有哪些能體現數學之美的題目

A. 收集關於數學中的美的事例

數學中的美太陽雨 發表於 2006-1-25 13:25:58

古希臘數學家普洛克拉斯指出：「哪裡有數，那裡就有美。」在小學數學教學中，只要我們稍加發掘，就不難發現數學的重要特徵。

1、簡潔與靈巧的美。數學中簡潔與靈巧的美到處可見。如通行當今世界的阿拉伯數字元號，可以說是世人共識的最簡潔的文字，用這種文字寫出來的數和算式，不僅全世界的兒童都能認識，而且它的妙處還在於用10個有限的符號能表示出無限多的數。這與繪畫時利用3種原色可以繪出眾多色彩繽紛的圖畫，與作曲中憑7個音符能譜寫出各種令人心醉的樂章一樣，是多麼令人驚嘆的簡潔美！又如在學生中間傳為佳話的高斯問題：1+2+3……+98+99+100=（1+100）+（2+99）……+（50+51）=101×50=5050，更是令人為這種構思的巧妙和方法的簡捷而拍案叫絕。這樣巧妙的解題思路，無疑是一種美的享受。

2、對稱與和諧的美。在小學數學中，對稱與和諧的美比比皆是，簡單幾何圖形中的等腰三角形、正方形、圓等都是具有對稱美的直觀而淺顯的例子。對稱美不僅表現在一些運算和數表中。如平均分具有和諧勻稱的美。分數的初步認識通過對圖形的平均分這種和諧的美所引起的形象思維，來指導學生初步認識分數的。相反，任意分就會產生不和諧、不勻稱，這又從反面強化了分數的概念，使學生進一步體會到分數概念平均分的意義。

3、深刻豐富的內在美。新的課程標准指出數學作為一種普遍適用的技術，有助於人們收集、整理描述信息、建立模型，進而解決問題，直接為社會創造價值。數學不僅幫助人們更好地探求客觀世界的規律，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數學是人們在對客觀世界定性把握和刻畫的基礎上，逐步抽象概括，形成方法和理論，並進行應用的過程，這一過程充滿著探索與創造、觀察、實驗、模擬、猜測和調控等等，如今已經成為人們發展數學、應用數學的重要策略。正是由於有上述特點，構成了數學中的這種內在美。數學中的這種美，不是以色彩、線條、旋律等形象語言表現出來，而是把自然規律抽象成一些概念、法則或公式，並通過演繹而構成一幅現實世界與理想空間的完美圖像。如在分數運算中，由於倒數的建立，除法可以轉化為乘法、乘法可以轉化為除法，乘和除這一對矛盾於是達到了辯證和統一，充分體現了數學的內在美。數學中的內在美在於它的本身，更重要的是它表現了人在數學創造活動中所顯示的智慧、意志和才能。當我們看到學生在數學學習中矢志不移地追求，這不正是數學美的力量的真實寫照嗎？

B. 舉出至少兩個例子說明數學的簡潔美或和諧美或奇異美或統一美，並且說明自己的體會

個人比較喜歡 黃金分割 和 斐波那契數列 ，覺得挺神奇的 生活中好多例子都是他們
下面是點簡單介紹
斐波那契數會經常出現在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。
隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.6180339887..…
從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之[1]積少1。
如：第二項1的平方比它的前一項1和它的後一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的後一項3的積3多1。
（註：奇數項和偶數項是指項數的奇偶，而並不是指數列的數字本身的奇偶，比如從數列第二項1開始數，第4項5是奇數，但它是偶數項，如果認為5是奇數項，那就誤解題意，怎麼都說不通）因為：經計算可得：an^2-aa=(-1)^(n-1)
斐波那契數列的第n項同時也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
斐波那契數列（f(n），f(0)=0，f⑴=1，f⑵=1，f⑶=2……）的其他性質：
1.f(0)+f⑴+f⑵+…+f(n)=f(n+2)-1。
2.f⑴+f⑶+f⑸+…+f(2n-1)=f(2n）。
3.f⑵+f⑷+f⑹+…+f(2n) =f(2n+1)-1。
4.[f(0)]^2+[f⑴]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1）。
5.f(0)-f⑴+f⑵-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1。
6.f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)·f(m-1)。
利用這一點，可以用程序編出時間復雜度僅為O（log n）的程序。
怎樣實現呢？偽代碼描述一下
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1）·f(n+1）。
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2）。
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且n≥1] 斐波那契數列11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.
12.f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1)
隱藏斐波那契數列
將楊輝三角依次下降，成如圖所示排列，將同一行的數加起來，即得一數列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f⑴=C(0,0)=1。
f⑵=C(1,0)=1。
f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2。
f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3。
f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5。
f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8。
F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
斐波那契數列的整除性與素數生成性
每3個連續的數中有且只有一個被2整除，
每4個連續的數中有且只有一個被3整除，
每5個連續的數中有且只有一個被5整除，
每6個連續的數中有且只有一個被8整除，
每7個連續的數中有且只有一個被13整除，
每8個連續的數中有且只有一個被21整除，
每9個連續的數中有且只有一個被34整除，
.......
