的都是白子的情況是C(8,3)

∴概率
C(8,3)
P=——————=14/55
C(12,3)

附：排列、組合公式

排列：從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一排，叫做從n個不同的元素中取m個元素的排列。
排列數：從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記為Anm
排列公式：A(n,m)=n*(n-1)*.....(n-m+1)
A(n,m)=n!/(n-m)!
組合：從n個不同的元素中，任取m(m≤n)個元素並成一組，叫做從n個不同的元素中取m個元素的組合。
組合數：從n個不同的元素中取m(m≤n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記為Cnm
組合公式：C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!*(n-m)!)
C(n,m)=C(n,n-m)

C. 初中數學中的概率怎麼計算

您好。P(A)=A所含樣本點數/總體所含樣本點數。實用中經常採用「排列組合」的方法計算。

D. 什麼是概率怎麼求

概率=發生次數/總次數
概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的度量。表示一個事件發生的可能性大小的數，叫做該事件的概率。它是隨機事件出現的可能性的量度，同時也是概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發生該事件，而是指此事件發生的頻率接近於1/n這個數值。
定義概率的頻率定義隨著人們遇到問題的復雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特別是對於同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產生了種種悖論。另一方面，隨著經驗的積累，人們逐漸認識到，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴謹的。A.H.柯爾莫哥洛夫於1933年給出了概率的公理化定義。概率的嚴格定義設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(·)是一個集合函數，P(·)要滿足下列條件：（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0; （2）規范性：對於必然事件S，有P(S)=1; （3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+…… 隨機事件的發生與否是帶有偶然性的，但是隨機事件發生的可能性還是有大小之別的，是可以度量的。實際上在生活、生產和經濟活動中，人們常關心一個隨機事件發生的可能性大小。例如：（1）拋一枚均勻的硬幣，出現正面與方面的可能性各為1/2。（2）購買彩票的中獎機會有多少呢？上述正面出現的機會，以及彩票中獎的機會或者命中率都是用來度量隨機事件發生可能性大小。一個隨機事件A發生可能性的大小稱為這個事件的概率，並用P（A）表示。概率是一個介於0到1之間的數。概率越大，事件發生可能性就越大；概率越小，事件發生的可能性也就就越小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即: P(Φ)=0，p（Ω）=1 概率的古典定義如果一個試驗滿足兩條：（1）試驗只有有限個基本結果（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。這樣的試驗，成為古典試驗。對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為： P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。概率的統計定義在一定條件下，重復做n次試驗，nA為n次試驗中事件A發生的次數，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近，則數值p稱為事件A在該條件下發生的概率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統計定義。在歷史上，第一個對「當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其概率p上」這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最重要的學者雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，公元1654年～1705年）。從概率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標。由於頻率nA/n總是介於0和1之間，從概率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。 Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。編輯本段歷史第一個系統地推算概率的人是16世紀的卡爾達諾。記載在他的著作《Liber de Ludo Aleae》中。書中關於概率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。 Cardano的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如：《誰，在什麼時候，應該賭博？》、《為什麼亞里斯多德譴責賭博？》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢？》等。然而，首次提出系統研究概率的是在帕斯卡和費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的，他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家，路易十四宮廷的顯要，也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個：擲骰子問題和比賽獎金應分配問題。編輯本段兩大類別古典概率相關古典概率討論的對象局限於隨機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形，即基本空間由有限個元素或基本事件組成，其個數記為n，每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發生的概率為p（A）=m/n，也就是事件A發生的概率等於事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數，這是P.-S.拉普拉斯的古典概率定義，或稱之為概率的古典定義。歷史上古典概率是由研究諸如擲骰子一類賭博游戲中的問題引起的。計算古典概率，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數清一個事件所含的基本事件個數相除，即藉助組合計算可以簡化計算過程。幾何概率相關幾何概率若隨機試驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發生是等可能的，這時就不能使用古典概率，於是產生了幾何概率。幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率，布豐投針問題是應用幾何概率的一個典型例子。