數學中值域怎麼求

Ⅰ 數學中，什麼是值域，值域該如何算

值域：數學名詞，函數經典定義中，因變數改變而改變的取值范圍叫做這個函數的值域，在函數現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。
計算方法：
1、化歸法
通過引進新的變數，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。
例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y²+3y+2-12=y²+3y-10=(y+5)(y-2)=(x²+x+5)(x²+x-2)=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．例2，(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6 注意：換元後勿忘還原；利用函數和他的反函數定義域與值域的互逆關系，通過求反函數的定義域，得到原函數的值域。
2、圖像法
根據函數圖象，觀察最高點和最低點的縱坐標。
3、配方法

利用二次函數的配方法求值域，需注意自變數的取值范圍。
4、單調性法

利用二次函數的頂點式或對稱軸，再根據單調性來求值域。
5、反函數法

若函數存在反函數，可以通過求其反函數，確定其定義域就是原函數的值域。
6、換元法
包含代數換元、三角換元兩種方法，換元後要特別注意新變數的范圍 。
7、判別式法
判別式法即利用二次函數的判別式求值域。
8、復合函數法
設復合函數為f[g(x)，]g(x) 為內層函數, 為了求出f的值域，先求出g(x)的值域, 然後把g(x) 看成一個整體，相當於f(x)的自變數x，所以g(x)的值域也就是f[g(x)]的定義域，然後根據 f(x)函數的性質求出其值域。
9、三角代換法
利用基本的三角關系式，進行簡化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求證：ac+bd小於或等於1. 直接計算麻煩 用三角代換法比較簡單：
做法：設a=sin x ,b=cos x ,c=sin y , d=cos y,則 ac+bd= sin x*sin y + cos x * cos y =cos (y-x),因為我們知道cos (y-x)小於等於1，所以不等式成立。；
10、不等式法
基本不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函數值域時，要時刻注意不等式成立的條件，即「一正，二定，三相等」。
11、分離常數法
把分子分母中都有的未知數變成只有分子或者只有分母的情況，由於分子分母中都有未知數與常數的和，所以一般來說我們分拆分子，這樣把分子中的未知數變成分母的倍數，然後就只剩下常數除以一個含有未知數的式子。

Ⅱ 函數的值域該怎麼求

函數的值域怎麼求
我來答

LV.6 2018-11-01
一、配方法。將函數配方成頂點式的格式，再根據函數的定義域，求得函數的值域。（畫一個簡易的圖能更便捷直觀的求出值域。）2二、常數分離這一般是對於分數形式的函數來說的，將分子上的函數盡量配成與分母相同的形式，進行常數分離，求得值域。3三、逆求法對於y=某x的形式，可用逆求法，表示為x=某y，此時可看y的限制范圍，就是原式的值域了。4四、換元法對於函數的某一部分，較復雜或生疏，可用換元法，將函數轉變成我們熟悉的形式，從而求解5/9五、單調性可先求出函數的單調性（注意先求定義域），根據單調性在定義域上求出函數的值域。6六、基本不等式根據我們學過的基本不等式，可將函數轉換成可運用基本不等式的形式，以此來求值域。7七、數形結合可根據函數給出的式子，畫出函數的圖形，在圖形上找出對應點求出值域8八、求導法求出函數的導數，觀察函數的定義域，將端點值與極值比較，求出最大值與最小值，就可的到值域了。9九、判別式法將函數轉變成 ****=0 的形式，再用解方程的方法

Ⅲ 求函數值域的方法總結

在具體求某個函數的值域時, 首先要仔細、 認真觀察其題型特徵, 然後再選擇恰當的方法，下面為大家總結了求函數值域的方法，希望可以幫助到同學們。

一．觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y=3+√(2－3x)的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x)的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，

故3+√(2－3x)≥3。

∴函數的知域為.

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二．反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。

點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）

三．配方法

當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域

例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域。

點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

解：由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1，2]。此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]

∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的'一種重要的思想方法。

練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})

四．判別式法

若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。

點撥：將原函數轉化為自變數的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

解：將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0（＊）

當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3

當y=2時,方程(＊)無解。∴函數的值域為2＜y≤10/3。

點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0，由於方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應於形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數。

練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域為y≤－8或y>0）。

五．最值法

對於閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,並與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。

例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥：根據已知條件求出自變數x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),

∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

當x=-1時，z=－5；當x=3/2時，z=15/4。

∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝。

點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為（）

A．（－∞，＋∞）B．[－7，＋∞]C．[0，＋∞）D．[－5，＋∞）

（答案：D）。

六．圖象法

通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域。

點撥：根據絕對值的意義，去掉符號後轉化為分段函數，作出其圖象。

解：原函數化為－2x+1(x≤1)

y=3(-1<x≤2)