我們看到第5、7、11、13、17、23位分別是素數：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契數列的素數無限多嗎？
斐波那契數列的個位數：一個60步的循環
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契數與植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盞 和玫瑰
21………………………紫宛
34、55、89……………雛菊
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝幹上選一片葉子，記其為數0，然後依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。
編輯本段斐波那契斐波那契—盧卡斯數列
盧卡斯數列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等於前兩項之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2））。
這兩個數列還有一種特殊的聯系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)
n12345678910…
斐波那契數列F(n)11235813213455…
盧卡斯數列L(n)13471118294776123…
F(n)*L(n)138215514437798725846765…
類似的數列還有無限多個，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數列。
如1，4，5，9，14，23…，因為1，4開頭，可記作F[1，4]，斐波那契數列就是F[1，1]，盧卡斯數列就是F[1，3]，斐波那契—盧卡斯數列就是F[a，b]。
斐波那契—盧卡斯數列之間的廣泛聯系
①任意兩個或兩個以上斐波那契—盧卡斯數列之和或差仍然是斐波那契—盧卡斯數列。
如：F[1,4]n+F[1,3]n=F[2,7]n，F[1,4]n-F[1,3]n=F[0,1]n=F[1,1](n-1），
n12345678910…
F[1,4]n14591423376097157…
F[1,3]n13471118294776123…
F[1,4]n-F[1,3]n0112358132134…
F[1,4]n+F[1,3]n27916254166107173280…
②任何一個斐波那契—盧卡斯數列都可以由斐波那契數列的有限項之和獲得，如
n12345678910…
F[1,1](n)11235813213455…
F[1,1](n-1)0112358132134…
F[1,1](n-1)0112358132134…
F[1,3]n13471118294776123…
黃金特徵與孿生斐波那契—盧卡斯數列
斐波那契—盧卡斯數列的另一個共同性質：中間項的平方數與前後兩項之積的差的絕對值是一個恆值，
斐波那契數列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1
盧卡斯數列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5
F[1，4]數列：|4*4-1*5|=11
F[2，5]數列：|5*5-2*7|=11
F[2，7]數列：|7*7-2*9|=31
斐波那契數列這個值是1最小，也就是前後項之比接近黃金比例最快，我們稱為黃金特徵，黃金特徵1的數列只有斐波那契數列，是獨生數列。盧卡斯數列的黃金特徵是5，也是獨生數列。前兩項互質的獨生數列只有斐波那契數列和盧卡斯數列這兩個數列。
而F[1，4]與F[2，5]的黃金特徵都是11，是孿生數列。F[2，7]也有孿生數列：F[3，8]。其他前兩項互質的斐波那契—盧卡斯數列都是孿生數列，稱為孿生斐波那契—盧卡斯數列。
廣義斐波那契數列
斐波那契數列的黃金特徵1，還讓我們聯想到佩爾數列：1，2，5，12，29，…，也有|2*2-1*5|=|5*5-2*12|=…=1（該類數列的這種特徵值稱為勾股特徵）。
佩爾數列Pn的遞推規則：P1=1，P2=2，Pn=P(n-2)+2P(n-1).
據此類推到所有根據前兩項導出第三項的通用規則：f(n) = f(n-1) * p + f(n-2) * q，稱為廣義斐波那契數列。
當p=1，q=1時，我們得到斐波那契—盧卡斯數列。
當p=1，q=2時，我們得到佩爾—勾股弦數（跟邊長為整數的直角三角形有關的數列集合）。
當p=-1，q=2時，我們得到等差數列。其中f1=1，f2=2時，我們得到自然數列1，2，3，4…。自然數列的特徵就是每個數的平方與前後兩數之積的差為1（等差數列的這種差值稱為自然特徵）。
具有類似黃金特徵、勾股特徵、自然特徵的廣義斐波那契數列p=±1。
當f1=1，f2=2，p=2，q=1時，我們得到等比數列1，2，4，8，16……
編輯本段相關數學1.排列組合
有一段樓梯有10級台階，規定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級台階有幾種不同的走法?