在概率論發展的早期，人們就注意到古典概率僅考慮試驗結果只有有限個的情況是不夠的，還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示，其試驗結果具有所謂「均勻分布」的性質，關於「均勻分布」的精確定義類似於古典概率中「等可能」只一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。並且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質，如度量的非負性、可加性等。 ◆幾何概率的嚴格定義 設某一事件A（也是S中的某一區域），S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發生的概率，考慮到「均勻分布」性，事件A發生的概率取為：P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計算的概率稱為幾何概率。 ◆若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。編輯本段獨立試驗序列假如一串試驗具備下列三條：（1）每一次試驗只有兩個結果，一個記為「成功」，一個記為「失敗」，P{成功}=p，P{失敗}=1-p=q （2）成功的概率p在每次試驗中保持不變（3）試驗與試驗之間是相互獨立的。則這一串試驗稱為獨立試驗序列，也稱為bernoulli概型。編輯本段必然事件與不可能事件在一個特定的隨機試驗中，稱每一可能出現的結果為一個基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機事件（簡稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續擲兩次骰子的隨機試驗中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現的點數，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點（Z，Y）表示一個基本事件，因而基本空間包含36個元素。「點數之和為2」是一事件，它是由一個基本事件（1，1）組成，可用集合{（1，1）}表示，「點數之和為4」也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3個基本事件組成，可用集合{（1，3），(3，1)，（2，2)}表示。如果把「點數之和為1」也看成事件，則它是一個不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。在試驗中此事件不可能發生。如果把「點數之和小於40」看成一事件，它包含所有基本事件，在試驗中此事件一定發生，所以稱為必然事件。若A是一事件，則「事件A不發生」也是一個事件，稱為事件A的對立事件。實際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關系等進行研究 舉個例子：小明要在4個抽屜中放入5個球，其中有一個抽屜會有2個球，這就是必然事件再舉個例子：小明要在5個抽屜中放入3個球，如果說其中每個抽屜都有球，那麼，這就是不可能事件【隨機事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，對立事件】 在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。一次實驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個，即此實驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼這種事件就叫做等可能事件。不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。即P（必然事件）=1 P（可能事件）=(0-1)（可以用分數） P（不可能事件）=0 編輯本段性質性質1．P(Φ)=0. 性質2（有限可加性）．當n個事件A1，…，An兩兩互不相容時：P(A1∪。。.∪An)=P(A1)+...+P(An)．性質3．對於任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．性質4．當事件A,B滿足A包含於B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．性質5．對於任意一個事件A，P(A)≤1．性質6．對任意兩個事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．性質7（加法公式）．對任意兩個事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)．（註：A後的數字1，2，．．．，n都表示下標．）編輯本段頻率與概率對事件發生可能性大小的量化引入「概率」． 「統計規律性」 獨立重復試驗總次數n,事件A發生的頻數μ，事件A發生的頻率Fn(A)=μ/n,A的頻率Fn(A)有沒有穩定值？如前人做過的擲硬幣的試驗(P.44下面表) 如果有就稱頻率μn的穩定值p為事件A發生的概率記作P(A)=p[概率的統計定義] P(A)是客觀的，而Fn(A)是依賴經驗的。統計中有時也用n很大的時候的Fn(A)值當概率的近似值。編輯本段三個基本屬性 1．[非負性]：任何事件A，P(A)≥0 2．[完備性]：P(Ω)=1 3．[加法法則]如事件A與B不相容，即如果AB=φ，則P(A+B)=P(A)+P(B) 編輯本段加法法則如事件A與B不相容，A+B發生的時候，A與B兩者之中必定而且只能發生其中之一。獨立重復地做n次實驗，如記事件A發生的頻數為μA、頻率為Fn(A) ，記事件B發生的頻數為μB 、頻率為Fn(B) ，事件A+B發生的頻數為μA+B 、頻率為Fn(A+B) ，易知：μA+B =μA +μB，∴Fn(A+B) = Fn(A) + Fn(B) ,它們的穩定值也應有：P(A+B)=P(A)+P(B)[加法法則]如事件A與B不相容，即如果AB=φ，則 P(A+B)=P(A)+P(B)即：兩個互斥事件的和的概率等於它們的概率之和。請想一下：如A與B不是不相容，即相容的時候呢？進一步的研究得： P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)這被人稱為：「多退少補」！編輯本段模糊和概率 1.是否不確定性就是隨機性？似然比、概率是否代表了所有的不確定性？ Bayesian camp：概率是一種主觀的先驗知識，不是一種頻率和客觀測量值 Lindley：概率是對不確定性唯一有效並充分的描述，所有其他方法都是不充分的相似：通過單位間隔[0,1]間的數來表述不確定性，都兼有集合、相關、聯系、分布方面的命題區別：對待。經典集合論，代表概率上不可能的事件。而模糊建立在（1）是否總是成立的？考慮能否邏輯上或部分地違背「無矛盾定理」（Aristotle的三個『思考定理』之一，同時排中定理同一性定理這些都是非黑即白的經典定理。）模糊（矛盾）的產生，就是西方邏輯的結束（2）是否可以推導條件概率運算元？經典集合論中：模糊理論：考慮超集是其子集的子集性程度，這是模糊集合的特有問題。 2.模糊和概率：是否與多少模糊是事件發生的程度。隨機是事件是否發生的不確定性。例子：明天有20%的幾率下小雨（包含復合的不確定性）停車位問題一個蘋果在冰箱里的概率和半個蘋果在冰箱里事件倒轉，地球演變恢復原點模糊是一種確定的不定性（deterministic uncertainty），是物理現象的特性。用模糊代表不確定性的結果將是震撼的，人們需要重新審視現實模型。編輯本段概率的經濟學概念 [1]概率是表示產生某種結果的可能性。概論是一個很難形式化的概念，因為它的形成依賴於不確定事件本事的性質和人們的主觀判斷。概論的一個較為客觀的衡量來源於以往同類事件發生的頻率。在無法根據過去的經驗進行判斷時，概率的形成便取決於依據直覺進行的主觀判斷，這時，不同的人會形成不同的判斷，從而進行不同的選擇。