2x-1(x>2)

它的圖象如圖所示。

顯然函數值y≥3,所以，函數值域[3，＋∞]。

點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域

七．單調法

利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥：由已知的函數是復合函數，即g(x)=－√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

解：設f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x

在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝。

點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

練習：求函數y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)

八．換元法

以新變數代替函數式中的某些量，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，進而求出值域。

例2求函數y=x-3+√2x+1的值域。

點撥：通過換元將原函數轉化為某個變數的二次函數，利用二次函數的最值，確定原函數的值域。

解：設t=√2x+1（t≥0）,則

x=1/2(t2-1)。

於是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.

所以，原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝。

點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數，通過求出二次函數的最值，從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。

練習：求函數y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝

九．構造法

根據函數的結構特徵，賦予幾何圖形，數形結合。

例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域。

點撥：將原函數變形，構造平面圖形，由幾何知識，確定出函數的值域。

解：原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22

作一個長為4、寬為3的矩形ABCD，再切割成12個單位

正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22,

KC=√(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知，AK+KC≥AC=5。當A、K、C三點共

線時取等號。

∴原函數的知域為｛y|y≥5｝。

點評：對於形如函數y=√x2+a±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數)，均可通過構造幾何圖形，由幾何的性質，直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。

練習：求函數y=√x2+9+√(5-x)2+4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）

以上九種是函數求值域最常用的方法,下面介紹三種特殊情況下求值域的幾種方法.

十．比例法

對於一類含條件的函數的值域的求法，可將條件轉化為比例式，代入目標函數，進而求出原函數的值域。

例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式，設置參數，代入原函數。

解：由3x-4y-5=0變形得，(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

∴x=3+4k,y=1+3k,

∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。

當k=－3/5時，x=3/5,y=－4/5時，zmin=1。

函數的值域為｛z|z≥1｝.

點評：本題是多元函數關系，一般含有約束條件，將條件轉化為比例式，通過設參數，可將原函數轉化為單函數的形式，這種解題方法體現諸多思想方法，具有一定的創新意識。

練習：已知x,y∈R，且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）

十一．利用多項式的除法

例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥：將原分式函數，利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和。

解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。

∵1/(x+1)≠0，故y≠3。

∴函數y的值域為y≠3的一切實數。

點評：對於形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法。

練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）

十二．不等式法

例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，根據自變數的取值范圍，構造不等式。

解：易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],

由對數函數的定義知x/(1-x)＞0

1-x≠0

解得，0＜x<1。

∴函數的值域（0，1）。

點評：考查函數自變數的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式，求出函數定義域，進而求值域。不等式法是重要的解題工具，它的應用非常廣泛。是數學解題的方法之一

Ⅳ 數學函數求值域的12種好方法

圖象法通過觀察函數的圖象.不等式法例12求函數Y=3x/,可得到函數y的值域.最值法對於閉區間[a，求得函數的值域，代入目標函數一.反函數法當函數的反函數存在時。十二;(3x+1)的值域：根據絕對值的意義,b]上的連續函數y=f(x);3)的值域。例5已知(2x2-x-3)/。九，結合函數的解析式.單調法利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域.利用多項式的除法例11求函數y=(3x+2)/.f(b)作比較，進而求出值域。例1求函數y=3+√(2-3x)的值域;(x+2)的值域：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。二,可以利用配方法求函數值域例3，賦予幾何圖形，作出其圖象;(x+1)的值域。八。十.比例法對於一類含條件的函數的值域的求法，運用數形結合的方法得到函數的值域。三,可求出y=f(x)在區間[a,y∈R,並與邊界值f(a)。點撥，則其反函數的定義域就是原函數的值域;(x2-x+1)的值域,求函數z=x2+y2的值域。例2求函數y=(x+1)/。五。六,可用判別式法求函數的值域。例9求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8的值域.配方法當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,且滿足x+y=1,求出函數的最值。四;(3x2+x+1)≤0。例8求函數y=x-3+√2x+1的值域,b]內的極值，進而求出原函數的值域、性質的觀察.換元法以新變數代替函數式中的某些量。例4求函數y=(2x2-2x+3)/，且3x-4y-5=0，使函數轉化為以新變數為自變數的函數形式，數形結合,求函數z=xy+3x的值域。例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2的值域.構造法根據函數的結構特徵.觀察法通過對函數定義域，去掉符號後轉化為分段函數。十一.判別式法若可化為關於某變數的二次方程的分式函數或無理函數。七，可將條件轉化為比例式。例7求函數y=4x-√1-3x(x≤1/。例10已知x