這就是一個斐波那契數列：登上第一級台階有一種登法；登上兩級台階，有兩種登法；登上三級台階，有三種登法；登上四級台階，有五種登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。
類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續出現正面的可能情形有多少種？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。
2.數列中相鄰兩項的前項比後項的極限
當n趨於無窮大時，F(n)/F(n+1）的極限是多少？
這個可由它的通項公式直接得到，極限是（-1+√5)/2，這個就是黃金分割的數值，也是代表大自然的和諧的一個數字。
3.求遞推數列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式
由數學歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數列的通項式代入，化簡就得結果。
3.兔子繁殖問題（關於斐波那契數列的別名）
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數0123456789101112
幼仔對數101123581321345589
成兔對數01123581321345589144
總體對數1123581321345589144233
幼仔對數=前月成兔對數
成兔對數=前月成兔對數+前月幼仔對數
總體對數=本月成兔對數+本月幼仔對數
可以看出幼仔對數、成兔對數、總體對數都構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在<；；算盤全書>；；中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1）的性質外，還可以證明通項公式為：an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）
`````

C. 舉一兩個數學美

蝴蝶定理
蝴蝶定理是平面幾何的古典結果。

蝴蝶定理最先是作為一個徵求證明的問題。由於其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內容：圓O中的弦PQ的中點M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ於X，Y，則M為XY之中點。 出現過許多優美奇特的解法，其中最早的，應首推霍納在1815年所給出的證法。至於初等數學的證法，在國外資料中，一般都認為是由一位中學教師斯特溫首先提出的，它給予出的是面積證法，其中應用了面積公式：S=1/2 BCSINA。 這里介紹一種較為簡便的初等數學證法。 證明：過圓心O作AD與BC中垂線，垂足為S、T，連接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD,BT=1/2BC， ∴DS/BT=DM/BM又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY；又∵O，S，X，M與O，T。Y。M均是四點共圓， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ∴XM=YM

黃金分割
把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等於另一部分與這部分之比。其比值是一個無理數，取其前三位數字的近似值是0.618。由於按此比例設計的造型十分美麗，因此稱為黃金分割，也稱為中外比。這是一個十分有趣的數字，我們以0.618來近似，通過簡單的計算就可以發現：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建築等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。

讓我們首先從一個數列開始，它的前面幾個數是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..這個數列的名字叫做"菲波那契數列"，這些數被稱為"菲波那契數"。特點是即除前兩個數（數值為1）之外，每個數都是它前面兩個數之和。

菲波那契數列與黃金分割有什麼關系呢？經研究發現，相鄰兩個菲波那契數的比值是隨序號的增加而逐漸趨於黃金分割比的。即f(n)/f(n-1)-→0.618…。由於菲波那契數都是整數，兩個整數相除之商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但是當我們繼續計算出後面更大的菲波那契數時，就會發現相鄰兩數之比確實是非常接近黃金分割比的。

一個很能說明問題的例子是五角星/正五邊形。五角星是非常美麗的，我國的國旗上就有五顆，還有不少國家的國旗也用五角星，這是為什麼？因為在五角星中可以找到的所有線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的。正五邊形對角線連滿後出現的所有三角形，都是黃金分割三角形。

斐波那契數列
斐波那契是義大利的數學家.他是一個商人的兒子.兒童時代跟隨父親到了阿爾及利亞,在那裡學到了許多阿拉伯的算術和代數知識,從而對數學產生了濃厚的興趣.

長大以後,因為商業貿易關系,他走遍了許多國家,到過埃及,敘利亞,希臘,西西里和法蘭西.每到一處他都留心搜集數學知識.回國後,他把搜集到的算術和代數材料,進行研究,整理,編寫成一本書,取名為《算盤之書》,於1202年正式出版.

這本書是歐洲人從亞洲學來的算術和代數知識的整理和總結,它推動了歐洲數學的發展.其中有一道"兔子數目"的問題是這樣的:

一個人到集市上買了一對小兔子,一個月後,這對小兔子長成一對大兔子.然後這對大兔子每過一個月就可以生一對小兔子,而每對小兔子也都是經過一個月可以長成大兔子,長成大兔後也是每經過一個月就可以生一對小兔子.那麼,從此人在市場上買回那對小兔子算起,每個月後,他擁有多少對小兔子和多少對大兔子?

這是一個有趣的問題.當你將小兔子和大兔子的對數算出以後,你將發現這是一個很有規律的數列,而且這個數列與一些自然現象有關.人們為了紀念這位兔子問題的創始人,就把這個數列稱為"斐波那契數列".

你能把兔子的對數計算出來嗎?

解:可以這么推算:

第一個月後,小兔子剛長成大兔子,還不能生小兔子,所以只有一對大兔子.

第二個月後,大兔子生了一對小兔子,他有了一對小兔子和一對大兔子.

第三個月後,原先的大兔子又生了一對小兔子,上月出生的小兔子也長成了大兔子,他共有一對小兔子和兩對大兔子.

第四個月後,兩對大兔子各生一對小兔子,上月出生的小兔子又長成了大兔子,他共有兩對小兔子和三對大兔子.

第五個月後,三對大兔子各生一對小兔子,上月出生的兩對小兔子也長成了大兔子,他共有三對小兔子和五對大兔子.

……

以此類推,可知:每月的小兔子對數等於上月大兔子的對數,每月大兔子的對數等於上月大兔子與小兔子的對數之和.

我們把大小兔子的對數寫成上下兩行,從買回小兔子算起,每個月後他所擁有的兔子對數便是:

仔細觀察兩行數發現它們是很有規律的:每行數,相鄰的 三項中,前兩項的和便是第三項.

有趣的是:雛菊花花蕊的蝸形小花,有21條向右轉,有34條向左轉,而21和34,恰是斐波那契數列中相鄰的兩項;松果樹和菠蘿表面的凸起,它們的排列也分別成5:8和8:13這樣的比例,也是斐波契數列中相鄰兩項的比.

這個數列不僅在數學,生物學中,還在物理,化學中經常出現,而且它還具有很奇特的數學性質,真是令人叫絕!