E. 初中數學概率公式

1、概率的加法

定理：設A、B是互不相容事件（AB=φ），則：

P（A∪B）=P（A）+P（B）

推論1：設A1、 A2、…、 An互不相容，則：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)

推論2：設A1、 A2、…、 An構成完備事件組，則：P(A1+A2+...+An)=1

推論3：

。

F. 初中數學概率知識點總結

概率是是反映隨機事件出現的可能性大小。下面是整理的一些初中概率知識點，希望能給大家帶來幫助。

概率

1.科學記數法：把一個數字寫成的形式的記數方法。

2.統計圖：形象地表示收集到的數據的圖。

3.扇形統計圖：用圓和扇形來表示總體和部分的關系，扇形大小反映部分佔總體的百分比的大小;在扇形統計圖中，每個部分佔總體的百分比等於該部分對應的扇形圓心角與360°的比。

4.條形統計圖：清楚地表示出每個項目的具體數目。

5.折線統計圖：清楚地反映事物的變化情況。

6.確定事件包括：肯定會發生的必然事件和一定不會發生的不可能事件。

7.不確定事件：可能發生也可能不發生的事件;不確定事件發生的可能性大小不同;不確定。

8.事件的概率：可用事件結果除以所以可能結果求得理論概率。

9.算數平均數：簡稱「平均數」，最常用，受極端值得影響較大

10.中位數：數據按大小排列，處於中間位置的數，計算簡單，受極端值得影響較小。

11.眾數：一組數據中出現次數最多的數據，受極端值得影響較小，跟其他數據關系不大。

對於概率類問題特別要注意以下幾點

1.注意概率、機會、頻率的共同點和不同點。

2.注意題目中隱含求概率的問題。

3.畫樹狀圖及其它方法求概率。

4.摸球模型題注意放回和不放回。

5.注意在求概率的問題中尋找替代物，常見的替代物有：球，撲克牌，骰子等。

概率的公式

1.概率的加法

定理：設A、B是互不相容事件(AB=φ)，則：P(A∪B)=P(A)+P(B)。

推論1：設A1、A2、…、An互不相容，則：P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An。

推論2：設A1、A2、…、An構成完備事件組，則：P(A1+A2+...+An)=1。

推論3：P(A)+1-P(A),A為事件A的對立事件。

推論4：若B包含A，則P(B-A)=P(B)-P(A)。

推論5(廣義加法公式)：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。

2.乘法公式

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B);