Ⅳ 高中數學值域怎麼求

一、觀察法

通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

例1求函數y＝3＋√(2－3x) 的值域。

點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2－3x) 的值域。

解：由算術平方根的性質，知√(2－3x)≥0，
故3＋√(2－3x)≥3。
∴函數的知域為[3，＋∞]。

點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，

（2）值的非負性。本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對於一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

練習：求函數y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域為：｛0，1，2，3，4，5｝）

二、反函數法

當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例2：求函數y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。

點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

解：顯然函數y＝(x＋1)/(x＋2)的反函數為:x＝(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝。
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

練習：求函數y＝(10∧x＋10∧-x)/(10∧x－10∧-x)的值域。（答案：函數的值域為｛y∣y＜－1或y＞1｝）

Ⅵ 數學值域怎麼求

求函數值域關鍵是要掌握常用的幾種方法,
然後才能觸類旁通。

1. 用反函數法
適用類型:分子.分母只含有一次項的函數(即有理分式一次型),也可用於其它易反解出自變數的函數類型.
（由反函數的定義域來確定原函數的值域）

解： 易知原函數定義域為：

易求得原函數的反函數表達式為： x = （3y+5）/(5y-3)
由x>-1且 x≠3/5
可得以下不等式組：
（3y+5）/(5y-3) > -1
（3y+5）/(5y-3) ≠3/5
解得
y>3/5 , 或 y< -1/4
所以
原函數值域為 y∈(-∞,-1/4)U(3/5,+∞)

2.用數形結合
y = |x+5|+|x-6|
上式可以看成是數軸上點P(x) 到定點A(-5)， B（6）之間的距離之和。
由圖易知，當點P在線段AB上時
y = |x+5|+|x-6| =|AB| = 11
當點P在AB的延長線或反向延長線上時，
y = |x+5|+|x-6| > |AB| = 11

故所求函數值域為 y∈[11,+∞)

3.用直接觀察與數形結合（和換元）

令 t = -x^2 +x+2

則 t = -(x-1/2)^2 +9/4 且 t≥0
畫出函數t(x)的圖形，根據拋物線的性質有
0≤t≤9/4
因 y = 4-√t 為單調函數
則原函數值域為 y∈[5/2, 4]

4. 用換元法
令 t =√(1-2x) ≥0 , 則 x = 1/2 -1/2t^2
原函數轉化為

y = 1/2 -1/2t^2 + t = -1/2(t-1)^2 +1
由圖形易知
y≤1
故函數值域為｛y|y≤1｝.

Ⅶ 高一數學，值域怎麼求，要過程

值域問題是高中函數的一個精華問題。
有很多問題都是圍繞著他展開的。比如說恆成立問題，值域反求定義與問題（即反函數求定義域）……等等。下面就說一下最基本的集中求值域問題的類型。
首先要著重說的是：求值域，必先看定義域。所有函數都是如此。
1.單調性法
利用函數的單調性。當一個函數單調性很容易判斷時，可用定義域來求解。
e.g.1
y=x-√（1-2x).求值域。
解：1-2x≥0,得x≤1/2.
觀察得，函數在指定區間內為增函數，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2.
所以值域為（-∞，1/2]。
2.判別式法。適用於y是x的2次函數的情況。且x∈r.
y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。
解：將原式變形得
y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得
（y-1）x^2+(1-y)x+y=0.
因為y=1時，推出y=0.即x∈φ
所以y≠1.
x∈r，即此式恆有根，所以δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0,
解得-1/3≤y≤1.
又因為y≠1,所以
y∈[-1/3,1).
註：此法可用的原因：化成x的式子後發現，x∈r對該式都成立，也就是說有這樣的x,一定可以為根，要y來配合。此式由無窮個根，即如果你給了合適的y後，在式子中總能找到x解。那麼這個y就是為了保證讓式子一定有解才會滿足x∈r成立，即判別式大於等於0.
3.分離常數法。適用於分母分子有相同的形式的部分，然後用觀察法（單調性法）
y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。
變形為y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx)
因為sinx∈[-1,1],所以2+sinx∈[1,3].所以4/（2+sinx)∈[4/3,4].
所以y∈[1/3,3]
4.反表示法。把未知項（含x項）用y來表示，要知道未知項的范圍。
y=3^x/(3^x+1).求值域。
解：變形得3^x(1-y)=y.討論
當y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因為此式小於1）所以y≠1,
則有3^x=y/(1-y).這就是說3^x與y/(1-y）是等同的。那麼他們的范圍也就等同。也就是說y/(1-y)＞0.解得y∈(0,1).
5.幾何意義法。題乾的形式會讓我們產生聯想。如想到斜率、兩點間距離公式等。
①。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。
先看定義域，全體實數。那麼不用管了。
變形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2].
y的幾何意義是（x,0)點到點（0，1）的距離與（x.0)點到點（2，2）的距離的和。畫出圖像，觀察知，當（x,0)點在直線y-2=3/2(x-2)上時，有最小值。
解直線與x軸交點，得x=2/3.對應的原函數值y=√(4+9)=√13.(勾股定理）
②。求y=sinx/(2-x)的值域。
解：變形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的幾何意義是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反數。畫圖，觀察計算得k的范圍是[-√3/3,√3/3].
所以y的范圍是-k,為[-√3/3,√3/3].
如果你是新生的話，可能有些東西你還沒接觸到，理解的會差一些。沒關系，不出幾個月，你就都能學到了。
除了上面我介紹的幾種方法外，還有什麼換元法，上下同除法，平方去根號法，導數法等等。但最常用的還是上面那幾個。