D. 關於數學的美學問題

數學引起的美感其實就是幾何圖形的美與數字的美 生活中的美都來源與數學 建築需要幾何 對稱需要計算。。。。數學的簡潔與抽象美：數學的簡潔美，並不是指數學內容本身簡單，而是指數學的表達形式、數學的證明方法和數學的理論體系的結構簡潔。公式C＝2πR就是其中一例。幾何中完美的圖形——圓，內含的周長與半徑有著異常簡潔和諧的關系，一個傳奇的數"π"把它們緊緊相連。又如，數「1」，小至一個原子、粒子；大至一個太陽、一個宇宙……宇宙萬物，均可以用「1」來表示。幾何形體的各種求面積、體積公式，簡潔實用，萬無一失，只要符合有關條件，計算不出錯誤，就可以得到正確的結果。細心的人還可以找到他們之間的內在聯系。再如，許多簡便的解法，也是數學簡潔美的體現。簡單舉例：計算1

—+—+—+—+—+—+—+—+—。 面對這個計算題，若貿然用一般的通分的方法

來解決，會帶來繁雜的計算。當仔細審視這題的特點，發現 每一項的分數的分子皆是1，而分母可分別分拆成兩個相連的自然數之積，即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6× 7,7×8,8×9,9×10，於是，立即使我們聯想到，把每個分數都分拆成兩個分數之差。這樣一來，盡管計算過程中分數的項數增加了一倍，但出現正負相間的兩個相同的分數，中間的項對消了，只剩下首末兩項，從而很快 獲得結果，即

這一簡潔的解法，給人以美的享受。

（二）、數字和符號美。美好的數字：一是萬物之始，一統天下，一馬當先，何其壯美；二是偶數，雙喜臨門，比翼雙飛，多麼美好幸福；三是升的諧音，表示多數，三教九流，三生有幸，三番四次，四是全包圍結構，四平八穩，小四合院獨具特色，四通八達，四季發財；對於一個循環小數，可以採用循環節的記數法，簡潔准確的表示出來。數學學習中還涉及到許多符號，如四則運算中的"＋、－、×、÷"，比較大小的 "＜、＞、＝ " 號，還有改變運算順序的小括弧［］、中括弧[ ]、大括弧{ }等等，這些符號都講究上下左右對稱，如 果書寫時 不注意它們的對稱性，錯寫漏寫都破壞了它們之間的內在美。

（ 三）、數學中的構圖美和組合美。幾何初步知識是小學數學的一項重要內容，它包括直線、線段、射線、角、長方形、正方形、圓、平行四邊形、梯形、長方體、正方體、球的認識和畫法等，這些圖形，無論他們的簡單和復雜程度如何，都各自具有獨特的美。例如：直線表現剛勁有力，曲線表現輕快流暢，三角形寓有變化之美，等腰三角形、等腰梯形、長方形、圓等幾何形體的對稱美，正方形的平穩方正等等，教師可在教學中利用教材提供的各種圖形，引導學生在認識和掌握各種圖形的過程中，體驗他們的優美，達到美的感受。並且可以利用圖形之間的關系或者一些有趣的規律，發揮學生的想像力，讓他們用各種圖形拼組成自己喜歡的事物，體會數學的組合美。

（四）、 數學知識中的對稱美。數學知識中的對稱主要有軸對稱美，如等腰三角形、矩形；中心對稱美，如平行四邊形、圓等；形式上對稱美，如正（+）與負（-）、加法與減法、乘法與除法、正比與反比等。在教學中可以密切聯系生活實際，聯系生物體結構，如衣服、褲子、人體是軸對稱的，揭示對稱美，給學生領會對稱美的價值，通過實例加深學生對數學對稱美觀念的理解，深化思維，培養學生感受美、鑒賞美的能力。

（五）、數學方法美。自然數的個數是無限的：1、2、3、4、……奇數的個數是無限的1、3、5……人們採用「一一對應』的數學方法：神奇地發現自然數列與奇數列還有如下關系：1、2、3、4、……把一個圓形，分割成8份、16

1、3、5、7、……

份、32份，相等的近似的三角形拼擺後，圓形神奇地轉化成近似的長方形，所分的份數越多，所拼得圖形越接近於長方形。曲與直的這種轉化，在生活中可以找到它的活生生的典型」砌牆用的一塊塊方磚面是長方形，可以砌成橫斷面是圓形的煙囪；把用方磚砌成的橫斷面是圓形的煙囪拆開，又可以得到一塊塊的面是長方形的方磚。

（六）、數學思想美。數學知識中隱含有豐富的思想品德教育素材，小學數學教材中編寫了許多小故事，如"除號的由來"、"等號的由來"等；我國數學家陳景潤身居陋室，但為了攻破歌德巴赫猜想這一世界數學難題，不斷演算，通過努力終於摘取了數學皇冠上的明珠；數學家華羅庚中學時期的數學成績並不好，也沒有考取大學，但通過自己的自學，成為我國赫赫有名的數學家，並邀請到國外講學，溘然長逝在異國講壇上。數學家們高尚的思想品德，深厚的愛國熱情，非凡的智慧才能，都是教育我們學生的好素材，激發學生對數學的熱愛和追求，培養克服困難、奮發向上的精神，培養學生的遠大志向。

（七）數學知識的奇異美。奇異性是數學內涵美的又一基本內容。它是指所得的結果新穎奇特，出人意料。七巧板拼圖是小學數學課常採用的內容。用七塊板可以拼成一個最簡單的正方形，也可以拼出千變萬化的復雜圖案：如人形、鳥獸、花草、房屋等。通過七巧板拼圖練習，學生感到圖案之多，出人意料；圖形之美，妙趣橫生。

有趣的數學知識，不僅能讓人感受到不同的美，而且利用數學的奇妙還能裝扮人們的生活。比如：搞服裝設計，如果擁有黃金分割的知識，就會感覺自己的設計很舒服。巴赫的音樂中充斥著數學的對稱美，埃及的金字塔在建築線條上凝聚了多少形象的數學……真可謂哪裡有數學，哪裡就有美。

E. 有哪些簡潔又能表現數學之美的東西

用中國最經典的數學題目：
＜孫子算經＞
三人同行七十稀，