推廣：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)。

G. 初中概率怎麼算

概率是初中數學的常考知識點，考題難度不大，但總有一部分同學因為粗心、因為混淆概念等等的小錯誤就丟了分數。所以下面我整理了相關內容，供大家參考。

初中數學概率公式

1、概率的加法

定理：設A、B是互不相容事件（AB=φ），則：P（A∪B）=P（A）+P（B）。

推論1：設A1、 A2、…、 An互不相容，則：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An。

推論2：設A1、 A2、…、 An構成完備事件組，則：P(A1+A2+...+An)=1。

推論3： P（A）+1-P（A）,A為事件A的對立事件。

推論4：若B包含A，則P(B－A)= P(B)－P(A)。

推論5（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)。

2、乘法公式

P(AB)=P(A)×P(B|A)=P(B)×P(A|B)；

推廣：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)。

幾種求概率的方法

一、列表法求概率

1、列表法

用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的應用場合

當一次試驗要設計兩個因素， 並且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用列表法。

二、樹狀圖法求概率

1、樹狀圖法

就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。

2、運用樹狀圖法求概率的條件

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果 ，通常採用樹狀圖法求概率。

三、利用頻率估計概率

1、利用頻率估計概率

在同樣條件下，做大量的重復試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以估計這個事件發生的概率。

2、在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中復雜的試驗來完成概率估計，這樣的試驗稱為模擬實驗。

3、隨機數

在隨機事件中，需要用大量重復試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的數據稱為隨機數。

H. 初中數學，概率；

（1）第2次拿到紅球即「第1次拿到白球，且第2次拿到紅球」，概率為 2/3x1/2=1/3
（2）演算法一：1-P（兩次拿到白球）=1-2/3x1/2=2/3
演算法二：P（拿到紅球）=P（第1次拿到紅球，第2次拿到白球）+P（第1次拿到白球，且第2次拿到紅球）=2/3x1/2+2/3x1/2=2/3
綜上，第2次拿到紅球的概率是1/3，能拿到紅球的概率是2/3.
求採納，謝謝！

I. 初中數學幾種求概率的方法，可以收藏

一、列表法求概率：列表法的應用場合：當一次試驗要設計兩個因素， 並且可能出現的結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用列表法。

二、樹狀圖法求概率：運用樹狀圖法求概率的條件，當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果 ，通常採用樹狀圖法求概率。

概率是度量偶然事件發生可能性的數值。

假如經過多次重復試驗(用X代表)，偶然事件(用A代表)出現了若干次(用Y代表)。以X作分母，Y作分子，形成了數值(用P代表)。在多次試驗中，P相對穩定在某一數值上，P就稱為A出現的概率。如偶然事件的概率是通過長期觀察或大量重復試驗來確定，則這種概率為統計概率或經驗概率。