Ⅷ 高中數學如何求函數的值域

值域是函數值所在的集合。一旦函數的定義域和對應法則確定了，函數的值域也就隨之確定。下面介紹幾種常用的求函數值域的方法:
1.配方法
2.區間劃分法
3.不等式比較法
4.函數變換法
5.換元法

Ⅸ 函數的值域的求法

求
函數值域的幾種常見方法
1．直接法：利用常見函數的值域來求
一次函數y=ax+b(a
0)的定義域為r，值域為r；
反比例函數
的定義域為{x|x
0}，值域為{y|y
0}；
二次函數
的定義域為r，
當a>0時，值域為{
}；當a<0時，值域為{
}.
例1．求下列函數的值域
①
y=3x+2(-1
x
1)
②
③
④
解：①∵-1
x
1，∴-3
3x
3，
∴-1
3x+2
5，即-1
y
5，∴值域是[-1，5]
②∵
∴
即函數
的值域是
{
y|
y
2}
③
④當x>0，∴
=
，
當x<0時，
=－
∴值域是
[2，+
).（此法也稱為配方法）
函數
的圖像為：
2．二次函數比區間上的值域(最值)：
例2
求下列函數的最大值、最小值與值域：
①
；
解：∵
，∴頂點為(2,-3)，頂點橫坐標為2.
①∵拋物線的開口向上，函數的定義域r，
∴x=2時，ymin=-3
,無最大值；函數的值域是{y|y
-3
}.
②∵頂點橫坐標2
[3,4]，
當x=3時，y=
-2；x=4時，y=1；
∴在[3,4]上，
=-2，
=1；值域為[-2，1].
③∵頂點橫坐標2
[0,1]，當x=0時，y=1；x=1時，y=-2,
∴在[0,1]上，
=-2，
=1；值域為[-2，1].
④∵頂點橫坐標2
[0,5]，當x=0時，y=1；x=2時，y=-3,
x=5時，y=6,
∴在[0,1]上，
=-3，
=6；值域為[-3，6].
註：對於二次函數
,
⑴若定義域為r時，
①當a>0時，則當
時，其最小值
；
②當a<0時，則當
時，其最大值
.
⑵若定義域為x
[a,b],則應首先判定其頂點橫坐標x0是否屬於區間[a,b].
①若
[a,b],則
是函數的最小值（a>0）時或最大值（a<0）時，再比較
的大小決定函數的最大（小）值.
②若
[a,b],則[a,b]是在
的單調區間內，只需比較
的大小即可決定函數的最大（小）值.
註：①若給定區間不是閉區間，則可能得不到最大（小）值；
②當頂點橫坐標是字母時，則應根據其對應區間特別是區間兩端點的位置關系進行討論.
3．判別式法（△法）：
判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式，解題中要注意二次項系數是否為0的討論
例3．求函數
的值域
方法一：去分母得
(y-1)
+(y+5)x-6y-6=0
①
當
y11時
∵x?r
∴△=(y+5)
+4(y-1)×6(y+1)
0
由此得
(5y+1)
0
檢驗
時
（代入①求根）
∵2
?
定義域
{
x|
x12且
x13}
∴
再檢驗
y=1
代入①求得
x=2
∴y11
綜上所述，函數
的值域為
{
y|
y11且
y1
}
方法二：把已知函數化為函數
(x12)
∵
x=2時
即
說明：此法是利用方程思想來處理函數問題，一般稱判別式法.
判別式法一般用於分式函數，其分子或分母只能為二次式.解題中要注意二次項系數是否為0的討論.
4．換元法
例4．求函數
的值域
解：設
則
t
0
x=1-
代入得
5．分段函數
例5．求函數y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：將函數化為分段函數形式：
，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數的值域是{y|y
3}.
解法2：∵函數y=|x+1|+|x-2|表示數軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，∴易見y的最小值是3，∴函數的值域是[3，+
].
如圖
兩法均採用「數形結合」，利用幾何性質求解，稱為幾何法或圖象法.