五數梅花廿一枝，
七子團圓整半月，
除百零五便得知．
意思是，一個自然數除以三的余數乘以七十，除以五的余數乘以二十一，除以七的余數乘以十五，然後加起來，減去一百零五，直到小於一百零五，便是這個數．
例如：一個數除以三的余數是二，除以五的余數是四，除以七的余數是六，求這個自然數（最小的）．
解：2*70+4*21+6*15＝314
314－105＝209
209－105＝104
即符合這個條件的最小自然數是104．其實，只要是104+105*N的自然數都符合這個題目．

F. 數學之美

隨著社會的迅猛發展，經濟水平不斷提高，人們生活質量越來越好。但與此同時帶來的是人們對於資本的渴求的膨脹，人們越來越注重實際利益，注重實業重工的發展，相對而言，理論上的一些研究就理所當然的被視作一種無用之學科。首當其沖的便是數學，在中國，幾乎所有人都認為在大學里學純數學將來是沒有什麼前途的，事實上，在西方發達國家並非如此。在哲人的眼裡，數學是如此美麗，它巧奪天工，不可言喻。保羅•埃爾德什形容他對數學的觀點：「為何數字美麗呢？這就像在問貝多芬第九交響曲為什麼會美麗一般。若你不知道為什麼，其他人也沒辦法告訴你為什麼。我知道數字是美麗的，且若它們不美麗的話，世上也沒有事物會是美麗的了。」

一、數學之美所謂何然

數學美是自然美的客觀反映。歷史上曾有多位學者名人對數學美提出自己的見解，我國著名數學家華羅庚說過：「就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。」數學家徐利治說：「作為科學語言的數學，具有一般語言文字與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，既所謂數學美。數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構關系的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等等都是數學美的具體內容。」 隨著數學的發展和人類文明的進步，數學美的概念會有所發展，分類也不相同，但它的基本內容是相對穩定的，這就是：對稱美、簡潔美、統一美和奇異美。
數學的對稱美，從古希臘時代起就被認為是數學美的一個基本內容。所謂對稱性，既指組成某一事物或對象的兩個部分的對等性。數學中的這種對稱處處可見，較為形象的就是我們司空見慣的一些軸對稱圖形，尤其是圓，真可謂是三百六十度完全對稱無死角。畢達哥拉斯就曾說過：「一切平面圖形中最美的是圓，在一切立體圖形中最美的是球形。」這正是基於這兩種形體在各個方向上都是對稱的。而對於我來說，關於對稱印象最深刻的便是小學五年級的時候老師讓我做的一道數學題。當時老師在報紙上看到這道題，就拿給同辦公室的幾個老師做，結果居然那幾個老師都沒有做出來，於是老師就把我叫到辦公室去當場做，看小孩子的思維會不會活躍一些，題目是一個四位數乘以九得到的數等於這個數的倒序。我當時一看這題目，心想既然是對稱的，那麼第一個數字必是1，然後乘以九，那麼最後一個數字必是9，接著我又想第二個數字最大是1但一代進去顯然不行，那麼就只能是0了，這么一來就輕而易舉地猜出第三個數字是8，所以答案就是1089*9=9801.我記得自己當時是很快就把答案想出來了，老師們都很詫異，連連誇獎。當時心裡真的是特別高興，也是第一次對數字的對稱性有了基本的概念。現在想想那道題其實真的很簡單，但就是這么簡單的數學題里也蘊含著數學那高度的對稱美。
數學的簡潔美，是人類思想表達簡明化要求的反映。愛因斯坦說過：「美在本質上終究是簡單性。」 數學語言本身就是最簡潔的文字，同時反映客觀規律極其深刻，許多復雜的客觀現象，總結為一定的規律時，往往呈現為十分簡單的公式。歐拉給出的公式：V－E+F=2，堪稱「簡單美」的典範。世間的多面體有多少沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都必須服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，令人驚嘆不已。正如偉大的希而伯特曾說過：「數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著」。如笛卡爾坐標系的引入。對數符號的使用，復數單位的引入。微積分的出現都體現了數學外在形式更簡潔，內容更深厚。數學中絕大部分公式都體現了「形式的簡潔性，內容的豐富性」。 數學的簡潔美還表現在形態上，即數學美的外部表現形態，是數學定理和數學公式(或表達式)的外在結構中呈現出來的美。形態美的主要特徵，在於它的簡單性。
數學的統一美，是審美對象在形式或內容上的某種共同性、關聯性或一致性,它能給人一種整體和諧的美感。一切客觀事物都是相互聯系的，因而,作為反映客觀事物的數學概念、數學定理、數學公式、數學法則也是互相聯系的，在一定條件下可處於一個統一體之中。例如,從結構上分析，解析法、三角法、復數法、向量法和圖解等具體方法,都可以統一於數形結合法。歐幾里德的《幾何原本》,把一些空間性質簡化為點、線、面、體幾個抽象概念和五條公設及五條公理,並由此導致出一套雅緻的演繹理論體系,顯示出高度的統一性。布爾基學派的《數學原本》,用結構的思想和語言來重新整理各個數學分支,在本質上揭示數學的內在聯系,使之成為一個有機整體,在數學的高度統一性上給人以美的啟迪。