J. 初中數學統計，概率，數據整理

百萬分之一概率黑白配雙胞胎【概率的定義】
隨機事件出現的可能性的量度。概率論最基本的概念之一。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。
■概率的頻率定義
隨著人們遇到問題的復雜程度的增加，等可能性逐漸暴露出它的弱點，特別是對於同一事件，可以從不同的等可能性角度算出不同的概率，從而產生了種種悖論。另一方面，隨著經驗的積累，人們逐漸認識到，在做大量重復試驗時，隨著試驗次數的增加，一個事件出現的頻率，總在一個固定數的附近擺動，顯示一定的穩定性。R.von米澤斯把這個固定數定義為該事件的概率，這就是概率的頻率定義。從理論上講，概率的頻率定義是不夠嚴謹的。A.H.柯爾莫哥洛夫於1933年給出了概率的公理化定義。
■概率的嚴格定義
設E是隨機試驗，S是它的樣本空間。對於E的每一事件A賦於一個實數，記為P(A)，稱為事件A的概率。這里P(·)是一個集合函數，P(·)要滿足下列條件：
（1）非負性：對於每一個事件A，有P(A)≥0;
（2）規范性：對於必然事件S，有P(S)=1;
（3）可列可加性：設A1，A2……是兩兩互不相容的事件，即對於i≠j，Ai∩Aj=φ，（i,j=1,2……），則有P（A1∪A2∪……）=P（A1）+P（A2）+……
■概率的古典定義
如果一個試驗滿足兩條：
（1）試驗只有有限個基本結果；
（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。
這樣的試驗，成為古典試驗。
對於古典試驗中的事件A，它的概率定義為：
P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。
■概率的統計定義
在一定條件下，重復做n次試驗，nA為n次試驗中事件A發生的次數，如果隨著n逐漸增大，頻率nA/n逐漸穩定在某一數值p附近，則數值p稱為事件A在該條件下發生的概率，記做P(A)=p。這個定義成為概率的統計定義。
在歷史上，第一個對「當試驗次數n逐漸增大，頻率nA穩定在其概率p上」這一論斷給以嚴格的意義和數學證明的是早期概率論史上最重要的學者雅各布·伯努利（Jocob Bernoulli，公元1654年～1705年）。
從概率的統計定義可以看到，數值p就是在該條件下刻畫事件A發生可能性大小的一個數量指標。
由於頻率nA/n總是介於0和1之間，從概率的統計定義可知，對任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。
Ω、Φ分別表示必然事件（在一定條件下必然發生的事件）和不可能事件（在一定條件下必然不發生的事件）。
[編輯本段]【生活中的實例】
普遍認為，人們對將要發生的機率總有一種不好的感覺，或者說不安全感，俗稱「點背」，下面列出的幾個例子可以形象描述人們有時對機率存在的錯誤的認識：
■1. 六合彩：在六合彩（49選6）中，一共有13983816種可能性（參閱組合數學），普遍認為，如果每周都買一個不相同的號，最晚可以在13983816/52（周）=268919年後獲得頭等獎。事實上這種理解是錯誤的，因為每次中獎的機率是相等的，中獎的可能性並不會因為時間的推移而變大。
■2. 生日悖論：在一個足球場上有23個人（2×11個運動員和1個裁判員），不可思議的是，在這23人當中至少有兩個人的生日是在同一天的機率要大於50％。
■3. 輪盤游戲：在游戲中玩家普遍認為，在連續出現多次紅色後，出現黑色的機率會越來越大。這種判斷也是錯誤的，即出現黑色的機率每次是相等的，因為球本身並沒有「記憶」，它不會意識到以前都發生了什麼，其機率始終是 18/37。
■4. 三門問題：在電視台舉辦的猜隱藏在門後面的汽車的游戲節目中，在參賽者的對面有三扇關閉的門，其中只有一扇門的後面有一輛汽車，其它兩扇門後是山羊。游戲規則是，參賽者先選擇一扇他認為其後面有汽車的門，但是這扇門仍保持關閉狀態，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中後面有山羊的一扇門，這時主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的機率更大一些？正確結果是，如果此時參賽者改變主意而選擇另一扇關閉著的門，他贏得汽車的機率會增加一倍。
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William wang : 2009-01-20:
對於M4.三門問題我有個愚見：
參與者的贏得汽車的機率是50%。
因為主持人無論參與者第一次從三扇門挑一扇的時候有沒有中都會開一扇後面是山羊的。並且開了之後還可以讓參賽者挑選。這樣看來，參賽者實際只需要從兩扇門挑一扇。幾率是1/2。這個中獎幾率不需考慮三扇門的時候的幾率。
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n43e120 修訂：概率三選一游戲，2009-01-12
同樣邏輯的事例：
一個監獄看守從三個罪犯中隨機選擇一個予以釋放，其他兩個將被處死。警衛知道哪個人是否會被釋放，但是不允許給罪犯任何關於其狀態的信息。讓我們分別稱為罪犯為X,Y,Z.罪犯X私下問警衛Y或Z哪個會被處死，因為他已經知道他們中至少一個人會死，警衛不能透露任何關於他本人狀態的信息。警衛告訴X,Y將被處死。X感到很高興，因為他認為他或者Z將被釋放，這意味著他被釋放的概率是1/2。他正確嗎？或者他的機會仍然是1/3?
解：
對當事人關鍵的項的概率公式是： 2/3 * 1/2 = 1/3 <!--Latex $\frac \frac = \frac$-->
說明：
2/3 是開始時，選任意一項出錯的概率都是 2/3；則選對的概率是1/3；
接下來，去除了一項；
1/2 此時對當事人進入子事件組，他做的任意選擇，對錯對開。
這里容易讓人誤以為
接下來，去除任意一項；
--與--
接下來，有意識的去除某一項；（比如說，不帶花的那一項，去除中間第二個數）
不同
接下來，有意識的去除某一項；
--與--
接下來，去除一個錯項；
不同
這些都是相互獨立的事件，
類似的
和在時間上選擇停止生育孩子的點，與生出來的性別的概率，不存在關聯。
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TANKTANK98 修正：這里的幾率是指什麼幾率？
我認為，這個問題使得很多人迷糊了，其實這里存在2個幾率：
1.整個開門事件來說，包括從一開始來說，參賽者的幾率由1/3提高到了2/3，因為有3張門，分別是參賽者選中的（有1/3）
另外2張（各1/3），後來主持人確定一個門沒有車，這樣使得剩下的2張門有車的總幾率提升到了100%，而原來這2張門的總幾率是66%，多出的33%分到了誰頭上？
2.就參賽者從剩下的2張門裡面選一個的時候，他得到車子的幾率是50%。
幾率的對象必須分清楚！是2張門選1張時候的幾率還是從頭至尾的幾率，的確會迷糊人。
毅U味盡:
..."如果此時參賽者改變主意而選擇另一扇關閉著的門，他贏得汽車的機率會增加一倍。" 這種說法。幾率永遠都是50%。
......，後驗概率會使得下一次反面的幾率大的多。
哈爾威：正如《決勝21點》的男主角所說的「我一定換，因為那是主持人送給我的概率」 事實原因就在這里選手選擇是隨機的（33%的機會為車，66%的機會為羊），但是主持人確要在他選到羊的時候（66%）一定要選擇剩餘的那隻羊！當然這種情況下換的結果只能是「車」。那麼玩家有在始終選擇換的情況下他只在自己選中車的時候（33%）才會選到羊。此時你在游戲獲得車的機會提高了一倍（33%到66%）所以聰明的你如果去參加這個游戲你會選擇換還是不換呢？我想現在你心裡已經有答案了。
後退思維者，關於三門問題：這是個有前提條件的問題，大家被嚴重的思維混淆了
1、結果：換門，贏取汽車的概率為2/3，不換門，贏取汽車的概念為1/3 （成立）
前提：同一個人玩同一個游戲3次以上，那麼每次選擇換門的話，贏取汽車的概率為2/3
2、結果：換門與不換門贏取汽車的概率均為1/2 （成立）
前提：同一個人只有一次機會玩同一個游戲，那麼在主持人確定一扇門後，他換與不換的概率就是1/2.
2/3和1/2的結果問題就是根本不是同一類別，是概率兩大類別，所謂的2/3概率是相對一個空間，在100次的機會中，你將會有2/3的機會贏取。1/2概率是在限定的情況下，發生的概率，所以是不同的。
[編輯本段]【概率的兩大類別】
■古典概率相關
古典概率討論的對象局限於隨機試驗所有可能結果為有限個等可能的情形，即基本空間由有限個元素或基本事件組成，其個數記為n，每個基本事件發生的可能性是相同的。若事件A包含m個基本事件，則定義事件A發生的概率為p（A）＝m／n，也就是事件A發生的概率等於事件A所包含的基本事件個數除以基本空間的基本事件的總個數，這是P.-S.拉普拉斯的古典概率定義，或稱之為概率的古典定義。歷史上古典概率是由研究諸如擲骰子一類賭博游戲中的問題引起的。計算古典概率，可以用窮舉法列出所有基本事件，再數清一個事件所含的基本事件個數相除，即藉助組合計算可以簡化計算過程。