Ⅹ 高中數學必修求值域方法

函數作為高中數學的重點知識之一，常常成為不少同學困擾的焦點。下面是我為大家整理的關於高中數學必修求值域 方法 ，希望對您有所幫助。歡迎大家閱讀參考學習!

1高中數學必修方法

函數作為高中數學的重點知識之一，常常成為不少同學困擾的焦點。那麼高中數學函數的值域該怎麼求呢?下面分享幾點高中數學必修一求值域方法。

在高中函數定義中，是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。一般的，函數最值分為函數最小值與函數最大值。簡單來說，最小值即定義域中函數值的最小值，最大值即定義域中函數值的最大值。函數最大(小)值的幾何意義——函數圖像的最高(低)點的縱坐標即為該函數的最大(小)值。

2三角函數

多以選擇題和填空題形式考查基礎知識，多以解答題的形式考查三角函數的圖像和性質。在高考中，多以解答題的形式和三角函數的概念、簡單的三角恆等變換、解三角形聯合考查三角函數的最值、單調區間、對稱性等，屬於難題。

三角函數的最值或相關量的取值范圍的確定始終是三角函數中的 熱點 問題之一，所涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解這類問題時要注意思維的嚴密性，如三角函數值正負號的選取、角的范圍的確定、各種情況的分類討論、及各種隱含條件等等。三角函數求最值常用方法有：配方法、化一法、數形結合法、換元法、基本不等式法等等。

三角函數的最值或相關量的取值范圍的確定始終是三角函數中的熱點問題之一，所涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解這類問題時要注意思維的嚴密性，如三角函數值正負號的選取、角的范圍的確定、各種情況的分類討論、及各種隱含條件等等。三角函數求最值常用方法有：配方法、化一法、數形結合法、換元法、基本不等式法等等。

3函數值域

換元法：常用代數或三角代換法，把所給函數代換成值域容易確定的另一函數，從而得到原函數值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均為常數且ac不等於0)的函數常用此法求解。

單調性法：首先確定函數的定義域，然後在根據其單調性求函數值域，常用到函數y=x+p/x(p>0)的單調性：增區間為(-∞,-√p)的左開右閉區間和(√p,+∞)的左閉右開區間，減區間為(-√p,0)和(0,√p)

反函數法：若原函數的值域不易直接求解，則可以考慮其反函數的定義域，根據互為反函數的兩個函數定義域與值域互換的特點，確定原函數的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函數的值域，可採用反函數法，也可用分離常數法。

注重數形結合的思想，解析幾何，很顯然，解析是數字的，公式的，而幾何是圖形的，圖形一目瞭然，給人直觀的感受，而公式抽象，能准確的描述圖像的特徵，結合之後一定會對解題有很大的幫助。並且解析幾何想比較其他題型的優點在於，它可以帶回試題中檢驗，如果算出答案後有時間，建議同學們花一兩分鍾檢驗一下你的答案，這樣也有利於你對算出來的答案更有信心，提高准確率。

4一次函數

象限:y=kx時(即b等於0，y與x成正比，此時的圖像是是一條經過原點的直線)

當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;

當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。

y=kx+b(k,b為常數，k≠0)時：

當 k>0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，三象限。

當 k>0,b<0, 這時此函數的圖象經過一，三，四象限。

當 k<0,b>0, 這時此函數的圖象經過一，二，四象限。

當 k<0,b<0, 這時此函數的圖象經過二，三，四象限。

當b>0時，直線必通過一、三象限;

當b<0時，直線必通過二、四象限。

特別地，當b=0時，直線通過原點O(0，0)表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k>0時，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當k<0時，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。

畫法:一次函數的圖象為直線,由於兩點確定一條直線,所以只要過直線上的兩個點作直線就是該一次函數的圖象了。

答:作出一次函數y=2x-6的圖象。

當X=0時,y=2 _ 0-6=-6;

當Y=0時,0=2x-6,x=3。

所以,過點(0,-6)和(3,0)作直線即為y=2x-6的直線。

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