二、數學之美所以何能
數學之美在各位先知哲人的眼裡是如此的美麗，那麼數學是憑著什麼從幾個簡單的阿拉伯數字和拉丁字母發展為如此瑰麗傳奇的數學世界的呢？僅憑個人的力量顯然是遠遠不夠的，它是數千年來祖輩們世世代代傳承積累下來的。
數學之美是人民之於數學的智慧結晶。人們在日常的生活中總會遇到一些需要用數學來解決的小問題，然後就有人提出一個改進的小方法，讓計算變得更為容易，這樣日積月累，慢慢地便使得數學的土壤越來越肥沃，培育出更多的數學芬芳之果，讓數學這個世界越變越豐富，越變越美麗。我不是數學考古專家，不能調研到什麼具體的人民對於數學方面的小改進。但是我可以講講自己的例子。身邊的人都知道我的速算是很厲害的，倒不是我有多聰明，而是我會把一些難算的式子在腦子里做一些的變換然後再計算，這樣就容易多了，就我個人而言，這改進雖然很小，或者都稱不上是改進，但是就是因為人民大眾這樣一點一滴的積累，使得數學越來越美。
數學之美是智者之於數學的靈感源泉。我國數學家陳景潤身居陋室，但為了攻破歌德巴赫猜想這一世界數學難題，不斷演算，通過努力終於摘取了數學皇冠上的明珠。接下來我講一個蒲豐用投針求圓周率的近似值的試驗。有一天蒲豐邀請許多賓朋來家做了一個奇特的實驗。他事先在白紙上畫好了一條條有等距離的平行線，將紙鋪在桌上，又拿出一些質量勻稱長度為平行線間距離之半的小針，請客人把針一根根隨便仍到紙上，蒲豐則在一旁計數，結果共投2212次，其中與任意平行線相交的有704次，蒲豐又做了一簡單的除法 ，然後他宣布這就是圓周率的近似值，還說投的次數越多越精確。這個實驗使人震驚，圓周率和一個表面看來毫不相乾的隨便投針實驗溝通在一起。然而，這確實是有理論根據的。計算圓周率的這一方法新穎、奇妙而讓人叫絕。
數學之美是社會之於數學的發展需要。我們面臨一個科學技術迅猛發展的時代。信息的數字化和信息的數學處理已經成為幾乎所 有高科技項目共同的核心技術。從事先設計、制定方案，到試驗探索、不斷改進，到指揮控制、具體 操作，處處倚重於數學技術。許多國家認識到，發展高清晰度電視是未來經濟技術競爭的主戰場之一。應該指出，電視屏幕不僅是現代人們日常生活所不可缺少的，而且可能通過聯網成為信息傳 遞處理的工作面。幾乎所有重要的工作崗位都將與之有關。數學技術在如此重要項目的激烈較量 中起了決定作用。1991年的海灣戰爭是一場現代高科技戰爭，其核心技術竟然也是數學技術。這一事實引 起人們不小的驚訝。美國總結海灣戰爭經驗得出結論是：「未來的戰場是數字化的戰爭」。

二、數學之美所知何用
現如今，越來越多的大學生在填大學專業方向時，都不願填寫數學這個專業，理由是畢業後工作不好找。我自己也是，其實我個人是非常熱愛數學的，我可以一天不吃不喝在那邊做一道數學題並且樂在其中。但是最終還是迫於家庭和社會各方面壓力選擇了大家普遍認為將來就業可能比較好的電子專業，雖然我自己不是很喜歡，但是既來之，則安之。然而，在此我還是要說學習數學是有用的，而且是非常地有用，未來的社會必是數字化的時代。
數學之美的社會應用——揭示自然規律，指導工程設計。1995年1月，在販神大地震之後，美國利用數學模型進行地震預測，預告本世紀末加州南部可能發生大地震；1995年3月，我國中央人民廣播電視台宣布啟用數字式轉播方式，指出以前的模擬式轉播方式效果差，所以改用新的轉播方式；1995年6月，歐州聯盟開會研討未來數字化通信的統一制式；1996年2月，我國電子工業部宣布「九五計劃」開發重點：數字化信息技術。所訂的兩個重點研製項目是：數字式高清晰度電視接受機樣機和數字式激光碟；1996年4月，我國國家科委發布招標公告，正式宣布數字式高清晰度電視開發項目。僅以幾件事為例就能清楚地看到數學對當代人們的生產和生活所起的重要作用。
數學之美的突出表現——黃金比例分割。黃金分割又稱黃金律，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等於整體與較大部分之比，其比值為1∶0.618或1.618∶1，即長段為全段的0.618。0.618被公認為最具有審美意義的比例數字。採用這一比值能夠引起人們的美感，在實際生活中的應用也非常廣泛，建築物中某些線段的比就科學採用了黃金分割，舞台上的報幕員並不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一側，以站在舞台長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播的最好。就連植物界也有採用黃金分割的地方，如果從一棵嫩枝的頂端向下看，就會看到葉子是按照黃金分割的規律排列著的。在很多科學實驗中，選取方案常用一種0.618法，即優選法，它可以使我們合理地安排較少的試驗次數找到合理的西方和合適的工藝條件。正因為它在建築、文藝、工農業生產和科學實驗中有著廣泛而重要的應用，所以人們才珍貴地稱它為"黃金分割"。
伯特蘭•羅素以下列文字來形容他對數學之美的感覺：數學，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高於人的意識——這些是至善至美的標准，能夠在詩里得到，也能夠在數學里得到。
參考文獻：
（1）（美）西奧妮•帕帕斯 . 理性的樂章--從名言中感受數學之美. 王幼軍 譯. 上海：上海科技教育出版社，2010.