■幾何概率相關
集合概率若隨機試驗中的基本事件有無窮多個，且每個基本事件發生是等可能的，這時就不能使用古典概率，於是產生了幾何概率。幾何概率的基本思想是把事件與幾何區域對應，利用幾何區域的度量來計算事件發生的概率，布豐投針問題是應用幾何概率的一個典型例子。
在概率論發展的早期，人們就注意到古典概率僅考慮試驗結果只有有限個的情況是不夠的，還必須考慮試驗結果是無限個的情況。為此可把無限個試驗結果用歐式空間的某一區域S表示，其試驗結果具有所謂「均勻分布」的性質，關於「均勻分布」的精確定義類似於古典概率中「等可能」只一概念。假設區域S以及其中任何可能出現的小區域A都是可以度量的，其度量的大小分別用μ(S)和μ(A)表示。如一維空間的長度，二維空間的面積，三維空間的體積等。並且假定這種度量具有如長度一樣的各種性質，如度量的非負性、可加性等。
◆幾何概率的嚴格定義
設某一事件A（也是S中的某一區域），S包含A，它的量度大小為μ(A)，若以P(A)表示事件A發生的概率，考慮到「均勻分布」性，事件A發生的概率取為：P(A)=μ(A)/μ(S)，這樣計算的概率稱為幾何概率。
◆若Φ是不可能事件，即Φ為Ω中的空的區域，其量度大小為0，故其概率P(Φ)=0。
[編輯本段]【獨立試驗序列】
假如一串試驗具備下列三條：
（1）每一次試驗只有兩個結果，一個記為「成功」，一個記為「失敗」，P{成功}=p，P{失敗}=1-p=q；
（2）成功的概率p在每次試驗中保持不變；
（3）試驗與試驗之間是相互獨立的。
則這一串試驗稱為獨立試驗序列，也稱為bernoulli概型。
[編輯本段]【必然事件與不可能事件】
在一個特定的隨機試驗中，稱每一可能出現的結果為一個基本事件，全體基本事件的集合稱為基本空間。隨機事件（簡稱事件）是由某些基本事件組成的，例如，在連續擲兩次骰子的隨機試驗中，用Z，Y分別表示第一次和第二次出現的點數，Z和Y可以取值1、2、3、4、5、6，每一點（Z，Y）表示一個基本事件，因而基本空間包含36個元素。「點數之和為2」是一事件，它是由一個基本事件（1，1）組成，可用集合｛（1，1）｝表示「點數之和為4」也是一事件，它由（1，3），（2，2），（3，1)3個基本事件組成，可用集合｛（1，3），(3，1)，（2，2)｝表示。如果把「點數之和為1」也看成事件，則它是一個不包含任何基本事件的事件，稱為不可能事件。在試驗中此事件不可能發生。如果把「點數之和小於40」看成一事件，它包含所有基本事件 ，在試驗中此事件一定發生，所以稱為必然事件。若A是一事件，則「事件A不發生」也是一個事件，稱為事件A的對立事件。實際生活中需要對各種各樣的事件及其相互關系、基本空間中元素所組成的各種子集及其相互關系等進行研究。
【隨機事件，基本事件，等可能事件，互斥事件，對立事件】
在一定的條件下可能發生也可能不發生的事件，叫做隨機事件。
一次實驗連同其中可能出現的每一個結果稱為一個基本事件。
通常一次實驗中的某一事件由基本事件組成。如果一次實驗中可能出現的結果有n個，即此實驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現的可能性都相等，那麼這種事件就叫做等可能事件。
不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件。
必有一個發生的互斥事件叫做對立事件。
[編輯本段]【概率的性質】
性質1．P(Φ)=0.
性質2（有限可加性）．當n個事件A1，…，An兩兩互不相容時： P(A1∪...∪An)=P(A1)+...+P(An)．
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性質3．對於任意一個事件A：P(A)=1-P(非A)．
性質4．當事件A,B滿足A包含於B時：P(B-A)=P(B)-P(A)，P(A)≤P(B)．
性質5．對於任意一個事件A，P(A)≤1．
性質6．對任意兩個事件A和B，P(B-A)=P(B)-P(AB)．
性質7（加法公式）．對任意兩個事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)-p(AB)．
（註：A後的數字1，2，．．．，n都表示下標．）