（2）（英）波斯特 . 數學證明之美 . 賀俊傑，鐵紅玲 譯 . 湖南：湖南科技出版社，2012
（3）（美）克利福德•A•皮科夫 . 馬東璽 譯 . 湖南：湖南科學技術出版社，2010
（4）吳軍 . 數學之美系列文章 . 2006——2007.

G. 那些藝術里的數學之美

文/陳墨禕

01

我要是指著一幅畫說美，很多人會點頭，但我要是指著一堆數字方程說美，估計大部分人就得搖頭了。

提起數學，我們很多人只會枯燥乏味或者復雜深奧。其實，數學里也有美學。

我國著名數學家華羅庚說過，「就數學本身而言，是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美。」

數學之美，蘊涵在生活的方方面面，尤其是在藝術當中。

02

有這么一位數學教授，把她發現藝術里的數學之美對我們娓娓道來。

梁進教授在她的這本《博物館藝術拾珍：收斂篇》里，帶我們走進世界四大著名博物館，去領略繪畫、雕塑里的數學之美。

其實，從這本書標題中的「收斂」二字，我們就可以窺得幾分數學的影子。 收斂這個詞來自於數學當中的微積分，大意是指會聚於一點，向某一值靠近。 與之對應的數學當中的另一個名詞叫做「發散」。

《博物館藝術拾珍：收斂篇》選擇了世界四大綜合博物館以及一些歷史特色明顯的博物館，包括但不限於著名的「盧浮宮博物館」「大英博物館」「埃及博物館」「梵蒂岡博物館」等，尤其是很具有歷史和相關博物館記憶的作品。

03

有的時候，我們覺得藝術美，恰恰是因為裡面涵蓋的數學元素。

大家耳熟能詳，並且出現在很多人初中課本當中的一定有這條—— 美的起源：黃金分割比例。

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等於較小部分與較大部分的比值， 比值約為0.618， 這個比例被公認為是最能引起美感的比例。

在古希臘時期，有一天數學家畢達哥斯拉走在街上，在經過鐵匠鋪前他聽到鐵匠打鐵的聲音非常好聽，於是駐足傾聽。他發現鐵匠打鐵節奏很有規律，這個聲音的比例被畢達哥拉斯用數學的方式表達出來。

後來，古希臘數學家歐多克索斯將這一比例進行系統研究，其研究結果被寫進歐幾里得的著作《幾何原本》里，至今廣為流傳。

而畫家們也發現，按0.618:1來設計的比例，畫出的畫最優美。因此，黃金分割的數學美學在很多著名的藝術品中被使用過。

在達芬奇的作品《維特魯威人》、《蒙娜麗莎》、還有《最後的晚餐》中都運用了黃金分割。

古希臘的著名雕像斷臂維納斯和太陽神阿波羅都通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618。

建築師們也對數字0.618特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院、埃菲爾鐵塔，希臘雅典的巴特農神廟，都有黃金分割的足跡。

04

數學之美，也同樣體現在幾何圖形當中。

畢達哥拉斯說：「一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。」因為這兩種圖形在任何方向上看都是對稱的。

其實在我們身邊隨處可見根據對稱設計的東西：小到一塊橡皮、一隻球拍，大到一架飛機、一座建築。

著名的北京人民大會堂，高聳入雲的上海東方電視塔，形象逼真的扇形，梅花瓣樣的組合圖形，銅錢式的圓中方，美麗的「雪花」圖案，都顯示出幾何圖形的對稱美，和諧美。

梵高的《星空》，印象派的畫風讓這幅圖顯得綺麗迷幻，然而浪漫之下，安寧夜空彷彿劇烈流動的濃艷色彩，被人們漸漸證明，其抽象的「湍流」，非常符合著名的「柯爾莫哥洛夫微尺度」。

05

就連看起來無趣乏味的數學方程，也有其藝術之美。

比如， 心形線方程。

在威廉布萊克的畫作《雅各布之夢》（也叫《雅各布天梯》）中也體現了數學模型之美。 

這幅畫講的是布萊特的弟弟羅伯特死的時候，悲痛的布萊克看見他弟弟的靈魂穿過屋頂冉冉上升，「歡樂地拍著手」，他得到靈感將聖經舊約里雅各布做夢登天梯的故事畫出來。

不同於其他許多天梯是直上直下的畫， 布萊特的天梯是意味深長地螺旋上升的，形成一個三維圓錐螺旋線。 整個畫面很數學。

06

數學，是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門科學。

它的特點是精密性，廣泛性，抽象性。

藝術中涵蓋著數學，就像數學和藝術分別是兩個集合，但兩者並不是並集的關系，而是交集的關系。

「美術的結構是數學的，數學的表達是藝術的。」

當我們還在思考文理之間的界限時，先行者們恐怕很早就預料到，知識的相通才是使藝術得以長存的訣竅。

看完這本書，或許你可以試著用新眼光重新去審視那些藝術品：達芬奇《維特魯威人》中暗含的黃金人體比例，倫勃朗筆下呈現自然界「正態分布」的群像，莫奈《睡蓮》中體現出來自然界的函數映射......

就像梁進教授所說的：「我從數學角度分享一些對博物館珍品的感想，怕數學的讀者也不用怕，我不會用數學公式轟炸讀者，只是用數學思想和觀點從另一個角度去欣賞藝術，暢游博物館，或許會產生不一樣的效果。」

H. 能體現數學之美的古詩是什麼

能體現數學之美的古詩如下：

1、《山村詠懷》

作者：邵雍（北宋）

一去二三里，煙村四五家。

亭台六七座，八九十枝花。

譯文：一眼看去有二三里遠，薄霧籠罩著四五戶人家。村莊旁有六七座涼亭，還有許多鮮花正在綻放。

2、《題秋江獨釣圖》

作者：王士禎（唐）

一蓑一笠一扁舟，一丈絲綸一寸鉤。

一曲高歌一樽酒，一人獨釣一江秋。

譯文：戴著一頂斗笠披著一件蓑衣坐在一隻小船上，一丈長的漁線一寸長的魚鉤。高聲唱一首漁歌喝一樽酒，一個人在這秋天的江上獨自垂釣。

3、《詠雪》

作者：鄭板橋（清）

一片二片三四片，五片六片七八片。

千片萬片無數片，飛入梅花總不見。

譯文：一片一片的雪花紛紛揚揚的從天而落，整個天地都白茫茫的一片。飄落的雪花落入蘆花叢里，和白色的蘆花融為一體，叫人難以分辨。

4、《題秋江獨釣圖》

作者：王士禎（清代）

一蓑一笠一扁舟，一丈絲綸一寸鉤。

一曲高歌一樽酒，一人獨釣一江秋。

譯文：戴著一頂斗笠披著一件蓑衣坐在一隻小船上，一丈長的漁線一寸長的魚鉤；高聲唱一首漁歌喝一樽酒，一個人在這秋天的江上獨自垂釣。

5、《定林所居》

作者：王安石（宋代）

屋繞灣溪竹繞山，溪山卻在白雲間。

臨溪放艇依山坐，溪鳥山花共我閑。

譯文：房屋被溪水環繞著，竹林環繞著青山，臨水的高山直插白雲間。將小船停靠在溪水邊，靠著山坐著，溪水、鳥兒、鮮花和我一起共享這份悠閑。

I. 「數學之美」有什麼例子

例子如下：

數學之美的例子還是比較多的。比如歐拉，歷史上最重要的數學家之一，也是最高產的數學家，平均每年能寫八百多頁論文。我們經常能見到以他名字命名的公式與定理，可能最廣為人知的便是「世界上最美的公式」歐拉公式。

先不說它的具體意義，能將自然數、虛數、π、0 和 1 這幾個最基本的元素組合在一起，就是令人驚嘆的美。歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了復數域，同時建立三角函數和指數函數的關系，被譽為數學中的天橋。

簡介：

數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，可以應用於現實世界的任何問題，所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上，數學屬於形式科學，而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切范圍和定義有一系列的看法。

J. 「數學之美」有什麼例子

淺談數學之美

數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。「那裡有數學，哪裡就有美」，數學美不是什麼虛無縹緲、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內容。數學美的內容是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等，都是數學美的具體內容。本文主要圍繞數學美的三個特徵：簡潔性、和諧性和奇異性進行闡述。

【關鍵詞】數學，數學美，美學特徵

數學美的表現形式是多種多樣的，從外在形象上看：她有體系之美、概念之美、公式之美；從思維方式上看：她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學原理上看：她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。此外，數學還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術、嚴密的邏輯體系、永恆的創新動力等特點。但這些都離不開數學美的三大特徵，即：簡潔性、和諧性和奇異性。